PROGRAMACION LINEAL_Procesos descriptivos de Matemáticas

Programación lineal

1. Programación Lineal 0749 Sesión sincrónica 1. 202 4

2. REGLAMENTO ESTUDIANTIL Regula las relaciones e interacciones de los aspirantes y estudiantes con el POLITÉCNICO INTERNACIONAL, INSTITUCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR, los derechos y obligaciones , las situaciones académicas y administrativas. https://politecnicointernacional.edu.co/sw/sites/default/files/2020-03/REGLAMENTO_ESTUDIANTES.pdf

3. Metodología clases Dedicación por parte del estudiante ORGANIZACIÓN POR CREDITOS ACADÉMICOS PARA PROGRAMAS VIRTUALES Trabajo Autónomo 40 horas en el periodo Trabajo Sincrónico 8 horas en el periodo 1 C r éd i t o 48 horas totales de trabajo en el periodo por crédito académico Por 1 hora de trabajo con el docente debo dedicar 4 horas de manera independiente

4. Diseño y producción de asignaturas virtuales Ilustración 1. Estructura General de una asignatura en modalidad virtual Oct 28 Oct 28 Oct 28 Nov 4 Nov 8

5. Docente Ingeniero Industrial de la Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito. Especialista en Gestión Integrada QHSE de la Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Magister en Ingeniería con Especialidad en Calidad y Productividad del Institución de Estudios Tecnológicos y Superiores de Monterrey – Tecnológico de Monterrey. Auditor de Sistemas de Gestión de Calidad ISO 9001, Ambienta ISO 14001 y SST OHSAS 18001. Vicerrector Académico y de Investigación del Politécnico Internacional. Consultor en Aseguramiento de la Calidad. Líder Funcional ISO 9001 Experto en diagramación y automatización de procesos en BPM.

6. Programación Lineal 0749 Sesión sincrónica 1

7. Criterios de Evaluación Fecha Forma % 28 de octubre Cuestionario Núcleo 1: Apropiar conceptos principales de la programación lineal. 10% 28 de octubre Actividad 2. Tarea entregable: ejercicio método gráfico 10% 28 de octubre Actividad 3. Tarea entregable: ejercicio método Simplex 30% 4 de noviembre Actividad 4. Cuestionario 10% 8 de noviembre Caso de estudio integrador 30% 8 de noviembre Diagnostico final, autoevaluación y coevaluación 10%

8. Resultados de aprendizaje esperados Definir los componentes de un modelo de programación lineal y los relaciona con situaciones del entorno real en una organización ¿Qué es una función lineal? Plano cartesiano Matriz Función objetivo Variable Restricción

9. ¿Qué es una ecuación lineal? Se llama ecuación lineal o ecuación de primer grado, a una igualdad planteada que involucra la presencia de una o más variables que sólo están elevadas a la primera potencia (o sea que no ves ningún exponente en las mismas) y que no contiene productos entre ellas . En otra palabras una ecuación lineal que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.   En donde: a, b y c son constantes. X y Y son variables e incógnitas

10. ¿Qué es una ecuación lineal? Solución sencilla por método gráfico u otros métodos.       En donde: b es el punto de corte con el eje Y y m es la pendiente. Ecuación de la recta (Punto pendiente)  

11. ¿Qué es una ecuación lineal? Ejemplo Solucione el siguiente sistema de ecuaciones lineales (Gráficamente)   Forma punto pendiente   Graficar en plano cartesiano

12. ¿Qué es una ecuación lineal? Ejemplo Solucione el siguiente sistema de ecuaciones lineales (Gráficamente) Graficar en plano cartesiano 1 2 3 4 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 1. Ubicar punto de corte con y. 2. Analizar pendiente o graficar otro punto   Solución (1,3)

13. ¿Qué es una ecuación lineal? Ejemplo Solucione el siguiente sistema de ecuaciones lineales (Gráficamente) Solución algebraica   Solución (1,3)   Ecuación 1 * 2 +     Si y es igual a 3 lo reemplazamos en cualquier ecuación para encontrar X  

14. ¿y si tenemos m ecuaciones lineales con n incógnitas? En forma matricial el sistema se puede representar cono el producto de dos matrices, una conformada por coeficientes a y la otra por n variables x. El resultado de su producto es la matriz de términos independientes, es decir los m valores de b

15. ¿y si tenemos m ecuaciones lineales con n incógnitas? Dimensiones: ( mxn ) * (nx1) = (mx1) Multiplicación de matrices A x B = C # columnas de A = # filas de B C = # de filas de A y # columnas de B

16. ¿y si tenemos m ecuaciones lineales con n incógnitas? Ejemplo Multiplique las siguientes matrices AxB                    

17. Recordemos otros conceptos Matriz identidad Matriz cuadrada y esta formada por elementos iguales a cero a excepción de su diagonal principal que tiene valores iguales a 1. Propiedad: Matriz inversa Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden) se obtiene la matriz identidad.

18. Programación lineal ¿Qué es? Herramienta que se utiliza para encontrar la mejor solución a los problemas que estén representados por modelos en forma de función o ecuación lineal. Modelo Representación de un objeto o una situación. Determinística Se supone que se conocen los parámetros del modelo.

19. Programación lineal Componentes de un modelo Función objetivo : Función lineal de las variables de decisión de la cual se busca la minimización o maximización para los valores de la región factible de un programa lineal. Variables de decisión: Conjunto de variables que representan las diferentes posibilidades de decisión en una situación representada por un problema. Son variables sobre las cuales tenemos control. Restricciones : Conjunto de ecuaciones e inecuaciones que deben cumplir todas las soluciones posibles de un programa lineal. Las inecuaciones serán siempre de mayor o igual, o de menor o igual.

20. Programación lineal Ejemplo En un almacén de frutas hay 800 kg de naranjas, 800 kg de manzanas y 500 kg de plátanos. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 kg de naranjas, 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos; el lote B se compone de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. El beneficio por kilogramo que se obtiene con el lote A es de 1200 u.m . y con el lote B de 1400 u.m . Determinar el número de kilogramos de cada tipo para conseguir beneficios máximos. Variables de decisión     Función objetivo  

21. Programación lineal Ejemplo En un almacén de frutas hay 800 kg de naranjas, 800 kg de manzanas y 500 kg de plátanos. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 kg de naranjas, 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos; el lote B se compone de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. El beneficio por kilogramo que se obtiene con el lote A es de 1200 u.m . y con el lote B de 1400 u.m . Determinar el número de kilogramos de cada tipo para conseguir beneficios máximos. Restricciones       Naranjas Manzanas Plátanos NN  

22. Solución gráfica Función objetivo   Restricciones              

23. Solución gráfica Función objetivo        

24. Conceptos importantes Función objetivo   Región factible: Espacio en el que se pueden encontrar solución al problema, generalmente es uno de los vértices. Satisface todas las restricciones Múltiples soluciones: Cuando la FO es paralela a cualquier restricción

25. Resultados de aprendizaje alcanzados Definir los componentes de un modelo de programación lineal y los relaciona con situaciones del entorno real en una organización ¿Qué es una función lineal? Plano cartesiano Matriz Función objetivo Variable Restricción

26. Ejercicios Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de minimesas y minisillas que vende a 2000 unidades monetarias (u. m.) y 3000 u. m. por cada artículo, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente un operario para maximizar los ingresos, teniendo las siguientes restricciones: • El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de cuatro por día y operario. • Cada minimesa requiere dos horas para su fabricación; cada minisilla , tres horas. La jornada laboral máxima es de diez horas. • El material utilizado en cada minimesa cuesta 400 u.m . El utilizado en cada minisilla cuesta 200 u.m . Cada operario dispone de 1200 u.m . diarias para material. Plantee: Variables de decisión, función objetivo y restricciones.

27. Ejercicios Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente 1 tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. Esta compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a 500 u.m . y los de la mina B a 750 u.m . ¿Cuántos días deberán trabajar en cada mina para que la función de coste sea mínima? Plantee: Variables de decisión, función objetivo y restricciones.

28. Ejercicios Soluciones gráficamente los siguientes modelos de PL, presente el gráfico resaltando la región factible, evalúe la FO en cada punto. ¿Cuál es el valor máximo de Z? Función objetivo   Restricciones        

29. Ejercicios Soluciones gráficamente los siguientes modelos de PL, presente el gráfico resaltando la región factible, evalúe la FO en cada punto. ¿Cuál es el valor máximo de Z? Función objetivo   Restricciones        

30. Ejercicios Soluciones gráficamente los siguientes modelos de PL, presente el gráfico resaltando la región factible, evalúe la FO en cada punto. ¿Cuál es el valor máximo de Z? Función objetivo   Restricciones        

31. Programación Lineal 0749 Sesión sincrónica 2.

32. Criterios de Evaluación Fecha Forma % 28 de octubre Cuestionario Núcleo 1: Apropiar conceptos principales de la programación lineal. 10% 28 de octubre Actividad 2. Tarea entregable: ejercicio método gráfico 10% 28 de octubre Actividad 3. Tarea entregable: ejercicio método Simplex 30% 4 de noviembre Actividad 4. Cuestionario 10% 8 de noviembre Caso de estudio integrador 30% 8 de noviembre Diagnostico final, autoevaluación y coevaluación 10%

33. ¿Dudas e inquietudes del método gráfico o de los ejercicios de repaso?

34. Resultados de aprendizaje esperados Desarrollar el método Simplex manualmente Desarrollar el método Simplex en Excel.

35. Método Simplex Algoritmo iterativo, para la resolución de problemas en programación lineal, sin restricción del número de variables y con mayor capacidad de análisis de sensibilidad. Variable de holgura: Se requiere para transformar las inecuaciones de tipo menor o igual en igualdades. Se debe agregar a cada inecuación una nueva variable no negativa llamada “Variable de holgura”

36. Método Simplex Función objetivo   Restricciones       Horas disponibles maquina A Horas disponibles maquina B Variables de holgura     Horas disponibles maquina A Horas disponibles maquina B   Función objetivo  

37. Método Simplex Variables básicas y no básicas En un PL con n variables y m ecuaciones para encontrar una solución básica, se igualan a cero (0) n-m variables que se denominarán No básicas y las restantes se denominan variables básicas Restricciones     Horas disponibles maquina A Horas disponibles maquina B   Función objetivo   n=5 y m=2    

38. Encontremos una solución básica Restricciones     Horas disponibles maquina A Horas disponibles maquina B   Función objetivo   Para encontrar una solución básica, tenemos un sistema de n variables y m incógnitas por lo que hacemos cero (0) n-m variables es decir (5-2)=3       Es decir que           Es decir que     VNB VB VNB VB SBF

39. Ahora si apliquemos el algoritmo simplex Restricciones     Horas disponibles maquina A Horas disponibles maquina B   Función objetivo   Variable básicas Listado de variables Soluciones o LD Z Coeficientes y VD (-) VB Coeficientes y VD LD

40. Ahora si apliquemos el algoritmo simplex VB X1 X2 X3 S1 S2 LD Z -2 -3 -1 S1 1 2 3 1 6 S2 2 1 4 1 8 Tablero inicial F1 F2 F3 Variable con coeficiente más – entra a la base Variable cuya división LD/VE sale de la base 6/2 8/1 Cruce se convierte en pivote VB X1 X2 X3 S1 S2 LD Z X2 1/2 1 3/2 1/2 3 F2=F2*(1/2) F1=3F2+F1 F3=-F2+F3 S2 3/2 5/2 -1/2 1 5 Z -1/2 7/2 3/2

41. Ahora si apliquemos el algoritmo simplex VB X1 X2 X3 S1 S2 LD Z -1/2 7/2 3/2 X2 1/2 1 3/2 1/2 3 S2 3/2 5/2 -1/2 1 5 VB X1 X2 X3 S1 S2 LD F3=F3*(2/3) F1 F2 F3 F2=(-1/2)F3+F2 F1=(1/2)F3+F1 X1 1 5/3 -2/3 2/3 10/3 X2 1 2/3 2/3 -1/3 4/3 Z 13/3 4/3 1/3 32/3     ¿Otra variable puede entrar a la base?  

42. Ahora si apliquemos el algoritmo simplex Y si usamos Excel……

43. Resultados de aprendizaje alcanzados Desarrollar el método Simplex manualmente Desarrollar el método Simplex en Excel.

44. Programación Lineal 0749 Sesión sincrónica 4

45. ¿ Dudas e inquietudes del método gráfico , simplex, uso de solver o de los ejercicios de repaso ?

46. Resultados de aprendizaje esperados Identifica los elementos fundamentales del análisis de sensibilidad. Aplicar el análisis de sensibilidad a un PL.

47. Análisis de sensibilidad Se trata de analizar cómo variaría la solución del modelo, tanto el valor de la función objetivo como el valor de las variables de decisión , en caso de que variaran los coeficientes de coste de la función objetivo o los términos independientes de las restricciones. Función objetivo   Restricciones       Horas disponibles maquina A Horas disponibles maquina B

48. Ejemplo Ken y Larry, Inc., abastecen sus heladerías con tres sabores de helado: chocolate, vainilla y plátano. Debido al clima extremadamente cálido y a una alta demanda de sus productos, la empresa se ha quedado sin el suficiente abasto de ingredientes como leche, azúcar y crema. Por lo tanto, no podrá cumplir con todos los pedidos que ha recibido de sus puntos de venta al menudeo, es decir, de sus heladerías. Debido a estas circunstancias, la empresa ha decidido elegir la cantidad de cada sabor a producir y que maximice la ganancia total, dadas las restricciones de la oferta de los ingredientes básicos. Los sabores de chocolate, vainilla y plátano generan 1.00, 0.90 y 0.95 dólares de ganancia por galón vendido. La empresa sólo cuenta con 200 galones de leche, 150 libras de azúcar y 60 galones de crema en su inventario. Chocolate Vainilla Plátano Leche (Galones) 0,4 0,5 0,4 Azúcar (Libras) 0,5 0,4 0,4 Crema (Galones) 0,1 0,15 0,2

49. Ejemplo a) ¿Cuál es la solución óptima y la ganancia total? b) Suponga que la ganancia por galón de plátano cambia a 1 dólar. ¿Cambiará la solución óptima? y ¿qué se puede decir acerca del efecto de esto en la ganancia total? c) Suponga que la ganancia por galón de plátano cambia a 0.92 dólares. ¿Cambiará la solución óptima? y ¿qué se puede decir acerca del efecto de esto en la ganancia total? d) Suponga que la compañía descubre que se han echado a perder tres galones de crema y que se les debe desechar. ¿Cambiará la solución óptima? y ¿qué se puede decir acerca del efecto de esto en la ganancia total? e) Suponga que la empresa tiene la oportunidad de comprar 15 libras más de azúcar a un costo total de 15 dólares. ¿Debe hacerlo? Explique su respuesta. f ) Complete la información del informe de sensibilidad para la restricción de la leche, dada la solución óptima para el problema. Explique cómo dedujo cada cifra.

50. Ejemplo Variables de decisión     Función objetivo   Restricciones          

51. Ejemplo  

52. Ejemplo a) ¿Cuál es la solución óptima y la ganancia total? b) Suponga que la ganancia por galón de plátano cambia a1 dólar. ¿Cambiará la solución óptima? y ¿qué se puede decir acerca del efecto de esto en la ganancia total? c) Suponga que la ganancia por galón de plátano cambia a 0.92 dólares. ¿Cambiará la solución óptima? y ¿qué se puede decir acerca del efecto de esto en la ganancia total? d) Suponga que la compañía descubre que se han echado a perder tres galones de crema y que se les debe desechar. ¿Cambiará la solución óptima? y ¿qué se puede decir acerca del efecto de esto en la ganancia total? e) Suponga que la empresa tiene la oportunidad de comprar 15 libras más de azúcar a un costo total de 15 dólares. ¿Debe hacerlo? Explique su respuesta. f ) Complete la información del informe de sensibilidad para la restricción de la leche, dada la solución óptima para el problema. Explique cómo dedujo cada cifra.

53. Ejemplo El Precio Sombra corresponde a la tasa de cambio del valor óptimo de un modelo de Programación Lineal ante la modificación marginal del lado derecho de una restricción. El costo reducido , o costo de oportunidad , es la cantidad en la que un coeficiente de función objetivo tendría que mejorar (por lo tanto, aumentar para el problema de maximización, disminuir para el problema de minimización) antes de que sea posible que una variable correspondiente asuma un valor positivo. en la solución óptima.

54. Resultados de aprendizaje alcanzados Identifica los elementos fundamentales del análisis de sensibilidad . Aplicar el análisis de sensibilidad a un PL.