PRESENTACION GRUPAL CALCULO VECTORIAL UNIDAD 5.pptx

Presentación Tema 5

1. TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL AGOSTO-DICIEMBRE 2023 INGENIERIA INDUSTRIAL CALCULO VECTORIAL ACF-0904 3-2-5 DOCENTE: CIRILO ALBERTO LAGOS QUIROZ. TEMA 5: INTEGRACIÓN MULTIPLE. 01 DE DICIEMBRE DEL 2023

2. ALUMNOS PARTICIPANTES: ALVARADO HERNÁNDEZ CELSO VENICIO. ALVARADO HERNÁNDEZ JESÚS RICARDO. AVENDAÑO DE LA CRUZ ALBERTO. BACA CARDENAS GUILLERMO. CALDERÓN RIVERA JOSÉ ORLANDO. CASTELLANOS FRANCO HANNIA. CRUZ ZACARIAS KEVIN OBED. DE LA CRUZ RAMÍREZ MARLA HIROMI. DEL ANGEL FELIPE LUCERO. GOMEZ JIMAREZ VIVIANA CECILIA. HERNÁNDEZ BAUTISTA MARLY MAYAM. HERNÁNDEZ NICOLAS BLANCA LIZETH. LANDA MORALES SANTIAGO ABINADI. LÓPEZ REYES WENDY PATRICIA. LOYA ONOFRE GLORIA YULISA. LUGO DE LA CRUZ EDUARDO. MARQUEZ BAUTISTA JOSE ANGEL. MARTINEZ VICENCIO LAURA JIMENA. MORALES MENDIOLA JESUS EMMANUEL. ONOFRE DOMÍNGUEZ AYLIN GUADALUPE. PICHARDO REYES SULEMI YURITZY. SOBREVILLA CRUZ SALMA PATRICIA. Cerro Azul, Ver., a 01 de Diciembre del 2023.

3. TEMARIO 5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles. 5.2 Integrales iteradas. 5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. 5.4 Integral doble en coordenadas polares. 5.5 Integral triple en coordenadas rectangulares. Volumen. 5.6 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. 5.7 Campos vectoriales. 5.8 La Integral de línea. 5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. 5.10 Teoremas de integrales.

4. 5.1 CÁLCULO DE ÁREAS E INTEGRALES DOBLES. Las integrales dobles son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Entre otras cosas nos permite calcular el volumen bajo una superficie. Dada una función de dos variables, f ( x,y ) f( x,y ), puedes encontrar el volumen bajo una superficie, entre la gráfica y una región rectangular del plano "X“ y " xy " al tomar la integral de una integral. Esta es una función de y: ¹ ² (∫ f( x,y ) dy   ½ ʸ ¹ ˣ ˣ Llamamos a esta "integral doble“ puedes cambiar el orden de integración para calcular el mismo volumen. Esta es una función de X:   ¹ (∫ f( x,y ) dx ˣ ˣ ² ¹ ʸ ² ʸ Las cuentas se verán y serán muy diferentes, pero el resultado es el mismo.

5. EJEMPLO 1 .- Calcular el área usando doble integral. Región limitada por las curvas. Calculamos los puntos de intersección. x²= 3x x=0 x²-3x=0 x=3 Tipo 1 X(x-3)=0 0<x<3 x ²<y<3x A= dydx   ˣ ˣ ² Y=3x Y=x² ³ ³ ⁰ ³ ˣ ³ = y| dx = (3x-x) dx - ) | = ( - )-( - )   ³ ⁰ ² ˣ ⁰ =  

6. EJEMPLO 2 .- Región limitada por las curvas     Tipo 2   A= A= I = I ) =  

7. EJEMPLO 3 .- Resuelve la siguiente integral doble. = = = = = =  

8. 5.2 INTEGRALES ITERADAS. Una integral iterada es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluadas con respecto a diferentes variables). Es importante tener en cuenta en qué posición se dan los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden se ejecutarán los procesos de integración simple, es decir reconocer si se va a integrar primero considerando el diferencial dx o el dy o viceversa. Área de una región en el plano del eje "x“ Si la región R está definida por y g1(x) g2 (x), donde g1(x) y g2 (x) son funciones continuas en el eje x del intervalo [ a,b ]. La Región Restá dada por:   A=   Área de una región en el plano del eje “y” Si la región r está definida por y h1 (x) h2 (y) donde h1 (y) y h2 (y) son funciones continuas en el eje x del intervalo [ c,d ]. La Región R está dada por:    

9. EJEMPLO 1.- Calcular la integral iterada = = = = =[ ]  

10. EJEMPLO 2.- = = = = = =  

11. EJEMPLO 3.- . = = ] = =- = =-  

12. 5.3 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS RECTANGULARES. En coordenadas rectangulares, una integral doble representa la integral de una función definida sobre una región bidimensional en el plano. La forma general de una integral doble en Coordenadas rectangulares es la siguiente: Donde f ( x,y ) es la función que desea integrar y dA representa el elemento diferencial de área sobre la región de integración. La región de integración se define especificando los límites de integración para “x“ y "y", que determinan el tamaño y la forma de la región. La evaluación de una integral doble en coordenadas rectangulares implica la aplicación de las reglas de integración adecuadas. Estas reglas pueden involucrar cambios de variable, descomposición en regiones más simples. La integral resultante dará como resultado un número que representa el valor de la integral sobre la región de integración específica.  

13. EJEMPLO 1.- = = = 1 =  

14. EJEMPLO 2.- = = = | = = = | | =   = = = | = = = = = |1|) =   EJEMPLO 3.-

15. 5.4 INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES. Para cambiar una integral doble de coordenadas rectangulares a coordenadas polares se hace una transformación. Iniciando desde el centro de la doble integral hacia afuera, los límites inferior y superior de la primera integral representan el radio de la circunferencia y después los límites de la segunda integral representan el área bajo la curva, y finalmente, la conversión es la siguiente: La integral doble en coordenadas polares involucra realizar una integral doble en la región descrita por las coordenadas polares. Donde f(r, ) es la función a integrar, r es la distancia desde el origen al punto en coordenadas polares y es el ángulo desde el eje x positivo al punto en coordenadas polares.  

16. EJEMPLO 1.- = = = | = = = = =    

17. EJEMPLO 2.- = = = = =     EJEMPLO 3.- V= V= =    

18. 5.5 INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS RECTANGULARES . VOLUMEN. Si F( x,y,z ) es una función definida en una región cerrada D y acotada en el espacio, como la región ocupada por una bola sólida o un montón de arcilla, entonces, la integral de F sobre D se define de la siguiente manera. Partimos una región en forma de caja rectangular que contiene a D en celdas rectangulares mediante planos paralelos a los ejes coordenados. Numeraremos las celdas que están dentro de D desde 1 hasta en algún orden, donde la K- ésima celda tiene las dimensiones ∆ x_k por ∆ y_k por ∆ z_k y volumen ∆ v_k = ∆ x_k∆y_k ∆ z_k . Seleccionando un punto ( x_k,y_k,z_k ) en cada celda y formamos la suma… Sn□=∑_(k=1)´n □ ( x_k,y_k,z_k ) ∆ v_k . Volumen Si F es una función constante cuyo valor es 1, entonces las sumas de la ecuación (1) se reduce a: Sn=∑ _ k,y_k,z_k )∆v_(k=) _(k=)□□∑ Cuando ∆ x_k , ∆ y_k , ∆ z_k tienden a cero, las celdas ∆v_(k1) se hacen cada vez más pequeñas y más numerosas, y cubren una parte cada vez mayor de D. Por lo tanto, definimos el volumen de D como la integral triple.  

19. EJEMPLO 1.- Procedimiento.-   dA    

20. Hallar el volumen del sólido limitado en el primer octante por los planos coordenados y por el plano = = = =   EJERCICIO 1.-     }    

21. EJEMPLO 2.- Hallar el volumen del solido limitado en el primer octante por los planos coordenados y las superficies. Sup =   =   = = =  

22. EJEMPLO 3.- V= V= V= = = =  

23. 5.6 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS. Coordenadas cilíndricas. En el espacio bidimensional , en un punto con coordenadas rectangulares ( x,y ) se puede identificar con ( en coordenadas polares y viceversa, donde son las relaciones entre variables. Entre el espacio tridimensional un punto con coordenadas rectangulares ( x,y,z ) y viceversa. Podemos utilizar estas mismas relaciones de conversión, añadiendo z como la distancia vertical al punto desde el plano xy . Coordenadas esféricas. Sistemas de coordenadas esféricas, especificamos un punto P por su distancia P desde su origen, el ángulo polar del eje positivo de la x igual que en el sistema de coordenadas cilíndricas, y el ángulo P deleje positivo de la z y la línea op .  

24. EJEMPLO 1.- Evaluar una integral triple sobre una caja cilíndrica. = donde la caja cilíndrica B es Solución =  

25. EJEMPLO 2.- Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región general. Considere la región E dentro del cilindro circular recto con ecuación 𝑟=2𝑠𝑒𝑛 𝜃 delimitada abajo por el plano 𝑟𝜃 y delimitada por la esfera de radio 4 centrada en el origen. Establece la función f(𝑟,𝜃𝑧) Solución E= Integral triple  

26. EJEMPLO 3.- Evaluar una integral triple en coordenadas esféricas. Evalué la integral = iterada Solución = =(2 ) =  

27. 5.7 CAMPO VECTORIAL. Los campos vectoriales son una herramienta importante para describir muchos conceptos físicos, como la gravitación y el electromagnetismo, que afectan al comportamiento de los objetos en una gran región de un plano o del espacio. También son útiles para tratar el comportamiento a gran escala como las tormentas atmosféricas o las corrientes oceánicas de aguas profundas. En esta sección examinando las definiciones básicas y los gráficos de los campos vectoriales para poder estudiarlos con más detalle en el resto de este capítulo. Un campo vectorial F en es una de un vector bidimensional F( x,y ) a cada punto ( x,y ) de un subconjunto D es el dominio del campo vectorial. Un campo vectorial F en es una asignación de un vector tridimensional F( x,y,z ) de un subconjunto D de El subconjunto D es el campo vectorial.  

28. EJEMPLO 1.- div .   EJEMPLO 2.- Hallar un vector asociado a un punto dado. Supongamos que F ( x,y ) = ( es un campo vectorial en ¿Qué vector está asociado el punto (0,-1)?  

29. EJEMPLO 1.- Datos del problema X= Solución =[ ]=   F =( ,  

30. 5.8 LA INTEGRAL DE LA LÍNEA. Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva. El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea o integrales de superficie respectivamente. Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. La función integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial, el valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por una función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva. Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en los términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como: W= Que tiene su paralelismo en la integral de línea: W= Que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo.  

31. EJEMPLO 1.- Integral de línea de un campo escalar Se desea evaluar la integral de línea: Sobre la élice En primer lugar notemos que: Por lo que: |= = Y como: Entonces:  

32. EJEMPLO 2.- Integral de línea de un campo escalar Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio r es 2 , es decir, buscamos hallar: Siendo C la longitud de una circunferencia de radio r. Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio r centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es: Dado que: Por lo tanto: L(C)= =  

33. EJEMPLO 3.- Integral de línea de campos escalares Para trayectorias r: [ a,b ] → que satisfagan si Denota un vector tangente unitario a C entonces: Donde por lo tanto :  

34. 5.9 DIVERGENCIA, ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA. Divergencia Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Ω y consideremos sus coordenadas F Supongamos F es diferenciable en un punto lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk , con k=1,2,…n, sean diferenciables en el punto a. Pues, bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por divF (a). Así pues se tendrá: Para un campo vectorial plano ( x,y )7 que sea diferenciable en un punto (x0,y0) tendremos: Rotacional Rotacional en el espacio. Sea F=(P,Q,R) un campo vectorial definido en un abierto Ω y diferenciable en un punto a . Del mismo modo que la divergencia divF (a) se obtiene como el producto escalar simbólico Así pues:    

35. 5.9 DIVERGENCIA, ROTACIONAL, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y FÍSICA. Rotacional Rotacional en el espacio. Sea F=(P,Q,R) un campo vectorial definido en un abierto Ω y diferenciable en un punto a . Del mismo modo que la divergencia divF (a) se obtiene como el producto escalar simbólico Así pues:      

36. EJEMPLO 1.- Sea el campo vectorial F( x,y,z )=(0, cos (x2), -sen( x,y )) determine su rotacional. Solución: Al aplicar la definición de rotacional se obtiene el siguiente vector que lo representa.  

37. EJEMPLO 2.- Demuestre que cualquier campo vectorial definido por F( x,y,z )= (f(x),g(y),h(z)), donde f,g,h , son funciones derivables, es irrotacional. Solución: Se dice que un campo vectorial es irrotacional si se demuestra que al aplicar la definición el rotacional se obtiene: Por lo que se puede afirmar que el campo es irrotacional.  

38. EJEMPLO 3.- Sea el campo vectorial F( x,y,z )= determine su divergencia. Solución:  

39. 5.10 TEOREMAS DE INTEGRALES. APLICACIONES. Teorema de Green. Sea C una curva dada por la parametrización: Se dice que la curva es cerrada si r(a)=r(b).C se dice que es una curva simple si r es inyectiva en ( a,b ), es decir, si: r(t1)≠r(t2) cuando a Teorema de Green. Sea C una curva en el plano cerrada simple suave atrozos y orientada positivamente. Si P( x,y ) y Q( x,y ) son dos funciones reales de clase e , entonces:  

40. 5.10 TEOREMAS DE INTEGRALES. APLICACIONES. Teorema de Stokes. Dado un campo vectorial cuyos componentes F1,F2,F3 tienen derivadas parciales, que denotaremos por rotF , entonces: El calculo rotacional se puede hacer de forma sencilla mediante la expresión simbólica: Teorema de divergencia Gauss. Dado un campo vectorial F de I cuyos componentes F1,F2,F3 tienen derivadas parciales, se define la divergencia de F, que demostraremos por divF , como el campo escalar:    

41. Solución La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos: Por lo tanto; |   EJEMPLO 1.- Teorema de Green. Transformación de una integral de línea en una de área. Evaluar donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0),(0;1) y (1;0), orientada positivamente.  

42. EJEMPLO 2.- Teorema de Stoke . Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F( x;y;z )=3yi+ 4zj-6xk= 9- ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba. Solución. La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy . Podemos parametrizarla como:   Con esta parametrización tenemos:  

43. EJEMPLO 3.- Teorema de divergencia de Gauss. Deseamos evaluar donde es la esfera unitaria descrita por Y F( x,y,z )= Por lo que: = = Donde S es la bola unitaria dada por Dado que la función y es positiva en un hemisferio de S y negativo en el otro entonces la integral sobre S vale cero, similarmente para la función Z, esto es: Por lo que: