"Estudo dos Triângulos e suas Propriedades"

Estudo dos Triângulos e suas Propriedades

O triângulo é uma figura geométrica plana formada por três lados, três ângulos e três vértices. Ele é considerado um dos polígonos mais importantes da Geometria, servindo de base para vários estudos matemáticos e aplicações práticas no cotidiano, como construções, engenharia, navegação, arquitetura e até mesmo em artes visuais.

🔹 Classificação dos Triângulos

Os triângulos podem ser classificados de acordo com os lados ou com os ângulos:

Quanto aos lados:

Equilátero: possui os três lados iguais e, consequentemente, os três ângulos internos medem 60°.

Isósceles: tem dois lados iguais e, por isso, os ângulos opostos a esses lados também são iguais.

Escaleno: apresenta todos os lados diferentes, assim como os ângulos.

Quanto aos ângulos:

Acutângulo: todos os ângulos são menores que 90°.

Retângulo: possui um ângulo reto (90°). Os lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos, e o lado oposto é a hipotenusa.

Obtusângulo: apresenta um ângulo maior que 90°.

🔹 Propriedades Fundamentais

Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180°.

Desigualdade triangular
Em qualquer triângulo, a soma das medidas de dois lados deve ser sempre maior que a medida do terceiro lado. Essa propriedade garante a existência do triângulo.

Altura, mediana e bissetriz

Altura: segmento que parte de um vértice e forma um ângulo reto com o lado oposto.

Mediana: segmento que parte de um vértice e encontra o ponto médio do lado oposto.

Bissetriz: segmento que divide um ângulo em duas partes iguais.
Esses elementos internos são usados para calcular áreas, equilíbrios e pontos notáveis do triângulo.

Área do triângulo
A área pode ser determinada de diversas formas:

Pela fórmula básica:
𝐴
=
𝑏
⋅
ℎ
2
A=
2
b⋅h
​

, onde
𝑏
b é a base e
ℎ
h a altura.

Pelo Teorema de Herão, quando conhecemos os três lados.

🔹 Triângulos Notáveis

Triângulo equilátero: além de todos os lados iguais, possui simetria especial, sendo muito usado em cálculos geométricos.

Triângulo retângulo: é de extrema importância porque nele se aplica o Teorema de Pitágoras, que estabelece a relação:

𝑎
2
=
𝑏
2
+
𝑐
2
a
2
=b
2
+c
2

onde
𝑎
a é a hipotenusa e
𝑏
,
𝑐
b,c são os catetos.

🔹 Pontos Notáveis

No estudo dos triângulos, existem pontos especiais que surgem da interseção de elementos internos:

Ortocentro: encontro das alturas.

Baricentro: encontro das medianas, representando o centro de massa do triângulo.

Circuncentro: encontro das mediatrizes, centro da circunferência que passa pelos vértices.

Incentro: encontro das bissetrizes, centro da circunferência inscrita no triângulo.

🔹 Importância dos Triângulos

Os triângulos são fundamentais não apenas no campo da Matemática, mas em diversas áreas práticas:

Engenharia e Arquitetura: estruturas triangulares são usadas pela estabilidade que oferecem.

Navegação e Astronomia: triângulos ajudam a calcular distâncias e posições.

Tecnolo

1. Classificação dos Triângulos segundo o comprimento de seus lados Módulos 46,47,48 e 49 O triângulo isósceles Caracterizado por ter dois lados com a mesma medida , chamados de congruentes. No triângulo escaleno , os três lados possuem medidas diferentes umas das outras e, consequentemente, os ângulos são diferentes entre si. O triângulo equilátero cujos lados são todos congruentes , ou seja, têm a mesma medida. Com isso, os três ângulos também são iguais e medem 60 graus.

2. A classificação de um triângulo quanto aos ângulos Triângulo acutângulo : todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º . Triângulo obtusângulo : um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º. Triângulo retângulo: possui um ângulo interno reto (90 graus).

3. Triângulos e Propriedades Vértices A,B e C Lados AB, BC, CA Ângulos internos a, b, c Ângulos externos e, f, g A SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS É IGUAL A 180° Propriedade 1

4. Exemplo : Ao traçar dois ângulos de medidas 40° e 67° partindo respectivamente dos vértices A e B, um terceiro ângulo é formado no ponto C, formando o triângulo ABC, como mostra a figura. X + 40° + 67° = 180° X+ 107° = 180° x= 180° - 107° X= 73° 40°+ 67°+ 73° =180°

5. Propriedade 2 Em todo triângulo, os ângulos interno e externo, num mesmo vértice, são adjacentes suplementares . Lembre-se de que ângulos adjacentes são aqueles com um lado em comum, mas nenhum ponto interno em comum. a + x = 180° b + y = 180° c + z = 180°

6. Propriedade 3 Em todo triângulo, a medida de um ângulo extern o é sempre igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. 139° é a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele 90° e 49° 131 é a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele 90° e 41° 90° é a soma dos ângulos 49° e 41

7. Propriedade 4 Em todo triângulo, ao maior ângulo, opõe-se o maior lado , ou seja se encontra no lado oposto. 90° > 60 > 30° oposto oposto oposto 2 1 > >

8. Exemplos: 1. Qual deve ser a medida de x? X+ 50° = 120° X = 120° - 50 X= 70°

9. 2. Exemplo: O triângulo a seguir possui dois ângulos internos medem 40° e 60°. Quanto deve medir o ângulo externo não adjacente a eles? X = 60° + 40° X= 100° ?

10. Exemplo 3: x + x + 50° + 10° = 180° 2 x = 180° - 50° - 10° 2x = 120° X = 120 ° = 60° 2 Os ângulos internos de um triângulo têm suas medidas representadas°. Quanto mede cada ângulo desse triângulo ? 60° + 50° = 110° X = 60°