PPT KELOMPOK 5 KOSET & SUBGRUP NORMAL (1).pptx

Bahan Ajar Teori Grup

1. KELOMPOK 5 KOSET DAN SUBGRUP NORMAL STRUKTUR ALJABAR Dr. Mulyono, M.Si OLEH: FADHILAH ULFAH NST (8206171004) RIDA NELVIANI LUBIS (8206171011)

2. 1 . KOSET

3. KOSET Apabila G group abelian maka ha = ah untuk setiap a,h G. Akibatnya, dalam group abelian selalu berlaku Ha = aH untuk setiap a G.   DEFINISI 3.1.1 Misalkan G group, H subgrup dari G dan a G aH = {ah | h H} dinamakan koset kiri dari H yang memuat a, dan Ha = {ha | h H} dinamakan koset kanan dari H yang memuat a

4. CONTOH SOAL 1 Andaikan suatu group adalah (G, +) = dan subgrup dari G adalah H = {0,2}. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G Penyelesaiannya (G, +) = = {0,1,2,3} -Koset kiri : 0 + H = 0 + {0,2} = {0,2} 1 + H = 1 + {0,2} = {1,3} 2 + H = 2 + {0,2 } = {2,0} 3 + H = 3 + {0,2} = { 3,1 } -Koset kanan : H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2} H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3} H + 2 = {0,2 } + 2 = {2,0} H + 3 = {0,2} + 3 = {3,1 }   Sehingga : 0 + H = H + 0 = {0,2} 1 + H = H + 1 = {1,3} 2 + H = H + 2 = {0,2} 3 + H = H + 3 = {1,3} Karena merupakan grupa abelian maka koset kanan sama dengan koset kiri.  

5. CONTOH SOAL 2 merupakan group abelian. H = , 4 subgroup dari . Koset yang terbentuk dari H adalah: Penyelesaiannya : ( G, +) = = {0,1,2,3,4,5 } -Koset kiri yang terbentuk dari H - Koset kanan yang terbentuk dari H   Koset kiri : + H = 0 + {0,2,4} = {0,2,4} 1 + H = 1 + {0,2,4} = {1,3,5} 2 + H = 2 + {0,2,4} = {2,4,0} 3 + H = 3 + {0,2,4} = {3,5,1} 4 + H = 4 + {0,2,4} = {4,0,2} 5 + H = 5 + {0,2,4} = {5,1,3}     Koset kanan : H + 0 = {0,2,4} + 0 = {0,2,4} H + 1 = {0,2,4} + 1 = {1,3,5} H + 2 = {0,2,4} + 2 = {2,4,0} H + 3 = {0,2,4} + 3 = {3,5,1} H + 4 = {0,2,4} + 4 = {4,0,2} H + 5 = {0,2,4} + 5 = {5,1,3}     0 + H = 2 + H = 4 + H = H = ,4} + H = + H = + H = 1,3, 5}   H + = H + 2 = H + 4 = H = ,4} H + 1 = H + 3 = H + 5 = 1, 3, 5}  

6. CONTOH SOAL 2 Karena merupakan grupa abelian maka koset kanan sama dengan koset kiri.   Sehingga : 0 + H = H + 0 = {0,2,4 } 1 + H = H + 1 = {1,3,5} 2 + H = H + 2 = {2,4,0} 3 + H = H + 3 = {3,5,1} 4 + H = H + 4 = {4,0,2 } 5 + H = H + 5 = {4,0,2}

7. Diperhatian bahwa H = } merupakan subgrup di . Koset yang terbentuk dari H adalah: .   CINTOH SOAL 3 Grup permutasi bukan grup komutatif sehingga terdapat koset kanan yang tidak sama dengan koset kiri. KOSET KIRI KOSET KANAN ˳ H = ˳ H = H = }   ˳ H = ˳ H = H = }   ˳ H = ˳ H = H = }     H ˳ = H ˳ = H = }   H ˳ = H ˳ = H = }   H ˳ = H ˳ = H = }   KOSET KIRI KOSET KANAN

8. 2 . SUBGRUP NORMAL

9. Secara Simbolis : Z/5Z ( Grup kuosien / grup Faktor ) Syarat : subgrup H tidak hanya sekedar subgrup dari G tapi H adlah garus merupakan subgrup normal dari G

10. DEFENISI SUBGRUP NORMAL Grup bagian S dari grup G dikatakan grup bagian normal ( normal subgrup ) asalkan untuk setiap elemen s dalam S dan setiap a  G berlaku bahwa a -1 sa  S Istilah S grup bagian normal dari G sering kali disingkat sebagai S normal dari G.

11. CONTOH 1 < Z, + > Merupakan grup , dapat ditunjukkan bahwa <3Z, + > subgroup normal dari < Z, + > Penyelesaian : Koset-koset kiri dari 3Z adalah : 0 + 3Z = {….,-6,-3,0,3,6,…..} = 3Z 1 + 3Z = {….,-5,-2,1,4,7,…..} 2 + 3Z = {….,-4,-1,2,5,8,…..} 3 + 3Z = {….,-6,-3,0,3,6,…..} = 0 + 3Z = 3Z (-1) + 3Z = {….,-4,-1,2,5,8,…..} = 2 + 3Z Dan seterusnya sehingga hanya ada 3 koset kiri yitu 0 + 3Z; 1 + 3Z; dan 2 + 3Z atau Z/3Z = {0+3Z; 1 + 3Z; 2 + 3Z} = Himpunan semua bilangan bulat modulo 3.

12. CONTOH 2 Misalkan G = {1,2,3,4,5,6 }, dengan G perkalian mod 7 adalah grup , dan H= {1,2,4} adalah subgrup dari G. Carilah semua koset kanan dan kiri H dalam G serta tentukan apakah H subgrup normal dari G atau bukan ? Koset Kiri : 1 H = 1.{1,2,4} = {1,2,4} 2 H = 2.{1,2,4} = {2,4,1} 3 H = 3.{1,2,4} = {3,6,5} 4 H = 4.{1,2,4} = {4,1,2} 5 H = 5.{1,2,4} = {5,3,6} 6 H = 6.{1,2,4} = {6,5,3} Koset Kanan : 1 H =.{1,2,4}.1 = {1,2,4} 2 H = {1,2,4} .2= {2,4,1} 3 H = {1,2,4} .3= {3,6,5} 4 H = {1,2,4} .4= {4,1,2} 5 H = {1,2,4} .5- {5,3,6} 6 H = {1,2,4}.6 = {6,5,3}

13. Sehuingga : 1H = H1= {1,2,4} 2H = H2= {2,4,1} 3H = H3= {3,6,5} 4H = H4= {4,2,1} 5H = H5= {5,3,6} 6H = H6= {6,5,3} Karena koset kiri = koset kanan , maka : subgrup H = {1,2,4} merupakan subgrup Normal dari G

14. TEOREMA Suatu subgrup N dari G merupakan subgrup normal dari G jika hanya jika gNg -1 = N, Ada dua pernyataan di atas yang perlu dibuktikan yaitu : Jika N subgrup normal dari grup G maka gNg -1 = N, Jika gNg -1 = N, , maka N subgrup normal dari grip G.

15. Bukti 1 Jika N subgrup normal dari grup G maka gNg -1 = N, N subgrup normal dari G menurut defenisi subgrup normal maka g N = N g, Dari g N = N g berarti gn = ng , gn = ng , gn g -1 = ngg -3 , gn g -1 = n ø , ngg -1 = n , ngg -1 = N , Terbukti jika N subgrup normal dari grup G maka ngg -1 = N ,

16. Bukti 2 Jika gNg -1 = N, maka N subgrup normal dari grup G. g N g -1 = N g N g -1 g = N g g N ø = N g g N = N g (g N = N g, dari g N= N g berrti g n=n g, ) Terbukti jika N subgrup normal dari grup G maka ngg -1 = N,

17. Contoh 1 Dari contoh sebelumnya G himpunan semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa , dan N himpunan . Semua bilangan bulat genap , diperoleh baha N merupakan subgrup dari G, apakah normal dari G ? Penyelesaian : Akan ditunjukkan dan berlaku Ambil dan Kita ketahui bahwa dengan operasi penjumlahan invers dari g yaitu Kita perhatikan g n g -1 g n g -1 = g + n + g -1 = g + n +(-g) = karena pengambilan g dan n sebarang maka g dan n seharusnya terbukti , g -1 = - g

18. CONTOH 2 Misalkan G = {0,1,2,3} merupakan grup , dengan opersi penjumlahan modulo 4. dan H = {0,2} dimana H adalah subgrup dari G. apakah H merupakan Subgrup normal dari G? Penyelesaian : Akan ditunjukkan , akan dioperasikan dengan operasi penjumlahan modulo 4 sebagai berikut : Ambil h = 0, dengan g = 0 maka = 0 + 0 + 0 = 0 mod 4 =

19. Big concept Bring the attention of your audience over a key concept using icons or illustrations Ambil h = 0, dan g = 1 maka = 1 + 0 + 3 = 4 mod 4 = Ambil h = 0, dan g = 2 maka = 2 + 0 + 2 = 4 mod 4 = Ambil h = 0, dan g = 3 maka = 3 + 0 + 1 = 4 mod 4 = Ambil h = 0, dan g = 1 maka = 1 + 0 + 3 = 4 mod 4 = Lanjutan .

20. Big concept Bring the attention of your audience over a key concept using icons or illustrations Ambil h = 2, dan g = 0 maka = 0 + 2 + 0 = 2 mod 4 = Ambil h = 2, dan g = 1 maka = 1 + 2 + 3 = 6 mod 4 = Ambil h = 2, dan g = 2 maka = 2 + 2 + 2 = 6 mod 4 = Ambil h = 2, dan g = 3 maka = 3 + 2 + 1 = 6 mod 4 = Lanjutan .

21. Karena Maka H merupakan subgrup normal dari G.

22. SEKIAN DAN TERIMAKASIH