Pres geometria prehispanica

1. Geometra prehispanica mixtecaOctavio Alberto Agustn Aquino
Universidad Tecnologica de la Mixteca
Instituto de Fsica y Matematicas
2 de junio de 2006
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 1 / 64

2. Parte I De sabor clasico
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 2 / 64

3. Herramientas de dibujo
Cuando dibujamos, >que herramientas utilizamos? La respuesta es
diferente segun a quien le preguntemos.
Un griego de hace mas de dos mil a~nos, por ejemplo, dira que
solamente dos cosas: una regla sin marcas y un compas.
>Y que se puede dibujar con solamente estos dos utensilios?
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 3 / 64

4. No todo es miel sobre hojuelas
Aunque se puede hacer mucho (dividir un segmento en cualquier numero
de partes, bisecar angulos, trazar cuadrados y triangulos, etcetera), los
griegos pronto encontraron algunos problemas que parecan sumamente
difciles de realizar con solamente regla no graduada y compas.
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5. Tres grandes problemas
Los griegos se plantearon tres cuestiones en particular que son de esta
naturaleza.
1Dado un crculo de radior, hallar el lado`de un cuadrado de modo
que tenga la misma area que el crculo.
2Dado la aristaade un cubo, hallar la aristaa
0
de un cubo con el
doble de volumen que el original.
3Encontrar una construccion para trisecar un angulo cualquiera.
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6. <Imposible!
Muchos matematicos griegos intentaron resolver estos tres grandes
problemas, pero ninguno tuvo exito usando
solamenteregla no graduada y
compas.
Varios siglos despues un frances, Evariste Galois, tuvo las brillantes ideas
algebraicas que nos permitieron demostrar que estos enigmas eran
imposiblesde resolver de esta manera.
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7. Los polgonos >tambien?
Los problemas anteriormente mencionados no son los unicos
imposibles. Resulta que no todos los polgonos regulares se pueden
trazar. Uno de ellos es, por ejemplo, el heptagono.
De hecho, existe una bellsima caracterizacion en terminos de la teora
de numeros de los polgonos que se pueden obtener y los que no.
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8. Las haza~nas geometricas prehispanicas
Sin embargo, los geometras precolombinos lograron dividir al crculo
en numeros de partes que son imposibles de lograr con solamente
regla no graduada y compas.
Hay quienes arman incluso que tenan los medios geometricos
sucientes para trisecar un angulo cualquiera.
Si no se puede con el uso exclusivo de regla no graduada y compas...
>como lo hicieron entonces?
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 8 / 64

9. Lo constructible
Denicion Dado SC, diremos que una recta es constructible a partir de S si dicha
recta pasa por dos puntos distintos en S. Igualmente, diremos que una
circunferencia es constructible si su centro esta en S y su radio coincide
con la distancia entre dos puntos de S.
&%
'$
r
r







r
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10. Lo constructible
Denicion Sea SCno vaco. Diremos que P2Ces1-constructible a partir de S si
se puede obtener como interseccion de rectas o circunferencias
constructibles a partir de S. En general, diremos que P es constructible a
partir de S si existe una sucesion de puntos P1; : : : ;Pr2Ctales que Pkes
1-constructible a partir de S[ fP1; : : : ;Pk1gpara n= 2; : : : ;r.
&%
'$
r
r







r
&%
'$
r 1-constructible
r
r
constructibles
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 10 / 64

11. Puntos de partida
Suponiendo que (0;0);(0;1)2S, es posible demostrar que todo
punto de coordenadas racionales es constructible a partir deS.
Este supuesto es razonable, pues a cualesquiera dos puntos en el
plano es posible asignarle estas coordenadas.
Por lo tanto, supondremos de ahora en adelante queS=Q(i).
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12. Un teorema importante
El siguiente teorema es fundamental para sustentar la teora. Observese
que, bajo nuestros supuestos,Q(i) es el menor cuerpo que contiene a los
puntos enS.
Teorema Sea K0el menor cuerpo que contiene a las coordenadas de los puntos en
S, P= (x0;y0)2Cy denamos K1=K0(x0;y0). El punto P es
1-constructible a partir de S si, y solo si, x
2
0
;y
2
0
2K0y[K1:K0] = 2

,
donde= 0o1.
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13. Un teorema importante
Necesidad. SiPes la interseccion de dos rectas constructibles, es claro queP2K0.
En este caso no agregamos algo nuevo aK0, es decir,K1=K0. De
aqu que [K1:K0] = 1.
Supongamos ahora quePes la interseccion de una recta
xp
rp
=
yq
sq
;(p;q);(r;s)2S
con el crculo
(xt)
2
+ (yu)
2
=w
2
;(p;q);(r;s)2S
dondewes la distancia entre dos puntos enS. Tenemos que
p;q;r;s;t;u;w
2
2K0.
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14. Un teorema importante
Necesidad. La primera coordenadax0dePes la raz del polinomio cuadratico
(xt)
2
+

sq
rp
(xp) + (qu)

2
=w
2
;
lo que implica que o bienK1=K0(x0) es un cuerpo distinto aK0o bien
coinciden. Comoy02K0(x0), se sigue que o bien [K1:K0] = 1 o bien
[K1:K0] = 2, puesx0es raz de un polinomio de grado 2.
Finalmente, siPes la interseccion de dos circunferencias de ecuacionesC1
yC2, entonces ese punto esta en la interseccion del crculo con ecuacion
C1y la recta con ecuacionC1C2. Este caso ya esta considerado, y la
demostracion termina.
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15. Un teorema importante
Suciencia. Si [K1:K0] = 1, es claro quePes 1-constructible. Si [K1:K0] = 2,
entonces el polinomio mnimo de las coordenadas dePes monico y de
grado 2. Pero la raz de cualquier numero enK0se puede construir.
Por lo tanto,Pes 1-constructible.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 15 / 64

16. Y sus corolarios
Corolario Sea K0el menor cuerpo que contiene a S, P= (x0;y0)2Cy Kr=K0(P).
El punto P es constructible a partir de S si, y solo si, existe una sucesion
de puntos1-constructibles P1; : : : ;Pntal que P
2
i+1
2Q(P1; : : : ;Pi)para
1in1y P es1-constructible a partir deQ(P1; : : : ;Pn).
Corolario Si P(x;y)es constructible, entonces el grado de x y y sobreQes una
potencia de2.
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17. Triseccion de cualquier angulo... no
No podemos trisecar el angulo de 120

. Su tercera parte es 40

. Sea
= cos(40

). Tenemos que 4
3
3+
1
2
= 0, en virtud de la identidad
cos(3) = cos
3
()

n
2

cossen
2
= 4 cos
3
3 cos:
y considerando ademas que cos(340

) = cos(120

) =
1
2
. Por lo tanto
es raz de 4X
3
3X+
1
2
, que se puede demostrar que es irreducible
sobreQ. Como es de grado impar, el grado de la extension de campo sobre
sus races no es una potencia de 2. Entonces es imposible construir
cos(40

), y en consecuencia no se puede trisecar a 120

.
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18. Un recproco parcial
Para el caso de los polgonos regulares no seran sucientes los resultados
anteriores, por lo que necesitamos este resultado (que no demostraremos).
Teorema Sea K0el menor cuerpo que contiene a las coordenadas de los puntos en
P. Si P= (x;y)2Ces algebraico y la cerradura normal de K0(x;y)es de
grado2
n
para algun entero no negativo n, entonces P es constructible.
Una extensionF:Kes normal cuando existe un conjunto de polinomios
con coecientes enKtales que todas sus races generanF.
SiK0(x;y) es normal, entonces la cerradura normal deK0(x;y) :K0es
precisamenteK0(x;y).
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 18 / 64

19. Cortando crculos
Denicion Una n-ciclotoma es un conjunto de puntos sobre una circunferencia que
determinan un polgono regular de n lados.Consideraremos a unan-ciclotoma como numeros complejos de la forma
Xk= cos

2k
n

+isen

2k
n

;k= 0; : : : ;n1:
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 19 / 64

20. Un grupo interesante
Por la identidad de De Moivre,
X
n
k
= cos(2k) +isen(2k) = 1;k= 0; : : : ;n1:
Como todos los puntosX0; : : : ;Xn1son distintos, entonces todas las
races complejas del polinomio
f(X) =X
n
1
nos dan puntos distintos sobre un polgono regular. Ademas,
fX0; : : : ;Xn1ges un grupo bajo la multiplicacion de numeros complejos,
y lo denotaremos por(n).
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 20 / 64

21. Races primitivas
Denicion Se dice quees una raz primitiva n-esima de la unidad sigenera a
(n). Esto es, para cada t2(n)existe u tal que
u
=t.
Recordemos dos enteros son primos relativos si no tienen un divisor comun
aparte de 1, y que la funcion(n) de Euler esta denida como el numero
de enteros primos relativos connque son menores quen(includo el 1).
Por ejemplo:(6) = 3, pues 4 y 5 son primos relativos con 6 aparte del 1.
Teorema Seauna raz n-esima de la unidad sobreQ. Entonces[Q() :Q] =(n).
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 21 / 64

22. >Que polgonos regulares se pueden construir?
Teorema Una n-ciclotoma es constructible si, y solo si, n= 2
r
p1 psdonde r2N
y p1; : : : ;psson primos impares distintos de la forma2
t
+ 1.
Demostracion. Sies una raz primitivan-esima de la unidad yn= 2
r
p
a1
1
p
am
m,
entonces, por el teorema anterior,
[Q() :Q] =(n) =
(
2
r1
(p11)
a11
(pm1)
am1
r1;
(p11)
a11
(pm1)
am1
r= 0;
El polinomioX
n
1 tiene todas sus races enQ(). Puesto que(n) = 2
k
para algunkentero si, y solo si,a1= =am= 1 ypi= 2
ti+ 1 para
algunostienteros, el teorema se sigue.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 22 / 64

23. Construccion de cualquier ciclotoma... tampoco
Los numeros primos de la forma 2
t
+ 1 se llamanprimos de Fermat. Hasta
hoy, solo se sabe de la existencia de 5 de ellos: 3, 5, 17, 257 y 65537.
El numero 7 es primo, y como no es primo de Fermat, no se puede dividir
al crculo en 7 partes iguales.
Ejercicio Comprobar que pasa lo mismo para9,11,13,14,48y260.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 23 / 64

24. Una aproximacion a la geometra prehispanica
Por las piedras nahuas grabadas sabemos que los antiguos nahuas
pudieron dividir al crculo en 7 y 260 partes iguales, lo cual es imposible
con el uso exclusivo de una regla graduada y un compas. En principio, no
sabemos si tenan instrumentos que funcionaran como reglas, aunque no
las necesitaban, segun el siguiente teorema.
Teorema (Mohr-Mascheroni) Todos los problemas de construccion que se resuelven con ayuda de
compas y regla, pueden resolverse con precision usando solamente un
compas.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 24 / 64

25. El papel de los~nuu savi
Hay poca documentacion sobre como resolvan los problemas de
ciclotoma los antiguos mesoamericanos. El unico codice que el autor
conoce que en algo ayuda a resolver estos misterios es el codice
Vindobonensis, de origen~nuu savi.
En los folios 5, 10, 11, 13, 14, 16, 18 y 20 aparecen personajes con actitud
de medir usando un mecate. Por comunicacion personal con un habitante
de Yuku Kimi de Ocampo, sabemos que aun se miden terrenos usando
mecates.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 25 / 64

26. El papel de los~nuu saviEs factible suponer que los antiguos~nuu savipudieran trazar crculos, por
la evidencia arqueologica hallada en la Tumba 7 de Monte Alban. Se
entraron all diversos ornamentos circulares obtenidos girando un punzon
alrededor de un centro.
La conjetura consiste en que los~nuu savi(y quiza tambien los nahuas)
medan la circunferencia de la piedra con un mecate. Lo partan en el
numero entero de partes requerido con solo un compas y marcaban el
disco en los puntos apropiados.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 26 / 64

27. La construccion de Tales
A0
B=An
a a















*
C
Dn
a
a
D1
a
A1

a
An1
Dn1
a
Figura:La particion del mecate es posible por medio de la construccion de Tales.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 27 / 64

28. Otra posibilidad
No hay evidencia documental ni arqueologica de que los antiguos~nuu
savio los nahuas conocieran la construccion de Tales.
Otra posibilidad es que fueran conscientes de que la razon del
permetro al diametro de una circunferencia arbitraria es una
constante.
Podan tomar un mecate que ya estuviera dividido ennpartes (esto
es facil de conseguir por medios mecanicos sin usar regla ni compas),
y usando la constante y la longitud del mecate, era posible construir
un disco de piedra cuya circunferencia se aproximara a la longitud del
mecate. Despues simplemente se transeren al disco los puntos que
ya se tenan marcados en el mecate.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 28 / 64

29. Otra posibilidad
C
a
D
a

















D
0
a





a
A
a
B










B
0
a
Figura:
Construccion del diametro de un crculo con circunferencia dada, cuando
se sabe que
jABj
jCDj
=.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 29 / 64

30. Las ciclotomas en el codice Vindobonensis
Cabe observar que la mayora de las ciclotomas que aparecen en el codice
Vindobonensis tienen 4, 8, 10, 12 y 15 puntos y todos ellas son
constructibles. En el folio 23 del codice, sin embargo, aparece un ejemplo
de 48 puntos, mientras que en el folio 3 aparece otro de 14 puntos, y
nalmente en el folio 49 aparece una de 11 puntos; todos ellos no son
constructibles.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 30 / 64

31. Parte II De sabor contemporaneo
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 31 / 64

32. La presencia del concepto de fractal
En esta seccion propongo que los antiguos~nuu savi(o por lo menos
losta'ani wisi taku, los losofos-artistas que componan los codices)
ya posean el concepto de lo que en la matematica contemporanea se
conoce comofractal.
El doctor Gerardo Burkle Elizondo, de la Universidad Autonoma de
Zacatecas ha realizado extensivas mediciones fractales de la escultura
y ceramica mayas y mexicas; los resultados que ha obtenido son muy
sugestivos.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 32 / 64

33. Mediciones fractales
\En mas de 130 guras analizadas hasta ahora, que hemos
divido en 10 grupos:
1Tableros de Palenque, 2Estelas mayas, 3Jeroglcos mayas, 4Piramides mayas y mexicas, 5Paginas de codices diversos correspondientes a tonalamatl, 6Paginas diversas del codice Dresden, 7Monumentos de piedra (vista frontal), 8Piedras astronomicas circulares, 9Secciones de varios murales mesoamericanos y 10Vasos mayas y otras guras,
todas han resultado con una dimension fractal alta, que de hecho
hasta ahora en nuestros resultados preliminares hemos podido
ubicar en el rango entre1:803y2:277, estando la mayora entre
1:9y2."
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 33 / 64

34. Hay que tomarlo con calma
En la escritura~nuu savi, la posicion, forma, color y relacion entre los
elementos intervienen en su semantica. Por lo tanto no hay otra
forma de tratarlo mas que como una imagen.
De aqu que la dimension fractal de la escritura mixteca (si es que la
tiene) debe ser superior a 1.
Sin embargo, que los codices~nuu savitengan esta complejidad
manifestada en su dimension fractal, no signica que los~nuu savi
conocieran lo que nosotros denominamos como fractal. Aun as, hay
algunas evidencias que tienen un peso considerable.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 34 / 64

35. El

Arbol de Apoala
En el folio 37 del codice Vindobonensis aparece lo que se muestra en la
gura. En la parte inferior, al centro, esta la representacion de lo que se
conoce como elArbol de Apoala, de donde los mitos dicen que
descendieron los primeros~nuu savi.
Figura:Folio 37 del codice Vindobonensis.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 35 / 64

36. El

Arbol de ApoalaSi removemos los adornos propios del estilo, obtenemos esencialmente la
estructuras presentes en la gura. En el lado izquierdo aparece con angulos
rectos para asemejarse mas a la representacion del codice. No hay que
alterarlo demasiado para llegar a lo que se ve en el lado derecho; basta
disminuir un poco los angulos entre las ramas.
Figura:Estructura del arbol de Apoala.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 36 / 64

37. Una interpretacion
Observemos lo siguiente.
1En el arbol, la ramicacion izquierda es mas larga que la derecha. 2En el subarbol izquierdo, el arbol se reeja y reescala, pues ah la
rama derecha es mas larga que la rama izquierda.
3Una vez mas esto se repite en las dos ramicaciones peque~nas, siendo
(como en el arbol mas grande) la ramicacion izquierda mas larga
que la derecha.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 37 / 64

38. Autosemejanza
Los objetos fractales son invariantes bajo las llamadas
transformaciones de Hutchinson, que reescalan y copian una imagen.
De hecho, a muchos tipos de fractales esta propiedad los caracteriza
completamente.
Son semejantes a s mismos, en un forma parecida (aunque no igual)
a la que lo son las grecas de Mitla.
Mas aun, los objetos fractales son los puntos jos o atractores de los
operadores de Hutchinson, por lo cual tambien esta presente la idea
de estabilidad.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 38 / 64

39. Recursion escalada
Para trazar los arboles de la estructura delArbol de Apoala.
requerimos de un programa recursivo, donde cada paso se vea
afectado por un factor de escala menor que 1.
La misma idea tambien esta presente en la ciclicidad del calendario,
donde los bucles se escalan en bucles sucesivamente mas grandes.
Una caracterstica de la recursividad es quecada paso de la
realizacion de un proceso depende del anterior
. El doctor Gerardo Burkle Elizondo atinadamente se~nala: \Si bien los
fractales son recursivos, no toda geometra recursiva es fractal, pues
se requiere que exista escalancia... en lo referente a los fractales, las
ramicaciones del objeto varan de acuerdo a leyes de potencia..."
(Comunicacion personal).
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 39 / 64

40. Caos y complejidad
La manera en la que se construye cada paso de un objeto fractal
depende del paso anterior, por lo cual
peque~nas alteraciones en uno
de los pasos puede afectar de manera dramatica el resultado nal
,
conduciendonos a una respuesta no lineal de un sistema.
Una medida de que tan complejo es un fractal es su dimension, la
cual discutiremos mas adelante en la concepcion de Felix Hausdor.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 40 / 64

41. Un algoritmo
Algoritmo (Figura fractal semejante a un arbol) Se invoca inicialmente comoApoala(r; `0; ), donde 0<r<1 es el
factor de escala,`0es la longitud del tronco original yes el angulo entre
el tronco y las ramas.
1:funcionApoala(r; `; )2:si` >0:1entonces3:Traza una rama avanzando`y giragrados a la derecha.4:Apoala(r; `r; ).5:Gira 2grados a la izquierda.6:Apoala(r; `r; ).7:Retrocede`.8:n si9:n funcion
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 41 / 64

42. Transformaciones de Hutchinson
Supongase que se tiene un subconjunto compactoSdeR
2
, y un
operadorTque toma al conjunto, lo reescala en un factor 0<k<1
y hace un \collage" de copias deS.
Un ejemplo de tal transformacion es la que genera la gura fractal del
arbol: se toma al arbol, se escala en un factorry se colocan dos
copias de la reduccion como ramas del arbol. Una transformacion
comoTse llamatranformacion de Hutchinson.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 42 / 64

43. Puntos jos
SiTes una transformacion de Hutchinson, >tiene solucion la
ecuacionT(S) =S?
Eligiendo una metrica apropiada (la metrica de Hausdor) para el
conjunto de todos los subconjuntos compactos deR
2
, entonces
las
transformaciones de Hutchinson son contracciones
. Ademas el conjunto de todos los subconjuntos compactos deR
2
es
un espacio metrico completo.
Por el teorema de contraccion de Banach obtenemos queTtiene un
punto jo y que, ademas, es unico. Mas aun: siUR
2
es compacto
entonces la sucesionT(U);T
2
(U); : : :converge a dicho punto jo.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 43 / 64

44. Multifractales
Denicion El fractal F denido por una transformacion de Hutchinson T es el unico
subconjunto compacto deR
2
que es punto jo de T. Esto es, T(F) =F.
Cuando el factor de escala es constante en todo el espacio metrico, se
dice que el fractal esuniformemente autosimilar.
Puede ser, sin embargo, queel factor de escala sea distinto en
diferentes puntos del espacio metrico
, en cuyo casohablamos de
multifractales
. Aun en ese caso una transformacion de Hutchinson
tiene un unico punto jo.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 44 / 64

45. Medida de HausdorUna forma de medir la \complejidad" de un fractal es a traves del
concepto de dimension.
Denicion (Medida de Hausdor) Sea X un espacio metrico, AX, d0y
CR=fB(si;ri) :si2X;riRg
una cubierta contable de bolas abiertas de A. El numero
H
d
(A) = inf
CR
(
y:
1
X
i=0
r
d
iy
)
es la medida d-dimensional de Hausdor del conjunto A.
Notamos que la medidad-dimensional de Hausdor puede no ser entera ni
nita.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 45 / 64

46. Dimension de Hausdor
Denicion (Dimension de Hausdor) Con la notacion de la denicion anterior, la dimension de Hausdor del
conjunto A es el numero
D(A) = inf
d
fH
d
(A) = 0g:
Por ejemplo, un puntoxenR
n
puede cubrirse con una bola cerrada de
radio 0. Ahora bien, 0
d
= 0 parad>0, por lo tantoH
d
= 0 parad>0,
de dondeD(fxg) = 0. Esto coincide con la dimension euclidiana.
La dimension de Hausdor es
extremadamente difcil de determinaren
general. No permite estimar de manera practica la dimension de una
imagen dada. Por ello se utiliza una denicion alternativa de dimension.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 46 / 64

47. Otra dimension
Denicion (Dimension de capacidad) Sea X un espacio metrico, AX totalmente acotado y una cubierta nita
de cardinalidad n(r)mnima de bolas cerradas de radio r de A. Denimos
la dimension inferior de capacidad D
b(A)de A como
D
b(A) =lm inf
r>0
logn(r)
logr
y la dimension superior de capacidad de
Db(A)comoDb(A) =lm sup
r>0
logn(r)
logr
:
Si ambos valores coinciden designamos a dicho valor como la dimension de
capacidad Db(A)de A.
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48. Discrepancias
Tristemente la dimension de capacidad no siempre coincide con la
dimension de Hausdor. Puede demostrarse que todo conjunto contable
tiene dimension de Hausdor 0. Sin embargo,f
1
n
g
1
n=1
para >1 es
contable pero
Db

1
n


1
n=1

=
1
+ 1
>0
como demuestran Misk yZacik. Solo para el caso de fractales
uniformemente autosimilares se sabe que estas dimensiones coinciden,
como fue demostrado por Hutchinson.
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49. Discrepancias
No es de esperar que los codices~nuu savisean fractales autosimilares.
Por eso, no podemos aspirar a conocer su dimension segun Hausdor.
En su lugar, la dimension de capacidad puede estimarse por el
algoritmo de conteo de cajas.
Esta dimension da una idea de \que tanta informacion" contiene la
imagen en cuestion.
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50. Algoritmo de conteo de cajas
Algoritmo
Entrada:Un subconjunto compactoSR
2
, el lado inicial de las cajasd
y un factor de contraccion 0<r<1.
Salida:Una estimacion de la dimension de capacidad deS.1:parak= 0 hastaLhacer2:Cubrir aScon un retculo de cajas de ladodr
k
.3:Contar cuantas cajasn(dr
k
) contienen alguna porcion deS.4:n para5:Gracarlndr
k
=klnrlndcontra lnn(dr
k
).6:Ajustar una recta de mnimos cuadrados.7:devolverLa pendiente de la recta de ajuste.
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51. Una imagen dice mas que mil palabras
Figura:Folio 13 del codice Vindobonensis.
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52. Una imagen dice mas que mil palabras
Figura:Conteo de cajas para el folio 13 del codice Vindobonensis conFDC.
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53. Conteos de cajas
dn(d)lndlnn(d)13530-4.905273.401211248-4.71853.87129371-4.53264.262687797-4.343814.5747164127-4.158884.8441953186-3.970295.2257544261-3.784195.5645236374-3.583525.9242629572-3.36736.3491424804-3.178056.6896191187-2.944447.07918151793-2.708057.49165
Cuadro:
Algunos resultados para el algoritmo de conteo de cajas para el folio 13
del codice Vindobonensis (r= 1:2).
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54. La graca
Figura:
Graca de los conteos y el ajuste de mnimos cuadrados para el folio 13
del codice Vindobonensis.
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55. La estimacion
Utilizamos el programa R para calcular el ajuste de mnimos
cuadrados, devolviendonos la estimacionDb= 1:784811 con
desviacion estandar de 0:01692.
Como puede verse en la gura anterior, el ajuste es bastante bueno. Este resultado es un poco bajo para los estandares de Burkle Elizondo. Una razon es que las paginas de codices que el tomo corresponden a
pictografas concernientes al calendario.
Otra razon es que el utilizo un programa comercial para realizar sus
mediciones.
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56. Una comparacion
A nes de comparacion, estimaremos la dimension fractal de un fragmento
de texto (visto como imagen) de una nota periodstica reciente.
Figura:Texto de prueba.
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57. Ajuste para el texto
Figura:
Graca de los conteos y el ajuste de mnimos cuadrados para el texto de
prueba.
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58. Resultado
En este caso la estimacion de la dimension fractal esDb= 1:646313
con una desviacion estandar de 0:02956.
El ajuste no es tan bueno como en el caso del codice. Ademas, la
dimension de capacidad resulto menor.
En conclusion, podemos considerar que tiene mayor ractalidad" la
imagen proveniente del codice que una muestra de texto alfabetico
visto como imagen.
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59. Observadores de la naturaleza
Como puede conrmarse en los codices,los sabios de los antiguos
pueblos~nuu savieran acuciosos observadores de la naturaleza
. Probablemente esa atencion a los fenomenos naturales les
revelo algunos de los principios matematicos que los gobiernan.
Tuvieron conciencia de la recursividad y autosimilaridad presente en el
crecimiento de los vegetales, como lo atestiguan los glifos.Figura:
Ejemplos de vegetales recursivos y autosimilares que aparecen en el codice
Bodley, Selden y Vindobonensis.
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60. Nduta, ~nuu, nima, tachitii
Pero el ejemplo quiza mas soprendente es la manera en la que
representaban algunos uidos como el aire, el humo, el fuego y el
agua.
Para ellos el humo y el viento setrasladan en lneas de ujo bien
denidas que se bifurcan y reescalan
. Incluso en el perl de la ola del mar se percibe la autosimilaridad a un
nivel de recursion.
Figura:Flujos autosimilares en el codice Vindobonensis.
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61. Conclusiones
1El pensamiento prehispanico (en particular en el ambito matematico)
era completamente diferente al pensamiento europeo de la epoca.
2Los antiguos pueblos prehispanicos hacan matematicas mas alla de la
aritmetica elemental, pero sus motivaciones para hacerlas estaban
ntimamente ligadas a su religion.
3Los pensadores prehispanicos observaban congran atenciona la
naturaleza.
4Se necesita mas investigacion de campo y que los arqueologos,
historiadores y etnologos recopilen datos utiles para completar la
historia de las matematicas prehispanicas.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 61 / 64

62. Bibliografa
ORTIZ, Ignacio y ORTIZ, Reina (eds.)Pasado y presente de la
cultura mixteca. Universidad Tecnologica de la Mixteca. Huajuapan de
Leon, Mexico, 2005.
BURKE, Paul.Fractal dimension calculator.
URL:http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals
BURKLE ELIZONDO, Gerardo.Analisis fractal de dos estructuras
mesoamericanas. URL:
www.ciu.reduaz.mx/investigacion/Humanisticas/HE06.htm
CASTELLANOS, Abraham.Conferencias historico-pedagogicas.
Ayuntamiento de Merida. Yucatan, 1917.
Equipo de desarrollo del nucleo de R.R: Un lenguaje y entorno para el
computo estadstico, la fundacion R para el computo estadstico,
Viena, URL:http://www.R-project.org
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 62 / 64

63. Bibliografa
KOSTOVSKY, A. N.Construcciones geometricas mediante un
compas. Ed. Mir. Moscu, 1980.
MISIK, Ladislav yZACIK, Tibor.A formula for calculation of metric
dimension of converging sequences. Comment. Math. Univ. Carolinae
31.4(1999), 393-401.
PEITGEN, Otto, et al.Chaos and fractals: new frontiers in science.
Spriger-Verlag, Nueva York, 1992.
RAMIREZ BAUTISTA, Francisco Miguel.Primera vision de la
geometra prehispanica. Mexico Desconocido, No. 219, mayo de 1995.
VARGAS MENDOZA, Jose A.

Algebra abstracta. Limusa. Mexico,
1986.
Codice Vindobonensis.
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 63 / 64

64. <Gracias por su atencion!
(Y no olviden comprar los libros de
las memorias de la Semana de la Cultura Mixteca)
O. A. Agustn Aquino (UTM-IFM)Geometra prehispanica mixteca2 de junio de 2006 64 / 64