Partitions Hypergeometric Systems and Dirichlet Processes in Statistics SpringerBriefs in Statistics Mano Shuhei

Partitions Hypergeometric Systems and Dirichlet Processes in Statistics SpringerBriefs in Statistics Mano Shuhei
Partitions Hypergeometric Systems and Dirichlet Processes in Statistics SpringerBriefs in Statistics Mano Shuhei
Partitions Hypergeometric Systems and Dirichlet Processes in Statistics SpringerBriefs in Statistics Mano Shuhei

1. Read Anytime Anywhere Easy Ebook Downloads at ebookmeta.com
Partitions Hypergeometric Systems and Dirichlet
Processes in Statistics SpringerBriefs in
Statistics Mano Shuhei
https://ebookmeta.com/product/partitions-hypergeometric-
systems-and-dirichlet-processes-in-statistics-
springerbriefs-in-statistics-mano-shuhei-2/
OR CLICK HERE
DOWLOAD EBOOK
Visit and Get More Ebook Downloads Instantly at https://ebookmeta.com

3. SpringerBriefs in Statistics
JSS Research Series in Statistics
Editors-in-Chief
Naoto Kunitomo
School of Political Science and Economics, Meiji University, Chiyoda-ku,
Tokyo, Japan
Akimichi Takemura
The Center for Data Science Education and Research, Shiga University,
Hikone, Shiga, Japan
Series Editors
Genshiro Kitagawa
Meiji Institute for Advanced Study of Mathematical Sciences, Nakano-ku,
Tokyo, Japan
Shigeyuki Matsui
Graduate School of Medicine, Nagoya University, Nagoya, Aichi, Japan
Manabu Iwasaki
School of Data Science, Yokohama City University, Yokohama, Kanagawa,
Japan
Yasuhiro Omori
Graduate School of Economics, The University of Tokyo, Bunkyo-ku,
Tokyo, Japan
Masafumi Akahira
Institute of Mathematics, University of Tsukuba, Tsukuba, Ibaraki, Japan

4. Masanobu Taniguchi
School of Fundamental Science and Engineering, Waseda University,
Shinjuku-ku, Tokyo, Japan
Hiroe Tsubaki
The Institute of Statistical Mathematics, Tachikawa, Tokyo, Japan
Satoshi Hattori
Faculty of Medicine, Osaka University, Suita, Osaka, Japan
Kosuke Oya
School of Economics, Osaka University, Toyonaka, Osaka, Japan
SpringerBriefs present concise summaries of cutting-edge research and
practical applications across a wide spectrum of ields. Featuring
compact volumes of 50 to 125 pages, the series covers a range of
content from professional to academic. Typical topics might include:
More information about this subseries at
A timely report of state-of-the art analytical techniques
A bridge between new research results, as published in journal
articles, and a contextual literature review
A snapshot of a hot or emerging topic
An in-depth case study or clinical example
A presentation of core concepts that students must understand in
order to make independent contributions
http:// www. springer. com/ series/ 13497
SpringerBriefs in Statistics showcase emerging theory, empirical
research, and practical application in Statistics from a global author
community.
SpringerBriefs are characterized by fast, global electronic
dissemination, standard publishing contracts, standardized manuscript
preparation and formatting guidelines, and expedited production
schedules.

5. Editors
Nobuaki Hoshino, Shuhei Mano and Takaaki Shimura
Pioneering Works on Distribution
Theory
In Honor of Masaaki Sibuya
1st ed. 2020

6. Editors
Nobuaki Hoshino
School of Economics, Kanazawa University, Kanazawa, Ishikawa, Japan
Shuhei Mano
The Institute of Statistical Mathematics, Tachikawa, Tokyo, Japan
Takaaki Shimura
The Institute of Statistical Mathematics, Tachikawa, Tokyo, Japan
ISSN 2191-544X e-ISSN 2191-5458
SpringerBriefs in Statistics
ISSN 2364-0057 e-ISSN 2364-0065
JSS Research Series in Statistics
ISBN 978-981-15-9662-9 e-ISBN 978-981-15-9663-6
https://doi.org/10.1007/978-981-15-9663-6
© The Editor(s) (if applicable) and The Author(s), under exclusive
license to Springer Nature Singapore Pte Ltd. 2020
This work is subject to copyright. All rights are solely and exclusively
licensed by the Publisher, whether the whole or part of the material is
concerned, speci?ically the rights of translation, reprinting, reuse of
illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on micro?ilms or in
any other physical way, and transmission or information storage and
retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or
dissimilar methodology now known or hereafter developed.
The use of general descriptive names, registered names, trademarks,
service marks, etc. in this publication does not imply, even in the
absence of a speci?ic statement, that such names are exempt from the
relevant protective laws and regulations and therefore free for general
use.

7. The publisher, the authors and the editors are safe to assume that the
advice and information in this book are believed to be true and accurate
at the date of publication. Neither the publisher nor the authors or the
editors give a warranty, expressed or implied, with respect to the
material contained herein or for any errors or omissions that may have
been made. The publisher remains neutral with regard to jurisdictional
claims in published maps and institutional afiliations.
This Springer imprint is published by the registered company Springer
Nature Singapore Pte Ltd.
The registered company address is: 152 Beach Road, #21-01/04
Gateway East, Singapore 189721, Singapore

8. Preface
Statistical distribution theory is a traditional ield. Hence, it might be
surprising that its frontier is still lively. The present work compiled
refereed articles speciic to this ield and showcases pioneering efforts.
Although issues discussed can be unfamiliar to even statisticians,
simple examples provided are often effective in helping readers
understand where the frontier exists.
A non-negligible part of the tradition has resulted from Professor
Masaaki Sibuya’s contributions since the 1960s. Among his various
interests in the ield, the theory of random partitioning of a positive
integer carries signiicant weight. The Ewens sampling formula is the
“normal” distribution over the partitions of a positive integer. Along
with its generalization, which is called the Pitman sampling formula,
these distributions constitute a basis for understanding the
combinatorial phenomena of random partitioning.
The present volume commences with Professor Sibuya’s latest
research on a statistical test to discriminate the Ewens sampling
formula from the Pitman sampling formula (Chapter 1). He notes the
fact that the tails of the lattice structure of partitions are more likely to
be observed under the generalized domain of the Pitman sampling
formula compared to the original Ewens sampling formula. These tails
are deined in terms of a partial order, and fundamental thoughts on the
treatment of partially ordered sets are presented. In fact, few studies on
the use of partially ordered sets in statistics exist. We are pleased to see
Professor Sibuya’s pioneering work again in this honorary volume
dedicated to him.
The next two chapters also discuss the Ewens sampling formula.
The number of parts in the partition of a positive integer is called a
length. Professor Yamato has been working on the discrete asymptotics
of lengths as well as its approximation under the Ewens sampling
formula, as presented in Chapter 2. He provides new proof of the
convergence of length to the shifted Poisson distribution. Professor
Tsukuda employed different regimes on the asymptotics of the length
that the central limit theorem dictates. He considers two types of
standardization of length in Chapter 3. The derived results include the
error bounds of normal approximation to these types and a decay rate

9. depending on the growth rate of the parameter of the Ewens sampling
formula.
The partition of a positive integer induces a different story. Suppose
that a partition of a positive integer is given. Then, the ordering of its
parts generates a sequence of positive integers. In this sequence, if the
adjacent integers are the same, then this pair is called level. The
number of levels in the sequence obviously depends on the method of
ordering, but permutations exhaust all cases. A point of interest raised
by Professor Fu in Chapter 4 is the number of permutations with a
speciic number of levels for a given partition. This issue dates back to
1755 and has been unsolved, but he has derived an explicit formula via
inite Markov chain imbedding, separating from the ordinary
combinatorial approach.
The partition also appears as the index of orthogonal polynomials.
The orthogonal property of the system of orthogonal polynomials
depends on a weight function, which is regarded as a statistical
distribution, such as the normal, gamma, or beta distributions. These
distributions can be of symmetric matrix variates, e.g., the Wishart
distribution, and Professor Chikuse is interested in orthogonal
polynomials associated with these cases. Despite the complex structure
of the orthogonal polynomials with a symmetric matrix argument, she
derived recurrence relations, which can be seen in Chapter 5.
Finally, Chapter 6 considers the parameter estimations of the
regular exponential family. Professors Yanagimoto and Ohnishi
rigorously proved that the posterior mean of the canonical parameter
vector under Jeffreys’ prior is asymptotically equivalent to the
maximum likelihood estimator, which characterizes Jeffreys’ prior. This
result itself is a mathematical elaboration rather than a pioneering
work. However, they were motivated to understand a predictor that is
expressed as a function of the posterior mean of the canonical
parameter in reference to the asymptotic behavior of the maximum
likelihood estimator. They present a step toward their vision.
These contributive articles are based on presentations at the
Pioneering Workshop on Extreme Value and Distribution Theories in
Honor of Professor Masaaki Sibuya held at the Institute of Statistical
Mathematics (ISM), Tokyo, Japan from March 21–23, 2019. This
workshop was sponsored by Kanazawa University and the ISM and co-

10. sponsored by the Advanced Innovation powered by the Mathematics
Platform and Japanese Society of Applied Statistics. This workshop and
the editing process for this volume were inancially supported by the
KAKENHI grant (18H00835). The editors very much appreciate the
generous support from these sponsors. Also their thanks are due to
people who cooperated in bringing this work to fruition. Particularly,
the reliability and accuracy of the information herein were made
possible due to the generosity of many esteemed anonymous
reviewers.
Last but not least, the editors would like to express their sincere
gratitude to Professor Sibuya for his decades of mentorship to them.
Nobuaki Hoshino
Shuhei Mano
Takaaki Shimura
Tokyo, Japan
August 2020

11. Contents
1 Gibbs Base Random Partitions
Masaaki Sibuya
2 Asymptotic and Approximate Discrete Distributions for the
Length of the Ewens Sampling Formula
Hajime Yamato
3 Error Bounds for the Normal Approximation to the Length of a
Ewens Partition
Koji Tsukuda
4 Distribution of Number of Levels in an -Speciied Random
Permutation
James C. Fu
5 Properties of General Systems of Orthogonal Polynomials with a
Symmetric Matrix Argument
Yasuko Chikuse
6 A Characterization of Jeffreys’ Prior with Its Implications to
Likelihood Inference
Takemi Yanagimoto and Toshio Ohnishi

12. (1)

© The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Singapore Pte Ltd. 2020
N. Hoshino et al. (eds.), Pioneering Works on Distribution Theory, SpringerBriefs in
Statistics
https://doi.org/10.1007/978-981-15-9663-6_1
1. Gibbs Base Random Partitions
Masaaki Sibuya
1
Keio University, 3-14-1 Hiyoshi, Kohoku-ku, Yokohama-
shi Kanagawa, 223-8522, Japan

Masaaki Sibuya
Email: [email protected]
Abstract
As a typical family of random partitions on , the set of partitions of
n into k parts, the conditional distribution of Pitman’s random partition,
termed as the Gibbs base random partition, GBRP , is investigated.
The set is a lattice with respect to majorization partial order with
unique minimum and maximum, and GBRP has TP2 with respect to
this order. The main purpose of this paper is to study such a family of
random partitions and the inference on its parameter.
KeywordsA-hypergeometric distributions – Distribution functions on
a majorization order poset – Ewens-Pitman sampling formula – Part-
block representation of partitions – Random partitions of n into k parts
– Total order using TP2
1.1 Introduction
The Ewens-Pitman sampling formula, EPSF , recalled in §1.2.1, is
now the representative of parametric families of random partitions,

13. which is applied successfully to the wide range of ields. Its special case,
the Ewens sampling formula, EPSF , is its origin and characterized
in many ways, because of speci?ic features. The parameter space of
EPSF is divided into three regions, (i) the main region,
; (ii) the degenerate region,
; (iii) the Ewens sampling formula,
, the border between (i) and (ii). Hence, it is natural to question
whether an observed partition comes from the Ewens sampling
formula or not. This is the main motivation of the present paper. For
this purpose, note that given the number of parts, the conditional
partition is independent of . We refer the conditional partition as the
Gibbs base random partition, GBRP , which is formally de?ined in
§1.2.3. To obtain the better understanding of EPSF, the study of GBRP
may be helpful as a complement of EPSF . This is the other
motivation for the present research.
The set of all partitions of n into k parts, , or its union
is partially ordered by majorization, and they are
lattices with unique maximum and minimum partitions. Along with the
majorization order, the probability mass function (pmf) of partitions of
GBRP is TP2, and it changes smoothly on . Unexpectedly,
is not a special parameter value in GBRP except for that some
expressions are simple at .
Concerning EPSF, the recent survey by Crane [3] with discussions is
highly recommended. See also text books by Feng [5] and Pitman [15]
and the preceding survey by Tavaré and Ewens [21]. Random partitions
on are called microcanonical distributions in physics, and the
speci?ic role of GBRP within the Gibbs random partitions is shown by
Gnedin and Pitman [8].

14. In the statistical theory, the concept of partial order is not popular.
Among some of the works dealing with partially ordered sets (posets), a
typical subject is the measure of agreement between two types of
posets; see [16]. Another typical subject is the concept of partial
quantile de?ining the quantile of the random variable in the general
poset; see [2]. Since we are concerned with the parametric family of
probability distributions on inite posets, our approach is different from
theirs.
Although the current topic on random partitions is Bayesian
nonparametric statistics (see, e.g., [6] or [7]), the present paper is
classical and elementary, and numerical calculations and visualizations
are devised. A more profound study, regarding GBRP as an A-
hypergeometric distribution de?ined by Takayama et al. [20] was done
by Mano [13].
In the remaining part of introduction, the partition of a number and
the majorization order of partitions are reviewed in short. In Sect. 1.2,
the properties of GBRP , including the parameter estimation related
to [13], are studied. In Sect. 1.3 the tests of hypotheses on are
studied, and problems in numerical computations are discussed. In
Appendix, lower adjacency in GBRP, the majorization order of integer
vectors, and partial order in GBRP are brie?ly discussed.
1.1.1 Partitions of a Number
Let denote the set of positive integers. If and
, the set is a
partition of n, expressed as . The elements ’s are called parts
(clusters, blocks, or species). If , is equivalent
to . Its three expressions are speci?ied as follows. The irst
expression is descending order statistics (dos):

15. Its visualization, the Ferrers diagram (or the Young diagram), is a layout
of n squares in k lush left rows with lengths . The second
expression is the size index (the terminology proposed by Sibuya [18]
for the size of parts):
The third one is a combination of the above two or the list of part-
blocks:
which is the reversed sequence of the classical expression
and usual observation records.
For example, the three expressions of an example partition, and a
corresponding Ferrers diagram with part-block frames are shown
below.
These three expressions will be liberally used to denote a partition.
Hereinafter, letters n, k, and b are used exclusively in the above sense
throughout the present paper. The set of partitions of n into k parts is
denoted by . Further, , . and
are called partition numbers.

16. Proposition 1.1The minimum number of part-blocks in is
or 2. If , there is a partition of one block: .
Otherwise, there are a number of partitions of .
The maximum number of part-blocks in is as follows.
If , then . Otherwise, is the solution of
.
Proof(of the maximum part) It is easy to see, iff .
Discard the leftmost column of the Ferrers diagram, that is, subtract
one from all parts. Then (squares) must be allocated into
parts. The above inequlity, being applied to the pair
, implies that, if , then .
The minimum satisfying , say , provides
. In other words, .
Figure 1.1 illustrates the maximum number of part-blocks of partitions
in . The maximum number in is approximately .
Proposition 1.1 is intended to check the ef?iciency of part-block-wise

17. operations compared to part-wise operations when n and k are large.
An example is the function genpart(n, k, m) given in the next paragraph.
The depth of recursive calls is substantially reduced.
Fig. 1.1Maximum number of part-blocks of partitions in
The partitions of are totally (or linearly) ordered by the reverse
lexicographical order. For example, if , in dos expression,
In this paper, the priority is given to the order of k, and within ,
partitions are ordered by the reverse lexicographical order (rlg order).
For example, in ,
(1.1)

18. A way for generating all partitions of is the recursive call of the
function genpart(n, k, m), with . The function generates
all partitions of whose maximum size of parts is restricted by m.
The result is ordered like (1.1). A useful total order, which is speci?ic to
GBRP, is introduced in §1.3.1.
A well-known partial order for , ,
is de?ined by
Note that implies
Geometrically, the Ferrers diagram of is included in that of .
For any two elements and of the partially ordered set (POS)
, two binary operators and are de?ined as follows,
regarding them as the in?inite sequence with zeros tail.

19. The operator denotes union, and denotes meet, of the Ferrers
diagrams. For any , there exist uniquely and .
Hence is a lattice, and called the Young lattice.
1.1.2 Majorization Order of Partitions
The Young lattice is strong and orders partitions of different n, whereas
we are interested in weaker order for comparison within or .
The majorization order (or dominance order) for
and in is de?ined by
Example
. The layout is increasing rightward and upward.
Note that and . This example is too simple, and the
layout is misleading. For larger n, even restricted to , partitions
cannot be arranged on a plane grid.
Binary operators and are de?ined within , that is;

20. Proposition 1.2For any , there exist unique and
within . Hence, is a lattice.
ProofIf or , the proposition is trivial. In general,
it is proven constructively. Let the cumulative sum of dos expressions
be denoted as , , , then and
are increasing and concave functions in j, and
, is also increasing and concave. Hence,
is positive, decreasing, , and .
Next, let , , and
is not always decreasing, so let d be the
rearrangement of in decreasing order. Since d is the minimum of
concave majorants of and , .
Since , , the cumulative
sum of dos, is another expression of partitions.
There exist unique lower and upper limits in :
Note that both limits have two or one part-blocks.
Proposition 1.2 is extended to the fact that is a lattice.
Further, in ,
and are lower and upper limits, respectively. is its
special case where and are limits.
The theory of the majorization order is an important and
established principle. All aspects of this theory are covered in Marshall

21. et al. [14]. See a paragraph in Appendix.
Proposition 1.3The majorization order implies both
lexicographical order and reverse lexicographical order (rlg), ,
(1.1), in and .
ProofIf , , which means that for
some , . Hence .
1.1.3 Adjacency
To see iner structures in POS , we de?ine a relation , is
smaller than and adjacent to (or ), if
For examining the majorization order structure in (or ), we
need to identify the upper or larger adjacent partitions of each partition
of (or ). For this purpose, make a part-block less equal; take an
element of a part-block, and move it to another part of the same part-
block, otherwise, if the part-block consists of a single part, move it to a
larger part. According to the choice of a part-block, the change can be
one of the following two moves:
(A)
Move to an upper partition of .
(B)
Move from the partitions of to a partition of .
We can consider a dual way: (C) Move to a lower partition of ,
and (D) Move from the partitions of to a partition of . These

22. moves are summarized in Table 1.10 in Appendix.
Further details are as follows. The remarked part-block will be
denoted by .
A1. Condition and .
Take an element of a part-block such that and
, and put it into another part of the same part-block. The result of this
move is classi?ied further as follows:
a.
If and ,
b.
If and ,
c.
If and ,
In these results, if , the middle part-block disappears. The
symbol denotes unchanged part-blocks, and denotes generic
part-blocks affected by as explained later.
In A1, the case of and is excluded. In this situation,
move an element of to the upper block , and the
result will be
However, this result can be obtained through two moves. First, apply
move A1 to to obtain

23. Second, move an element of to the upper part-block. Hence, the
above move does not result in adjacent partition, provided that
, which is a necessary condition in the above two move
argument. Hence, the last possible situation is
A2. Condition and .
In this speci?ic situation? an element of can be moved into
.
a.
If , the irst two part-blocks are involved, and the result is
b.
Generally, if and , two part-blocks are involved,
and the result is similar to the case a.

c.
Finally, if and , three part-blocks are involved,
and the result is

Throughout A1 and A2, the last part-block and should be
remarked. If is the last part-block, namely, , the new last
part-block is . If , the succeeding part-blocks are
unchanged, and if , these will be .

24. Proposition 1.4The change of a partition in to the adjacent
upper partitions in , by the move of an element of a part-block, is
summarized in part A of Table 1.2.
See, as an example, Table 1.1 of adjacency in .
Table 1.1Adjacency in . There are 52 adjacent pairs. Partitions are
arranged from the lower to the upper. In 1(136) etc., the parenthesized is the rlg
order in
Let , be the size index expression of . The
result of Move A1 and A2 of is simple in this expression:
(1.2)
(1.3)
If , which is the case excluded from case A, a part of the last part-
block disappears, and the partition changes from to . The

25. details are similar to case A. Remark that means that the part-
block is the last one, so that , that is, the number of part-blocks of
the partition.
B1. Condition and .
Take an element of the part-block such that , and put
it into another part of the same part-block.
a.
If , the partition has only one part-block that and
changes to

b.
If and , the last part-block changes to
c.
If and , it follows that
Table 1.2Classi?ication of the upward transforms from a partition
. The type of part-blocks, from which one element is to be taken
out, is classi?ied. A: within , B: from to

26. B2. Condition and .
Note that if , as in Case A2, adjacent upper partitions are
possible only if . The last part-block is (1, 1), and its element is
moved to the upper adjacent part-blocks.
a.
If and , the new partition is
b.
If and , the new last part-block is
c.If and , the new last part-block is

27. Proposition 1.5The change of a partition in to the adjacent
upper partitions in , by the move of an element of a part-block, is
summarized in part B of Table 1.2.
In the size index expression of , the results of Move B1 and B2 of are
as follows:
Its implication is out of the scope of the present paper.
Upper set generation
Given , we construct its upper set
. All partitions will be expressed in dos, or equivalently, in a cumulative
sum of dos sequence. Let denote the maximum partition of
, or of . That is, , and
where , and represents the
component-wise comparison. The cumulative sum of a partition of
is shown as an increasing concave polygonal line limited by those
of and . Figure 1.2 illustrates of of an
example that , where and in .
See also Table 1.1 of adjacency in .

28. Fig. 1.2Cumulative sum expression of partitions of
First, we describe the outline of the algorithm for generating an
upper set. In Fig. 1.2, all lines connecting and are
such that . From these candidates, we select
the increasing and concave lines:
The problem here is how to avoid redundant works and save memory.
The output of the algorithm is a matrix, whose columns are
cumulative sums of , combined in rlg order. We construct
the matrix starting from its bottom, matrix [n], moving up row by
row and thereby, increasing the number of columns.
Algorithm for . If has a part-block , the last c segments
of broken lines are reduced to one straight line:

29. . We start from a matrix :
The procedure for constructing from is as
follows.
The candidates to append to subsequences (columns) are
. Append the vector of to
as the top row; check the new columns whether they are
strictly increasing and concave, and delete inadequate columns. Thus,
the columns of are reduced to, say, . Next, append the vector
of to as the top row, and delete inadequate columns.
Repeat this procedure up to , and join the matrices column-
wise to obtain .
If is obtained, the inal procedure is to append the row vector of
zeros on the top of , and check the concavity. Reduced is the
cumulative sum expression of .
Moving to the next , the matrix is reduced at
each step for eficiency. If is decreasing or convex,

30. cannot be strictly increasing or concave.
A numerical example for of Fig. 1.2 is provided as follows:
The construction of lower sets is a conjugate procedure. If
, , and the procedure is another way for
constructing , with the duplicate adjacency information .
Alternative af?irmation of adjacency
The relation can be easily checked, and the other way to
af?irm adjacency in should be considered. Let
, be a sequence of partitions in rlg order. Let
M be a logical matrix with the (i, j) element
Hence, T (true) elements are restricted to the lower triangle of M, and
the diagonal elements are trivially T.

31. Here, the purpose is to construct the logical matrix with the
(i, j) element
from M. The procedure goes downwards and by rows. In the i-th row of
M, is the upper set of , and from
these partitions, delete upper partitions of recorded temporarily in
, the j-th row of . Going through , is
determined accordingly. Formally, the procedure is described below:
Algorithm.
for
set ,
for
if , for all such as , set
set
1.2 Gibbs Base Random Partitions
1.2.1 The Ewens-Pitman Sampling Formula
The Ewens-Pitman sampling formula, EPSF , or simply, the Pitman
random partition is de?ined by
(1.4)
where

32. and s is the size index expression of a partition. The generalized
factorial product (x|c) includes the usual descending factorial product
, the ascending factorial product , and the power
. Its parameter space is
On the boundary that , , and on the
boundary that , . In the following, these
degenerated random partitions will be neglected.
A special case,
is the Ewens sampling formula. Another special case,
is the symmetric negative hypergeometric distribution.
The number of parts
Let be the size index of a random partition in .
is the number of parts, and ,
referred to as EPSF-K , satis?ies the forward equation:

33. and
(1.5)
where is the exponential generalized Stirling numbers; see,
e.g., [19]. See also the discussion following the de?inition of GBRP in
§1.2.3.
For the Ewens sampling formula, K is a suf?icient statistics, and
Conditional distribution on
The conditional probability,
the ratio of (1.4) to (1.5), is independent of and equals to (1.6), the
Gibbs base random partition deined in §1.2.3.
1.2.2 Probability Measure on
Stochastic orders on lattice
Three elemental stochastic orders, usual, hazard rate (reverse
hazard rate), and likelihood ratio, and their implications are well
known. See, e.g., [17]. Here, they are described in terms of the discrete
partially ordered set with the lattice structure, with unique

34. minimum and maximum. Let , and denote the distribution
function (df), the survival function (sf), and the pmf, respectively, of a
random quantity X on a lattice . Those of Y are similarly denoted.
The usual stochastic order, , is de?ined by
The hazard rate order, , is de?ined by
Its dual order, reverse hazard rate order, , is de?ined by
The likelihood ratio order, , is de?ined by
( by convention). That is,
The order implies and , and each of these
implies . These comparisons are applied to the monotonicity of
a parametric family of random partitions.
Distribution function and survival function on
Let , a lower set of , be the set of the partitions of that
are lower than . The upper set is similarly de?ined?
A probability measure P on is de?ined by a probability mass
function , and

35. are the distribution function and the survival function, respectively, of
or . The relationship between them is
As a special case of the previous paragraph, implies that
and are nondecreasing.
An example is illustrated in §1.2.3. The notions can be extended to a
partial order set in general.
1.2.3 Gibbs Base Random Partitions
The Gibbs base random partition is the conditional random partition of
the Ewens-Pitman sampling formula, EPSF , on . Using size
index expression,
(1.6)
See (1.4) for the notations. In particular,
Note that , a special case of EPSF, is a random
partition with parameter only. Hence, its relation with GBRP is
concerned.

36. Hence
(1.7)
This polynomial identity in is another deinition of .
Moments of the size index
Let be the size index of GBRP on . The
joint factorial moments are
(1.8)
where
Especially,

37. Note that, if , the r.h.s. of is not but .
1.3 Testing Statistical Hypotheses on
1.3.1 Properties of GBRP
First, we investigate the pmf of GBRP as a function of .
Proposition 1.6The pmf of the maximum () partition of is
increasing in , while that of the minimum () is decreasing. Such a
partition increasing near is unique in . If there is another
partition with a decreasing pmf, those in its lower set are decreasing. In
this sense, there is a lower set with decreasing pmfs. Hence, the
maximum likelihood estimate does not exist for these tail partitions. It
is anticipated that the pmf of a partition between () the two tail sets
is unimodal.
ProofFirst, the largest partition is shown to be increasing. Denote the
pmf of a partition as . For any ,
. This is a polynomial of with
degree ; the same for all . Since

38. is strictly increasing in , and
, , is strictly increasing
. Hence,
is decreasing. Similarly, the minimum partition of is shown
decreasing.
Next, such a partition as is unique in .
Because of (1.5) or (1.6), is a polynomial in of degree
with single root , and the other real roots are larger than 1.
Moreover, has the factor (size index expression),
and
The last condition is satisied only by .
If the pmf of a partition is decreasing, according to Theorem 1.1
below, it is straightforward that partitions smaller than it has a
decreasing pmf. The existence of a partition with a monotone pmf other
than or and the unimodality of other pmfs are open problems.
The fact that the mle does not exist at the tails of is shown
asymptotically by Mano (see Fig. 5. 3 of [13]). Proposition 1.6 is an
elemental justiication of his result.
Table 1.3 provides a small numerical example of the likelihood and
monotone tail partitions. In the "likelihood" rows, and mean that

39. likelihood is decreasing or increasing, respectively, while the numbers
represent the maximum likelihood estimates.
Table 1.3Monotone and unimodal pmf of . In the rows of mle,
and show that the likelihood is decreasing and increasing, respectively
The majorization order of partitions in is as follows. The
partitions are increasing upward and rightward:
The pmf of the partitions of is illustrated in Fig. 1.3, and the
corresponding sf and df are illustrated in Fig. 1.4. The abscissa of these
?igures is in a total order , which will be introduced in Paragraph
Total order and visualization. The ordinate of Fig. 1.3 is in reverse
lexicographical order, - rlg.

40. Fig. 1.3Probability mass functions of GBRP on . The
area of gray squares is proportional to a pmf. Segments show the adjacency of
partitions. The leftmost lowest square represents , and the rightmost highest
one does . Upper: ; Lower:

41. Fig. 1.4Distribution functions and survival functions of GBRP, . The top
line: df for ; the bottom line: df for and sf for .
Vertical broken lines show
Let denote the pmf of GBRP.
Theorem 1.1The pmf , is totally positive with
degree 2, TP2:
(1.9)
is increasing in .

42. Exploring the Variety of Random
Documents with Different Content

43. Mutta samassa lisää hän seuraavat häntä ylen kuvaavat sanat:
"Mutta olkoon kuitenkin sanottu, ett'en rakenna minä onneani
semmoiselle pohjalle enkä minä koskaan tahdo tulla affäärimieheksi
tavallisessa merkityksessä. Olen jo näinä kahtena kuukautena
tuntenut ja kokenut, kuinka sielua ja sydäntä tappavaa tämä rahan
perään ahertaminen semmoisenaan on: minua inhottaa ajatella
kaikkia niitä likalätäköitä, jotka ovat rahamiesten tiellä ja kuinka
helppoa on niihin joskus kiireessä tai harmissa astua ja askeleensa
pilata. Minä katsonkin koko tätä juttua vaan ameriikkalaiseksi
yritykseksi, joka saakoon onnistua tai olla onnistumatta: minua ei
kumpainenkaan tapaus tule sen suuremmin liikuttamaan, vaikkakin
minä hartaasti toivon ja siitä toivosta iloitsen, että minä ainakin parin
vuoden päästä olen saava mahdollisuutta ja tilaisuutta antautua koko
sielullani ja koko sillä sydämmellä, minkä olen onnistunut siihen
mennessä puhtaana säilyttää, siihen harrastukseen, mikä on minulle
kaikesta kallein, nimittäin elämän kysymysten ratkaisemiseen. — Ei
missään ole iloa niin paljon tarjolla kuin elämän totisuudessa."
Voisi jo edeltäpäin sanoa, että ken sellaisilla tarkoituksilla antautuu
affäärimieheksi Ameriikassa, hän ei pitkältäkään potki niiden rinnalla,
joiden tarkoitukset ovat enemmän sopusoinnussa maan tapojen ja
tarkoitusten kanssa. Siitä on Soldaninkin maito-affääri hyvä
esimerkki, niinkuin vielä tulemme näkemään.
* * * * *
Niinkuin jo on mainittu, ajatteli hän tehdessään sopimusta
maitoasiasta jotain poissaoloa New-Yorkista, sill'aikaa kun muut
maidon valmistamistehdasta hoitaisivat. Samaan aikaan eli
huhtikuussa 1852, kun hän puuhasi keksintönsä kanssa, oli hän
saanut tarjouksen toimeen, joka häntä kovasti houkutteli. Professori

44. Henry D. Rogers, Pennsylvanian valtion geoloogisten tutkimusten
johtaja, tarjosi näet — R. Smithin suosituksen johdosta ja nähtyään
hänen piirustuksensa edellisen kesän jalkamatkalta — Soldanille
assistentin paikan palveluksessaan. Ehdot olivat hyvät, 700-800
dollaria vuodessa ja työtä tulisi kestämään parikin vuotta. Hänen
tehtävänään tulisi olemaan profiilien tekeminen kivihiilikerroksista ja
geoloogisten karttain piirtäminen, luonnosten ottaminen geologisesti
merkillisistä ryhmistä ja paikoista, sekä myöskin tavallisten
maanmittaustöiden toimittaminen — siis toimi, johon hän jo
upseerina ollessaan oli perehtynyt. Se häntä myöskin viehätti, että
pääsisi tutkimaan käytännössäkin geologiaa, johon hän oli Agazzisin
luentojen kautta saanut uutta harrastusta. Suurimpana vetovoimana
oli ehkä kuitenkin se, että hän pääsi maalle ja liikkumaan metsissä ja
siten vahvistamaan terveyttään, joka aina tuontuostakin juonitteli.
Kaikellaista oli hän kyllä jo ehtinyt kokeakin niinä puolena kolmatta
vuotena, jotka oli ollut Ameriikassa: olla opettajana yhdessä
poikakoulussa, yhdessä tyttökoulussa, yhdessä yliopistossa, olla
kotiopettajana ja lopuksi tehdä huomattavan keksinnön ja panna sitä
varten kokonaisen tehtaankin käymään. Väliaikoina hoiti hän vielä
lukujaankin ja mietti yhä samoja suuria kysymyksiään, josta kaikesta
muistokirjat ja kirjeet todistavat. Eivätkä olleet Euroopan politiikka ja
kotimaan kysymyksetkään kadonneet kokonaan näköpiiristä. Niihin
kiinnitti hänen huomiotaan Kossuthin tulo Ameriikkaan. Unkarilainen
patriootti oli loppupuolella vuotta 1851 saapunut New-Yorkiin
koettaakseen innostuttaa ameriikkalaisia maansa asiain hyväksi. Hän
otettiin vastaan suurilla mielenosoituksilla, joissa Soldankin oli läsnä
ja joista hän mainitsee päiväkirjassaan ja eräässä kirjeessään,
piirustaapa hänen unkarilaisen lakkinsakin, jolla hän tervehti
riemuitsevaa kansaa: "Mieliala on yleisesti hänen puolellaan", —
kirjoittaa hän — "vaikka jesuiittain ja rahamiesten lehdet

45. kirjoittavatkin häntä vastaan. Hän uneksuu ohimennen sanoen
myöskin skandinavialaisesta aatteesta ja toivoo jotain Suomellekin,
tai on ainakin sitä tekevinään. — — 10 p:nä joulukuuta 1851 piti
kaupunki suuret päivälliset Kossuthin kunniaksi — ja nyt piti hän
tuon suuren, ihanan maailmaa tärisyttävän puheensa, jossa hän
kehoittaa Ameriikkaa muuttamaan tyhmää politiikkaansa."
Ei Ameriikka kuitenkaan muuttanut politiikkaansa eikä sekaantunut
Euroopan asioihin, jotka siellä olivat Soldanin mielestä yhtä tyhmästi
Unkarissa kuin muuallakin. "Totta tosiaan", kirjoittaa hän, "on
maailma nyt taas kurjalla kannalla. Kaikki hyvät kärsivät ja vääryys
rahoittaa. — — En voi kieltää, että innostukseni ajan merkkeihin on
melkoisesti jähtynyt — ja minä miltei iloitsen (harmissani) siitä, että
'setäni varjo' (Louis Napoleon) tehtiin kuninkaaksi Pariisissa. Onhan
sentään hauskaa sekin, kun on nähnyt omin silmin ja läheltä
maailmanhistoriaa luotavan. Mutta muuhun täytyy paremmat ajat
perustaa eikä barrikaadeihin."
Tätä pessimismiä lisäsivät vielä hänen Suomesta saamansa tiedot.
Nikolain hallitusjärjestelmä oli siellä kehittynyt huippuunsa. "Kotka
hioo kynsiään. — Suomea eivät saa kirjoittaa muut kuin
asianomaiset (teologiaa ja ekonomiaa — minun pitää jouduttaa
hiukan teologiaa saadakseni sen painetuksi suomenkielellä!)" — —
Ja kun veli Kalle on kirjoittanut ei saaneensa lupaa matkustaa
ulkomaille opinnoitaan jatkamaan, päättää Soldan sen tapahtuneen
hänen tähtensä ja lisää ivallisesti: "Hermoheikko pelkää rottaa,
vaikkakin hän on hävytön tai näyttää karskilta; kipinää ajetaan
välistä takaa paloruiskulla" — joissa sanoissa ei ole lausuttu sattuvaa
arvostelua ainoastaan Nikolai I:n aikuisesta politiikasta.

46. Harvoin lienee Suomen kansan kohtalo ollut toivottomampi kuin
vuoden 1850:n vaiheilla. Mutta sinne, tuohon murjottuun maahan,
jossa vapaus tuikki kuin kynttilä umpilyhdyssä, oli kuitenkin hänen
ainainen halunsa maasta, jossa vapaus loimona liekehti. Vaan yhä
kauvemmas siitä vei hänen tiensä, vei vaan yhä lännemmäksi, eikä
palauksen aamukoita edes sarastanutkaan idän ilmoilta, ei hänelle
eikä hänen maalleenkaan.

47. 13.
Pennsylvanian hiilimailla.
Tamaquassa. — Luonnon helmassa. — Henry ja Benjamin Kline. —
"Toinen Paganini." — Bostonissa. — Jatkuvia maanmittaustöitä. —
Filadelfiassa.
Kesäkuussa v. 1852 on Soldan — heitettyään kaikki kemialliset
kaupunkilaispuuhansa — jo täydessä toimessa ulkona luonnon
helmassa. Hänen tehtävänään on kartoittaa sekä topograafisesti että
geoloogisesti kivihiiliseutuja Pottsvillen ja Mauch Chunkin kaupunkien
välillä Pennsylvanian valtiossa ja ottaa selkoa siitä, missä hiiltä
löytyy. Tästä toimestaan on hän tehnyt hauskaa selkoa kotiinsa
kirjoittamissaan kirjeissä, joihin hän tapansa mukaan on piirtänyt
karttoja ja kuvia. Mistään päiväkirjasta fiiosoofisine mietteineen ei
nyt ole jälkeäkään olemassa, sen tekemiseen kun ei nyt tietysti ollut
aikaa. Sen sijaan on piirustusvihko, joka kauvan on ollut
unohduksissa, taas otettu esille.
Ensimmäinen Soldanin metsäkauden kirjeistä on päivätty 20 p:nä
heinäkuuta Tamaquan pikkukaupungissa Pennsylvaniassa. Siinä
selvittää hän äidilleen ja sisarilleen maanmuodostusopin alkeita, eri
maakerrosten niinkuin kivihiili-, hieta-, kivi-, stukki- y.m. kerrosten
muodostuksia niissä seuduissa, joissa hän työskentelee. Sitten
puhuu hän kaivoksista ja miten niissä työskennellään ja antaa
lopuksi valaisevan kuvauksen siitä, kuinka kivihiiltä kuletetaan
kaivoksista lastaus- ja ulosvientipaikkoihin Pottsvillessä ja Mauch

48. Chunkissa, Se tapahtuu siten, että vaunut suurimman osan matkasta
kulkevat omasta painostaan ja että niitä vaan muutamissa
penkereissä autetaan ylös nostokoneilla.
Tässä keskellä vuorista metsämaata työskenteli hän nyt mitä
ihanimman luonnon helmassa. Kukkuloilta, jotka kaikki kasvoivat
metsää: kastanjaa, tammea, myöskin kuusta ja petäjää ja
laakeripuuta, on joskus mitä ihanimpia näköaloja sinisine harjuineen.
Ilma on mainio, sää enimmäkseen kaunis. Millaista hänen elämänsä
tuossa ympäristössä on, siitä antaa toinen kirje (Dauphinista, 7 p:nä
marraskuuta 1852) selvän ja mitä miellyttävimmän kuvan. Annan
hänen itsensä taas pitemmältä puhua:
"Tätä kirjoitan minä Dauphinin pikkukaupungissa, lähellä
Susquehannah-jokea, 8 engl, peninkulmaa Harrisburgista, joka on
Pennsylvanian pääkaupunki. Viime kirjeessäni piirustin jonkunlaisen
kartan seudusta, jossa oleskelin. Olen sittemmin joustanut paljoa
pitemmälle. Dauphin on Pottsvillen hiilipiirin äärimmäisessä,
läntisessä osassa, noin 70 peninkulmaa Mauch Chunkista, josta
alotin työni keväällä. 70 peninkulmaa on pitkä matka, kun sitä
samoilee ja risteilee minun tavallani. Jos olisin pannut kaikki kesäiset
askeleeni yhteen linjaan, niin ulottuisi se Lissabonista sinne
Kuopioon, luulen ma, eli kuinka paljon tekee 15-20 virstaa päivässä
seitsemän kuukauden aikana. En ole tietysti voinut muuta kuin
edistyä terveydessä, voimassa ja reippaudessa. En ollut juuri
ollenkaan uupunut iltasin ja kuitenkin on paljoa raskaampaa tunkea
ja kiivetä läpi metsäin ja pensastoiden, yli mäkien ja poikki laaksojen
kuin marssia avonaisella maantiellä. Antaakseni mammalleni nyt
kuvan elämästäni, niin olivat päiväni melkein tämänkaltaiset":

49. "Nukuin makeinta untani jossain jonkun pikkukaupungin hotellissa.
(Usein näin mammaa unissani, aina terveenä ja rauhallisena omana
mammanani). Suuri 'porokello' soi rappusissa kello 1/2 7 tai niissä
seuduin. Silloin alettiin kai kaikissa vuoteissa käännähdellä ja
alkuasukkaat — niin arvelen — hyppäsivät kohta ulos. Puolta tuntia
myöhemmin kutsui kello taas aamiaiselle. Silloin olin jo minäkin siksi
valpastunut, että olin — ainoastaan 10 minuuttia myöhemmin kuin
muut — aamiaispöydässä, jossa tavallisesti tarjottiin kahvia, teetä,
lämpimiä lettuja, munapiirakkaa, pihviä ja omena- ja persikkaseosta
— potaatit unohdin — mutta viime aikoina en koskaan unohtanut
panna mukaan — mutta niistä toisessa paikassa. Nyt seurasi sikari,
tuo valitettavasti unohtamaton — ja niin kauvan kun sitä kesti,
tehtiin valmistuksia päivän retkeä varten. Emäntä sai panna leipää ja
lihaa ja juustoa ja kurkkuja läkkirasiaani ja maitoa toiseen
pienempään — ja ne sijoitettiin nahkalaukkuun ynnä niiden kanssa
— mutta niistä toiste. Kaksi nuorta poikaa, Henry ja Benjamin Kline,
saksalaista sukuperää, oli minulla uskollisina aseenkantajina, ketjun
ja kontin kantajina. He olivat aina valmiit, minäkin jotakuinkin
ajoissa. Nuori Mr. Poole, urkujen rakentaja, kuului viime kuukausina
pieneen retkikuntani, tehden kuitenkin enemmän kotityötä."
"Klo 8 ja 9:n välillä lähdimme me liikkeelle. Allekirjoittanut oli
puettu lyhyeen keltasen harmaaseen kesätakkiin, olki- tai
huopahattuun, varsisaappaihin, kupeellani rakas Leipzigin
markkinoilta ostettu mainio, nyt vanhuudesta jo ruskettunut
nahkalaukku, ja kädessä piirustuslauta keppineen. Välistä marssittiin
englannin peninkulma, välistä kaksi tai kolmekin työpaikalle. Minä
määräsin suunnan. 'Norr 16 Vest!' esimerkiksi. Henry Kline asetti
kompassin paikoilleen, määräsi pisteen ja tuo vikkelä,
hyväluontoinen Ben alkoi nyt vetää ketjua Henryn komennon
mukaan — läpi risujen ja pensaiden, miten milloinkin sattui —

50. sill'aikaa kun minä kulin ympäri sekä itään että länteen lukien
askeleitani ja sihtaillen pienellä kompassillani. Sillä tavoin tultiin
esim. harjun selälle. Poikain oli määrä odottaa minua siellä. Noin
puolen tunnin kuluttua kuului hoilaamista metsästä. Kuka se oli?
Minä. Vastaus kuului: 'More east!' [Enemmän itäänpäin!], sillä Henry
tiesi aikoja sitten, että minä toisella korvallani en voinut erottaa
äänen suuntaa. Nyt olin kohta heidän luonaan ja määräsin
asianhaarain mukaan uuden suunnan — mutta aina niin, että me
päivällisen aikaan joutuisimme johonkin laaksoon, jossa olisi puronen
ruokaviineineen. Vasta syksymmällä, kun päivät alkoivat jäähtyä,
tapahtui päivällisen syönti näin: Ben, joka kantoi kirvestä ja melkein
yhtämittaa hyräili Carneval de Venise'ä tai jotain muuta minun
kappalettani, hakkasi puut, sittenkun ensin oli siivonnut paikan
noista tavattoman tiheistä laakeripensaista ja muista köynnöksistä,
joita laaksot täällä ovat täynnä. Minä Henryn kanssa keräsin sill'aikaa
kaatuneita puita, ja ennen pitkää hulmusi hauska kokko puron
varrella — aivan niinkuin meillä — niin, ja nyt vasta tulivat potaatit
esiin, paistettaviksi ja roviolla poltettaviksi. Entä suola? Se unohtui -
ensi kerralla — mutta sitten oli minulla aina suolaa liivintaskussa.
Eräänä semmoisena hetkenä 25 p:nä heinäkuuta avasin minä
paksun kirjepakan kotoa, jonka olin saanut juuri lähtiessämme
aamulla majapaikasta. Tulta ei meillä sillä kertaa ollut, mutta ihana
ja laaja näköala lähteen partaalta korkealla vuoren harjulla.
Lepäsimme tuolla tavoin noin puolen tuntia siksi, kunnes minua alkoi
nukuttaa loikoessani siinä keveä ilmatyyny pääni alla; silloin herätin
Henryn ja hän Benin ja nyt jatkoimme samoilemistamme läpi risujen
ja pensastoiden, hoilaten, mitaten ja piirustaen, — kunnes noin 6 tai
7:n aikana palasimme suorinta tietä entiseen hotelliimme tai
johonkin uuteen muutamia peninkulmia vanhasta, jonne
matkakapineemme y.m. oli jo ennen lähetetty dilisanssilla tai

51. höyryvaunulla. — Illallinen oli valmis ja me myöskin valmiit sitä
nauttimaan. — Puolen tunnin kuluttua alkoivat jalat tuntua jotenkin
väsyneiltä — mutta tavallisesti olin minä vielä siksi virkeä, että
jaksoin avata viululaatikkoni ja — 'give us a tone' — antaakseni
konsertin ruokasalissa tai avonaisessa vieras- ja tarjoiluhuoneessa;
ja silloin oli minulla aina onni nähdä parvi vuori- ja muita miehiä
tunkevan sisään. Yleensä eivät he pitäneet musiikistani; vähä väliä
sain minä kuulla peittelemättömiä ja naiiveja arvosteluja siitä; mutta
siitä, että minä olin toinen Paganini taitavuuteen nähden, olivat he
kaikki yhtä mieltä. Jos satuin olemaan hyvällä tuulella soitellakseni
etupäässä heidän huvikseen, niin soitin semmoisia kappaleita kuin
'I'm coming from Alabama' tai jonkun Värmlannin polskan, ja silloin
oli kaikki hyvin. Ja kyllä siinä on koko joukko tervettä järkeä
tuollaisessa ma'ussa; 'tone' (ääni) on heistä sävel, ja sellaista
tahtovat he kuulla, mutta juonikkaita variatsiooneja ja monimutkaisia
italialaisia kappaleita jos jonkinlaisista uvertyyreistä eivät he
ymmärrä ja ne ovat heistä ikäviä. Näkyy olevankin niin, että
yksinkertainen ja luonnollinen sisältörikkaampi musiikki on aivan
hukkunut ja kadonnut kaikellaisten variatsionisotkujen taa. —
Kuitenkin tuotti minulle sanomatonta iloa tehdä heille seuraava pila.
Kun halusin päästä joskus hyvinkin sekalaisesta kuulijakunnastani,
niin aloin soittaa — Ernstin elegiaa. En ehtinyt vielä puoleenkaan,
kun näin heidän solahtavan kadulle toinen toisensa jälestä samalla
hiljaisella ja kursailemattomalla tavalla kuin olivat tulleetkin. Ja
kuitenkin sanoo Porter, yksi niistä harvoista tuttavistani, jotka
kernaasti tahtovat kuulla tätä ihanaa kappaletta, että minä nyt soitan
sen verrattomasti paremmin (omasta mielestäni kylläkin kurjasti)
kuin ennen muinoin Giessenissä. Mutta kello on 9, on aika mennä
levolle, ja kun minä hetken kuluttua nukun makeasti — niin on
päiväni lopussa. — Tällä retkellä tekemäni kartta peittää — yli 200

52. engl. neliöpeninkulmaa; paikan voi helposti löytää jokaisesta
suuremmasta Yhdysvaltain kartasta. Piirustin tähän ylimalkaisen
kartan, jossa viime kesänä 'kartoittamani' alue on merkitty
harmaalla. Vähän pohjoisempana on vielä muitakin hiilimaita, ne
saavat olla siellä ensi kesään, jolloin minä uudistunein voimin ja
lisääntyneellä taidolla toivon saavani nekin selville. Mutta eikö ole
merkillistä, ett'ei sellaista topograafista karttaa kuin minun, joka on
Euroopassa niin tavallinen ja joka tarkkaan näyttää jokaisen mutkan
maan pinnassa, vielä ole koskaan ennen tehty tässä maassa, paitse
muutamista kaistaleista meren rannalla. Niin, harvoin tapaa jonkun,
joka edes ymmärtää semmoista karttaa, vaikka se valmiina
asetettaisiin hänen nenänsä alle. — — — Tahdon vielä lisätä, että
mamman hyvät kirjeet, jotka kirjoitettiin joulukuussa kaksi vuotta
sitten, saapuivat perille viime kesänä. Eivät näy kirjeet hukkuvan, on
kuin seuraisi niitä kallis siunaus. Mamma kutsui kirjettä kyyhkyseksi,
ne ovat ja ansaitsevat olla jonkinlaisia pyhiä kyyhkysiä — ainakin niin
kauvan kun ne ovat viattomia. —"
— — "Olen tyytyväinen tähän uuteen elämänuraani. Enhän tosin
voi olla aivan innostunut tähän alinomaiseen samoilemiseen, mutta
minä ajattelin ja ajattelen vieläkin, että tarvitsin tätä puhaltaakseni
uutta elämää ja uusia voimia itseeni. Toimeentuloni on hyvä kyllä
eikä mikään estä minua parantamasta sitä vastaisuudessa. Ei täällä
ole työn puutetta sille, joka tahtoo ja voi tehdä sitä. Ja minä
viisastun vuosi vuodelta sikäli, että opin antamaan arvoa työn
merkitykselle ja kunnialle. Elämäni oli toki liiaksi haaveellista ennen.
Totinen elämä ei lopulta kuitenkaan ime voimaansa usvaisista
unelmista, — vaan tarvitsee tunkea juurensa elävään todellisuuteen.
Olen tyytyväinen, sisällisesti oikein onnellinen sen johdosta, miten
asiat ovat kehittyneet. En luule, että olisin voinut saada
sopusointuun sairaloisesti levotonta ja intoilevaa henkeäni — ell'en

53. olisi tuona merkillisenä hetkenä syöksynyt myrskyiseen mereen: ei
se ainakaan olisi tapahtunut ajoissa. Tekoni kautta onnistui minun
saada aika odottamaan itseäni, Matti-Myöhäistä; ja minä toivon —
olevani pelastettu. — Toisaalta ei haaveilu ollut ainoastaan unta, ei
ainoastaan harhaluuloa; siinä oli paljon, vaikkakin vääristynyttä
todellisuutta, ainakin sen verran kuin tarvitaan sen terveellisen
tasapainon saavuttamiseksi, joka oli kerran tuleva. Elämä on minulle
kallis ja pyhä vielä ja on semmoisena pysyvä, ihmiselämä nimittäin."
—
Lopetettuaan kartoittamistyönsä Pottsvillen kaivosseudussa siirtyi
Soldan talveksi Bostoniin valmistaakseen ne kartat, joihin hän oli
tehnyt mittauksia kesän kuluessa. Mitä hän muuta siellä toimitti, siitä
ei ole mitään muistiinpanoja säilynyt. Että hän taas oli päässyt
rakkaaseen filosofiaansa, sitä todistavat hänen muistikirjassaan
tavattavat mietteet. Suurin osa ajasta näyttää kuitenkin kuluneen
karttatyöhön.
Seuraavana kevännä (1853) on hän taas samoilla seuduilla kuin
edellisenäkin ja samoissa toimissa, yhä Rogersin palveluksessa, jolta
hän ystävänsä Smithin toimesta nyt lienee saanut hiukan paremman
palkan kuin edellisenä vuonna. Rogers oli näet tietysti niinkuin
melkein kaikki muutkin ameriikkalaiset, joiden kanssa Soldan tuli
asioihin, koettanut käyttää hänen hyväntahtoisuuttaan edukseen
sälyttämällä hänen niskoilleen työtä enemmän kuin oli sovittukaan.
Smith kehoittaa Soldania tekemään kirjallista kontrahtia — millä
menestyksellä, ei käy selville.
Oltuaan ensin kolme viikkoa Schylkill-joen lähellä olevan
Phoenixvillen lyijy- ja kuparikaivosseudussa, valmisti hän siitä kartan,
joka heti valmistuttuaan sai kunnian joutua suureen New-Yorkin

54. kristallipalatsissa olleeseen näyttelyyn. Työskenneltyään Hatzletonin
hiiliseudussa yhden kuukauden siirtyi hän Susquehannah-joen
varrella olevaan Vilkesbarreen, jossa mitä ihanimman luonnon
helmassa viipyi heinäkuusta lokakuuhun.
Kun kartoittamistyö siellä oli loppunut, vei Soldan joukkonsa,
johon paitse ennen mainituita Henry ja Benjamin Klineä kuului vielä
kaksi muuta apulaista ja yksi hevonen, aution seudun läpi
Haztletonista Cliftonin kylään, jossa hän heistä erosi. Cliftonissa
piirusti hän vielä joukon maisemaluonnoksia geoloogista kertomusta
varten mittaamistaan seuduista ja matkusti sitten lokakuun lopussa
(1853) Filadelfiaan ja sieltä New-Yorkiin.
Hän oli päättänyt jättää maanmittaustyön, osaksi siitä syystä, että
oli sen vaivaloisuuksiin kyllästynyt, osaksi sen vuoksi, että työn
paljous oli estänyt häntä omistamasta mitään aikaa geologisiin
tutkimuksiin puhtaasti tieteelliseltä kannalta, niinkuin oli toivonut. Ja
vilkas ja vaihteleva kun oli, väikkyi hänen mielessään jo taas halu
henkisiin harrastuksiin ja muihin toimiin, jotka pitäisivät sydämmen
ja sielun reippaina ja eloisina.
Sillä se oli tuo henkinen, aatteellinen puoli elämästä, jota hän aina
koki hoitaa ja vaalia. Halu siihen pakotti hänet muuttamaan suuntaa,
niinpiankun joku alotettu ura uhkasi viedä — rahapajaan. Siihen,
aineellisiin etuihin, olisi topograafin toimikin ehdottomasti vienyt, sillä
kilpailu kenen muun kanssa tahansa silläkin alalla olisi hänelle ollut
ylen helppo. Ystävät, etupäässä Smith, eivät lakanneet puhaltamasta
tuulta purjeisiin, niinpiankun hän ne levitti, mutta Soldanin
elämänpurren peräsimessä oli toiset voimat.

55. 14.
Viimeiset vuodet Ameriikassa.
Tohtori Enderlinin perheessä New-Yorkissa. — Myy
maitopatenttinsa. — Kesän vietto George-järvellä. — "The Geology
of Pennsylvania." — Asettuu Pottsvilleen. — Naimapuuhia. —
Aarniometsissä. — Saa kutsun palata Suomeen. — Loppuvaikutus
Ameriikasta.
Marraskuussa 1853 saapui Soldan New-Yorkiin ja asettui asumaan
entiseen paikkaansa Enderlinillä, nauttien kauvan kaivatuista
mukavuuksista ystävällisen perheen helmassa. Hänen päätyönään
talven kuluessa oli karttain piirustaminen kesällä tehtyjen
piirustusten mukaan ja sivutöikseen sai hän tekemistä
maitopatenttinsa kanssa.
Niinkuin on jo mainittu, oli se hänen lähtiessään
maanmittaustöihin Pennsylvaniaan jäänyt sille kannalle, että Harris &
Blatchford hoitaisivat tehdasta ja valmistaisivat tavaraa luovuttamalla
neljännen osan voitosta keksijälle. Voittoa ei kuitenkaan liene tullut
sanottavasti jaettavaksi, koska tuli puhe yhtiön liikkeen
lakkauttamisesta. Sopimuksen nojalla, joka sisälsi pykälän siitä, että
patentti siirtyisi takaisin Soldanille, ell'ei yhtiö voisi sitä hyväkseen
käyttää, alkoi hän etsiä uusia yhtiömiehiä. Syy ei näet ollut
keksinnössä, vaan sen käyttäjissä. Blatchfordin johtama tehdas ei
ollut voinut panna käytäntöön mitä vaadittiin ja niin oli tuote tullut
huonoa. Soldan huomasi kyllä vian, mutta kun hänellä oli ollut
rettelöitä ja ikävyyksiä yhtiömiestensä kanssa, ei hän suostunut sitä
ilmaisemaan, ennenkun suhde oli uudesta järjestetty. Monien
keskustelujen ja sovittelujen jälkeen ratkaistiin asia viimein siten,

56. että entinen yhtiö lakkasi ja Soldan möi koko keksintönsä entisille
yhtiömiehilleen. Summa, minkä hän siitä sai, oli 4,000 dollaria.
Kauppasopimus sisälsi muun ohessa sitoumuksen, ett'ei Soldan
millään tavalla toimisi maidon valmistamisen alalla, niin kauvan kun
keksintö olisi ostajain tai heidän oikeudenomistajainsa hallussa.
Se oli siis Soldanin hyöty keksinnöstä, josta myöhemmin lienee
kehittynyt miljoonaliike. Paitse sitä, että hän oli siihen uhrannut aikaa
parisen vuotta, oli hänellä ollut suoranaisia kustannuksiakin kokeiden
teosta, patentin hankkimisesta y.m. Myöhemmin näkyy hän
kauppojaan katuneen ja arvelee kerran eräässä muistiinpanossaan
Suomeen palattuaan, että hänestä minä päivänä tahansa voisi tulia
rikas mies, jos keksintö vielä olisi hänen käytettävänään.
Myydessään piti hän kuitenkin kauppaa edullisena ja oli iloinen
siitä, että saamansa rahat — suuri summa kyllä hänen siihenastisiin
pääomiinsa nähden — sallivat hänen maksaa vanhat velkansa ja elää
joitakuita vuosia leipähuolista vapaana. Ruotsalaiset ystävät, Langell,
Hedlund y.m. saivat nyt takaisin sen vähän, mikä heiltä oli liiennyt
Soldanin Ameriikkaan lähtiessä. Silloin hänelle myöskin pisti päähän
suorittaa velkansa Venäjän valtiolle ja aikoi hän jo lähteä viemään
sitä Venäjän lähettiläälle Washingtoniin, kun Smith sai hänet tästä
tuumasta luopumaan, arvatenkin sillä syyliä, että rahat, jos ne, mikä
ei ollut luultavaa, otettaisiinkin vastaan, eivät varmaankaan kilahtaisi
sen kirstun pohjaan, jonne olivat aijotut.
Innostuneena tästä hyvästä tuloksesta ja kun hän nyt rahakkaana
miehenä voi käyttää aikaansa mihin tahtoi, ryhtyi Soldan miettimään
uusia keksintöjä. Koko talven 1854 teki hän kokeita koneita varten,
joiden avulla voisi valmistaa muitakin säilykkeitä kuin kuivattua
maitoa. Kokeissaan hän näkyy joutuneenkin niin pitkälle, että sai

57. patentin jonkinlaiselle kuivauskoneelle, jonka avulla voisi säilyttää
m.m. hedelmiä. Keksintö ei kuitenkaan näy oikein onnistuneen,
koska se jäi siihen, sittenkun se varmaankin oli niellyt sievosia
summia. Keksijällä oli näet työssään kaksi apulaistakin, eräs
ruotsalainen Svederus ja toinen muuan merimies Fonselius Oulusta,
joka oli karannut laivastaan ja joutunut suureen puutteeseen,
kunnes Soldan otti häntä auttaakseen. Näistä keksinnöistään sanoo
hän eräässä kirjeessään: "Tein yrityksen ameriikkalaisella tavalla
vuolla kultaa veitsellä vielä kerran, mutta en onnistunut. Tuo ala on
liika epävarma rehelliselle muukalaiselle." Sen jälkeen ei hän enää
esiinnykään tällä alalla ja päättyy sankarimme keksijäkausi tähän.
Olkoon kuitenkin vielä mainittu, että hän muistiinpanojensa mukaan
sanoo 16 p:nä helmikuuta 1857 keksineensä konkaavin peilin
määrätyn pinnan valaisemista varten ja (17 p. maalisk. 1857)
työskennelleensä Niagarapumpun keksimiseksi. Myöskin sanoo hän
keksineensä keinon matkia tähtien loistetta — mitä ne kaikki sitten
lienevät olleetkaan.
Kesän tultua pudisti hän kaupungin pölyn jaloistaan ja lähti taas
hengittämään raitista maaseudun ilmaa, ei kuitenkaan työmiehenä,
vaan huvimatkailijana. Hän suuntasi kulkunsa ihanan, Cooperin
romaaneista kuuluisan George-järven rannalle ja vietti siellä
hauskoja hetkiä, niinkuin ennen Ringerikessä. Hänen ystävänsä
Porter, joka asui Providencessa ja jota Soldan tuontuostakin tapasi,
tuli häntä sinne tervehtimään. "Me haaveilimme yhdessä,
soutelimme, uimme, kalastimme, piirustelimme ja makasimme pari
yötä järven rannalla Norrovsissa." Omiksi huvikseen mittaili Soldan
järven rantoja ja maita sen ympärillä ja valmisti sitten seudusta
matkailijakartan, johon on liitetty muutamia historiallisia tietojakin
George-järven ympärillä tapahtuneista taisteluista sataluvulla. Kartan
piirsi hän itse kiveen ja julkaisi sen omalla kustannuksellaan,

58. myytäväksi m.m. George-järven laivoilla, mutta ei näy sekään affääri
liioin leiville lyöneen.
Toinenkin kartta Ameriikassa kantaa Soldanin tai oikeastaan
Dalsonin nimeä. Se on Rogersin johdolla tehty suuri ja komea
geolooginen ja topograafinen kartta Pennsylvanian kivihiilimaista ja
mainitaan sen valmistamisessa apuna olleiden kolmen topografisen
assistentin joukossa myöskin A. Dalson. Sitä paitse piirsi hän tämän
erinomaisen hienon, paljotöisen ja monivärisen kartan siihen
lopulliseen kuntoon, josta se sitten kivelle siirrettynä ilmestyi
painosta v. 1858. Tämä hänen suuri työnsä, josta hän itse vaan
ohimennen puhuu, sai ansaitun kiitoslauseen sen suuren teoksen
esipuheessa, jonka Rogers julkaisi karttaa selvittäväksi tekstiksi.
Tässä teoksessa, jonka nimi on "The Geology of Pennsylvania
Governament Surrey, by Henry Darvin Rogers, State geologista" ja
jota ilmestyi kaksi jättiläisnidosta yhteensä 2,000 sivulla, on useita
piirroksia Soldanilta. Ei ole siis vähäinen se osa, joka tällä kaukaisen,
pienen Suomen pojalla oli tällä erikoisalalla suuren lännen
viljelykselle voittamisessa.
Keskipaikoilla syyskuuta palasi Soldan taas New-Yorkiin, jonne hän
joutui juuri ystävänsä tohtori Enderlinin hautajaisiin. Perheenisän
kuoltuakin jäi hän perheeseen ja asui lesken luona vuoden loppuun.
Tämä aika näkyy olleen huoletonta ja onnellista ja kulutti hän sen,
yhä kapitalistina eläen, harjoitellen lempitöitään lueskelemista,
maalausta, kokeilemista, soittoa ja filosoofista mietiskelyä.
Alkupuolella vuotta 1855 Enderlinin leski kuitenkin palasi takaisin
Eurooppaan ja kun Soldan silloin kadotti tämän kotinsa, jätti hänkin
markkinatouhuisen New-Yorkin ja asettui Pottsvilleen, joka oli kaunis
vuorikaupunki ja seutu muutenkin hänelle tuttu edellisten vuosien

59. maanmittaustöistä. Hän avasi siellä oman liikkeensä, joka tapahtui
hänen oman kertomuksensa mukaan seuraavalla tavalla: hän
maalasi kyltin, jossa oli hänen nimensä ja tiedonanto siitä, että hän
oli vuori- ja siviili-insinööri, naulasi kyltin ovensa päälle, ja niin oli
hän valmis. Toverina tässä toimessa, jossa hän muuten oli oma
herransa, oli hänellä ennen mainittu mr. Poole, joka oli ollut hänen
apunaan maanmittaustöissä v. 1853. Poole oli hänkin keksijä, oli
rakentanut jonkunlaiset yksiharmooniset urut. He ajattelivat samalla
tavalla elämän pääkysymyksissä, ymmärsivät toisensa hyvin ja
näkyivät viihtyneen toistensa seurassa. Heillä oli oma pieni talonsa
puutarhoineen, oli neekeripoika palvelijana ja kaiken tämän
komeuden huippuna — oma hevonen. Pottsville oli sitten Soldanin
pääkortteerina siksi, kunnes hän lähti Ameriikasta.
Työtä näyttää ilmaantuneen runsaasti, sillä puute tietopuolisesti
sivistyneistä insinööreistä oli siihen aikaan tavattoman suuri
Ameriikassa. Hänen taitoaan käyttivät varsinkin rautatieyhtiöt uusia
linjoja tutkittaessa, toisin ajoin toimitti hän geoloogisia tutkimuksia ja
suoritti nämä tehtävänsä niin hyvin, että Smithin mielestä, erään
hänen kirjeensä mukaan, Soldanille tarjottaisiin suuria summia, jos
hänen taitojensa perille kerran oikein päästäisiin. Soldanilla itsellään
ei niistä kuitenkaan ollut suurta iloa, ne kun estivät häntä hänen
filosoofisissa mietteissään ja kun hän niitä teki pääasiassa vaan
terveydellisistä syistä, saadakseen olla ulko-ilmassa.
Kesällä v. 1855 oli Soldanilla pieni sisällinen taistelu kestettävänä,
ratkaistavana vielä kerran kysymys siitä, olisiko hänen ainiaksi
sidottava itsensä Ameriikkaan lemmen siteillä. Tytön nimi oli Clara
Chapman, erään farmarin tytär, hyvä ja kaunis. Soldan oli tutustunut
häneen jo Concordessa ollessaan v. 1851, jossa Clara kävi miss Elan
koulua ja oli Soldanin oppilas. Sittemmin työskenteli miss Chapman

60. eräässä puuvillatehtaassa Lovellissa, jossa Soldan miss Elan
kehoituksesta kävi häntä tapaamassa v. 1854, uudistaen tuttavuutta
ja sopien kirjeenvaihdosta. Kirjeenvaihto jatkui sitten heinäkuuhun
1855, jolloin Soldan, yhä haaveksien kotimaahan palaamista, joka
naimisten kautta olisi käynyt mahdottomaksi, kirjoitti
jäähyväiskirjeen ja kun siitä oli seurauksena kutsumus Clara
Chapmannin vanhempain luo, vähän päästä toisen vielä selvemmän.
Mitään rakkautta ei vielä ollut kummallakaan puolella herännyt.
"Tytöllä oli kuitenkin minua kohtaan ystävällisiä tunteita ja miss Elan
arvelujen mukaan — hiukan muutakin. — — Surullista ja
raskasmielistä on, muutamia terveitä väliaikoja lukuunottamatta,
elämäni sen jälkeen ollut — niinkuin sitä ennenkin", kirjoittaa hän
päiväkirjassaan tätä asiaa muistellessaan.
Tuo ainainen raskasmielisyys se häntä painamistaan painoi ja
kirjeet samoin kuin päiväkirjakin käyvät niin niukoiksi, että niistä
vuosilta 1855-56 on tuskin mitään jälkeä. Se on koti-ikävä, joka
häntä vaivaa ja käy päivä päivältä yhä raskaammaksi kantaa. Halu
palata kotimaahan saa uutta virikettä, kun olot siellä ovat sikäli
muuttuneet, että tämä monivuotinen unelma ei ehkä olisi ollut aivan
mahdoton toteuttaa. Keisari Nikolai on kuollut ja uusi aika alkanut
sarastaa myöskin siihen nähden, että useat muut maanpakolaiset
ovat armahdusjulistuksen nojalla voineet palata kotimaahan. Soldan
auttaa yhtä heistä, Fonseliusta, käyttämään hyväkseen
armoplakaattia, mutta jättää sen omasta kohdastaan käyttämättä.
Hän ei mielestään kelpaa sen saamiseen.
Ja ikäänkuin koettaisi hän välimatkaa isänmaahansa pitentämällä
saada kaipaustaankin sinne kuoleutumaan, painuu hän yhä
syvemmälle Ameriikan erämaihin. Se kuitenkin vaan lisää hänen koti-
ikäväänsä. Kesällä 1856 on hän Mc Keanissa pohjoisessa

61. Pennsylvaniassa ja kirjoittaa sieltä heinäkuun 25 p:nä kirjeen
Arvidsonilie tehden siinä selkoa oloistaan ja asemastaan:
"Nyt on kulunut seitsemän vuotta siitä, kun tulin Ameriikkaan, ja
tämän suuren tasavallan kansalainen olen ollut jo aikoja sitten;
pitäisihän siis alkaa jo koteutua. Mutta tämä 'most glorious country
in the world' [kaikkein mainioin paikka maan päällä] polttaa päivä
päivältä vaan yhä kuumemmin jalkapohjiani. Se on koti-ikävä, ja
samalla henkisen ravinnon puute, joka lamauttaa minua yhä
enemmän. Välttämättömyys rehellisellä tavalla saada kokoon
tarpeellisia varoja ja niiden avulla koettaa vielä yhtä uutta elämän
vaihetta — pusertaa voimaa minuun ja minä teen työtä. Mitä
hedelmiä se kantanee, sen saa tulevaisuus osoittaa."
Samassa kirjeessä lisää hän vielä, että hänen olisi hauska nähdä,
mitä Snellman on uudelleen alkamassaan Litteraturbladetissa
kirjoittanut kahtena viime vuotena. Tämän sanoo hän kuitenkin
olevan vaan uteliaisuutta, sillä hänen omat filosoofiset tuumansa
ovat ruostuneet ja homehtuneet. Ja lieneekö se jonkunlainen
ajatuksen yhteys Snellmannin mainitsemisen johdosta, joka tuopi
hänen kynäänsä huokauksen: "Tässä on kaikkien surujeni raskain
kohta: mies, joka ei neljänkymmenen vanhana ole mitään
toimittanut, ei ole koskaan enään mitään saava aikaan."
Jotain hyötyä hän kuitenkin koettaa hänkin kuvailla tekevänsä,
jotain aatteellista sisältöä elämälleen hankkia. Hän työskentelee
täällä metsissään raa'assa, uudessa ja harvaan asutussa maassa.
Hänestä on hauskaa olla vaikuttamassa sen kehitykseen ja hän
koettaa katsoa tointansa yleisinhimilliseltäkin kannalta. "Luonto
hänen ympärillään" — näin kuvaa hän sitä eräässä kirjeessä Smithille
v. 1856 — "on suuri ja kaunis, valkoisia miehiä rientää sinne

62. paikkoihin, joilla on intiaanien antamat nimet, intiaanien, jotka äsken
vielä vaelsivat siinä jousineen ja nuolineen. Rauta ja kivihiili, nuo
sivistyksen kulmakivet, odottavat vaan uudisasukkaita. Ja yksi niistä
olen minä, joka juuri olen aikeessa ruveta porarautoineni
hakkaamaan, avaamaan suonia, joista rikkaudet virtaavat ulos."
Mutta samassa lisää hän taas, että hän kaikessa tässä on edistynyt
niin pitkälle, että hänen elämänsä on vararikko ja että hän on niin
kovettunut ja välinpitämätön, ett'ei hänen tee mieli edes toivoakaan,
että joku noista saatavina olevista sadoista tuhansista tynnyrinaloista
maata olisi hänen omansa.
Ei niistä! Niistä hän ei välitä, mutta on muualla, merien takana,
toisella puolella maanpallon, maa samanlainen vuorineen,
erämaineen, korpineen, jota hän ei saa mielestään ja jota haaveksii
hirsituvissa asuessaan, nuotion ääressä levätessään ja siinä välihin
viuluaankin soittaessaan, ympärillään honkain humina ja suojana
vaan kaarnainen katto. Ja kerran loihtii hän eteensä ihanan
unelman: hän matkustaa Haaparantaan, jossa toisella puolen joen,
Torniossa, hänen veljensä on lääkärinä, sisaret ja äiti, tuo 78-vuotias,
mutta vielä reipas vanhus, tulevat myöskin sinne ja he viettävät
juhannusyön Aavasaksalla. Hän tahtoo ainakin katsoa luvattuun
maahan, joskaan ei voi sinne päästä.
Mutta juuri silloin kun hänen kotikaipauksensa on korkeimmillaan,
saa hän yhtäkkiä Pennsylvanian erämaahan Mc Keanin metsiin
tiedon siitä, että hänen on sallittu palata isänmaahansa. Eikä vaan
sallittu, vaan häntä vielä kutsutaankin tulemaan, isänmaa odottaa.
Syksyllä 1856 saa hän näet kirjeen veljeltään, että Suomen
kenraalikuvernööri Berg lähettää terveisiä ja kutsuu häntä
rakentamaan rautateitä Suomessa.