POLINOMIOS INTERPOLADORES

Análisis Numérico, Revista Digital Profesor José Silva

1. Polinomios Interpoladores   De acuerdo al estudio por medio de muestreo y experimentos se busca un polinomio que pase por todos los puntos .   Autor(a): Jessenia Ramos 25.602.547

2. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace , la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger , etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville , vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto . No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville . Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville , y por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios de Hermite . Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas.  

3. Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss   Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados , es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory en : Avance, Retroceso,

4. Gauss: Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias, ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag , es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag . Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas.  

5. Interpolación De Hermite   Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn (x) que sea cúbico en cada subintervalo , y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn (x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.   Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los  splines  que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades: S(x) es polinomio cúbico en . Existen y son continuas en . S(x) interpola a la función f en los datos . S(x) es continua en el intervalo   Interpolación Usando Splines  

6. Polinomio Interpolante de Newton   La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)), ..., ( xn , ƒ( xn )) es : Los coeficientes   ai  se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas. La notación para las diferencias divididas de una función ƒ(x) están dadas por:  

7. Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que  si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange . Esta puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.   Polinomio Interpolante de Lagrange