pert 4 - matriks lanjutan-aljabarlinier.pdf

matriks identitas, eselon, balikan, transpose

1. Pert 4
OperasiMatriks
Matakuliah: Aljabar Linier

2. Sumber:
Howard Anton & Chris Rores, Elementary Linear Algebra

3. •Perkalian matriks dapat dipandang sebagai kombinasi linier
•Misalkan:
maka
Kombinasi Linier Matriks

4. •Contoh: perkalian matriks
dapat ditulis sebagai kombinasi linier

5. •Contoh lain: perkalian matriks
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

6. •Transpose matriks, B = A
T
b
ji = a
iji = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n
•Algoritma transpose matriks:
for i1 to m do
for j1 to n do
b
ji  a
ij
end for
end for
Transpose Matriks

8. •Untuk matriks persegi A berukuran n x n, transpose matriks A dapat
diperoleh dengan mempertukarkan elemen yang simetri dengan
diagonal utama:

9. •Sifat-sifat transpose matriks

10. Sifat-sifat Operasi Aritmetika Matriks

11. •Matriks nol: matriks yang seluruh elemennya bernilai nol
•Matriks nol dilambangkan dengan 0
•Sifat-sifat matriks nol:
Matriks Nol

12. Matriks Identitas
•Matriks identitas: matriks persegi yang semua elemen bernilai 1 pada
diagonal utamanya dan bernilai 0 pada posisi lainnya.
•Matriks identitas disimbolkan dengan I

13. •Perkalian matriks identitas dengan sembarang matriks menghasilkan
matriks itu sendiri:
AI = IA = A

14. Matriks Balikan
•Matriks balikan (inverse) dari sebuah matriks A adalah matriks B
sedemikian sehingga
AB = BA = I
•Kita katakan A dan B merupakan balikan matriks satu sama lain
•Contoh: Misalkan
maka

15. •Balikan matriks A disimbolkan dengan A
–1
•Sifat: AA
–1 = A
–1A = I
•Untuk matriks A berukuran 2 x 2, maka A
–1 dihitung sebagai berikut:
dengan syarat ad – bc  0
•Nilai ad – bc disebut determinan. Jika ad – bc = 0 maka matriks A tidak memiliki
balikan (not invertible), matriks A dinamakan matriks singular.
•Untuk matriks berukuran n x n sembarang, balikan matriks dihitung dengan
metode yang akan dibahas di dalam kuliah Algeo ini.

16. •Contoh:
Tidak memiliki balikan, sebab (-1)(-6) – (3)(2) = 0

17. Matriks Eselon Baris
•Matriks eselon baris (row echelon form) adalah matriks yang memiliki
1 utama (leading one) pada setiap baris, kecuali baris yang seluruhnya
nol.
•Berbentuk:


0 0 1 *

0 0 0 1
0 0 0 0
1 * * *
 
 
10

0 1 *

0
1 * *
 

0

0

0

0
*

0 1
0 0
0 0

0
0 1 * * *
0
0
0
dst
Keterangan: * adalah sembarang nilai

18. Sifat-sifat matriks eselon baris:
1.Jika sebuah baris tidak terdiri dari selurunya nol, maka bilangan tidak
nol pertama di dalam baris tersebut adalah 1 (disebut 1 utama)
2.Jika ada baris yang seluruhnya nol, maka semua baris itu
dikumpulkan pada bagian bawah matriks.
3.Di dalam dua baris berturutan yang tidak seluruhnya nol, maka 1
utama pada baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan
daripada 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

19. •Contoh-contoh matriks eselon baris:
•Bukan matriks eselon baris:
•Ciri-ciri matriks eselon baris: memiliki semua nilai nol di bawah 1 utama
 
0

0

1

0
0

1
1 3 0 2 0
0 2 2
0 0 0
0 0 0

1

0
0

0
1 2 3
0
0
 
30
2

0
2 3 4

1

0

0

 
1


00 0


0 0

 
1


0


0
12712001260000

015

010

001−10

000


00 0 0
Mengapa?

20. Matriks Eselon Baris Tereduksi
•Matriks eselon baris tereduksi (reduce row echelon) berbentuk:
•Ciri-ciri: memiliki semua nilai nol di bawah dan di atas 1 utama
 
0

0

1

0
0

0
0
0

0
1 * 0 0
1
0
0
 
0

0

*

0
*

0
0 1 0 0 *
0 1 0
0 0 1
0 0 0
atau
dst

21. Sifat-sifat matriks eselon baris tereduksi:
1.
2.
3.
4. Setiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki nol di tempat
lain.


sama dengan sifat matriks eselon



22. •Contoh-contoh matriks eselon baris tereduksi:

1

0
0

0
1 0 0
1
0


0
7

1 0

0 1 −1


0
1 0 0 4 


•Bukan matriks eselon baris tereduksi:
0

0
1
0
− 2
0
0
1
1
3


0

0
0
0
0
0
0
0
0
0


0 0
0 0
 
0

0

1
0
0 1 0

0

0
3

8


0

0
1 0 0 5

0 1

1 0
Mengapa?


0
0

0
0
0
1− 201
0013


0000
000

1


23. Latihan 1
1. Dari sejumlah matriks di bawah ini, tentukan mana yang matriks eselon baris,
eselon baris tereduksi, keduanya, atau bukan sama sekali.
Jawaban:
(a)Keduanya (eselon baris dan
eselon baris tereduksi)
(b)Keduanya
(c)Keduanya
(d)Keduanya
(e)Keduanya
(f)Keduanya
(g)Matriks eselon baris

24. Latihan 2
1. Dari sejumlah matriks di bawah ini, tentukan mana yang matriks eselon baris,
eselon baris tereduksi, keduanya, atau bukan sama sekali.