Pertemuan Geometri Transformasi Tentang Fungsi

Pada bagian ini membahas tentang fungsi dan keterkaitannya pada geometri transformasi sebagai sarana perkuliahan pertemuan ke 3

1. Geometri Transformasi Pertemuan 3: - Fungsi dan Transformasi Muhammad Zia Alghar, S.Mat ., M.Pd Kamis , 11 September 2025

2. Apa itu Relasi ? Sebelum kita masuk ke fungsi , kita review sejenak

3. Definisi Relasi ( Dengan Pasangan Terurut dan Hasil Kali Kartesius ) Definisi Relasi II Misalkan dan adalah dua himpunan tak kosong , Relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan sebagai himpunan bagian dari hasil kali kartesius himpunan dan . Artinya   Misalnya: dan Maka Maka Boleh juga   Contoh 1.2.b

4. Istilah Penting Pada Relasi Peta, Pra Peta, Domain, Kodomain dan Range Misalkan relasi dari himpunan ke . Apabila , maka peta dari oleh relasi yaitu semua sehingga . Apabila , maka prapeta dari oleh relasi yaitu semua sehingga Domain adalah himpunan yang berisi anggota yang punya pasangan . Kodomain adalah himpunan target yang berisi semua anggota . Range adalah himpunan anggota yang menjadi hasil pasangan .  

5. Apa itu Fungsi ?

6. Fungsi Definisi 1.7 - Fungsi Suatu relasi dari himpunan ke himpunan disebut fungsi dari ke jika dan hanya jika untuk setiap ada tunggal sehingga . Dengan kata lain tunggal sehingga .   Jika suatu dipetakan oleh ke suatu maka dikatakan adalah peta dari oleh atau adalah prapeta dari oleh , dan secara matematis ditulis sebagai . Domain dari adalah himpunan , sedangkan Range dari adalah setiap sehingga .  

7. Fungsi Manakah yang merupakan fungsi ? a)   b) ,   c) ,  

8. Jenis-Jenis Fungsi

9. Fungsi Definisi 1.8 - Fungsi Kepada ( Surjektif ) Misalkan fungsi dari himpunan ke himpunan . Fungsi ini disebut fungsi kepada jika dan hanya jika setiap ada sehingga .   Diantara contoh tadi , mana yang merupakan fungsi kepada ? a) b) , c) ,  

10. Fungsi Definisi 1.9 - Fungsi Satu- satu ( Injektif ) Misalkan fungsi dari himpunan ke himpunan . fungsi ini disebut fungsi satu-satu dari ke jika dan hanya jika untuk setiap , maka   Berikan contoh satu fungsi satu-satu (one to one)

11. Fungsi Teorema 1.1   Misalkan fungsi dari ke . Pernyataan maka ekuivalen dengan pernyataan sehingga maka .   Bukti: Andaikan berlaku pernyataan pertama , maka …*). Misalkan pernyataan kedua kita anggap salah, yaitu jika maka tidak berlaku , artinya ada sehingga maka . Berdasarkan *) kalau maka . Hal ini menunjukkan terjadinya kontradiksi dengan pernyataan bahwa sehingga maka bernilai salah. Sehingga pernyataan sehingga maka bernilai benar . ii) Andaikan berlaku pernyataan kedua sehingga maka . Kita andaikan lagi bahwa pernyataan pertama maka tidak berlaku . Artinya maka Berdasarkan pernyataan kedua yang berlaku telah kita ketahui bahwa , jika ) maka . Hal ini bertentangan dengan pernyataan : , maka . Sehingga pengandaian bahwa , maka bernilai salah. Artinya maka bernilai benar .  

12. Fungsi Teorema 1.2 Fungsi dari himpunan ke himpunan adalah satu-satu jika dan hanya jika sehingga maka   Bukti: Akibat langsung dari teorema 1.1.

13. Fungsi Definisi 1.10 - Fungsi Bijektif Fungsi dari himpunan ke himpunan disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika merupakan fungsi kepada dan fungsi satu-satu .   Diantara contoh sebelumnya , mana yang merupakan fungsi bijektif ? a) b) , c) ,  

14. Transformasi

15. Transformasi Definisi 1.11 - Transformasi Misalkan bidang Euclid. Fungsi dari ke disebut suatu transformasi jika dan hanya jika sebuah fungsi bijektif .   Contoh 1: Misalkan bidang Euclid, dan adalah sebuah titik tertentu pada . Ditetapkan relasi sebagai berikut : , jika Jika dan , dengan merupakan titik tengah ruas garis , maka apakah relasi merupakan suatu transformasi ?   Penyelesaian : Karena yang harus diteliti relasi suatu transformasi atau bukan , maka berdasarkan definisi 1.11 bahwa syarat suatu transformasi harus : suatu fungsi dari ke suatu fungsi bijektif  

16. Transformasi suatu fungsi dari ke Perlu dijelaskan bahwa untuk setiap unsur di juga mempunyai peta dari . Ambil sebarang titik . Karena sudah ada satu titik tertentu di , yaitu , maka terdapat dua kasus . Antara atau . Jika , maka ada titik yang tunggal dan merupakan peta dari sehingga . Jika , maka terdapat yang tunggal , dan setiap memiliki titik tengah ( tunggal ). Karena dan maka . Sehingga untuk setiap , ada yang tunggal , maka merupakan fungsi dari ke . suatu fungsi bijektif , artinya akan dibuktikan bahwa fungsi kepada dan fungsi satu-satu  

17. Transformasi suatu fungsi kepada Ambil sebarang titik , karena di sudah ada satu titik , maka keadaan dan ada dua kasus , yaitu atau . Untuk , berdasarkan ketentuan bagian pertama , mengakibatkan memiliki prapeta yaitu sendiri . Untuk , berdasarkan geometri , ada , dan setiap ruas garis selalu mempunyai titik tengah , misalkan . Jadi merupakan prapeta dari . Jadi untuk , ada sehingga dan titik tengah . Karena setiap mempunyai prapeta oleh fungsi , maka fungsi merupakan fungsi kepada  

18. Transformasi suatu fungsi satu-satu Ambil dua titik sebarang , misalnya , sehingga . Dari keadaan ini maka terdapat kasus yakni . Untuk berakibat , sedangkan berakibat . Sehingga dan . Untuk berakibat , sedangkan berakibat . Sehingga dan . Untuk dan . Misalkan dan , maka dan . Karena maka . Dan karena maka . Karena berarti dan dengan demikian . Jadi dan kolinear . Karena dan kolinear dan dengan titik tengah dan titik tengah , maka .   Jadi, untuk setiap , mendapatkan , maka dikatakan sebagai fungsi satu-satu . Karena fungsi kepada dan satu-satu , maka fungsi bijektif . Dengan demikian , T merupakan suatu Transformasi .  

19. Transformasi Contoh 2: Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari dan titik pusat pada bidang Euclid. Ditetapkan relasi sebagai berikut : Untuk setiap , , sehingga . Apakah suatu transformasi ?   Penyelesaian : Akan dicari bahwa suatu transformasi dari ke . Ambil sebarang titik . Kedudukan titik terhadap lingkaran dan titik pusatnya ada 4 kemungkinan , Yaitu tetapi di dalam lingkaran , pada lingkaran , dan di luar lingkaran . Untuk , misalnya , sehingga tidak terdefinisi . Artinya tak ada sehingga . Hal ini berakibat bahwa apabila , tak ada sehingga . Jadi bukan fungsi dari ke .   Karena syarat pertama dari suatu transformasi sudah tidak dipenuhi , maka disimpulkan bahwa bukan suatu transformasi .  

20. Terima Kasih Apakah Ada Pertanyaan ?