PA e PG

1. r
r
r
r
r
DEFINIÇÃO:PAétodasequênciadenúmerosre
aisnaqualcadatermo,apartirdosegundo,éigual
aoanteriorsomadoaumaconstantedenominada
razãor.
Ex.:PA(2,7,12,17,...)
r
CLASSIFICAÇÃO.rr
r>0→crescente Ex.:(1,5,9,13,...)
r=0→constante Ex.:(2,2,2,...)
r<0→decrescente Ex.:(10,7,4,1,...)
r
7G89 r:G8n,rPGr;9nr1n.r
a
n=a1+(n–1).r onde:
a
n:termogeral a 1:primeirotermo
n:nºdetermos r:razão
r
8G18G-Gz7não r18?7a+nrP -r
r
7G89 -rPGr;9nr1n .rr
Trêstermos:(x–r,x,x+r)
Quatrotermos:(x–r,x,x+r,x+2r)
r
18 18aGPnPGrPGr;9nr1n:Asomadedoister
mosequidistantesdosextremosdeumaPAfinitaé
igualasomadosextremos.
Ex.:PA(1,4,7,10) 1+10=4+7
r
- 9nrP -r7G89 -rPGr;9nr1n.r
S
nr4r
2
).na+(a
n1
r r
ondeS
néasomadostermos
r
r
GBG8+C+a rPGrqaBnão 
.r
r
r
01) Verifique quais sequências formam uma PA,
determinandoarazãoeclassificando:
a)(3,7,11,15,...) b)(5,1,3,7,...)
c)(2,4,8,...) d)(10,10,10,...)
r
02)Determineo10ºtermodaPA(1,6,11,...).
r
03) Qual é o primeiro termo de uma PA em que
a
)Gr=53er=4?
r
04)DetermineonúmerodetermosdaPA(6,9,
12,...,66).
r
05)Determineovalordexdemodoqueostermos
x+3,4x–2ex–1,nessaordem,formamuma
1n$r
r
06)Quantossãoosmúltiplosde3compreendidos
entre5e40?
r
07)EscrevaumaPAdetrêstermosdemodoquea
somadostermosseja3eoprodutodelesseja8.
r
08)(FGVSP)Emumtriângulo,ostrêsânguloses
tãoemPAeomaiorânguloéodobrodomenor.
Calculeomenorângulodessetriângulo.
r
09) Interpole quatro meios aritméticos entre os
números11e26.
r
10)Insiradozemeiosaritméticosentre60e5.
r
11)Determineasomadosdezprimeirostermosda
PA(1,4,7,...).
r
12) Qual é a soma dos trinta primeiros números
ímpares?
r
13)Determineasomadosvinteprimeirostermos
daPA(15,11,7,...).
r
14) (Gama Filho RJ) A soma dos seis termos de
uma progressão aritmética de razão
r é igual a
150.Seoúltimotermodessaprogressãoé45,a
razão
rvale:
r
a)9 b)8 c)7
d)6 e)5
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r

2. r
r
r
r
r
DEFINIÇÃO: Podemos definir progressão geomé
trica,ousimplesmente
PG,comoumasucessãode
números reais obtida, com exceção do primeiro,
multiplicandoonúmeroanteriorporumaquantida
defixa
q,chamadarazão$r
Podemoscalculararazãodaprogressão,casoela
nãoestejasuficientementeevidente,dividindo en
tre si dois termos consecutivos. Por exemplo, na
sucessão(1,2,4,8,...),q=2.
 
+?,+;, -r P r 7G89 r :G8n,
: Numa progres
sãogeométricaderazão
q,ostermossãoobtidos,
pordefinição,apartirdoprimeiro,daseguintema
neira:
r
a
1 a2 a3r $$$
ra20r $$$ranr $$$r
a1ra)r.rqra)r.rq
2
r...ra)r.rq
19
r...ra)r.rq
n1
r...r
r
Assim,podemosdeduziraseguinteexpressãodo
termogeral,tambémchamadoenésimotermo,pa
raqualquerprogressãogeométrica.
r
a
n =a1 .q
n1
 
r
Portanto,seporexemplo,
a1=2eq=3,então:
r
a
nr4r'r.r&3*
n1
r
r
Sequisermoscalcularovalordotermopara
n = 5,
substituindoonafórmula,obtemos:
r
a
5r4r'r.r&3*
51
r4r'r.r&3*
4
r4r)G'r
r
A semelhança entre as progressões aritméticas e
as geométricas é aparentemente grande. Porém,
encontramos a primeira diferença substancial no
momento de sua definição. Enquanto as progres
sões aritméticas formamse somandose uma
mesma quantidade de forma repetida, nas pro
gressõesgeométricasostermossãogeradospela
multiplicação, também repetida, por um mesmo
número.
r
- 9nr P -r zr 18a9Ga8 -r 7G89 -r PGr ;9nr
PG:SejaaPG(a1,a2,a3,a4,...,an,...).Parao
cálculodasomadosnprimeirostermosS
n,vamos
consideraroquesegue:
S
n=a1+a2+a3+a4+...+an1+anr
Simplificando convenientemente, chegaremos à
seguintefórmuladasoma:
r
r
r
Sesubstituirmosa
n=a1.q
n1
,obteremosumano
va a presentação
para a fórmula da soma, ou
seja:
r
r
r
r
Podeserusadatantoumacomoaoutra,conforme
conveniência.
r
Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da
PG(1,2,4,8,...)
Temos:
r
Observequenestecasoa
1r4r)$r
r
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG DECRES+Gz7GrGra,a9a7nPnr
ConsidereumaPGilimitada(infinitostermos)ede
crescente.Nestascondições,podemosconsiderar
quenolimiteteremosa
n=0.Substituindonafór
mulaanterior,encontraremos:
rrr
S
nr4r
q
a
1
1
r
r
Exemplo:
Resolvaaequação:
%r<r%T'r<r%T6r<r%TFr<r%T)Gr<r$$$r4)//$rr
r
OprimeiromembroéumaPGdeprimeirotermox
erazão1/2.Logo,substituindonafórmula,vem:
r
r
Dessaequaçãonósencontramoscomoresposta
%r4r1/$r
r
r
r

3. r
r
r
r
r
01Sobreaprogressãoaritmética
(7,16,25,34,...)écorretoafirmarque:
r
a)onúmero9.000éumdosseustermos
b)onúmero7.000éumdosseustermos
c)seudécimotermoé89
d)asomadosquatroprimeirostermosémaiorque
)//r
e)asuarazãoéumnumeroprimo
r
02 Senumaprogressãoaritméticadetermogeral
antemsea1+a4=13ea3–a1=6,então,asoma
dosdezprimeirostermosdessaP.A.é:
r
a)130 b)95 c)65
d)155 e)195
r
03 Numacerimôniadeformaturadeumafaculda
de,osformandosforamdispostosem20filas,de
modo a formar um triângulo, com 1 formando na
primeirafila,3formandosnasegundafila,5nater
ceira, e assim por diante, constituindo uma pro
gressãoaritmética.Onúmerodeformandosnace
rimôniaé:
r
a)400 b)410 c)420
d)800 e)840
r
04 Numasequênciainfinitadecírculos,cadacír
culo,apartirdosegundo,temraioigualàmetade
do raio do círculo anterior. Se o primeiro círculo
temraio4,então,asomadasáreasdetodosos
círculosé:
r
a)12π b)15π/4 c)64π/3
d)32π e)32π/3
r
05 Ovalordemercadodeumprodutoéalterado
acadamês,comumacréscimode20%emrela
ção ao mês imediatamente anterior. A sequência
devaloresdesseproduto,acadamês,formauma
progressão:
r
a)aritméticaderazão1,2
b)geométricaderazão0,2
c)geométricaderazão20
d)geométricaderazão1,2
e)aritméticaderazão0,2
r
06 No dia 1º de dezembro, uma pessoa enviou,
pelainternet,umamensagemparax pessoas.No
dia2,cadaumadas
x pessoasquereceberama
mensagemnodia1ºenviouamesmamensagem
paraduasnovaspessoas.Nodia3,cadapessoa
querecebeuamensagemnodia2tambémenviou
amesmamensagemparaoutrasduaspessoas.E,
assim,sucessivamente.Se,dodia1ºatéofinaldor
dia6dedezembro,756pessoashaviamrecebido
amensagem,ovalorde
x 5.r
r
a)12 b)24 c)52
d)63 e)126
r
07 Umaprogressãoaritméticatemseistermos.A
somadoscincoprimeirostermoséiguala–5ea
somadoscincoúltimostermoséiguala10.Ara
zãodessaprogressãoaritméticaé:
r
a)1 b)–2 c)3
d)0 e)5
r
08 Umasequênciaétalquea1=8ean=an1r<r)'r
(n>2).Asomadosvinteprimeirostermosdessa
sequênciaé:
r
a)228 b)4.720 c)3.260
d)2.360 e)2.440
r
09 Umaprogressãoaritméticapossui513termos,
todos impares. O seu primeiro termo, e a razão,
sãoasraízesdaequaçãox
2
–15x+44=0.Para
quantostermos dessasequência o algarismo das
unidadesé9?
r
a)102 b)103 c)104
d)105 e)106
r
10 Umaalgacrescedemodoqueacadadiaela
cobreumasuperfíciedeáreaigualaodobrodaá
reacobertanodiaanterior.Seessaalgacobrea
superfíciedeumlagoem100dias,assinaleaal
ternativa correspondente ao número de dias ne
cessáriosparaqueduasalgasdamesmaespécie
daanteriorcubramasuperfíciedomesmolago.
r
a)50dias b)25dias c)98dias
d)99dias e)43dias
r
11 Numaprogressãogeométrica,adiferençaen
treo2ºeo1ºtermosé9,eadiferençaentreo5ºe
o4ºtermosé576.O1ºtermodaprogressãoé:
r
a)3 b)4 c)6
d)8 e)9
r
12 Os frutos de uma árvore, atacados por uma
moléstia,foramapodrecendodiaapósdia,segun
do os termos de uma progressão geométrica de
primeirotermo1erazão3,istoé,noprimeirodiar
apodreceu1fruto,nosegundodia3outros,noter
ceirodia9outros,eassimsucessivamente.Seno
sétimodia,apodreceramosúltimosfrutos,onúme
rodefrutasatacadaspelamoléstiafoi:
r
a)363 b)364 c)729
d)1092 e)1093