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Circuitos de corriente alterna trifásicos con ejercicios

1. Redes trifásicas en CA Área de Automatización y Robótica Docente: Mario E. Díaz Navarro ELECTRICIDAD Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS

2. Descripción de la Asignatura Electricidad y Máquinas Eléctricas es una asignatura práctica, presencial, del área formativa de Especialidad, cuyo propósito es desarrollar habilidades para el análisis e implementación de circuitos de control y comando de máquinas eléctricas de corriente alterna monofásica y trifásica. Durante el curso de la asignatura se conocerán los principios del análisis de circuitos en corriente alterna, además de las características constructivas y funcionales de las máquinas eléctricas utilizadas en sistemas de automatización industrial y de sus dispositivos de accionamiento y control de motores de inducción. APRENDIZAJE ESPERADO 2.1 Implementa circuitos trifásicos en régimen permanente sinusoidal, bajo diferentes cargas, trabajando colaborativamente. (Integrada Competencia Genérica Trabajo en Equipo, Nivel 1). CRITERIOS DE EVALUACIÓN 2.1.1 Calcula variables eléctricas considerando montaje de carga en conexión estrella y delta en circuitos equilibrados y desbalanceados. 2.1.2 Realiza mediciones de variables eléctricas en conexión delta y estrella de acuerdo a las características de circuitos equilibrados y desbalanceados. 2.1.3 Determina el triángulo de potencias de una carga trifásica equilibradas y desequilibras, de acuerdo a los resultados de cálculos y/o medición de los circuitos implementados. 2.1.4 Ejecuta corrección del factor de potencia de cargas conectadas en delta y/o en estrella, trabajando colaborativamente con el equipo, considerando los códigos y normas vigentes.

3. INTRODUCCIÓN Un generador de CA diseñado para desarrollar un solo voltaje senoidal por cada rotación del rotor se denomina generador de CA monofásico. Si el número de bobinas sobre el rotor se incrementa de manera específica, el resultado es un generador polifásico de CA, el cual desarrolla más de un voltaje de fase de CA por rotación del rotor. En este Unidad de Aprendizaje será discutido con todo detalle el sistema de tres fases, comúnmente llamado trifásico, ya que es el que más frecuentemente es usado para la transmisión de potencia. En general, para la transmisión de potencia, los sistemas trifásicos son los preferidos sobre los sistemas de una fase, o monofásicos, por muchas razones, incluidas las siguientes: 1. Pueden usarse conductores más delgados para transmitir los mismos kVA al mismo voltaje, lo que reduce la cantidad de cobre requerido (típicamente cerca de 25% menos) y a su vez baja los costos de construcción y mantenimiento. 2. Las líneas más ligeras son más fáciles de instalar, y las estructuras de soporte pueden ser menos masivas y situarse a mayor distancia una de otra. 3. Los equipos y motores trifásicos tienen características preferidas de operación y arranque comparadas con los sistemas monofásicos debido a un flujo más uniforme de potencia al transductor del que puede lograrse con un suministro monofásico. 4. En general, la mayoría de los grandes motores son trifásicos porque son esencialmente de autoarranque y no requieren un diseño especial o circuitería adicional de arranque.

4. EL GENERADOR TRIFÁSICO El generador trifásico de la figura 1 (a) tiene tres bobinas de inducción situadas a 120° entre sí sobre el estator, como se muestra simbólicamente en la figura 1 (b). Dado que las tres bobinas tienen un número igual de vueltas, y cada bobina gira con la misma velocidad angular, el voltaje inducido en cada una tendrá los mismos valores pico e iguales forma y frecuencia. Conforme el rotor del generador gira por la acción de algún medio externo, los voltajes inducidos e AN , e BN y e CN serán generados simultáneamente, como se muestra en la figura 2. Observe el desplazamiento de fase de 120° entre las formas de onda y las similitudes en la apariencia de las tres funciones senoidales.

5. EL GENERADOR TRIFÁSICO En particular, observe que: en cualquier instante, la suma algebraica de los tres voltajes de fase de un generador trifásico es cero.

6. EL GENERADOR TRIFÁSICO Esto se muestra en w t = 0 en la figura 2, donde también resulta evidente que cuando un voltaje inducido es cero, los otros dos voltajes son 86.6% de sus máximos positivos o negativos. Además, cuando dos voltajes cualesquiera son iguales en magnitud y signo (en 0.5Em), el restante voltaje inducido tiene la polaridad opuesta y su valor máximo. La expresión senoidal para cada uno de los voltajes inducidos de la figura 2 es: El diagrama fasorial de los voltajes inducidos se muestra en la figura 3, donde el valor efectivo de cada voltaje se determina mediante:

7. EL GENERADOR TRIFÁSICO Reordenando los fasores como se muestra en la figura 4, y aplicando una ley de vectores que establece que la suma vectorial de cualquier cantidad de vectores trazados de manera que la “cabeza” de uno esté conectada a la “cola” del siguiente y que la cabeza del último vector esté conectada a la cola del primero es cero , podemos concluir que la suma fasorial de los voltajes de fase en un sistema trifásico es cero. Es decir,

8. SISTEMAS TRIFÁSICOS • Por simplicidad, los sistemas de tensiones polifásicos se representan mediante diagramas vectoriales. • A cada una de las tensiones (fase) se representa vectorialmente en un instante, pero son vectores rotatorios en sentido contrario a las agujas del reloj, por convención. • El orden de las fases se denomina secuencia de fases.

9. EL GENERADOR CONECTADO EN Y Si las tres terminales de la figura 1(b) denotadas con N son conectadas entre sí, al generador se le denomina generador trifásico conectado en Y (Figura 5). Como se indica en la figura 5, la Y está invertida por facilidad de notación y claridad. El punto en que todas las terminales están conectadas se denomina punto neutro . Si un conductor no está unido desde este punto hasta la carga, el sistema se denomina generador trifásico de tres alambres conectado en Y . Si el neutro está conectado, el sistema es un generador trifásico de cuatro alambres conectado en Y . La función del neutro será discutida con todo detalle cuando se considere el circuito de carga. Los tres conductores conectados desde A , B y C hasta la carga son llamados líneas . Para el sistema conectado en Y, a partir de la figura 5 debe resultar obvio que la corriente de línea es igual a la corriente de fase para cada fase; es decir, donde f se usa para denotar una cantidad de fase y g es un parámetro del generador.

10. EL GENERADOR CONECTADO EN Y El voltaje de una línea a otra se denomina voltaje de línea . Sobre el diagrama fasorial (Figura 6), es el fasor trazado desde el extremo de una fase a otra en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo indicado en la figura 6 obtenemos:

11. EL GENERADOR CONECTADO EN Y El diagrama fasorial se traza de nuevo para encontrar E AB como se muestra en la figura 7. En vista de que cada voltaje de fase, cuando se invierte ( E NB ), bisectará a los otros dos voltajes, en a = 60°. El ángulo b es de 30° ya que una línea trazada desde extremos opuestos de un rombo divide a la mitad tanto el ángulo de origen como el ángulo opuesto. Las líneas trazadas entre esquinas opuestas de un rombo también se bisectarán entre sí en ángulos rectos. La longitud x es: Tomando en cuenta, a partir del diagrama fasorial, que de E AB = = 30°, el resultado es:  

12. EL GENERADOR CONECTADO EN Y En otras palabras, la magnitud del voltaje de línea de un generador conectado en Y es la raíz de 3 multiplicada por el voltaje de fase: con el ángulo de fase entre cualquier voltaje de línea y el voltaje de fase más cercano a 30°. En notación senoidal,

13. EL GENERADOR CONECTADO EN Y

14. EL GENERADOR CONECTADO EN Y El diagrama fasorial de los voltajes de línea y fase se muestra en la figura 8. Si los fasores que representan los voltajes de línea en la figura 8(a) se reordenan ligeramente, formarán un lazo cerrado [Figura 8(b)]. Por tanto, podemos concluir que la suma de los voltajes de línea es también cero; es decir.

15. SECUENCIA DE FASE (GENERADOR CONECTADO EN Y) La secuencia de fase puede ser determinada por el orden en que los fasores que representan los voltajes de fase pasan por un punto fijo en el diagrama fasorial si los fasores giran en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Por ejemplo, en la figura 9 la secuencia de fase es ABC . Sin embargo, como el punto fijo puede ser seleccionado en cualquier parte sobre el diagrama fasorial, la secuencia también puede escribirse como BCA o CAB . La secuencia de fase es muy importante en la distribución trifásica de potencia. Por ejemplo, en un motor trifásico, si dos voltajes de fase son intercambiados, la secuencia cambiará y la dirección de rotación del motor se invertirá. Otros efectos serán descritos cuando consideremos el sistema trifásico cargado.

16. EL GENERADOR CONECTADO EN Y La secuencia de fase también puede ser descrita en términos de los voltajes de línea . Trazando los voltajes de línea sobre un diagrama fasorial en la figura 10, podemos determinar la secuencia de fase girando de nuevo los fasores en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Sin embargo, en este caso la secuencia puede ser determinada al advertir el orden de los primeros o segundos subíndices. Por ejemplo, en el sistema de la figura 10, la secuencia de fase de los primeros subíndices que pasan el punto P es ABC , y la secuencia de fase de los segundos subíndices es BCA . Pero sabemos que BCA es equivalente a ABC , por lo que la secuencia es la misma para cada uno. Observe que la secuencia de fase es la misma que para los voltajes de fase descritos en la figura 9.

17. EL GENERADOR CONECTADO EN Y Si la secuencia está dada, el diagrama fasorial puede trazarse eligiendo un voltaje de referencia, colocándolo sobre el eje de referencia, y trazando luego los otros voltajes en su posición angular correcta. Por ejemplo, para una secuencia de ACB , podríamos elegir E AB como la referencia [Figura 11(a)] si queremos el diagrama fasorial de los voltajes de línea, o E NA para los voltajes de fase [Figura 11(b)]. Para la secuencia indicada, los diagramas fasoriales serían como los mostrados en la figura 11. En notación fasorial,

18. EL GENERADOR CONECTADO EN Y CON CARGA CONECTADA EN Y Las cargas conectadas a suministros trifásicos son de dos tipos: Y y D. Si una carga conectada en Y está conectada a un generador conectado en Y, el sistema se representa simbólicamente por Y-Y. El arreglo físico de un sistema de tal índole se muestra en la figura 12. Si la carga está balanceada, la conexión neutra puede eliminarse sin que el circuito se vea afectado de ninguna manera; esto es, si: entonces I N será cero.

19. EL GENERADOR CONECTADO EN Y CON CARGA CONECTADA EN Y Obsérvese que, para tener una carga balanceada, el ángulo de fase también debe ser el mismo para cada impedancia, una condición que no fue necesaria en circuitos de CC cuando se consideraron sistemas balanceados. En la práctica, por ejemplo, si una fábrica tiene sólo cargas trifásicas balanceadas, la ausencia del neutro no tendría efecto ya que, idealmente, el sistema siempre estaría balanceado. El costo, por tanto, sería menor ya que el número de conductores requeridos se reduciría. Sin embargo, la iluminación y la mayor parte de otros equipos eléctricos usarán sólo uno de los voltajes de fase, y aun si la carga está diseñada para ser balanceada (como debe ser), nunca se tendrá un balanceo continuo perfecto ya que las luces y otro equipo eléctrico se encenderán y apagarán, perturbando la condición balanceada. El neutro es, por tanto, necesario para llevar la corriente resultante lejos de la carga y de regreso al generador conectado en Y. Examinemos el sistema de cuatro alambres conectado en Y-Y. La corriente que pasa por cada fase del generador es la misma que su correspondiente corriente de línea, la cual, a su vez, para una carga conectada en Y, es igual a la corriente en la fase de la carga a la que está conectada: Tanto para una carga balanceada como para una no balanceada, dado que el generador y la carga tienen un punto neutro común, entonces:

20. EL GENERADOR CONECTADO EN Y CON CARGA CONECTADA EN Y Además, como I = V / Z , la magnitud de la corriente en cada fase será igual para una carga balanceada y desigual para una carga no balanceada. Se recordará que para el generador conectado en Y, la magnitud del voltaje de línea es igual a la raíz de 3 multiplicada por el voltaje de fase. La misma relación puede aplicarse a una carga de cuatro alambres conectada en Y balanceada o no balanceada:   PROBLEMA 1: La secuencia de fase del generador conectado en Y en la figura 13, es ABC. a) Encuentre los ángulos de fase 2 y 3 . b) Encuentre la magnitud de los voltajes de línea. c) Encuentre las corrientes de línea. d) Verifique si, dado que la carga está balanceada, I N = 0. Soluciones:  

21. EL GENERADOR CONECTADO EN Y CON CARGA CONECTADA EN Y a) Para una secuencia de fase ABC : 2 = - 120° y 3 = + 120° b) Por tanto: c) Por tanto:  

22. EL GENERADOR CONECTADO EN Y CON CARGA CONECTADA EN Y y, como I L = I L , d) Aplicando la ley de corriente de Kirchhoff tenemos: En forma rectangular, e I N es en realidad igual a cero , como se requiere para una carga balanceada.  

23. EL SISTEMA Y-   No hay conexión neutra para el sistema Y- de la figura 14. Cualquier variación en la impedancia de una fase que produce un sistema no balanceado simplemente variará las corrientes de línea y de fase del sistema.   Para una carga balanceada, El voltaje en cada fase de la carga es igual al voltaje de línea del generador para una carga balanceada o no balanceada:

24. EL SISTEMA Y-   La relación entre las corrientes de línea y las corrientes de fase de una carga balanceada en puede encontrarse empleando un enfoque muy similar al aplicado anteriormente para encontrar la relación entre los voltajes de línea y los voltajes de fase de un generador conectado en Y. Sin embargo, para este caso, se emplea la ley de corriente de Kirchhoff en vez de la ley de voltaje de Kirchhoff. Los resultados obtenidos son: y el ángulo de fase entre una corriente de línea y la corriente de fase más cercana es de 30°. Una argumentación más detallada de esta relación entre las corrientes de línea y de fase de un sistema conectado en puede encontrarse en lo tratado anteriormente. Para una carga balanceada, las corrientes de línea serán iguales en magnitud, tal como lo serán las corrientes de fase. PROBLEMA 2. Para el sistema trifásico de la figura 15: a) Encuentre los ángulos de fase 2 y 3 . b) Encuentre la corriente en cada fase de la carga. c) Encuentre la magnitud de las corrientes de línea. Soluciones:  

25. EL SISTEMA Y-   Para una secuencia ABC , b) V = E L . Por tanto,   Las corrientes de fase son: c)

26. EL GENERADOR CONECTADO EN   Si las bobinas del generador que aparece en la figura 16(a) se re arreglan como se muestra en la figura 16(b), al sistema se le denomina generador de CA conectado en , trifásico de tres alambres . En este sistema, los voltajes de fase y de línea son equivalentes e iguales al voltaje inducido en cada bobina del generador; esto es, o bien:

27. EL GENERADOR CONECTADO EN   A diferencia de la corriente de línea para el generador conectado en Y, la corriente de línea para el sistema conectado en no es igual a la corriente de fase. La relación entre las dos corrientes puede encontrarse aplicando la ley de corriente de Kirchhoff en uno de los nodos y despejando la corriente de línea en términos de las corrientes de fase; es decir, en el nodo A, I BA = I Aa + I AC O bien: I Aa = I BA - I AC = I BA + I CA El diagrama fasorial se muestra en la figura 17 para una carga balanceada.  

28. EL GENERADOR CONECTADO EN   Para encontrar la corriente de línea se emplea el mismo procedimiento utilizado para encontrar el voltaje de línea de un generador conectado en Y, como sigue: En general: con el ángulo de fase entre una corriente de línea y la corriente de fase más cercana a 30°. El diagrama fasorial de las corrientes se muestra en la figura 18. Igual que para los voltajes de un generador conectado en Y, es posible mostrar que la suma fasorial de las corrientes de línea o corrientes de fase para sistemas conectados en ∆ con cargas balanceadas es cero.

29. SECUENCIA DE FASE (GENERADOR CONECTADO EN   Aunque los voltajes de línea y de fase de un sistema conectado en ∆ son los mismos, es práctica común describir la secuencia de fase en términos de los voltajes de línea. El método empleado es el mismo que el descrito para los voltajes de línea del generador conectado en Y. Por ejemplo, el diagrama fasorial de los voltajes de línea para una secuencia de fase ABC se muestra en la figura 19. Al trazar un diagrama de tal índole, se debe tener cuidado para encontrar la secuencia de los primeros y segundos subíndices iguales. En notación fasorial,

30. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS Los circuitos trifásicos con generadores equilibrados son aquellos que constan de trs generadores cuyas f.e.m. son iguales en módulo y desfasadas en 120° entre sí. Su representación vectorial matemática y gráfica, tanto para secuencia directa como inversa, se muestra a continuación:

31. CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

32. LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS - , -Y   Las ecuaciones básicas necesarias para analizar cualquiera de los dos sistemas ( ∆ - ∆ , ∆ -Y) ya han sido presentadas anteriormente. Por tanto, se procederá directamente a desarrollar dos ejemplos descriptivos, uno con una carga conectada en ∆ y otro con una carga conectada en Y. PROBLEMA 3. Para el sistema ∆ - ∆ mostrado en la figura 20: a) Encuentre los ángulos de fase 2 y 3 para la secuencia de fase especificada. b) Encuentre la corriente en cada fase de la carga. c) Encuentre la magnitud de las corrientes de línea.  

33. LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS - , -Y   Soluciones: a) Para una secuencia de fase ACB , 2 = 120° y 3 = -120° b) V = E L . Por tanto, V ab = E AB V ca = E CA V bc = E BC Las corrientes de fase son: c)  

34. LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS - , -Y   4. Para el sistema ∆ -Y mostrado en la figura 21: a) Encuentre el voltaje en cada fase de la carga. b) Encuentre la magnitud de los voltajes de línea. Soluciones: I L = I L . Por tanto, Los voltajes de fase son:   b)

35. POTENCIA : CARGA EQUILIBRADA CONECTADA EN Y La figura 22 es la referencia para efectuar el siguiente análisis. Potencia promedio: La potencia promedio entregada a cada fase puede ser determinada mediante cualesquiera de las ecuaciones: donde indica que es el ángulo de fase entre Vf e If . La potencia total a la carga balanceada es: También: e entonces: Pero: Por tanto:      

36. POTENCIA: CARGA EQUILIBRADA CONECTADA EN Y Potencia reactiva: La potencia reactiva de cada fase (en volt-ampere reactivos) es: La potencia reactiva total de la carga es: o, procediendo como antes, tenemos: Potencia aparente: La potencia aparente de cada fase es: La potencia aparente total de la carga es: o, como antes, Factor de potencia: El factor de potencia del sistema está dado por:  

37. POTENCIA : CARGA EQUILIBRADA CONECTADA EN Y PROBLEMA 5 Para la carga conectada en Y de la figura 23: a) Encuentre la potencia promedio para cada fase y la carga total. b) Determine la potencia reactiva para cada fase y la potencia reactiva total. c) Encuentre la potencia aparente para cada fase y la potencia aparente total. d) Encuentre el factor de potencia de la carga. Soluciones: a) La potencia promedio es: o bien: b) La potencia reactiva es: o bien:

38. POTENCIA: CARGA EQUILIBRADA CONECTADA EN Y c) La potencia aparente es: d) El factor de potencia es:

39.   La figura 24 es la referencia para el siguiente análisis. Potencia promedio: Potencia reactiva: Potencia aparente: Factor de potencia:

40. Carga balanceada PROBLEMA 6 Para la carga conectada en -Y de la figura 25, encuentre las potencias totales promedio, reactiva y aparente; además del factor de potencia de la carga. Solución: Considerar la ∆ y la Y por separado. Para el ∆: Para la Y:  

41. Carga balanceada Para la carga total:

42. Carga balanceada PROBLEMA 6 Cada línea de transmisión del sistema trifásico de tres alambres de la figura 26 tiene impedancia de 15 + j20 Ω . El sistema entrega una potencia total de 160 kW a 12,000 V a una carga balanceada trifásica con factor de potencia atrasado de 0,86. Como , asignando a V un ángulo de 0° o V = V ∟0°, un factor de potencia atrasado resulta en:   a) Determine la magnitud del voltaje de línea E AB del generador. b) Encuentre el factor de potencia de la carga total aplicada al generador. c) ¿Cuál es la eficiencia del sistema? Solución:

43. Carga balanceada Para cada fase, el sistema aparecerá como se muestra en la figura 27, donde: o bien: Entonces:

44. Carga balanceada y

45. LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS - , -Y   PROBLEMA 7 Determinar las intensidades de línea y de fase en el circuito equilibrado de la figura, en el que las tensiones de línea son 220 V y la frecuencia es de 50 Hz. SOLUCIÓN: Z = R + X j El desfase respecto a la tensión es de 9º

46. PROBLEMAS PROBLEMA 8: Un generador trifásico en estrella de secuencia directa con tensión de línea de 380V alimenta a una carga equilibrada en estrella de impedancia Z = 1 + j Ω. a ) Calcular las corrientes de línea. b ) Calcular el factor de potencia. c ) Calcular la potencia absorbida por la carga SOLUCIÓN: a) Tenemos el siguiente circuito trifásico: donde tomando como origen de fases la tensión de fase a del generador y conociendo la tensión de línea, calculamos la tensión de fase: Va = ∟0º = 220∟0º [V] y la intensidad de línea aplicando la Ley de Ohm, que coincidirá con la de fase al ser la carga en estrella:  

47. PROBLEMAS y el resto de las intensidades de línea se obtienen desfasándolas 120º en secuencia directa: Ib = 155,56∟-165º A Ic = 155,56∟75º A b) El factor de potencia de la carga es el coseno de su ángulo cos φ = cos 45º = 0,707 c) La potencia total absorbida por la carga en estrella será: ST = 3 * V fase * I Iínea = 3 * 220∟0º * 155,56∟45º = 102.386,37∟45º [VA] IMPORTANTE: donde I´l ínea es el fasor conjugado de I línea es decir, mismo módulo y ángulo de distinto signo, ya que la potencia tiene el ángulo de la impedancia de la carga. o de otro modo: S T = √3 * Vl ínea * I línea =√3 * 380 * 155,56 = 102.386,37 [VA] con el ángulo de la impedancia de la carga de (45º)

48. PROBLEMAS PROBLEMA 9: Un generador trifásico equilibrado de secuencia directa conectado en estrella de 1200V alimenta una carga en triangulo de impedancia Z=9 + 3j Ω. La carga se alimenta a través de una línea de impedancia Z L = 0, 1 + 0, 1j Ω. a ) Calcular las corrientes de línea. b ) Calcular la potencia absorbida por la carga y por la línea. c ) Calcular la tensión en los bornes de la carga en triángulo SOLUCIÓN: Tenemos el siguiente circuito trifásico: Ia = 364,74 ∟-19,53º A Ib = 364,74∟-139,53º A Ic = 364,74∟100,47º A b) Sc = 1262 ∟18,43º kVA S L = 56,44 ∟45º kVA c) V Δ a = 1996,2 ∟28,9º V V Δ b = 1996,2 ∟-91,1º V V Δ c = 1996,2 ∟148,9º V

49. PROBLEMAS Problema 10: Un generador trifásico equilibrado de secuencia directa conectado en triángulo de 400V alimenta una carga en triangulo de impedancia Z= 1 + 2j Ω. La carga se alimenta a través de una línea de impedancia Z L = 0,3 + 0,6j Ω. a ) Calcular las corrientes de línea. b ) Calcular la potencia absorbida por la carga y por la línea. c ) Calcular la tensión de línea del lado de la carga SOLUCIÓN: a) Tenemos el siguiente circuito trifásico: Ia = 165 ∟- 63,46º A Ib = 165∟-183,46º A Ic = 165∟56,54º A b) Sc = 60,87∟63,4º Kva S L = 54,79 ∟63,4º kVA c) V Δ a = √3 ∟30 *122,1∟0º = 211,4∟30º V V Δ b = 211,4 ∟-90º V V Δ c = 211,4 ∟150º V

50. PROBLEMAS PROBLEMA 11: Tres bobinas de resistencia 10 Ω y coeficiente de autoinducción 0,01 H cada una se conectan en estrella a una línea trifásica de 380 V, 50 Hz. Calcular: Tensión de fase. b) Impedancia de fase. c) Intensidad de fase y de línea. d) Ángulo de desfase entre tensión e intensidad de fase. e) Potencia activa, reactiva y aparente consumida. Sol.: 220V; 10,48 Ω; 21 A; 17,43º; 13187 W, 4142 VAR, 13822 VA PROBLEMA 12: A una línea trifásica de tensión alterna senoidal de 220 V, 50 Hz, se conecta en triángulo un receptor que tiene en cada fase una resistencia de 30 Ω, reactancia de autoinducción 35 Ω y reactancia de capacidad 75 Ω en serie. Calcular: Intensidad de línea. b) Factor de potencia. c) Potencia activa consumida. Sol.: 7,62 A; 0,6; 1742,4 W PROBLEMA 13: La resistencia de la red de distribución es 0,1 Ω. Una carga trifásica triangular equilibrada de resistencia 21 Ω se conecta a una fuente de tensión trifásica de 208 V. Calcular: a) La potencia total que sale de la fuente, incluyendo la línea y la carga. b) Las pérdidas en la línea. c) La eficiencia de la red de distribución. Sol. 6.093,5 W; 85,82 W; 98,6 %.

51. PROBLEMAS PROBLEMA 14: Tenemos una línea trifásica de tensión alterna senoidal equilibrada de secuencia directa de 220V, 50 Hz. Se conecta en triángulo un receptor que tiene en cada fase una resistencia de 30 Ω, reactancia de autoinducción 35 Ω y reactancia de capacidad 75 Ω en serie. Calcular: Valor eficaz de la Intensidad de fase b) Factor de potencia. c) Potencia activa consumida d) Valor de las tres tensiones de línea y de fase e) Las tres intensidades de fase Sol.: (a) IF=13,2 A ; (b) PF=0,6 ; (c) P=1742,4 W, (d) VR=220 /0º ; VS= 220/-120º ; VT=220/+120º (Nota: en ∆ VF=VL), (e) I1=IRS=13,2 /53º A ; I2=IST= 13,2 /-67º A, I3=ITR=13,2 /173º A = 13,2 /-183º A PROBLEMA 15: Tenemos tres cargas idénticas conectadas en triángulo. La fuente de tensión trifásica ideal que alimenta dichas cargas es de 440 V. Se sabe que la potencia total consumida por las cargas es P=15 kW y S= 18 kVA. Calcular: a) Factor de potencia de la carga. Supóngalo atrasado. b) La corriente de línea eficaz. c) La magnitud de la impedancia de fase. d) La potencia reactiva entregada a cada impedancia de fase. Sol: (a) 0,833 (b)IL=23,62 A (c)Z=32,26 Ω (d)Q=3,32 kVAR

52. PROBLEMAS PROBLEMA 16: Tres bobinas de resistencia 10 Ω y coeficiente de autoinducción 0,01 H se conectan en estrella a una línea trifásica de 380 V, 50 Hz. Calcular el valor eficaz de: la tensión de fase y la intensidad de fase y de línea. b) la Impedancia de fase. c) Ángulo de desfase entre tensión e intensidad de fase. d) Potencia activa, reactiva y aparente consumida. Sol: (a) 220V; 21 A, (b)10,48 Ω, (c) 17,43º, (d) P=13187 W, Q=4142 VAR, S=13822 VA PROBLEMA 17: Tenemos un sistema trifásico equilibrado. El voltaje entre A y N es de 120 V. Sea este voltaje la referencia de fase. La impedancia de carga es Z=6,2+j2,7=6,76∠23.5º Ω. Calcular: VAB como fasor. b) ¿Cuál sería la corriente de la línea medida por un amperímetro?. c) ¿Cuál es la potencia aparente?. d) ¿Cuál es la potencia real?. Sol: 120√3∠+30º V; 17.7 A;6390 VA; 5860 W.

53. PROBLEMAS Determinar

54. PROBLEMAS Determinar

55. LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS Los consumidores industriales y residenciales utilizan equipos que pueden ser monofásicos y/o trifásicos. En general, las redes de distribución ofrecen ambos tipos de tensión. La monofásica se obtiene de la trifásica utilizando solo el neutro y una de las fases.. Como la carga de las tres fases cambia constantemente, es habitual utilizar un sistema de cuatro hilos (neutro + 3 fases) para mantener el voltaje estable y ofrecer una ruta de retorno para corriente neutra debido a carga desequilibrada. Este sistema es utilizado por empresas distribuidores de electricidad, en baja tensión, para viviendas, locales comerciales y pequeñas industrias. Para que un sistema trifásico se considere desequilibrado , existen dos situaciones posibles: primero es que los voltajes de la fuente no son iguales en el módulo y/o difieren en la fase (diferentes ángulos) ; el segundo, en cuyo caso las impedancias de carga son desiguales (al menos una de ellas). En nuestro estudio daremos prioridad al segundo caso, que es la situación más probable que ocurra. Además, podemos tener sistemas de cuatro hilos (como se mencionó anteriormente) o sistemas de los tres cables. Veamos ambos casos.

56. Sistema de Cuatro Cables - Conexión Y Para que el sistema tenga cuatro cables , tanto la fuente como la carga deben estar conectadas en la configuración estrella (o Y). Usando el neutro, garantizamos que la fuente proporciona a la carga un voltaje estable. Entonces, analicemos el circuito que se muestra en la Figura 1 donde, por simplicidad, solo aparece la carga. Para calcular las corrientes I A , I B y I C , simplemente aplicar la ley de Ohm para cada fase. Recordando que como el circuito está desequilibrado, Z A , Z B y Z C no son lo mismo. En las ecuaciones siguientes se debe tener en cuenta la fase, tanto de voltajes como de impedancias. Así se obtiene: Y para calcular la corriente I N (corriente en el neutro), se puede calcular aplicando la ley de Kirchhoff para corrientes al nodo N, obteniendo: Tenga en cuenta que en este caso no importa si la fuente de voltaje está equilibrada o no, ya que el neutro asegura la estabilidad de los voltajes de fase en cargas. Recuerde que la ecuación expresa una suma fasorial.

57. Sistema de Tres Hilos (sin neutro) Cuando el sistema no tiene neutro y el circuito está desequilibrado, entonces para resolver el circuito debemos emplear análisis nodal y/o análisis de malla. En este caso, son los cuatro tipos de configuración, es decir, estrella - estrella , estrella - triángulo , triángulo - estrella y triángulo - triángulo . Analizaremos cada uno por separado. Configuración en Estrella - Estrella Cuando la carga, en esta configuración, no tiene un neutro, entonces aparece una diferencia de potencial entre los puntos N y N'. Es decir, hay un cambio del neutro. Esto conduce a diferentes valores de voltaje por fase para cada carga. En la Figura 2 se muestra el circuito sin el cable neutro. Para la solución de este caso debemos descubrir cuál es el valor de la diferencia de potencial entre los puntos N y N', es decir, V NN'. Conociendo el valor de V NN' solo se debe aplicar la ecuación de la malla para cada fase y encontramos I A , I B y I C . Para calcular V NN' hay un método práctico llamado método de desplazamiento neutro . Lo estudiaremos.

58. Método de Desplazamiento Neutro Encontraremos una ecuación que permita calcular el voltaje V NN’ . Para tanto, expresemos las corrientes de línea en términos de admitancias y voltajes en cargas. Así, entonces: Estas relaciones están de acuerdo con el circuito que se muestra en la Figura 3. Debemos recordar que las admitancias son la inversa de las impedancias. Ahora apliquemos la ley de Kirchhoff para corrientes al nodo N’. Reemplazaremos las corrientes de línea en esta última ecuación con los valores encontrados anteriormente. Luego: Por otro lado, con base en el circuito que se muestra en la Figura 2, podemos escribir las siguientes relaciones:

59. Método de Desplazamiento Neutro Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior y trabajando la expresión algebraicamente, llegamos a la ecuación buscada. Configuración en Estrella - Delta En este caso, tenemos que determinar el voltaje de línea para cada fase a la que está conectada la carga. Entonces determinaremos la corriente de fase dividiendo el voltaje de línea por la impedancia de fase correspondiente. Para encontrar las corrientes de línea es necesario realizar una suma fasorial de las corrientes de fase involucradas en la corriente de línea respectiva.

60. Sistema de Tres Hilos (sin neutro) Tenga en cuenta que en el circuito que se muestra en la Figura 4, se representan impedancias con diferentes ángulos de fase porque estamos ante un circuito desequilibrado. De la misma forma puede suceder con los voltajes de línea. Supongamos que tenemos V AB ∠ θ1, V BC ∠ θ2 e V CA ∠ θ3. Por lo tanto, dividiendo estos voltajes por las respectivas impedancias, obtendremos las corrientes de fase. Realizando la suma fasorial de estas corrientes obtenemos las corrientes de línea. Consulte a continuación los pasos necesarios. Configuración Delta – Estrella En este caso, para resolver el problema, es necesario utilizar las ecuaciones de malla para el circuito y establecer un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Con este método podremos encontrar la solución del problema.

61. Sistema de Tres Hilos (sin neutro) Configuración Delta – Delta Este caso se incluye anteriormente ya que los voltajes de línea se proporcionan con sus respectivas fases. Por lo tanto, siga todos los pasos ya presentados para resolver el problema, incluidos utilizando las ecuaciones presentadas para llegar a los resultados. Potencia en Circuito Desequilibrado Para los circuitos desequilibrados no hay ninguna validez de las ecuaciones ya estudiadas para los circuitos balanceados. Para hacer esto, debemos calcular la potencia en cada fase, por separado, y luego sumarlas todas. Consulte el procedimiento correcto en el ejemplo siguiente. Ejemplo: Sea un circuito cargado en la configuración delta , como se muestra en la Figura 5, y con los siguientes valores de voltaje e impedancia: a) Calcule las corrientes de fase y de línea. b) Calcule la potencia aparente, real y reactiva por fase y total.

62. LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS Solución: Inicialmente calcularemos las corrientes de fase. Así: Con estos datos y utilizando las ecuaciones anteriores , podemos calcular las corrientes de línea. Entonces:

63. LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS b) Como estamos tratando con un circuito no balanceado , debemos calcular la potencia para cada fase. Entonces, calculemos la potencia aparente para cada fase en la forma compleja. Recuerde que la potencia aparente en forma compleja se calcula mediante el producto entre el voltaje y el complejo conjugado de la corriente. Entonces: A partir de la potencia compleja podemos calcular la potencia real y reactiva, y basta para ello encontrar la forma cartesiana de la potencia aparente compleja. Así, la potencia real está dada por la parte real y la potencia reactiva por la parte imaginaria. Así tenemos: Entonces, en forma cartesiana y polar, tenemos. El ángulo de potencia aparente se puede calcular usando:

64. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS PROBLEMA 1 Suponiendo una secuencia directa en una fuente no balanceada, tenemos: V AN = 100 ∠30°, V BN = 150 ∠- 60° y V CN = 120 ∠180° . Calcule: a) El módulo de las tensiones de línea y sus respectivos ángulos. b) Diagrama de las tensiones. SOLUCIÓN: Según los valores de V AN = 100 ∠30° y V BN = 150 ∠-60° podemos ver claramente que los dos voltajes están desfasados ​​90° (ver la figura a continuación). En este caso podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar el módulo de V AB . Así: Para encontrar el ángulo que V AB hace con el eje horizontal, puedes usar la ley del seno aplicada al ángulo BÂN. Entonces: Sustituyendo y realizando el cálculo:

65. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS CONTINUACIÓN PROBLEMA 1 Sumando el ángulo de 30° que V AN hace con la horizontal (repase la propiedad del ángulo externo en triángulos), encuentra el ángulo que V AB hace con el eje horizontal, es decir, 56,3° + 30° = 86,3 °. Luego: Ahora calculemos el módulo y el ángulo de V BC . Como V BN y V CN tiene un ángulo distinto de 90°, se debe usar la ley del coseno. Entonces: Sustituyendo y realizando el cálculo: Usando la ley del seno es posible calcular el ángulo BĈN que hace el voltaje de línea V BC hace con la horizontal. Note que este ángulo debe ser negativo porque apunta hacia abajo. Sustituyendo y realizando el cálculo: Entonces este ángulo, con un signo negativo, es el ángulo entre V BC y el eje horizontal. Luego:

66. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS CONTINUACIÓN DEL PROBLEMA 1 Y finalmente para calcular V CA , se puede utilizar la misma metodología, recordando que el ángulo entre V AN y V CN es de 150° (vea Figura ). Así: Sustituyendo los valores numéricos y realizando el cálculo: Usando la ley del seno es posible calcular el ángulo AĈN que hace el voltaje de línea V CA hace con el eje horizontal. Tenga en cuenta que este ángulo debe ser negativo porque V CA apunta hacia abajo. Sustituyendo y realizando el cálculo: Como queremos calcular el ángulo entre V CA y el eje horizontal simplemente reste 180° de AĈN ;. Luego: Resumiendo, los valores encontrados:

67. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS PROBLEMA 2 Usando los datos del problema anterior y asumiendo las impedancias desequilibradas con los siguientes valores: V AB = 180,3 ∠86,3°, V BC = 234,3 ∠-33,7°, V CA = 212,6 ∠-166,4° y Z AB = 10 ∠30° , Z BC = 12 ∠-30°, Z CA = 18 ∠60° En la configuración del circuito que se muestra en la figura siguiente, calcule: a) las corrientes de fase. b) las corrientes de línea. SOLUCIÓN: a) Usando los datos proporcionados por el problema es posible calcular las corrientes de fase, o: b) Y las corrientes de línea son: Comprobar que I A + I B + I C = 0

68. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS PROBLEMA 3 Con los datos de los dos problemas anteriores, calcule: a) La potencia real total y en cada fase. b) La potencia reactiva total y en cada fase. c) La potencia aparente total y en cada fase. SOLUCIÓN: De los problemas anteriores (1 y 2) existen los siguientes datos para solucionar este problema: VAB = 180,3 ∠86,3°, VBC = 234,3 ∠-33,7°, VCA = 212,6 ∠-166,4°, IAB = 18,03 ∠56,3° , IBC = 19,53 ∠-3,7°, ICA = 11,81 ∠-226,4°, ZAB = 10 ∠30° , ZBC = 12 ∠-30° y ZCA = 18 ∠60°. a) Entonces: Tenga en cuenta que los ángulos de la potencia aparente compleja son exactamente los ángulos de impedancia de cada fase. Para calcular la potencia activa y reactiva de cada fase, simplemente se transforma la potencia aparente complejo de la forma fasorial en cartesiana. Luego:

69. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS PROBLEMA 3 Así, la parte real de la potencia aparente en forma cartesiana es la potencia activa y la parte imaginaria es la potencia reactiva . Los resultados anteriores son los valores para cada fase. Para calcular los valores totales basta sumar las tres fases, parte real con parte real e imaginaria con imaginario. De esta forma: Para calcular la potencia aparente total, usamos la ecuación que se muestra a continuación: Sustituyendo y realizando el cálculo:

70. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS PROBLEMA 4 Utilizando los datos de los problemas anteriores, compare los resultados de la potencia en la carga con la potencia proporcionada por la fuente. SOLUCIÓN: A partir del problema anterior (2 ) se calcularon las corrientes de línea. Entonces, hay los siguientes datos para resolver este problema: VAN = 100 ∠30°, VBN = 150 ∠-60° y VCN = 120 ∠180° IA = 19,26 ∠19,6° , IB = 18,83 ∠-59,7° y IC = 29,32 ∠160,4° Con estos datos es posible calcular la potencia suministrada por la fuente. Entonces: Escribiendo estas potencias en forma cartesiana. Entonces: Sumando parte real con parte real e imaginaria con imaginaria, obtendremos la potencia total activa y la potencia total reactiva . Así: Por tanto, la potencia aparente total será: Al comparar estos valores con los encontrados en el problema 3, se percibe claramente la conservación de energía. Las pequeñas discrepancias en los valores se producen debido al redondeo realizado durante la solución de los problemas.

71. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 5: MEDICIÓN DE POTENCIA En el circuito de la figura tenemos V fase = 120 V y Z A = Z B = Z C = 8 + j6. Calcule: a) La lectura en los dos Wáttmetros. b) Compruebe que la potencia total medida por los Wáttmetros sea igual a la potencia suministrada a la carga. SOLUCIÓN:

72. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS a) Calculando el valor de la impedancia en forma polar: Z = 8 + j6 = 10∠36,87°. Entonces el valor de la corriente será: Para encontrar los valores leídos por los Wáttmetros, se tiene que . Entonces el valor de W 1 será: Y W 2 será: b) Sabemos que las potencias leídas por los Wáttmetros son potencias reales y solo se disipan en las resistencias ese tipo de potencia. Luego, puede calcularse la potencia disipada en cada resistencia por fase y multiplicar este valor por tres para encontrar la potencia total. Ahora, sumando las potencias medidas por los Wáttmetros: Por tanto, se comprueba que la potencia disipada por las resistencias es igual a la potencia medida por los Wáttmetros.  

73. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 6: CÁLCULO DE LA POTENCIA REACTIVA Utilizando la lectura de la medición con los dos Wáttmetros del problema anterior, calcular la potencia reactiva total recibida por la carga. Recordando los valores medidos por los Wáttmetros: W 1 = 979,75 [W]   y   W 2 = 2.476,25 [W]

74. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS SOLUCIÓN: Por tanto, utilizando estos datos, la potencia reactiva total es: Otra forma de resolver el cálculo de la Potencia Reactiva es usando la ecuación: Entonces, ambas formas de cálculo conducen al mismo resultado.  

75. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS PROBLEMA 7 En el circuito que se muestra en la figura, V AB = 208∠0°[V], V BC = 208∠-120°[V], V CA = 208∠120°[V], Z AB = 10 Ω, Z BC = 15 + j20 Ω y Z CA =12 - j12 Ω. Esta carga desequilibrada, conectada en la configuración delta, tiene dos Wáttmetros conectados según el circuito que se muestra en la figura siguiente. Encontrar: a) El módulo y el ángulo de las corrientes de fase. b) El módulo y el ángulo de las corrientes de línea. c) Lectura de los Wáttmetros.

76. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS SOLUCIÓN: a) Para calcular la corriente de fase, I AB , simplemente se debe aplicar la ley de Ohm: [A] Para el cálculo de I BC , se debe pasar el valor de impedancia de fase correspondiente a la forma polar, o Z BC = 15 + j20= 25∠53,13° Ω . Entonces: [A] Y para el cálculo de I CA , tenemos Z CA = 12 - j12 = 16,97∠ - 45° Ω . Entonces: [A] b) P ara calcular las corrientes de línea, se aplica la ley de Kirchhoff a cada nodo del circuito. Así entonces:  

77. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS Continuación b) Para el cálculo de I B : Y para I C : c) Al calcular las lecturas de los Wáttmetros, se debe prestar mucha atención al ángulo de retraso entre el voltaje y la corriente que lee el Wáttmetro. En caso de W 1 , él está leyendo la corriente I A y el voltaje V AB . Como V AB tiene ángulo cero y la corriente I A tiene un ángulo de 5,55°, entonces el desfase entre ellos es de 5,55°. Por lo tanto, la lectura de W 1 será: W 1 = V AB * I A * cos (5,55°) = 6.788,35 [W] En el caso de W2 , está leyendo la corriente I C y el voltaje V CB . Tenga en cuenta que el voltaje suministrado ha sido V BC que está 180° fuera de fase en relación con V CB . Entonces, el ángulo de V CB será -120° +180° = 60°, es decir, el desfase entre la corriente y el voltaje es 130,65 - 60° = 70,65°. Por tanto, la lectura de W 2 será:  

78. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS Continuación c) W 2 = V CB * I C * cos (70,65°) = 379,10 [W] Observe que no se tuvo en cuenta la señal del ángulo (signo) de retraso entre el voltaje y la corriente, porque se sabe que: cos (- φ) = cos φ.

79. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 8 Para la carga no balanceada conectada en D de la figura, con dos Wáttmetros apropiadamente conectados: a. Determine la magnitud y el ángulo de las corrientes de fase. b. Calcule la magnitud y el ángulo de las corrientes de línea. c. Determine la lectura de potencia de cada Wáttmetro. d. Calcule la potencia total absorbida por la carga. e. Compare el resultado del inciso (d) con la potencia total calculada usando las corrientes de fase y los elementos resistivos.

80. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS SOLUCIÓN: a) b)

81. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS c) El voltaje de fase es: e Luego: Tenemos que: Pero: Con: d) e)

82. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS EN UNA CARGA TRIFÁSICA NO BALANCEADA , DE TRES ALAMBRES, CONECTADA EN Y SIEMPRE SE CUMPLE PARA UNA SECUENCIA DE FASES ABC, QUE:

83. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS PROBLEMA 9 Un indicador de secuencia de fase es un instrumento que puede exhibir la secuencia de fase de un circuito polifásico. En la figura aparece una red que efectúa esta función. La secuencia de fase aplicada es ABC. El foco correspondiente a esta secuencia de fase se encenderá más brillantemente que el foco que indica la secuencia ACB porque una corriente más alta pasa a través del foco ABC. Calcular las corrientes de fase para demostrar esta situación que, de hecho, existe:

84. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS SOLUCIÓN: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I CN :

85. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS CONTINUACIÓN PROBLEMA 9: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN : Luego, I BN > I CN por un factor de más de 3:1. Por tanto, el foco que indica una secuencia ABC se encenderá más brillantemente debido a la corriente más alta. Si la secuencia fuese ACB, lo inverso sería verdadero.

86. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Sea una carga trifásica equilibrada en estrella formada por tres impedancias de 49,2∟37,57° Ω , alimentada por un sistema trifásico equilibrado de generadores ideales en estrella de 230 V, secuencia directa, a través de una línea de 4 hilos real de 1 Ω de resistencia interna tal como se muestra en la figura siguiente. Tomando como origen de fases la tensión V RN , determinar: a) Las corrientes de línea y las tensiones de fase en la carga. b) Determinar las potencias activa, reactiva y aparente generada y consumida.

87. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS CONTINUACIÓN PROBLEMA 10: SOLUCIÓN: a) Como es un circuito equilibrado en cargas y generadores entonces ya tenemos algunos resultados que se cumplen: Luego: Por ser equilibrado en cargas las corrientes de las otras fases tendrán el mismo valor eficaz, pero estarán desfasadas en -120° ya que se tiene secuencia directa.

88. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS CONTINUACIÓN PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

89. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 11: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

90. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

91. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

92. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

93. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

94. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

95. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

96. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

97. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

98. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :

99. PROBLEMAS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS PROBLEMA 10: Mediante la ecuación siguiente calculamos la corriente de fase I BN :