Random Differential Equations In Scientific Computing Tobias Neckel Florian Rupp

Random Differential Equations In Scientific
Computing Tobias Neckel Florian Rupp download
https://ebookbell.com/product/random-differential-equations-in-
scientific-computing-tobias-neckel-florian-rupp-51114830
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Local Lyapunov Exponents Sublimiting Growth Rates Of Linear Random
Differential Equations 1st Edition Wolfgang Siegert Auth
https://ebookbell.com/product/local-lyapunov-exponents-sublimiting-
growth-rates-of-linear-random-differential-equations-1st-edition-
wolfgang-siegert-auth-4104032
Local Lyapunov Exponents Sublimiting Growth Rates Of Linear Random
Differential Equations 1st Edition Wolfgang Siegert Auth
https://ebookbell.com/product/local-lyapunov-exponents-sublimiting-
growth-rates-of-linear-random-differential-equations-1st-edition-
wolfgang-siegert-auth-1014000
Random Ordinary Differential Equations And Their Numerical Solution
1st Edition Xiaoying Han
https://ebookbell.com/product/random-ordinary-differential-equations-
and-their-numerical-solution-1st-edition-xiaoying-han-6793274
Qualitative And Asymptotic Analysis Of Differential Equations With
Random Perturbations World Scientific Series On Nonlinear Science
Anatoliy M Samoilenko
https://ebookbell.com/product/qualitative-and-asymptotic-analysis-of-
differential-equations-with-random-perturbations-world-scientific-
series-on-nonlinear-science-anatoliy-m-samoilenko-2377872

Continuoustime Random Walks For The Numerical Solution Of Stochastic
Differential Equations 1st Edition Nawaf Bourabee Eric Vandeneijnden
https://ebookbell.com/product/continuoustime-random-walks-for-the-
numerical-solution-of-stochastic-differential-equations-1st-edition-
nawaf-bourabee-eric-vandeneijnden-51644614
Nonselfadjoint Differential Operators Spectral Asymptotics And Random
Perturbations 1st Ed Johannes Sjstrand
https://ebookbell.com/product/nonselfadjoint-differential-operators-
spectral-asymptotics-and-random-perturbations-1st-ed-johannes-
sjstrand-10485222
Random Graphs And Complex Networks Remco Van Der Hofstad
https://ebookbell.com/product/random-graphs-and-complex-networks-
remco-van-der-hofstad-45209628
Random Acts Of Deceit Christy Barritt
https://ebookbell.com/product/random-acts-of-deceit-christy-
barritt-46252242
Random Acts Of Fraud Christy Barritt
https://ebookbell.com/product/random-acts-of-fraud-christy-
barritt-46252250

1
Tobias Neck
Florian Rupp
5DQGRP'L¨HUHQWLDO(TXDWLRQV
HM2BHDMSH¥B"NLOTSHMF

9HUVLWD'LVFLSOLQH
0DWKHPDWLFV
Managing Editor:
KDJR@MCQ@-NV@BJ@+DUDQSNM
Language Editor:
-HBJ1NFDQR

3
/TAKHRGDCAX5DQRHS@5DQRHS@+SC8NQJ2SQDDS+NMCNM6'#/&QD@S!QHS@HM
3GHRVNQJHRKHBDMRDCTMCDQSGD"QD@SHUD"NLLNMR SSQHATSHNM-NM"NLLDQBH@K
-N#DQHURKHBDMRDVGHBGLD@MRSG@SSGDSDWSL@XADTRDCENQMNMBNLLDQBH@K
OTQONRDROQNUHCDCBQDCHSHRFHUDMSNSGD@TSGNQ
"NOXQHFGSg%KNQH@M1TOO@MC3NAH@R-DBJDK
(2!-O@ODQA@BJ
(2!-G@QCBNUDQ
(2!-ENQDKDBSQNMHBBNOX
,@M@FHMF$CHSNQ KDJR@MCQ@-NV@BJ@+DUDQSNM
+@MFT@FD$CHSNQ-HBJ1NFDQR
"NUDQHKKTRSQ@SHNMg%KNQH@M1TOO@MC3NAH@R-DBJDK
ZZZYHUVLWDFRP

7R RXU EHORYHG SDUHQWV
5RVHPDULH DQG +DQV*HRUJ

(ULND DQG +HLQULFK

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
/QDE@BD
,W LV LQWHUHVWLQJ WKXV WR IROORZ WKH LQWHOOHFWXDO
WUXWKV RI DQDO\VLV LQ WKH SKHQRPHQD RI QDWXUH
7KLV FRUUHVSRQGHQFH RI ZKLFK WKH V\VWHP RI WKH
ZRUOG ZLOO R±HU XV QXPHURXV H[DPSOHV PDNHV
RQH RI WKH JUHDWHVW FKDUPV DWWDFKHG WR PDWKH
PDWLFDO VSHFXODWLRQV
/àÜééÜ2àäæå +ØçãØÚÜ

0DWKHPDWLFDO GLVFRYHULHV VPDOO RU JUHDW DUH
QHYHU ERUQ RI VSRQWDQHRXV JHQHUDWLRQ 7KH\ DO
ZD\V SUHVXSSRVH D VRLO VHHGHG ZLWK SUHOLPLQDU\
NQRZOHGJH DQG ZHOO SUHSDUHG E\ ODERXU ERWK
FRQVFLRXV DQG VXEFRQVFLRXV
'Üåéà /æàåÚØéÜ

3GHR ANNJ NM SGD SGDNQX @MC RHLTK@SHNM NE Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR
B@LD HMSN ADHMF @R SGD QDRTKS NE NTQ KDBSTQD Y#XM@LHB@K 2XRSDLR 2BHDMSH¥B
"NLOTSHMF T (MSQNCTBSHNM SN SGD 3GDNQX 2HLTK@SHNM NE 1@MCNL #H¤DQDMSH@K
$PT@SHNMRZ CTQHMF SGD RTLLDQ SDQL 3GHR MNUDK HMSDQCHRBHOKHM@QX V@X SN
BNUDQ CXM@LHB@K RXRSDLR @MC RBHDMSH¥B BNLOTSHMF AQNTFGS ,@RSDQ RSTCDMSR
HMSN BNMS@BS VHSG BTSSHMF DCFD QDRD@QBG @MC V@R @V@QCDC SGD $QMRS.SSN %HR
BGDQ OQHYD ENQ HMMNU@SHUD @MC SQDMCRDSSHMF SD@BGHMF O@Q@CHFLR AX SGD CDO@QS
LDMS NE "NLOTSDQ 2BHDMBD NE SGD 3DBGMHRBGD 4MHUDQRHSŸS ,·MBGDM
%HFTQD OQNUHCDR @ RGNQS NUDQUHDV NE SGD OHDBDR NE SGHR KDBSTQD @MC SGDHQ
¥S 6D VHKK CHRBTRR SGHR BNTQRD @MC HM O@QSHBTK@Q SGD VNQJRGNO NM Q@MCNL
CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR @MC SGDHQ @OOKHB@SHNM SN FQNTMC LNSHNM DWBHSDC LTKSH
RSNQDX ATHKCHMFR HM BG@OSDQR @MC 3GDRD G@MCRNM KDBSTQD MNSDR RDQUD
@R SGD SGDNQDSHB@K ENTMC@SHNM ENQ NTQ KDBSTQD @MC SGD VNQJRGNO , 3+ ! BNL
LL 3UHIDFH

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
L@MCR

AKDMC SGDNQX VHSG @OOKHB@SHNM @MC OQNUHCD @ RNKHC ENTMC@SHNM NE SGD
OQHMBHOKDR NE CDSDQLHMHRSHB NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR @MC SGDHQ MTLDQHBR
dynamical systems for deterministic & randomly perturbed
(ordinary) differential equations
s
mathematics
i t
math
e
ith all topic
s
m
inary talk)
seminary-part
lecture exercises workshop
teamwor
k
e
matics & i
ne
to deal w
i
e
ir own se
m
informatics
seminary-part
k
of
n
formatics
u
dents hav
e
d
not just th
e
algorithms of
scientific computing
all st
u
(an
d
%HFTQD #DRHFM NE SGD KDBSTQD Y#XM@LHB@K 2XRSDLR 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF T (MSQN
CTBSHNM SN SGD 3GDNQX 2HLTK@SHNM NE 1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMRZ BNLAHMHMF
SGD VNQJRGNO VHSG RDLHM@Q BNMSQHATSHNMR DWDQBHRDR @MC EDV KDBSTQDR SN HMBQD@RD
RSTCDMSBDMSQDC KD@QMHMF D¤DBSR
"NMBDQMHMF Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR SGDQD HR ITRS @ KHLHSDC @LNTMS NE
KHSDQ@STQD CHRBTRRHMF SGDL NM @ FQ@CT@SD KDUDK @MC CDROHSD SGDHQ RHFMH¥B@MBD
HM RBHDMSH¥B @MC DMFHMDDQHMF @OOKHB@SHNMR SGDQD HR NMKX NMD ANNJ HM &DQL@M
AX 'DKF@ !TMJD :< EQNL @MC @MNSGDQ NMD HM /NKHRG AX #NAHDRK@V !N
AQNVRJH :< EQNL SNS@KKX CDCHB@SDC SN SGD SGDNQX NE Q@MCNL CH¤DQDMSH@K
DPT@SHNMR 3 3 2NNMFWR LNMNFQ@OG :< EQNL CDCHB@SDR @ANTS G@KE NE
GHR VNQJ SN SGDRD DPT@SHNMR QMNKC *HRSMDQWR /G# SGDRHR :< EQNL
HM &DQL@M SNN BNUDQR DRRDMSH@K @RODBSR NE KHMD@Q Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQ
DMSH@K DPT@SHNMR 3GDQD @QD @ BNTOKD NE QDBDMS O@ODQR @MC SGD NMD NQ NSGDQ
ANNJ BG@OSDQ NM SGD MTLDQHBR NE Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR 'NVDUDQ @
GNKHRSHB @OOQN@BG HR LHRRHMF HM O@QSHBTK@Q S@JHMF HMSN @BBNTMS QDBDMS QDRTKSR NE
+TCVHF QMNKC NM Q@MCNL CXM@LHB@K RXRSDLR BE :<
3GHR ANNJ HR @ GNKHRSHB @MC RDKEBNMS@HMDC SQD@SLDMS NE SGD @M@KXRHR @MC
MTLDQHBR NE Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR EQNL @ OQNAKDLBDMSQDC ONHMS NE

-NSD SG@S SGD , 3+ ! DW@LOKDR OQDRDMSDC SGQNTFGNTS SGHR ANNJ @QD L@HMKX LD@MS SN
HKKTRSQ@SD BDQS@HM HMCHUHCT@K @RODBSR HM @ BNLO@BS L@MMDQ GDMBD SGDRD DW@LOKDR CN MNS
QDOQDRDMS @ YMHBDZ HLOKDLDMS@SHNM EQNL @ RNESV@QD DMFHMDDQHMF ONHMS NE UHDV LNRSKX VD
RJHOODC CNBTLDMSHMF BNLLDMSR ENQ SGD R@JD NE @ BNLO@BS QDOQDRDMS@SHNM DF
3UHIDFH LLL

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
UHDV 6D S@JD @M HMSDQCHRBHOKHM@QX @OOQN@BG AX BNMRHCDQHMF RS@SDNESGD@QS
BNMBDOSR NE ANSG CXM@LHB@K RXRSDLR @MC RBHDMSH¥B BNLOTSHMF .TQ HMSDMCDC
@TCHDMBDR @QD SGNRD NE ADFHMMHMF FQ@CT@SD L@RSDQ KDUDK BNTQRDR NM SGDNQX
@MC MTLDQHBR NE RSNBG@RSHB@KKX ODQSTQADC CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR 3GD @QD@R
BNUDQDC GDQD @QD NE HLONQS@MBD ENQ HMSDQCHRBHOKHM@QX BNTQRDR HM HMENQL@SHBR
DMFHMDDQHMF @MC L@SGDL@SHBR (MBQD@RHMF HMSDQDRS HM Y4MBDQS@HMSX 0T@MSH¥
B@SHNMZ CTQHMF QDBDMS XD@QR V@QQ@MSR @ SDWSANNJ SG@S HR @HLDC @S @ MDV FDM
DQ@SHNM NE QDRD@QBGDQR HM SGHR ¥DKC @MC VGHBG HR QNNSDC HM SGD OQHMBHOKDR NE
CXM@LHB@K RXRSDLR @MC RBHDMSH¥B BNLOTSHMF 3GHR VHKK ENRSDQ @ RNKHC TMCDQ
RS@MCHMF NE ANSG SGDNQX @MC RHLTK@SHNM
%QNL @ LDSGNCNKNFHB@K ONHMS NE UHDV SGD QDC KHMD ODQU@CHMF SGHR ANNJ HR
SGD SVNENKC QDCTBSHNM NE @ Q@MCNL O@QSH@K CH¤DQDMSH@K DPT@SHNM CHRSTQADC
AX RNLD DWSDQM@K ENQBD @R OQDRDMS HM L@MX HLONQS@MS @OOKHB@SHNMR HM RBHDMBD
@MC DMFHMDDQHMF %HQRS SGD Q@MCNL O@QSH@K CH¤DQDMSH@K DPT@SHNM HR QDCTBDC SN
@ RDS NE Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR HM SGD ROHQHS NE SGD LDSGNC NE
KHMDR 3GDRD @QD SGDM ETQSGDQ QDCTBDC SN @ E@LHKX NE CDSDQLHMHRSHB NQCHM@QX
CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR RDD %HF (M O@QSHBTK@Q SGHR K@SSDQ QDCTBSHNM RSDO @MC
SGD ¥DKCR NE L@SGDL@SHBR @MC BNLOTSDQ RBHDMBD VGHBG RTOONQS HS ENQL SGD
A@RHR NE SGHR DWONRHSHNM
t
x
Ω
t
x
Ω
Space-Discretization (Finite Differences)
Finite-Dimensional System of R(O)DE
Space-Time-Realization-Cube
Partial Differential Equation
with Stochastic Effects (RPDE or SPDE)
t
x
Ω
Path-Wise Solution Concept for R(O)DEs
Finite-Dimensional System of an Infinite
Family of ODEs
Decrease
Mesh-Size
Compatibility Conditions
1)   all solutions of the ODE family are defined
      on a common time interval
2)   all solutions are stochastic processes
%HFTQD 1DCTBSHNM EQNL @ FHUDM BNMSHMTTL LDBG@MHB@K Q@MCNL O@QSH@K CH¤DQDMSH@K
DPT@SHNM SN @ E@LHKX NE CDSDQLHMHRSHB NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR
'DQDAX NTQ L@HM DW@LOKD HR SGD LNSHNM NE LTKSHRSNQDX ATHKCHMFR RTAIDBS
SN RSNBG@RSHB FQNTMC LNSHNM DWBHS@SHNMR 3GD RHLOKH¥DC ATHKCHMFR @QD DHSGDQ
LNCDKDC @R RNKHCR AX RS@MC@QC @RRTLOSHNMR NE BNMSHMTTL LDBG@MHBR @MC
SGDHQ BNQQDRONMCHMF O@QSH@K CH¤DQDMSH@K DPT@SHNM CDRBQHOSHNM NQ VHQDEQ@LD
RSQTBSTQDR A@RDC NM CDSDQLHMHRSHB NRBHKK@SNQR 3GD DWSDQM@K ENQBHMF HR CTD SN
@ KHMD@Q ¥KSDQDC VGHSD MNHRD SG@S CDRBQHADR SGD D@QSGWR RTQE@BD @R @ K@XDQ AD
SVDDM SGD FQNTMC RTQE@BD @MC SGD MD@QDRS ADCQNBJ VGDQD SGD RNTQBD NE @M
D@QSGPT@JD HR KNB@SDC @MC SQD@SR SGD V@UD OQNO@F@SHNM HM SGHR K@XDQ @R AD
HMF NMDCHLDMRHNM@K @MC UDQSHB@K 3GD BNQQDRONMCHMF RSNBG@RSHB LNCDKR @QD
JMNVM @R SGD *@M@H3@IHLH ¥KSDQ NQ SGD "KNTFG/DMYHDM ¥KSDQ
LY 3UHIDFH

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
%QNL @ CHC@BSHB@K ONHMS NE UHDV VD OTS LTBG D¤NQS HMSN OQNUHCHMF SGD CD
SDQLHMHRSHB ENTMC@SHNM NE SGD SGDNQX @MC RHLTK@SHNM NE NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K
DPT@SHNMR @R VDKK @R SG@S NE Q@MCNL U@QH@AKDR @MC RSNBG@RSHB OQNBDRRDR HM NQ
CDQ SN FHUD @ RDKEBNMS@HMDC OQDRDMS@SHNM $UDQX BG@OSDQ ADFHMR VHSG @ KHRSNE
JDX BNMBDOSR @MC JDX PTDRSHNMR SGD QD@CDQ RGNTKC JDDO HM LHMC VGHKD RSTCX
HMF SGD BNMSDMSR NE SGD QDRODBSHUD BG@OSDQ ,NQDNUDQ PTHSD TMHPTDKX ENQ @
L@SGDL@SHBR SDWS ANNJ DUDQX RTABG@OSDQ DMCR VHSG @ RDS NE PTHYYDR HM SGD
SXOD NE NQ@K DW@L PTDRSHNMR @KKNVHMF SGD JMNVKDCFD NAS@HMDC SN AD BNMRNKH
C@SDC PTHBJKX @MC SN DM@AKD @ RTBBDRRETK RDKERSTCX NE SGD L@SDQH@KR BNUDQDC
.TSKHMD NE SGD "G@OSDQR
%HFTQD RJDSBGDR SGD QNTFG NTSKHMD NE SGHR ANNJ @MC ENBTRDR NM Q@MCNLKX
ODQSTQADC OGDMNLDM@ HM RBHDMBD @MC DMFHMDDQHMF SGDHQ L@SGDL@SHB@K @M@K
XRHR @MC D¤DBSHUD @R VDKK @R D§BHDMS MTLDQHB@K RHLTK@SHNM (M BNMSQ@RS SN SGD
YBK@RRHB@KZ ANSSNLTO SDWSANNJ @OOQN@BG VD ENKKNV @M @OOKHB@SHNM NQHDMSDC
SNOCNVM OQNBDCTQD @MC OQNBDDC EQNL CHRBTRRHNMR NE BNLOKDW @OOKHB@SHNMR
SN RHLOKDQ JMNVM BNMBDOSR ENQ SGD ENKKNVHMF QD@RNM 3GHR @KKNVR TR SN RS@QS
VHSG SGD BNLOKDSD OHBSTQD @MC HMSQNCTBD SGD QD@CDQ SN @OOKHB@SHNMR MTLDQHBR
@MC FDMDQ@K SGDNQX PTHBJKX 3GTR HM O@QS ( VD OQNBDDC EQNL Q@MCNL O@Q
SH@K CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR 1/#$R SN Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR
1.#$R @MC SGDM ¥M@KKX SN NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR .#$R #TQHMF SGD
KDBSTQD NM VGHBG SGD ANNJ HR A@RDC VD R@V SG@S SGD RSTCDMSR RSQTFFKDC VHSG
SGD MDV BNMBDOS NE Q@MCNLHYDC .#$R @S ¥QRS @MC @BST@KKX QDPTHQDC JMNVKDCFD
NM RSNBG@RSHB NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR 2.#$R @MC NSGDQ RNKTSHNM BNM
BDOSR SN ETKKX OK@BD 1.#$R HMSN SGDHQ ANCX NE JMNVKDCFD @MC SN ETKKX @OOQD
BH@SD SGD RSNBG@RSHB BNMBDOSR ESDQ SGD CHRBTRRHNM NE SGD YBNLOKDSD OHBSTQDZ
VD BNMSHMTD HM O@QSR (( @MC ((( VHSG @ QDB@O HM SGD BK@RRHB@K V@X ADB@TRD NE
SGD HMSDQCHRBHOKHM@QX A@BJFQNTMC NE SGD HMSDMCDC QD@CDQRGHO VD ADKHDUD SG@S
SGHR HR MDBDRR@QX HM NQCDQ SN FHUD @ RDKE BNMS@HMDC QDOQDRDMS@SHNM (M O@QSHBT
K@Q SGD BG@OSDQR @QD RTBG SG@S SGDX L@X AD RJHOODC AX SGNRD QD@CDQR E@LHKH@Q
VHSG SGD BNQQDRONMCHMF BNMBDOSR 3GD L@HM O@QS NE SGD DWONRHSHNM OQNBDDCR
HM O@QS (5 VHSG @ CHRBTRRHNM NE SGNRD 1.#$R SG@S B@M AD SQD@SDC LNQD NQ KDRR
D@RHKX SGD KHMD@Q NMDR 'DQD SGD DWHRSDMBD @MC TMHPTDMDRR QDRTKSR @QD A@RDC
NM SGD FDMDQ@K SGDNQDLR OQNUHCDC HM O@QS ( %HM@KKX 1.#$R @MC RHLTK@SHNMR
SNFDSGDQ VHSG SGDHQ DU@KT@SHNM @QD INHMDC HM SGD VNQJRGNO O@QS 5
(M O@QSHBTK@Q SGD RHMFKD BG@OSDQR NE SGHR ANNJ BNMS@HM SGD ENKKNVHMF RODBH¥B
HMENQL@SHNM
/@QS (RDQUDR @R @M HMSQNCTBSHNM SN SGD LNCDKKHMF NE Q@MCNLKX ODQSTQADC
OGDMNLDM@ HM RBHDMBD @MC DMFHMDDQHMF AX Q@MCNL O@QSH@K CH¤DQDMSH@K DPT@
SHNMR @MC SGDHQ QDCTBSHNM SN Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR 'DQDVD
CHRBTRR SGD ENKKNVHMF @RODBSR
3UHIDFH Y

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
Problem Formulation/ Reduction
& Motivation
§ 2 RPDEs
§ 3 & § 4 RODEs
§ 5 Additional
      Examples
Background Materials & Review
§ 1 Stochastic Processes
Part II: Path-Wise ODEs
Part III: Fourier & Co.
The Workshop Projects
Theory & Simulation of Random (Ordinary) Differential Equations
Holistic Theory:
§ 12 Linear RODEs I
§ 13 Linear RODEs II
§ 14 Simulation of
        RODEs
§ 15 Stability of
        RODEs
§ 6 ODE Theory
§ 7 ODE Numerics
§ 8 Dynamical Systems
§ 16 Random Dynamical Systems
§ 9 Fourier Transform
§ 10 Noise Spectra
§ 11 Space Filling Curves
§ 17 The Workshop Idea § 18 The Workshop Project
%HFTQD .TSKHMD NE SGD ANNJ EQNL SGD ONHMS NE UHDV NE SGDNQX @MC RHLTK@SHNM NE
Q@MCNL O@QSH@K NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR
&KDSWHU OQNUHCDR @ EQHDMCKX QDUHDV NE SGD BDMSQ@K BNMBDOSR NE OQNA@AHKHSX
SGDNQX ENBTRHMF NM Q@MCNL U@QH@AKDR @MC SGDHQ OQNODQSHDR SG@S DUDMST
@KKX KD@C SN SGD MNSHNM NE @ RSNBG@RSHB OQNBDRR .TQ @HL HR SN QDB@KK SGD
A@RHB CD¥MHSHNMR @MC DPTHO SGDL VHSG S@HKNQDC HKKTRSQ@SHNMR @MC , 3+ !
BNLL@MCR Q@SGDQ SG@M DLOG@RHYD SGD LNRS FDMDQ@K @MC @ARSQ@BS L@SGD
L@SHB@K BNMBDOSR
&KDSWHU CHRBTRRDR GNV RODBH¥B 1@MCNL /@QSH@K #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR @QD
SQ@MRENQLDC SN 1@MCNL .QCHM@QX #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR AX @OOKXHMF BK@R
RHB@K RO@SH@K CHRBQDSHR@SHNMR 5@QH@MSR EQNL @ U@QHDSX NE @OOKHB@SHNMR @QD
CHRBTRRDC KD@UHMF SGD SHLD CHRBQDSHR@SHNM ENQ "G@O 3GD CDQHU@SHNM NE
SGD TMCDQKXHMF RXRSDL NE CDSDQLHMHRSHB O@QSH@K CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR
@MC BNQQDRONMCHMF ANTMC@QX BNMCHSHNMR HR RGNVM ENQ SGD DW@LOKD NE
YL 3UHIDFH

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
DK@RSHB ANCX LNSHNM 6D CHRBTRR CH¤DQDMS SXODR NE LDRGDR VHSG @M
DLOG@RHR NM QDFTK@Q "@QSDRH@M FQHCR 3GD SGQDD L@HM RO@SH@K CHRBQDSHR@
SHNMRU¥MHSD CH¤DQDMBDR ¥MHSD UNKTLDR @MC ¥MHSD DKDLDMSRU@QD AQHD¦X
DWOK@HMDC ADENQD CDKUHMF CDDODQ HMSN ¥MHSD CH¤DQDMBD RBGDLDR %#
6D CDQHUD SGD BNQQDRONMCHMF %# @OOQNWHL@SHNMR ENQ SGD ETMC@LDMS@K
DPT@SHNMR NE DK@RSHB ANCX LNSHNM @MC RHLTK@SD RSD@CXRS@SD RBDM@QHNR
NE ATHKCHMFR VGHBG @QD ADMS
&KDSWHU LNSHU@SDR @MC L@SGDL@SHB@KKX QHFNQNTRKX CHRBTRRDR DWHRSDMBD
@MC TMHPTDMDRR NE O@SGVHRD RNKTSHNMR NE Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDM
SH@K DPT@SHNMR 6D RS@QS AX LNCDKKHMF DWSDQM@K @MC FQNTMC LNSHNM DW
BHS@SHNMR AX LD@MR NE RSNBG@RSHB OQNBDRRDR VGHBG LNSHU@SDR SGD RSTCX NE
Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR 3GDHQ RNKTSHNM DWHRSDMBD @MC
TMHPTDMDRR BNMBDOSR @QD SGDM CHRBTRRDC SNFDSGDQ VHSG SGD BNQQDRONM
CDMBD ADSVDDM RSNBG@RSHB @MC Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR
(M O@QSHBTK@Q VD RSTCX SGD BNMCHSHNMR SG@S KD@C SN SGD DWHRSDMBD NE O@SG
VHRD TMHPTD RNKTSHNMR 2NKTSHNMR HM SGD DWSDMCDC RDMRD @QD @M@KXRDC @R
VDKK @R SGD CDODMCDMBD NE RNKTSHNMR NM O@Q@LDSDQR @MC HMHSH@K BNMCHSHNMR
R @M DWBTQRHNM VD ¥M@KKX FHUD SGD DPT@SHNMR NE LNSHNM ENQ RHMFKD @MC
LTKSHRSNQDX VHQDEQ@LD ATHKCHMFR .TQ L@HM RNTQBD ENQ SGD RDSTO @MC
CHRBTRRHNM NE Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR HR 'DKF@ !TMJDWR ANNJ :<
&KDSWHU @CCR SGD MNSHNMR NEP @MC LD@MRPT@QD RNKTSHNMR SN NTQ CHRBTR
RHNM 3GD RODBH@K M@STQD NE Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR NE
SDM QDPTHQDR @CCHSHNM@K QD¥MDC RNKTSHNM BNMBDOSR FNHMF ADXNMC SG@S NE @
O@SGVHRD RNKTSHNM 3@JHMF ENQ HMRS@MBD HMSN @BBNTMS SG@S @ RNKTSHNM L@X
ETK¥KK SGD FHUDM Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNM VHSG OQNA@AHKHSX NMD NQ SG@S
SGD RNKTSHNM HR @ RPT@QD HMSDFQ@AKD RSNBG@RSHB OQNBDRR KD@CR SN SGD MNSHNM
NE @PRNKTSHNM NQ @ LD@MRPT@QD RNKTSHNM QDRODBSHUDKX 3GDHQ OQNODQSHDR
@MC HMSDQBNMMDBSHNMR HM O@QSHBTK@Q VHSG QDRODBS SN O@SGVHRD RNKTSHNMR
@QD RSTCHDC GDQD
&KDSWHU VHCDMR SGD RBNOD SN @CCHSHNM@K B@SDFNQHDR NE @OOKHB@SHNMR ENQ Q@M
CNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR (M O@QSHBTK@Q ¦NV OQNAKDLR @QD CHRBTRRDC HM
LNQD CDS@HK 3GDRD OQNAKDLR QDOQDRDMS @M HLONQS@MS BK@RR NE @OOKHB@SHNMR
HM BNLOTS@SHNM@K RBHDMBD @MC DMFHMDDQHMF 3GD U@QHNTR ONRRHAKD Q@MCNL
D¤DBSR HM SGD LNCDK SGD FDNLDSQX SGD ANTMC@QX BNMCHSHNMR @MC SGD O@
Q@LDSDQR L@X AD FDMDQ@KHRDC SN NSGDQ ¦NV RBDM@QHNR HMUNKUHMF BNTOKDC
RBDM@QHNR RTBG @R ¦THCRSQTBSTQD HMSDQ@BSHNM NQ AHN¥KL FQNVSG
/@QS ((HR @ LHMHBNTQRD NM SGD HMSDQOK@X ADSVDDM CXM@LHB@K RXRSDLR @MC
RBHDMSH¥B BNLOTSHMF HM HSRDKE 'DQD VD BNUDQ SGD @M@KXSHB@K @MC MTLDQHB@K
ENTMC@SHNMR NE CDSDQLHMHRSHB NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR RODBH@K DL
OG@RHR HR FHUDM SN CXM@LHB@K RXRSDLR SGDNQX HMBKTCHMF DRRDMSH@K OG@RD RO@BD
3UHIDFH YLL

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
RSQTBSTQDR DPTHKHAQH@ ODQHNCHB NQAHSR HMU@QH@MS RDSR @R VDKK @R ETMC@LDMS@K
SNNKR +X@OTMNU DWONMDMSR @MC +X@OTMNU ETMBSHNMR
&KDSWHU RDQUDR @R @ GNKHRSHB HMSQNCTBSHNM SN SGD SGDNQX NE NQCHM@QX CH¤DQ
DMSH@K DPT@SHNMR VHSGNTS RHMFTK@QHSHDR ESDQ RNLD OQDKHLHM@QHDR HMSD
FQ@K BTQUDR HM UDBSNQ ¥DKCR @QD CHRBTRRDC HD NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@
SHNMR˙x=F(t, x) 'DQDAX VD RS@QS VHSG BNMSHMTNTR QHFGS G@MC RHCDRF
@MC SGDHQε@OOQNWHL@SD RNKTSHNMR @R VDKK @R SGD /D@MN"@TBGX DWHRSDMBD
SGDNQDL @MC HSR HLOKHB@SHNMR 6D BNMSHMTD NTQ CHRBTRRHNM ENQ +HORBGHSY
BNMSHMTNTR ETMBSHNMRF@MC SGD DWHRSDMBD @MC TMHPTDMDRR SGDNQDL NE
/HB@QC+HMCDK±E (M O@QSHBTK@Q VD @M@KXRD L@WHL@K HMSDFQ@K BTQUDR FHUD
SGD SGQDD SXODR NE L@WHL@K HMSDFQ@K BTQUDR SG@S B@M NBBTQ HM @TSNMNLNTR
RXRSDLR @MC RGNV SGD SQ@MRENQL@SHNM NE @dSG NQCDQ DPT@SHNM HMSN @ ¥QRS
NQCDQ RXRSDL -DWS VD CD@K VHSG SGD DWHRSDMBD NE RNKTSHNMR HM SGD DW
SDMCDC RDMRD VGDQD SGD QHFGS G@MC RHCD ETMBSHNM L@X AD BNMSHMTNTR
DWBDOS ENQ @ RDS NE +DADRFTDLD@RTQD YDQN "@Q@SGDNCNQXWR DWHRSDMBD
SGDNQDL @MC HSR HLOKHB@SHNMR @QD RSTCHDC SNFDSGDQ VHSG L@WHLTL @MC
LHMHLTL RNKTSHNMR 3GDM VD RSTCX SGD AQN@C BK@RR NE KHMD@Q NQCHM@QX
CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR AX CHRBTRRHMF SGD TMHPTD DWHRSDMBD NE SGDHQ RNKT
SHNMR @MC SGDHQ DWOKHBHS BNMRSQTBSHNM OOKHB@SHNMR NE SGD SGDNQX ENBTR
NM ¥QRS HMSDFQ@KR @MC NRBHKK@SHNMR ENQ SGD CDSDQLHMHRSHB ODMCTKTL @MC
SGD 5NKSDQQ@+NSJ@ RXRSDL %HM@KKX VD OQNUHCD @ ¥QRS FK@MBD HMSN SGD DW
HRSDMBD TMHPTDMDRR @MC DWSDMRHNM NE RNKTSHNMR NE NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K
DPT@SHNMR NM HM¥MHSDCHLDMRHNM@K !@M@BG RO@BDR
&KDSWHU BNMS@HMR SGD QDKDU@MS @RODBSR NE SGD MTLDQHB@K RHLTK@SHNM NE NQCH
M@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR "K@RRHB@K DWOKHBHS NMDRSDO LDSGNCR RTBG @R
SGD DWOKHBHS $TKDQ NQ 1TMFD*TSS@ RBGDLDR @QD OQDRDMSDC ADENQD LNSHU@S
HMF HLOKHBHS @OOQN@BGDR ENQ RSH¤ .#$R U@QHDSX NE DW@LOKD HLOKDLDMS@
SHNMR RGNV SGD ADG@UHNTQ NE SGD CH¤DQDMS RBGDLDR @OOKHDC SN CH¤DQDMS
HMHSH@K U@KTD OQNAKDLR 3GD AQHDE CHRBTRRHNM NE SGD -DVL@QJ E@LHKX NE
RBGDLDR @MC NE RXLOKDBSHB LDSGNCR VHCDMR SGD RBNOD NE SGHR BG@OSDQ SN
@OOQN@BGDR SG@S @QD SXOHB@KKX MDFKDBSDC ATS SG@S OQNUHCD TRDETK ED@STQDR
VNQSG ADHMF NM SGD Q@C@Q HM SGD BNMSDWS NE 1.#$ RHLTK@SHNMR
&KDSWHU OQNUHCDR @ AQHDE QDUHDV NM CDSDQLHMHRSHB CXM@LHB@K RXRSDLR %TM
C@LDMS@K MNSHNMR @MC BNMBDOSR @QD HMSQNCTBDC KHJD SG@S NE BNMSHMTNTR
CXM@LHB@K RXRSDLR KNMFSHLD ADG@UHNQ HMU@QH@MBD @MC @SSQ@BSHNM 3GHR
O@UDR SGD V@X SN @M@KXYD RS@AHKHSX HM SGD RDMRD NE +X@OTMNU AX TSHKHYHMF
+X@OTMNUETMBSHNMR ENQ OQNUHMF @RXLOSNSHB RS@AHKHSX HM MNMKHMD@Q RXR
SDLR -DWS VD @M@KXYD SGD BNQQDRONMCDMBD ADSVDDM SGD RS@AHKHSX OQNO
DQSHDR NE MNMKHMD@Q RXRSDLR @MC SGDHQ KHMD@QHR@SHNM 'DQD VD FHUD SGD
E@LNTR SGDNQDL NE '@QSL@M @MC &QNAL@M @ BK@RRH¥B@SHNM NE DPTHKHA
QH@ HM OK@M@Q RXRSDLR VHSG QDRODBS SN SGDHQ RS@AHKHSX OQNODQSHDR @R VDKK @R
YLLL 3UHIDFH

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
SGD SDBGMHPTDR ENQ SGD CDSDQLHM@SHNM NE SGD ONRHSHNM NE +X@OTMNU DWON
MDMSR NE @ KHMD@Q RXRSDL KHJD SGD 1NTSG'TQVHSY BQHSDQHNM NQ SGD +NYHMRJHH
LD@RTQD LDSGNC
/@QS (((BNUDQR HLONQS@MS BNMBDOSR @MC @KFNQHSGLR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
SGD CHRBQDSD %NTQHDQ SQ@MRENQL @MC HSR U@QH@MSR SGD EQDPTDMBX CNL@HM LDSGNC
ENQ QDRONMRD @M@KXRHR @R VDKK @R RO@BD¥KKHMF BTQUDR @R O@Q@CHFLR ENQ D¤DB
SHUD @MC D§BHDMS C@S@ RSNQ@FD
&KDSWHU CHRBTRRDR SGD A@RHB @RODBSR NE SGD BNMSHMTNTR @MC SGD CHRBQDSD
%NTQHDQ SQ@MRENQL VHSG SGD ENBTR NM SGD K@SSDQ HMBKTCHMF U@QHNTR , 3
+ ! DW@LOKDR 3GD E@LNTR %@RS %NTQHDQ 3Q@MRENQL HR CDQHUDC 6D
AQHD¦X OQDRDMS SGD SQHFNMNLDSQHB U@QH@MSR NE SGD CHRBQDSD %NTQHDQ SQ@MR
ENQL QDK@SDC SN RXLLDSQX OQNODQSHDR NE SGD TMCDQKXHMF HMOTS C@S@ 3GDRD
SQHFNMNLDSQHB SQ@MRENQLR @KKNV TR SN QD@KHRD E@RS /NHRRNM RNKUDQR NM
"@QSDRH@M FQHCR VGHBG @QD MDDCDC HM SGD VNQJRGNO OQNAKDL BE "G@O
%QDPTDMBX CNL@HM @RODBSR @MC SGD %NTQHDQ SQ@MRENQL @QD DRRDMSH@K SN TM
CDQRS@MC JDX BG@Q@BSDQHRSHBR NE RSNBG@RSHB OQNBDRRDR RODBSQTL ONVDQ
RODBSQTL @MC SGD OQNO@F@SHNM NE DWBHS@SHNMR SGQNTFG LDBG@MHB@K RSQTB
STQDR
&KDSWHU RS@QSR VHSG SGD A@RHB CD¥MHSHNMR @MC HLOKHB@SHNMR QDK@SDC SN SGD
RODBSQ@K QDOQDRDMS@SHNM NE RS@SHNM@QX @MC ODQHNCHB RSNBG@RSHB OQNBDRRDR
!@RDC NM SGDRD VD RSTCX SGD MNSHNMR NE DMDQFX ONVDQ @MC RODBSQ@K
CDMRHSX 6D FHUD RDUDQ@K DW@LOKDR ENQ BNKNQDC MNHRD OQNBDRRDR SGD EQD
PTDMBX CNL@HM LDSGNC ENQ QDRONMRD @M@KXRHR @MC KHMD@Q ¥KSDQR (M O@QSHB
TK@Q VD @OOKX SGHR LDSGNC SN NTQ OQNAKDL NE LTKSHRSNQDX DWBHS@SHNM CTD
SN RDHRLHB HLO@BSR @MC SGDHQ OQNO@F@SHNM SGQNTFG VHQDEQ@LD RSQTBSTQDR
&KDSWHU HMSQNCTBDR SGD ETMC@LDMS@K BNMBDOSR CD¥MHSHNMR @MC OQNODQ
SHDR NE RO@BD¥KKHMF BTQUDR RTBG @R SGD 'HKADQS @MC /D@MN BTQUDR 6D
AQHD¦X OQDRDMS SGQDD CH¤DQDMS B@SDFNQHDR NE ONRRHAKD @OOKHB@SHNMR LNSH
U@SHMF SGD TR@FD NE SGDRD RODBH@K BTQUDR HM SGD BNMSDWS NE BNLOTS@SHNM@K
RHLTK@SHNMR 3VN U@QH@MSR ENQ SGD BNMRSQTBSHNM NE CHRBQDSD HSDQ@SHNMR NE
SGD BTQUDR @QD DWOK@HMDC HM CDS@HK RTBG SG@S SGD QD@CDQ HR HM SGD ONRHSHNM SN
TRD RO@BD¥KKHMF BTQUDR ENQ @ S@MFHAKD S@RJR KHJD NQCDQHMF "@QSDRH@M LDRG
BDKKR 'DQD RSQNMF BNMMDBSHNMR SN RO@BH@K CHRBQDSHR@SHNM BE "G@O @MC
HSR D§BHDMS HLOKDLDMS@SHNM @QD OQNUHCDC
/@QS (5HR CDUNSDC SN @ LNQD HM CDOSG RSTCX NE SGD SGDNQX @MC RHLTK@SHNM
NE Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR (S @M@KXRDR SGD SGDNQX NE KHMD@Q
Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR -TLDQHB@K RBGDLDR ENQ MNMKHMD@Q Q@MCNL
CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR KHJD SGD SGD @UDQ@FDC $TKDQ @MC 'DTM LDSGNC @QD CHR
BTRRDC 2S@AHKHSX NE SGD MTKKRNKTSHNM HR BNMRHCDQDC @MC +X@OTMNUSXOD LDSG
3UHIDFH L[

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
NCR @QD @OOKHDC SN SGD U@QHNTR BNMBDOSR NE RSNBG@RSHB RS@AHKHSX %HM@KKX SGD
QDBDMS SGDNQX NE Q@MCNL CXM@LHB@K RXRSDLR @MC HSR HLO@BSR NM SGD RSTCX NE
Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR HR OQDRDMSDC
&KDSWHU SQD@SR KHMD@Q HMGNLNFDMDNTR NQCHM@QX Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@
SHNMR NE SGD SXOD
˙
X
t=A(t)X t+ZtVGDQD SGD Q@MCNLMDRR HR KNB@SDC
ITRS HM SGD HMGNLNFDMDNTR CQHUHMF OQNBDRRZ
t 3GDRD SXODR NE DPT@SHNMR
B@M AD @M@KXRDC HM V@XR @M@KNFNTR SN SGDHQ CDSDQLHMHRSHB BNTMSDQO@QSR
@KQD@CX DWGHAHSHMF @ VD@KSG NE HMSDQDRSHMF OGDMNLDM@ .E HLONQS@MBD
@QD SGD RSNBG@RSHB BG@Q@BSDQHRSHBR NE SGD RNKTSHNMR OQNBDRR @R VDKK @R OD
QHNCHB @MC RS@SHNM@QX RNKTSHNM SXODR (M O@QSHBTK@Q VD FHUD ¥QRS RS@AHKHSX
BNMCHSHNMR VHSG QDRODBS SN VGHBG RNKTSHNMR BNMUDQFD SNV@QCR ODQHNCHB NQ
RS@SHNM@QX NMDR
&KDSWHU DWSDMCR SGHR ANCX NE JMNVKDCFD NM KHMD@Q Q@MCNL NQCHM@QX CHE
EDQDMSH@K DPT@SHNMR AX @KRN @KKNVHMF RSNBG@RSHB D¤DBSR HM SGD BND§BHDMSR
6D FHUD SGD FDMDQ@K RNKTSHNM ENQLTK@R ENQ SGDRD SXODR NE DPT@SHNMR SN
FDSGDQ VHSG DPTHU@KDMBD QDRTKS ENQ O@SGVHRD @MC LD@MRPT@QD RNKTSHNMR
,NQDNUDQ NM SGD NMD G@MC VD @M@KXRD SGD @RXLOSNSHB OQNODQSHDR NE
O@SGVHRD RNKTSHNMR ENBTRHMF NM DWONMDMSH@K CDB@X SNV@QCR SGD MTKK
RNKTSHNM @R VDKK @R NM TOODQ ANTMCR ENQ O@SGVHRD RNKTSHNMR .M SGD
NSGDQ G@MC VD @KRN RSTCX SGD OQNODQSHDR NE SGD LNLDMSR NE O@SGVHRD
RNKTSHNMR VHSG QDRODBS SN SGD DWONMDMSH@K CDB@X @R VDKK @R SGD DWHRSDMBD
NE @RXLOSNSHB@KKXθODQHNCHB RNKTSHNMR R @M DWBTQRHNM SGD FDMDQ@K RN
KTSHNM ENQLTK@ NE KHMD@Q MNMBNLLTS@SHUD O@SGVHRD BNMSHMTNTR MNHRD
RXRSDLR HR BNMRSQTBSDC
&KDSWHU CHRBTRRDR @KK QDKDU@MS @RODBSR ENQ RHLTK@SHNM NE O@SGVHRD 1.#$
OQNAKDLR 6D OQDRDMS KNVDQNQCDQ DWOKHBHS 1.#$ RBGDLDR $TKDQ @MC
'DTM @R VDKK @R GHFGDQNQCDQ *1.#$ 3@XKNQ RBGDLDR #DS@HKDC HMENQ
L@SHNM NM SGD BNQQDRONMCHMF , 3+ ! HLOKDLDMS@SHNM ENQ SGD VHQDEQ@LD
LNCDK @QD FHUDM @MC MTLDQHB@K QDRTKSR RGNV SGD U@KHCHSX NE SGD @OOQN@BG
&KDSWHU RSTCHDR SGD U@QHNTR MNSHNMR NE RS@AHKHSX NE SGD MTKK RNKTSHNM NE @
Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNM VHSG @ ENBTR NM O@SGVHRD DPTH
RS@AHKHSXhP @MCWRS@AHKHSX (M O@QSHBTK@Q SGD QDK@SHNMR HLOKHB@SHNMR
@MC HMSDQBNMMDBSHNMR ADSVDDM SGDRD BNMBDOSR @QD CHRBTRRDC @MC SGD
QDRTKSR NE "G@O NM SGD O@SGVHRD RS@AHKHSX NE KHMD@Q Q@MCNL CH¤DQ
DMSH@K DPT@SHNMR VHSG RSNBG@RSHB BND§BHDMSR @QD QDEQ@LDC HM SGD BNM
SDWS NE SGDRD BNMBDOSR ,NQDNUDQ VD DWSDMC SGD CDSDQLHMHRSHB +X@
OTMNU LDSGNC SN Q@MCNL CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR !@RDC NM RTHS@AKD
+X@OTMNUETMBSHNMR MDBDRR@QX BNMCHSHNMR ENQhRS@AHKHSX @MC O@SGVHRD
DPTHRS@AHKHSX @QD FHUDM %HM@KKX SGD RS@AHKHSX NE CDSDQLHMHRSHB RXRSDLR
[ 3UHIDFH

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
RTAIDBS SN CH¤DQDMS BK@RRDR NE BNMSHMTNTRKX @BSHMF Q@MCNL ODQSTQA@SHNMR
HR @M@KXRDC
&KDSWHU OQNUHCDR @ FKHLORD HMSN SGD UDQX QDBDMS SGDNQX NE Q@MCNL CXM@L
HB@K RXRSDLR 6D FHUD SGD ETMC@LDMS@K CD¥MHSHNMR NE LDSQHB LD@RTQ@AKD
@MC Q@MCNL CXM@LHB@K RXRSDLR SNFDSGDQ VHSG RNLD HKKTRSQ@SHUD DW@L
OKDR ,NQDNUDQ VD RSTCX SGD MNSHNMR NE ENQV@QC @MC A@BJV@QCR RS@AHKHSX
@MC SGDHQ HLOKHB@SHNMR
/@QS 5FHUDR SGD OQNAKDL RDS NE SGD VNQJRGNO @RRNBH@SDC SN SGD BNTQRD VD
F@UD HM SGD RTLLDQ SDQL SNFDSGDQ VHSG RNLD JDX QDRTKSR @MC KDRRNMR
KD@QMS EQNL SGHR DWODQHLDMS HM GHFGDQ DCTB@SHNM
&KDSWHU ENBTRDR NM SGD CHC@BSHB @RODBSR NE SGD VNQJRGNO 6D CHRBTRR SGD
HMSDFQ@SHNM NE VNQJRGNO @R @ BDMSQ@K O@QS NE SGD BNLOKDSD BNTQRD #DS@HKR
NM SGD CDRHFM NE SGD VNQJRGNO @QD OQDRDMSDC BNUDQHMF HM O@QSHBTK@Q SGD
BNMBDOS NE @ UHQST@K RNESV@QD BNLO@MX SGD BGNHBD NE SGD DMUHQNMLDMS
@MC SGD SD@L QNKD CDRBQHOSHNMR
&KDSWHU BNMS@HMR SGD OQNIDBS RODBH¥B@SHNM TRDC HM SGD VNQJRGNO 6D
OQDRDMS @ RDKDBSHNM NE DW@LOKD QDRTKSR VGHBG NTQ RSTCDMSR OQNCTBDC @S
SGD DMC NE SGD OQNIDBS %HM@KKX VD RTLL@QHRD SGD KDRRNMR KD@QMSUANSG
EQNL SGD ONHMS NE UHDV NE SGD O@QSHBHO@MSR @MC SGD RTODQUHRNQRUOQNUHCHMF
HMSDQDRSHMF GHMSR ENQ ETSTQD NQ RHLHK@Q OQNIDBSR
3UHIDFH [L

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
BJMNVKDCFLDMSR
MTLADQ NE BG@OSDQR NE SGHR ANNJ G@UD ADDM QD@C @MC BQHSHBHYDC HM
L@MTRBQHOS (M @KOG@ADSHB@K NQCDQ VD VNTKC KHJD SN @BJMNVKDCFD SGD RTO
ONQS @MC BNLLDMSR NE ,HBG@DK !@CDQ /DSDQ &@LMHSYDQ ,HQH@L ,DGK /GHKHOO
-DTL@MM 'NQRS .RADQFDQ KEQDCN /@QQ@ !DMI@LHM /DGDQRSNQEDQ "GQHRSNOG
1HDRHMFDQ *NMQ@C 6@KCGDQQ @MC K@RS ATS MNS KD@RS )NM@SG@M 9HMRK
6D SG@MJ NTQ RSTCDMS @RRHRS@MSR MCQD@R '@TOSL@MM 5DQNMHJ@ .RSKDQ @MC
KDW@MCDQ 6HDSDJ ENQ SGDHQ RTOONQS HM OQDO@QHMF SGD BNTQRD %TQSGDQLNQDVD
SG@MJ 3GNQRSDM *MNSS VGN SGNQNTFGKX CDRHFMDC SGD S@RJR HM SGD BNMSDWS NE
RNKUHMF SGD /NHRRNM DPT@SHNM UH@ BNMSHMTNTR %NTQHDQ SQ@MRENQL HM 2DB
@R VDKK @R ,HBG@DK !@CDQ ENQ OQNUHCHMF A@RHB BNTQRD L@SDQH@K VQS SGD %NTQHDQ
SQ@MRENQL @MC HM O@QSHBTK@Q SGD RO@BD¥KKHMF BTQUDR D@RHMF SGD CDUDKNOLDMS
NE SGD BNQQDRONMCHMF BG@OSDQR /DSDQ &@LMHSYDQ BNMSQHATSDC UH@ EQTHSETK CHR
BTRRHNMR @MC U@KT@AKD GHMSR HM SGD BNMSDWS NE RSQTBSTQ@K CXM@LHBR HM "G@O
@ GDKO SG@S HR FQ@SDETKKX @BJMNVKDCFDC 2ODBH@K SG@MJR FN SN KEQDCN /@QQ@
'HMNINR@ ENQ U@QHNTR BNMSQHATSHNMR HM O@QSHBTK@Q BNMBDQMHMF SGD RHLTK@SHNM
QNTSHMDR ENQ Q@MCNL NQCHM@QX CH¤DQDMSH@K DPT@SHNMR HM "G@O
6D @QD UDQX FQ@SDETK SN 5DQRHS@WR OTAKHRGHMF SD@L @MC NTQ DCHSNQR KDJR@M
CQ@ -NV@BJ@+DUDQSNM ,@QBHM ,@QBHMH@J @MC &QYDFNQY /@RSTRY@J ENQ QD@KHRHMF
SGHR ANNJ HM SGD NODM @BBDRR ENQL@S
&@QBGHMF ADH ,·MBGDM7RELDV 1HFNHO DQG )ORULDQ 5XSS
)TMD
[LL 3UHIDFH

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
"NMSDMSR
/QDE@BD
( ,NSHU@SHNM @MC #DBNLONRHSHNM NE ,TKSH2SNQDX !THKCHMF
$WBHS@SHNM /QNAKDLR
5HFDS 5DQGRP 9DULDEOHV 6WRFKDVWLF 3URFHVVHV
*DX "NMBDOSR
1@MCNL 5@QH@AKDR &DMDQ@SDCσ KFDAQ@R @MC #DMRHSX
%TMBSHNMR
"NMSHMTHSX ,D@RTQDR @MC /QNA@AHKHSX 2O@BDR
1@MCNL 5@QH@AKDR @MC SGDσ KFDAQ@R 3GDX &DMDQ@SD
#DMRHSX @MC #HRSQHATSHNM %TMBSHNMR
,NLDMSR @MC (MSDFQ@KR
"DMSQ@K ,NLDMSR @MC ,NLDMS &DMDQ@SHMF %TMBSHNMR
(MSDFQ@SHNM VHSG 1DRODBS SN @ /QNA@AHKHSX ,D@RTQD
(MCDODMCDMBD @MC "NMCHSHNM@K $WODBS@SHNM
"NMCHSHNM@K $WODBS@SHNM
%TQSGDQ /QNODQSHDR NE SGD "NMCHSHNM@K $WODBS@SHNM
"NMUDQFDMBD "NMBDOSR ENQ 2DPTDMBDR NE 1@MCNL
5@QH@AKDR
/QHLDQ NM 2SNBG@RSHB /QNBDRRDR
"NMSHMTNTR 2SNBG@RSHB /QNBDRRDR
%HKSQ@SHNMR ,@QSHMF@KDR @MC 2TODQ,@QSHMF@KDR
&@TRRH@M /QNBDRRDR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
5HGXFWLRQ RI 53'(V WR 52'(V
*DX "NMBDOSR
&RQWHQWV [LLL

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
$K@RSHB ,@SDQH@KR ,@SDQH@K +@VR
!@RHB RODBSR NE "NMSHMTTL ,DBG@MHBR
2SQDRR 2SQ@HM
%TMC@LDMS@K $PT@SHNMR
2O@SH@K @MC 3DLONQ@K #HRBQDSHR@SHNM NE /#$R
%QNL 2O@BD3HLD SN 2O@BD 3HLD
2O@SH@K #HRBQDSHR@SHNM ,DRGHMF
2O@SH@K #HRBQDSHR@SHNM .ODQ@SNQR
%HMHSD #H¤DQDMBD OOQNWHL@SHNMR
&DMDQ@K "NMBDOS
0T@KHSX NE %# OOQNWHL@SHNMR
%# OOQNWHL@SHNMR ENQ $K@RSHB !NCX ,NSHNM
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
3DWK:LVH 6ROXWLRQV RI 52'(V
*DX "NMBDOSR
2SNBG@RSHB /QNBDRRDR @R ,NCDKR ENQ $WSDQM@K @MC &QNTMC
,NSHNM $WBHS@SHNM
!QNVMWR $WODQHLDMS 6GHSD -NHRD
2SNBG@RSHB ,NCDKR ENQ $@QSGPT@JD $WBHS@SHNMR
1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
"NTMSDQDW@LOKDR ENQ /@SG6HRD 2NKTSHNMR
"NMMDBSHNMR ADSVDDM 1@MCNL @MC 2SNBG@RSHB
#H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
/@SG6HRD 2NKTSHNMR NE 1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
/@SG6HRD 2NKTSHNMR HM SGD $WSDMCDC 2DMRD
#DODMCDMBD NM /@Q@LDSDQR @MC (MHSH@K "NMCHSHNMR
$WBTQRHNM #DSDQLHMHRSHB #DRBQHOSHNM NE SGD 5HAQ@SHNMR NE 2HMFKD
,TKSH2SNQDX !THKCHMFR
5HAQ@SHNMR NE @ 2HMFKD2SNQDX !THKCHMF
5HAQ@SHNMR NE @ ,TKSH2SNQDX !THKCHMF
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
3DWK:LVHP 0HDQ6TXDUH 6ROXWLRQV RI 52'(V
*DX "NMBDOSR
[LY &RQWHQWV

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
P2NKTSHNMR NE 1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
1DUHDV ,D@M2PT@QD M@KXRHR NE 2DBNMC .QCDQ /QNBDRRDR
,D@M2PT@QD 2NKTSHNMR NE 1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
$WBTQRHNM /QHLDQ NM (S¯WR 2SNBG@RSHB "@KBTKTR
(MSDFQ@SHNM VHSG 1DRODBS SN 6GHSD -NHRD
(MSQNCTBHMF SGD # (S¯ 2SQ@SNMNUHBG 2SNBG@RSHB
(MSDFQ@K
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
5'(V LQ 6FLHQFH (QJLQHHULQJ 5DQGRPO\ 3HUWXUEHG )ORZ
3UREOHPV
*DX "NMBDOSR
#DQHU@SHNM NE SGD #DSDQLHMHRSHB -@UHDQ2SNJDR $PT@SHNMR
-TLDQHB@K 2NKTSHNM NE SGD -@UHDQ2SNJDR $PT@SHNMR
1@MCNL /DQSTQA@SHNM NE (MBNLOQDRRHAKD %KNV
$WSDMRHNM SN .SGDQ %KNV /QNAKDLR
"G@OSDQWR 2TLL@QX @MC .TSKNNJ
(( 3GD /@SG6HRD #DSDQLHMHRSHB 2DSSHMF
5HFDS 7KHRU\ RI 2UGLQDU\ 'L¨HUHQWLDO (TXDWLRQV 2'(V
*DX "NMBDOSR
/QDKHLHM@QHDR
5DBSNQ %HDKCR @MC 3GDHQ 1DOQDRDMS@SHNM
3DBGMHB@K 1DPTHQDLDMSR
(MSDFQ@K "TQUDR HM 5DBSNQ %HDKCR .QCHM@QX #H¤DQDMSH@K
$PT@SHNMR /@QS (
OOQNWHL@SD 2NKTSHNMR /QDQDPTHRHSDR ENQ SGD /QNNE NE
SGD "@TBGX/D@MN $WHRSDMBD 3GDNQDL
3GD "@TBGX/D@MN $WHRSDMBD 3GDNQDL
(MSDFQ@K "TQUDR HM 5DBSNQ %HDKCR .QCHM@QX #H¤DQDMSH@K
$PT@SHNMR /@QS ((
+NB@K $WHRSDMBD 4MHPTDMDRR NE 2NKTSHNMR
(MSDQKTCD 2NKUHMF .#$R 2XLANKHB@KKX VHSG , 3+ !
,@WHL@K (MSDFQ@K "TQUDR
&RQWHQWV [Y

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
,@WHL@K (MSDFQ@K "TQUDR HM 3HLD(MCDODMCDMS 5DBSNQ
%HDKCR
2XRSDLR NE RS .QCDQ
2NKTSHNMR NE .#$R HM SGD $WSDMCDC 2DMRD
3GD 3GDNQDL NE "@Q@SGDNCNQX
,@WHLTL ,HMHLTL 2NKTSHNMR
+HMD@Q .QCHM@QX #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
$WHRSDMBD 4MHPTDMDRR NE 2NKTSHNMR
"NMRSQTBSHNM NE 2NKTSHNMR
%HQRS (MSDFQ@KR .RBHKK@SHNMR
OOKHB@SHNM 3GD &DMDQ@K .RBHKK@SHNM $PT@SHNM
OOKHB@SHNM 3GD #DSDQLHMHRSHB /DMCTKTL
OOKHB@SHNM 3GD 5NKSDQQ@+NSJ@ 2XRSDL
.QCHM@QX #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR NM !@M@BG 2O@BDR
$WHRSDMBD 4MHPTDMDRR NE 2NKTSHNMR
$WSDMRHNM NE 2NKTSHNMR
+HMD@Q $PT@SHNMR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
5HFDS 6LPXODWLRQ RI 2UGLQDU\ 'L¨HUHQWLDO (TXDWLRQV
*DX "NMBDOSR
&DMDQ@K RODBSR NE -TLDQHB@K 2NKTSHNM NE .#$R
$WOKHBHS .MD2SDO ,DSGNCR ENQ .#$R
$WOKHBHS $TKDQ ,DSGNC
'DTMWR ,DSGNC
$WOKHBHS 1TMFD*TSS@ 2BGDLDR
"NMRHRSDMBX "NMUDQFDMBD
(LOKHBHS ,DSGNCR
2SH¤ .#$R
(LOKHBHS $TKDQ ,DSGNC
3Q@ODYNHC@K 1TKD
"NMRHRSDMBX "NMUDQFDMBD
$WBTQRHNM 3GD -DVL@QJ 2BGDLD
$WBTQRHNM 2XLOKDBSHB ,DSGNCR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
[YL &RQWHQWV

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
'HWHUPLQLVWLF '\QDPLFDO 6\VWHPV DQG 6WDELOLW\ RI 6ROXWLRQV
*DX "NMBDOSR
"NMSHMTNTR #XM@LHB@K 2XRSDLR EQNL .#$R
+NMFSHLD !DG@UHNQ (MU@QH@MBD @MC SSQ@BSHNM
+X@OTMNU 2S@AHKHSX
3GD ,DSGNC NE +X@OTMNU%TMBSHNMR
+@ 2@KKDWR /QHMBHOKD HSR (LOKHB@SHNMR
2SQTBSTQ@K 2S@AHKHSX +HMD@QHR@SHNM
3GD /QHMBHOKD NE +HMD@QHYDC 2S@AHKHSX SGD 3GDNQDL NE
'@QSL@M&QNAL@M
3GD 1NTSG'TQVHSY 2S@AHKHSX "QHSDQHNM
3GD +NYHMRJHH,D@RTQD @MC 2S@AHKHSX
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
((( $§BHDMS #@S@ 2SQTBSTQDR SGD /QNO@F@SHNM NE 1@MCNL
$WBHS@SHNMR
)RXULHU7UDQVIRUP
*DX "NMBDOSR
3GD "NMSHMTNTR %NTQHDQ 3Q@MRENQL
3GD #HRBQDSD %NTQHDQ 3Q@MRENQL
#D¥MHSHNM NE SGD #%3 @MC (#%3
, 3+ ! $W@LOKDR ENQ #%3 @MC (#%3
#%3 HM 'HFGDQ #HLDMRHNMR
3GD %@RS %NTQHDQ 3Q@MRENQL
%%3 (CD@
, 3+ ! $W@LOKDR 1DBTQRHUD @MC (SDQ@SHUD %%3
.TSKNNJ %%3 5@QH@MSR @MC +HAQ@QHDR
5@QH@MSR NE %NTQHDQ 3Q@MRENQLR UH@ 2XLLDSQX /QNODQSHDR
3GD #HRBQDSD 2HMD 3Q@MRENQL
3GD #HRBQDSD "NRHMD 3Q@MRENQL
2NKUHMF SGD /NHRRNM $PT@SHNM
%NTQHDQWR ,DSGNC ENQ /@QSH@K #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
%@RS /NHRRNM 2NKUDQ
"G@OSDQWR 2TLL@QX
&RQWHQWV [YLL

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
/QNAKDLR
1RLVH 6SHFWUD DQG WKH 3URSDJDWLRQ RI 2VFLOODWLRQV
*DX "NMBDOSR
2ODBSQ@K /QNODQSHDR NE 2S@SHNM@QX /DQHNCHB /QNBDRRDR
2SNBG@RSHB (MSDFQ@SHNM SGD 2ODBSQ@K 1DOQDRDMS@SHNM
3GDNQDL
2S@SHNM@QX /DQHNCHB /QNBDRRDR
$MDQFX /NVDQ 2ODBSQ@K #DMRHSX @MC $W@LOKDR ENQ "NKNQDC
-NHRD
,NQD 1D@KHRSHB ,NCDK ENQ !QNVMWR .ARDQU@SHNM 3GD
.QMRSDHM4GKDMADBJ /QNBDRR
/NVDQ+@V -NHRD HSR 2HLTK@SHNM
3GD %QDPTDMBX #NL@HM ,DSGNC ENQ 1DRONMRD M@KXRHR
/QNO@F@SHNM NE $WBHS@SHNMR
+HMD@Q %HKSDQ
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
6SDFH )LOOLQJ &XUYHV IRU 6FLHQWL©F &RPSXWLQJ
*DX "NMBDOSR
3GD "NMBDOS NE 2O@BD¥KKHMF "TQUDR
OOKHB@SHNMR NE 2O@BD¥KKHMF "TQUDR
"NLOTS@SHNM@K "NMRSQTBSHNM NE 2O@BD¥KKHMF "TQUDR
&Q@LL@QA@RDC "NMRSQTBSHNM
QHSGLDSHR@SHNM
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
(5 /@SG6HRD 2NKTSHNMR NE 1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR @MC
3GDHQ 2HLTK@SHNM
/LQHDU 52'(V ZLWK 6WRFKDVWLF ,QKRPRJHQHLW\
*DX "NMBDOSR
3GD &DMDQ@K 2NKTSHNM %NQLTK@
2SNBG@RSHB /QNODQSHDR NE /@SG6HRD 2NKTSHNM
3GD 2ODBH@K "@RD NE @ &@TRRH@M (MGNLNFDMDHSX
[YLLL &RQWHQWV

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
/DQHNCHB @MC 2S@SHNM@QX 2NKTSHNMR
$WHRSDMBD NE /DQHNCHB @MC 2S@SHNM@QX 2NKTSHNMR
"NMUDQFDMBD 3NV@QCR /DQHNCHB @MC 2S@SHNM@QX 2NKTSHNMR
'HFGDQ.QCDQ +HMD@Q 1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
/LQHDU 52'(V ZLWK 6WRFKDVWLF &RH«FLHQWV
*DX "NMBDOSR
3GD &DMDQ@K 2NKTSHNM %NQLTK@
RXLOSNSHB /QNODQSHDR NE /@SG6HRD 2NKTSHNMR
$WONMDMSH@K #DB@X NE /@SG6HRD 2NKTSHNMR
!NTMCDCMDRR NE /@SG6HRD 2NKTSHNMR
RXLOSNSHB /QNODQSHDR NE SGD ,NLDMSR NE /@SG6HRD 2NKTSHNMR
$WONMDMSH@K #DB@X NE SGD ,NLDMSR
/DQHNCHB 2S@SHNM@QX 2NKTSHNMR
3GD 2NKTSHNM %NQLTK@ ENQ +HMD@Q -NM"NLLTS@SHUD "NKNQDC
-NHRD 2XRSDLR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
6LPXODWLQJ 3DWK:LVH 6ROXWLRQV
*DX "NMBDOSR
#HRBQDSHR@SHNM $QQNQ NE $WOKHBHS .MD2SDO ,DSGNCR ENQ 1.#$R
+NVDQ.QCDQ 2BGDLDR ENQ 1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR
3GD $TKDQ 'DTM 2BGDLDR ENQ 1.#$R
, 3+ ! $W@LOKDR ENQ 'XAQHC #DSDQLHMHRSHB UDQ@FDC
$TKDQ 'DTM 2BGDLDR
-TLDQHB@K 1DRTKSR ENQ $TKDQ 'DTM 2BGDLDR
'HFGDQ.QCDQ 2BGDLDR SGQNTFG (LOKHBHS 3@XKNQKHJD $WO@MRHNMR
3GD *1.#$ 3@XKNQ 2BGDLDR ENQ 1.#$R
, 3+ ! $W@LOKDR ENQ SGD *1.#$ 3@XKNQ 2BGDLD
-TLDQHB@K 1DRTKSR ENQ *1.#$ 3@XKNQ 2BGDLDR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
&RQWHQWV [L[

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
6WDELOLW\ RI 3DWK:LVH 6ROXWLRQV
*DX "NMBDOSR
2S@AHKHSX -NS@SHNMR ENQ /@SG6HRD 2NKTSHNMR
3GD 9NN NE 2SNBG@RSHB 2S@AHKHSX "NMBDOSR
1DK@SHNMR !DSVDDM SGD #H¤DQDMS 2S@AHKHSX -NSHNMR
2S@AHKHSX NE /@SG6HRD 2NKTSHNMR NE +HMD@Q 1.#$R
+X@OTMNU%TMBSHNMR @MC 2S@AHKHSX NE 2NKTSHNM NE 1.#$R
+X@OTMNU%TMBSHNMR @MCh2S@AHKHSX
+X@OTMNU%TMBSHNMR @MC /@SG6HRD $PTH2S@AHKHSX
$WBTQRHNM 2S@AHKHSX 2TAIDBS SN "NMSHMTNTRKX BSHMF
/DQSTQA@SHNMR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
5DQGRP '\QDPLFDO 6\VWHPV
*DX "NMBDOSR
#D¥MHSHNM NE @ 1@MCNL #XM@LHB@K 2XRSDL
2S@AHKHSX @MC +X@OTMNU%TMBSHNMR
%NQV@QC 2S@AHKHSX
!@BJV@QCR 2S@AHKHSX
"G@OSDQWR 2TLL@QX
/QNAKDLR
5 3GD 6NQJRGNO /QNIDBS
7KH :RUNVKRS ,GHD
*DX "NMBDOSR
(MSDFQ@SHNM NE SGD 6NQJRGNO HM SGD "NTQRD
#DRHFM NE SGD 6NQJRGNO
3GD "NMBDOS NE @ 5HQST@K 2NESV@QD "NLO@MX
"GNHBD NE SGD 6NQJRGNO $MUHQNMLDMS
3D@L @MC 1NKD #DRBQHOSHNMR
"G@OSDQWR 2TLL@QX
7KH :RUNVKRS 3URMHFW 6WRFKDVWLF ([FLWDWLRQV RI 0XOWL6WRUH\
%XLOGLQJV
*DX "NMBDOSR
[[ &RQWHQWV

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
/QNIDBS 2ODBH¥B@SHNM
/QNIDBS 1DRTKSR
+DRRNMR +D@QMS
&DMDQ@K (LOQDRRHNMR
%DDCA@BJ NE /@QSHBHO@MSR
"NMBKTRHNM
.TSKNNJ $WSDMRHNM SN %TSTQD /QNIDBSR
(MCDW
!HAKHNFQ@OGX
&RQWHQWV [[L

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
[[LL

/@QS(
,NSHU@SHNM@MC#DBNLONRHSHNM
NE,TKSH2SNQDX!THKCHMF
$WBHS@SHNM/QNAKDLR

+H ZKR VHHNV IRU PHWKRGV ZLWKRXW KDYLQJ D
GH²QLWH SUREOHP LQ PLQG VHHNV IRU WKH PRVW
SDUW LQ YHLQ
#ØíàÛ 'àãÙÜéë

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
"G@OSDQ
5HFDS 5DQGRP 9DULDEOHV
6WRFKDVWLF3URFHVVHV
3GHR BG@OSDQ OQNUHCDR @ EQHDMCKX QDUHDV NE SGD BDMSQ@K BNMBDOSR NE OQNA@AHKHSX
SGDNQX ENBTRHMF NM Q@MCNL U@QH@AKDR @MC SGDHQ OQNODQSHDR SG@S DUDMST@KKX KD@C
SN SGD MNSHNM NE @ RSNBG@RSHB OQNBDRR .TQ @HL HR SN QDB@KK SGD A@RHB CD¥MHSHNMR
@MC DPTHO SGDL VHSG S@HKNQDC HKKTRSQ@SHNMR @MC , 3+ ! BNLL@MCR Q@SGDQ SG@M
DLOG@RHYD SGD LNRS FDMDQ@K @MC @ARSQ@BS L@SGDL@SHB@K BNMBDOSR
*DX "NMBDOSR
3GHR BG@OSDQ RTLR TO SGD L@SDQH@K NMFRQWLQXRXV UDQGRP YDULDEOHV@MC
VWRFKDVWLF SURFHVVHVRTHS@AKD ENQ @M TMCDQFQ@CT@SD ADFHMMHMF FQ@CT@SD KDB
STQD RDD : < 3GD AKDMCHMF NE , 3+ ! BNLL@MCR HMSN SGD
SDWS HR LNSHU@SDC AX :< :< @MC :<
R HKKTRSQ@SHUD HMSQNCTBSNQX DW@LOKDR VD LNSHU@SD SGD BNMBDOSR NE H BNM
UDQFDMBD NE Q@MCNL U@QH@AKDR SG@S VHKK AD DRRDMSH@K SN RDSTO RSNBG@RSHB RS@
AHKHSX @R VDKK @R HH NE DQFNCHBHSX NE RSNBG@RSHB OQNBDRRDR
$W@LOKD "NMUDQFDMBD NE 1@MCNL 5@QH@AKDR BE :< O +DS
{X
i}
n
i=1
AD @ RDPTDMBD NE MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL U@QH@AKDR VHSG U@M
HRGHMF LD@M @MC U@QH@MBDi
−1
HDX i∼N(0,i
−1
) %HFTQD CHROK@XR SGD BT
LTK@SHUD CHRSQHATSHNM ETMBSHNMR NE SGD ¥QRS DKDLDMSR NE SGHR RDPTDMBD !@RDC
NM SGHR ¥FTQD HS RDDLR @R HE KHL
i→∞Xi=XVHSG SGD KHLHSHMF Q@MCNL U@QH@AKD
X∼/NHMS,@RR(0)
3GNTFGP(X
i=X)=0ENQ @MXi RHMBDX∼/NHMS,@RR(0)HR @ CHRBQDSD Q@M
CNL U@QH@AKD VHSG DW@BSKX NMD NTSBNLD @MCX
i∼N(0,i
−1
)HR @ BNMSHMTNTR
Q@MCNL U@QH@AKD ENQ @MXi∈N (M NSGDQ VNQCR @ BNMSHMTNTR Q@MCNL U@QH@AKD
RTBG @RX
i G@R U@MHRGHMF OQNA@AHKHSX NE QD@KHRHMF @MX RHMFKD QD@K MTLADQ HM
HSR RTOONQS
3GTR VD MDDC LNQD RNOGHRSHB@SDC MNSHNMR NE BNMUDQFDMBD ENQ RDPTDMBDR
NE Q@MCNL U@QH@AKDR
$W@LOKD $QFNCHB -NM$QFNCHB 2SNBG@RSHB /QNBDRRDR %HFTQD RGNVR
RNLD R@LOKD O@SGR NE @ O@Q@LDSDQCDODMCDMS RSNBG@RSHB OQNBDRRX
t B@KKDC
YFDNLDSQHB !QNVMH@M LNSHNMZ BE :< (M O@QSHBTK@Q
X
t=X 0DWO
∼∼
a−
1
2
b
2
∈
t+bW
t
∈
,
&KDSWHU

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x−axis
value of the cumulative distribution function
σ
2
= 1
σ
2
= 0.1
σ
2
= 0.01
σ
2
= 0.001
%HFTQD "TLTK@SHUD CHRSQHATSHNM ETMBSHNMR NE RDUDQ@K MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL
U@QH@AKDRN(μ, σ
2
)VHSGμ=0@MCσ
2
=1,10
−1
,10
−2
,10
−3

VHSG HMHSH@K U@KTDX 0@S SHLDt=0a, b∈R @MC @ RS@MC@QC 6HDMDQ OQNBDRR
W
tVD VHKK CHRBTRR SGHR ETMC@LDMS@K RSNBG@RSHB OQNBDRR HM "G@O 3GD
FDNLDSQHB !QNVMH@M LNSHNM HR ENQ HMRS@MBD TRDC SN LNCDK RSNBJ OQHBDR HM
SGD E@LNTR !K@BJ2BGNKDR LNCDK @MC HR SGD LNRS VHCDKX TRDC LNCDK NE RSNBJ
OQHBD ADG@UHNQ
6HSG RNLD CDDODQ TMCDQRS@MCHMF NE SGD OQNODQSHDR NE SGD FDNLDSQHB !QNV
MH@M LNSHNM VD RDD NM SGD NMD G@MC SG@S SGD DWODBSDC U@KTD ENKKNVR SGD CD
SDQLHMHRSHB DWONMDMSH@K ETMBSHNME(X
t)=DWO(at) .M SGD NSGDQ G@MC SGNTFG
HSR O@SGWR BNMUDQFD SN YDQN ENQ @KKa<
1
2
b
2

(D ENQa∈(0,
1
2
b
2
)VD @QD HM SGD O@Q@CNWHB@K RHST@SHNM SG@S SGD DWODBS@SHNM
NE SGD OQNBDRR CHUDQFDR @MC @KK HSR R@LOKDR BNMUDQFD SN YDQNRNKTSHNM
/QNBDRRDR ENQ VGHBG RS@SHRSHB@K OQNODQSHDR KHJD SGD DWODBSDC U@KTD B@M AD
CDQHUDC EQNL SGD R@LOKD O@SGR @QD B@KKDC YDQFNCHBZ (M %HF @ @MC A
R@LOKD @UDQ@FDR VHKK OQNUHCD @M DWBDKKDMS DRSHL@SNQ ENQ SGD DWODBSDC U@KTD
3GHR HR MNS SGD B@RD HM SGD MNMDQFNCHB B@RD CHROK@XDC HM %HF B @MC C
6GDM QD@CHMF SGHR BG@OSDQ MNSD SGD @MRVDQR SN SGD ENKKNVHMF PTDRSHNMR
6G@S HR @ QD@K U@KTDC RSNBG@RSHB OQNBDRR NUDQ @ OQNA@AHKHSX RO@BD
6G@S CNDR DWODBS@SHNM @MC U@QH@MBD NE @ Q@MCNL U@QH@AKD NQ @ RSNBG@RSHB
OQNBDRR SDKK TR
6G@S CNDR BNMCHSHNM@K DWODBS@SHNM NE @ Q@MCNL U@QH@AKD NQ @ RSNBG@RSHB
OQNBDRR LD@M
6GHBG BNMBDOSR CDRBQHAD SGD BNMUDQFDMBD NE NMD Q@MCNL U@QH@AKD SN
V@QCR @MNSGDQ
6G@S CNDR SGD !NQDK"@MSDKKH KDLL@ RS@SD
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
Time [t]
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.01.52.02.5
exp(0.8t)
a=0.8, b =0.4
a=0.8, b =0.25
a=0.8, b =0.1
68,2% conf. int. for b=0.25
@
Time [t]
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
exp(−0.8t)
a=−0.8, b =0.4
a=−0.8, b =0.25
a=−0.8, b =0.1
68.2% conf. int. for b=0.25
A
Time [t]
01234
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
exp(0.8t)
a=0.8, b =4.4
a=0.8, b =2.25
a=0.8, b =1.1
68.2% conf. int. for b=2.25
B
Time [t]
01234
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
exp(0.1t)
a=0.1, b =4.4
a=0.1, b =2.25
a=0.1, b =1.1
68.2% conf. int. for b=2.25
C
%HFTQD /@SGR NE SGD &DNLDSQHB !QNVMH@M ,NSHNM ENQa=0.8X 0=1@a=−0.8
X
0=2Aa=0.8X 0=1B @MCa=0.1X 0=1 (M @ @MC A SGD U@KTDR NEb@QD
SGD R@LD b =0.4,0.25,0.1 @MC SGD68.2 BNM¥CDMBD HMSDQU@K ENQ SGDb=0.25O@SGR
HR RGNVM @R VDKK @R SGD DWODBS@SHNM U@KTDX
0DWO(at) (M B @MC C SGD U@KTDR NEb
@QD SGD R@LD b=4.4,2.25,1.1 @MC SGD68.2 BNM¥CDMBD HMSDQU@K ENQ SGDb=2.25
O@SGR HR RGNVM @R VDKK @R SGD DWODBS@SHNM U@KTDX
0DWO(at)
4MCDQ VG@S BNMCHSHNMR @QD SVN RSNBG@RSHB OQNBDRRDR HMCHRSHMFTHRG@AKD
6G@S @QD SGD BG@Q@BSDQHRSHBR NE &@TRRH@M OQNBDRRDR
'NV B@M VD TSHKHYD , 3+ ! SN RHLTK@SD Q@MCNL U@QH@AKDR RSNBG@RSHB OQN
BDRRDR @MC SGDHQ OQNODQSHDR
@R VDKK @R SGD ENKKNVHMF JDX BNMBDOSR
σ@KFDAQ@R OQNA@AHKHSX LD@RTQDR @MC OQNA@AHKHSX RO@BDR
1@MCNL U@QH@AKDR @R VDKK @R SGDHQ CDMRHSX CHRSQHATSHNM @MC LNLDMS ETMB
SHNMR
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
(MCDODMCDMBD @MC BNMCHSHNM@K DWODBS@SHNM
"NMUDQFDMBD HM CHRSQHATSHNM HM OQNA@AHKHSX HM SGDrSG LD@M @KLNRS RTQD
BNMUDQFDMBD @MC RTQD BNMUDQFDMBD
2SNBG@RSHB OQNBDRRDR SGDHQ BNMSHMTHSX @MC HMCHRSHMFTHRG@AHKHSX
*NKLNFNQNVWR ETMC@LDMS@K @MC BNMSHMTHSX SGDNQX
,@QSHMF@KDR RTODQL@QSHMF@KDR @MC ¥KSQ@SHNMR @MC
&@TRRH@M OQNBDRRDR
3GHR BG@OSDQ HR RSQTBSTQDC @R ENKKNVR (M 2DB VD RS@QS VHSG SGD ETM
C@LDMS@K BNMBDOSR NE Q@MCNL U@QH@AKDR FDMDQ@SDCσ@KFDAQ@R @MC CDMRHSX
ETMBSHNMR -DWS 2DBSHNM CHRBTRRDR LNLDMSR NE Q@MCNL U@QH@AKDR KHJD SGD
DWODBS@SHNM U@KTD @MC U@QH@MBD @R VDKK @R HMSDFQ@SHNM VHSG QDRODBS SN OQNA@
AHKHSX LD@RTQDR (M 2DB SGD DRRDMSH@K BNMBDOSR NE HMCDODMCDMBD NE Q@M
CNL U@QH@AKDR @MC BNMCHSHNM@K OQNA@AHKHSHDR @MC BNMCHSHNM@K DWODBS@SHNM@QD
RSTCHDC (M O@QSHBTK@Q HS HR GDQD SG@S VD FHUD SGD U@QHNTR CD¥MHSHNMR NE BNMUDQ
FDMBD NE Q@MCNL U@QH@AKDR ,NQDNUDQ HM 2DB VD FHUD SGD A@RHB CD¥MH
SHNMR @MC BNMBDOSR NE BNMSHMTNTR RSNBG@RSHB OQNBDRRDR SNFDSGDQ VHSG @ AQHDE
CHRBTRRHNM NE &@TRRH@M OQNBDRRDR %HM@KKX 2DBSHNM VQ@OR TO SGD BNMSDMSR
NE SGHR BG@OSDQ
3UHUHTXLVLWHV2NLD OQDJMNVKDCFD NM OQNA@AHKHSX SGDNQX @MC RSNBG@RSHB
OQNBDRRDR @QD GDKOETK
7HDFKLQJ 5HPDUNV3GNTFG K@ADKDC BG@OSDQ VD BDQS@HMKX CN MNS RTFFDRS
SN RS@QS @ BNTQRD ENQ ADFHMMHMF FQ@CT@SD RSTCDMSR VHSG SGD A@RHBR OQDRDMSDCHM
SGHR BG@OSDQ @R HSR BNMSDMSR @QD GD@UHKX KN@CDC VHSG SDBGMHB@K CD¥MHSHNMR SG@S
@QD MNS UDQX LNSHU@SHMF ENQ SGD RSTCDMS HMSDQDRSDC HM @OOKHB@SHNMR (M UHDV
NE NTQ SNOCNVM @OOQN@BG VD @RRTLD SGD BNMBDOSR NE SGHR BG@OSDQ @R OQD
QDPTHRHSDR SN AD BNMRHCDQDC HM @ KDBSTQD @ESDQ BG@OSDQR NQ VGDM QDPTHQDC
%NQ @ KDBSTQD BK@RR HS RDDLR SN AD LNRS @OOQNOQH@SD SN FHUD SGHR BG@OSDQ @R @
GNLDVNQJ @MC CHRBTRR RNLD QDKDU@MS DWDQBHRDR SNFDSGDQ HM SGD BK@RRQNNL
1@MCNL 5@QH@AKDR &DMDQ@SDCσ KFDAQ@R @MC
#DMRHSX %TMBSHNMR
6HSG QDRODBS SN SGD JDX DKDLDMSR @MC MNS@SHNMR NE OQNA@AHKHSX SGDNQX VD RS@QS
VHSG SGD HMSQNCTBSHNM NE Q@MCNL U@QH@AKDR @MC DRODBH@KKX SGDσ@KFDAQ@R SGDX
FDMDQ@SD -DWS CDMRHSX @MC CHRSQHATSHNM ETMBSHNMR VHKK AD CHRBTRRDC ENKKNVDC
AX SGD CD¥MHSHNM NE BDMSQ@K LNLDMSR @MC LNLDMS FDMDQ@SHMF ETMBSHNMR %H
M@KKX VD CD¥MD VG@S VD LD@M AX HMSDFQ@SHNM VHSG QDRODBS SN @ OQNA@AHKHSX
LD@RTQD @MC FHUD RNLD TRDETK HMDPT@KHSHDR
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
"NMSHMTHSX ,D@RTQDR @MC /QNA@AHKHSX 2O@BDR
+DS TR ¥QRS QDB@KK SGD CD¥MHSHNM NE '±KCDQ @MC +HORBGHSYBNMSHMTHSX @R VDKK @R
SG@S NEC
k,α
ETMBSHNMR BE ENQ HMRS@MBD :< O
#D¥MHSHNM '±KCDQ @MC +HORBGHSY "NMSHMTHSXC
k,α
ETMBSHNMR +DS (X,ω?
ω
X)(Y,ω?ω Y)AD MNQLDC RO@BDR @MC0<α≤1 ETMBSHNMf:X→YHR
B@KKDCJOREDOO\ +·OGHU FRQWLQXRXVNE NQCDQαHE SGDQD HR @ ONRHSHUD BNMRS@MSC
RTBG SG@S
ωf(x)−f(y)ω
Y≤Cωx−yω
α
X
∀x, y∈X.
fHR B@KKDCORFDOO\ +·OGHU FRQWLQXRXVNE NQCDQαHE HS R@SHR¥DR SGD BNMCHSHNM
NM DUDQX ANTMCDC RTARDS NEXfHR B@KKDCJOREDOO\ RU ORFDOO\ /LSVFKLW]
FRQWLQXRXVHE HS HR FKNA@KKX NQ KNB@KKX '±KCDQ BNMSHMTNTR NE NQCDQα=1fHR
B@KKDC @C
k,α
ETMBSHNM HE HS HRkSHLDR BNMSHMTNTRKX CH¤DQDMSH@AKD @MC SGDkSG
CDQHU@SHUDR @QD KNB@KKX '±KCDQ BNMSHMTNTR NE NQCDQαENQ RNLDk∈N
3GD BDMSQ@K OQNAKDL HM LD@RTQD SGDNQX HR SN ¥MC @ LD@RTQD UNKTLD ENQ
@R L@MX DKDLDMSR NE SGD ONVDQ RDSP(R
d
)@R ONRRHAKD RTBG SG@S SGHR LD@
RTQD UNKTLD HR @CCHSHUD SQ@MRK@SHNM HMU@QH@MS @MC MNQL@KHYDC R SGDQD HR MN
RNKTSHNM SN CD¥MD @ LD@RTQD UNKTLD ENQ @KK DKDLDMSR NEP(R
d
)VDG@UDSN
QDRSQHBS NTQRDKUDR SN RODBH@K RTARDS RXRSDLR
#D¥MHSHNM σ KFDAQ@ +DS ΩAD @ MNMDLOSX RDS BNKKDBSHNM NE RDSRA⊂
P(Ω)HR B@KKDCσDOJHEUDHE
^AHR @DOJHEUD HD
TΩ∈A
TA∈A⇒A
c
∈A@MCA, B∈A⇒A ∪B∈A
^∀n∈N:A
n∈A⇒∪ n∈NAn∈A
3QHUH@K DW@LOKDR ENQσ@KFDAQ@R @QDA={∅,Ω}@MCA=P(Ω) LNQDNUDQ ENQ
@MXA⊂ΩSGDσ@KFDAQ@ OQNODQSHDR NEA={∅,A,A
c
,Ω}@QD D@RHKX UDQH¥DC
(M O@QSHBTK@Q HEEHR @ BNKKDBSHNM NE RTARDSR NEΩ SGDM SGD RL@KKDRSσ@KFDAQ@
FDMDQ@SDC AXE @MC CDMNSDC AXσ(E) HR CD¥MDC @R
σ(E):=
ω
{A:E⊂A@MCAHR @σ@KFDAQ@ NMΩ}.
%NQ HMRS@MBD SGD RL@KKDRSσ@KFDAQ@ BNMS@HMHMF @KK NODM RTARDSR NER
d
HR B@KKDC
SGD%RUHOσDOJHEUD CDMNSDC AXB
d
NQ RHLOKX AXBHE SGD CHLDMRHNMdQDPTHQDR
MN RODBH¥B LDMSHNMHMF
+DSΩAD @ MNMDLOSX RDS @MCE⊂P (Ω) 3GD RDSRXRSDLEHR B@KKDC
LQWHUVHFWLRQVWDEOHHE
∀E
1,E2∈E⇒E 1∩E2∈E.
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
.AUHNTRKX DUDQXσ@KFDAQ@ HR HMSDQRDBSHNMRS@AKD

+DSΩAD @ MNMDLOSX RDS @MCAAD @σ@KFDAQ@ NMΩ 3GD O@HQ(Ω,A)HR
B@KKDCPHDVXUDEOH VSDFH@MC SGD DKDLDMSR NEA@QD B@KKDCPHDVXUDEOH VHWV
#D¥MHSHNM ,D@RTQ@AKD %TMBSHNM +DS(A,A)@MC(B,B)AD LD@RTQ@AKD
RO@BDR ETMBSHNMf:A→BHR B@KKDCABPHDVXUDEOHHEf
−1
(B)⊂A
%NQ HMRS@MBD DUDQX BNMSHMTNTR ETMBSHNMf:X→YADSVDDM SVN LDSQHB NQ
SNONKNFHB@K RO@BDRX@MCYHR LD@RTQ@AKD
#D¥MHSHNM ,D@RTQD @MC /QNA@AHKHSX ,D@RTQD +DSΩAD @ MNMDLOSX RDS
@MCAAD @σ@KFDAQ@ NMΩ 3GDM @ RDSETMBSHNMμNMAHR B@KKDC @PHDVXUHHE
^μ(A)∈[0,∞]ENQ @KKA∈A
^μ(∅)=0
^μHRσ@CCHSHUD HD ENQ @MX CHRINHMS BNKKDBSHNM NE RDSRA
1,A2,···∈AVHSG
∪
n∈NAn∈AHS GNKCR SG@S
μ
α
ν
n∈N
An
ω
=
∞
π
n=1
μ(An).
,NQDNUDQ @ LD@RTQDμHR B@KKDC @SUREDELOLW\ PHDVXUHHE HS @CCHSHNM@KKX R@SHR
¥DR
^μ(Ω) = 1
LD@RTQDμNM @ LD@RTQ@AKD RO@BD(Ω,F)HR B@KKDCσ²QLWH HE SGDQD DWHRS
E
1,E2,··· ∈ F O@HQVHRD CHRINHMS R SΩ=∪ n∈NEn@MCμ(E n)<∞ENQ @KK
n∈N ,NQDNUDQ ENQ SVN LD@RTQDRμνNM @ LD@RTQ@AKD RO@BD(Ω,F) SGD
LD@RTQDνHR B@KKDCDEVROXWHO\ FRQWLQXRXVVHSG QDRODBS SNμ HE DUDQXμMTKKRDS
HR @νMTKKRDS 3GD MNS@SHNM ENQ SGHR OQNODQSX HRνβμ
(EμHR @ LD@RTQD NM SGDσ@KFDAQ@ANE @ LD@RTQ@AKD RO@BD(Ω,A) SGDM SGD
SQHOKDS(Ω,A,μ)HR B@KKDCPHDVXUHVSDFH (M O@QSHBTK@Q
#D¥MHSHNM /QNA@AHKHSX 2O@BD +DS ΩAD @ MNMDLOSX RDS @MCAAD @σ
@KFDAQ@ NMΩ 3GD SQHOKDS(Ω,A,P)HR B@KKDCSUREDELOLW\ VSDFHHEPHR @ OQNA@
AHKHSX LD@RTQD NM SGD LD@RTQ@AKD RO@BD(Ω,A)
+DS(Ω,A,P)AD @ OQNA@AHKHSX RO@BD ONHMSRω∈Ω@QD TRT@KKX @CCQDRRDC
@RVDPSOH SRLQWV@MC @ RDSA∈AHR B@KKDCHYHQW GDQDAXP(A)CDMNSDR
SGD
SUREDELOLW\NE SGD DUDMSA

(M @M DWSDMCDC BNTQRD NM LD@RTQD SGDNQX SGD OQNODQSX NE RDSRXRSDLR SN AD HMSDQRDBSHNM
RS@AKD LNSHU@SDR SGD CHRBTRRHNM NE #XMJHM RXRSDLR RDD DF :< OO
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
01 p
X(ω) = x for an element ω of A
x
P(A) = p = P({ω : X(ω) = x})
R
A := {ω : X(ω) = x}
ω
1
ω
2
X(ω
1
)
X(ω
2
)
Ω
B := {ω : X(ω) = y}
y
%HFTQD 1DK@SHNM ADSVDDM @ Q@MCNL U@QH@AKDX@MC HSR OQNA@AHKHSX ETMBSHNM ENK
KNVHMF :< O
OQNODQSX VGHBG HR SQTD DWBDOS ENQ @M DUDMS NE OQNA@AHKHSX YDQN HR R@HC
SN GNKCDOPRVW VXUHO\@AAQDUH@SDC Z@RZ NQDOPRVW HYHU\ZKHUH@AAQDUH@SDC
Z@DZ
1@MCNL 5@QH@AKDR @MC SGDσ KFDAQ@R 3GDX &DMDQ@SD
3UREDELOLWLHV@QD @ RDSETMBSHNMR SG@S @RRHFM @ MTLADQ ADSVDDM0@MC1SN @
RDS NE ONHMSR NE SGD R@LOKD RO@BDΩ BE :< OO 3GDHQ CNL@HM HR SGDVHW
RI HYHQWVNE @ Q@MCNL DWODQHLDMS @MC SGDHQ Q@MFD HR BNMS@HMDC HM SGD HMSDQ
U@K[0,1] Q@MCNL U@QH@AKD HR @KRN @ ETMBSHNM VGNRD Q@MFD HR @ RDS NE QD@K
MTLADQR ATS VGNRD CNL@HM HR SGD RDS NE R@LOKD ONHMSRω∈ΩL@JHMF TO SGD
VGNKD R@LOKD RO@BDΩMNS RTARDSR NEΩ RDD %HF
#D¥MHSHNM 1@MCNL 5@QH@AKD +DS(Ω,A,P)AD @ OQNA@AHKHSX RO@BD 3GDM
@ ETMBSHNMX:Ω→ R
d
HR B@KKDCUDQGRP YDULDEOH HE ENQ D@BG !NQDKRDSB∈
B⊂R
d
X
−1
(B)={ω ∈Ω:X(ω)∈B}∈A.
(D @ Q@MCNL U@QH@AKD HR @R
d
U@KTDCALD@RTQ@AKD ETMBSHNM NM @ OQNA@AHKHSX
RO@BD(Ω,A,P)
6D TRT@KKX VQHSDX@MC MNSX(ω) 3GHR ENKKNVR SGD BTRSNL VHSGHM OQNA@
AHKHSX SGDNQX NE LNRSKX MNS CHROK@XHMF SGD CDODMCDMBD NE Q@MCNL U@QH@AKDR
NM SGD R@LOKD ONHMSω∈Ω 6D @KRN CDMNSDP(X
−1
(B))@RP(X∈B) SGD
OQNA@AHKHSX SG@SXHR HMB∈B
$W@LOKD (MCHB@SNQ @MC 2HLOKD %TMBSHNMR @QD 1@MCNL 5@QH@AKDR +DS A∈
A 3GDM SGDLQGLFDWRU IXQFWLRQNEA
I
A(ω):=

1HEω∈A
0HEω/∈A
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
HR @ Q@MCNL U@QH@AKD
,NQD FDMDQ@KKX HEA
1,A2,...,An∈A@QD CHRINHMS RDSR RTBG SG@SΩ=˙∪
n
i=1
Ai
@MCa 1,a2,...,am∈R SGDM
X=
n
π
i=1
aiIAi
HR @ Q@MCNL U@QH@AKD B@KKDC @VLPSOHNQHOHPHQWDU\ IXQFWLRQ
$W@LOKD 2TLR @MC OQNCTBSR NE Q@MCNL U@QH@AKDR @QD SGDLRDKUDR Q@M
CNL U@QH@AKDR SNN
, 3+ ! B@M FDMDQ@SD CHRSQHATSDC ORDTCNQ@MCNL MTLADQR ADSVDDM0@MC
1B@M AD FDMDQ@SDC TSHKHYHMF SGD`M/BNLL@MC %NQ HMRS@MBD SGD BNCD ADKNV
FDMDQ@SDR @ NMD QNV UDBSNQ VHSG ¥UD BNKTLM DMSQHDR SGD U@KTDR NE VGHBG @QD
TMHENQLKX CHRSQHATSDC NM SGD HMSDQU@K[1,10]
` 4 R Y URy@RVX `M/UR-8Vc
`4
dX383N 8XRy3k RXRee8 3XjNkd 8Xyykj
3GD , 3+ ! L@MT@K R@XR Y, 3+ ! RNESV@QD HMHSH@KHYDR SGD Q@MCNL MTLADQ
FDMDQ@SNQ @S RS@QSTO 3GD FDMDQ@SNQ BQD@SDR @ RDPTDMBD NE :ORDTCN<Q@MCNL
MTLADQR B@KKDC SGD FKNA@K RSQD@L 3GD Q@MC ETMBSHNM @BBDRRDR SGD FKNA@K
RSQD@L @MC CQ@VR @ RDS NE MTLADQR SN BQD@SD SGD NTSOTS 3GHR LD@MR SG@S
DUDQX SHLD`M/HR B@KKDC SGD RS@SD NE SGD FKNA@K RSQD@L HR BG@MFDC @MC SGD
NTSOTS HR CH¤DQDMSZ #TD SN SGHR @KFNQHSGLHB OQNBDCTQD ORDTCNQ@MCNL MTL
ADQR @QD BQD@SDC SG@S CDODMC NM SGD HMHSH@K U@KTD RDDC NE SGD FDMDQ@SHNM @K
FNQHSGL 3GHR HMHSH@K U@KTD RDDC B@M AD BNMSQNKKDC SN @KKNV ENQ @ QDODSHSHNM NE
SGD FDMDQ@SDC RDPTDMBD NE ORDTCNQ@MCNL MTLADQR 3GD`M/MBNLL@MC
FDMDQ@SDR MNQL@KKX CHRSQHATSDC ORDTCNQ@MCNL MTLADQR %NQ HMRS@MBD
`M/MUöbii2ö-RyyV W b2i i?2 BMBiBH
` 4 R Y kX `M/MUR-8Vc W pHm2f b22/ Q7 `M/M
`4
kX3Rdy @jX99R8 yX8kRN RXRjd8 @jXy9y9
`M/MUöbii2ö-RyyV W `2b2i i?2 BMBiBH
` 4 R Y kX `M/MUR-8Vc W pHm2f b22/ Q7 `M/M
`4
kX3Rdy @jX99R8 yX8kRN RXRjd8 @jXy9y9
FDMDQ@SDR SVN HCDMSHB@K NMD QNV UDBSNQR VHSG ¥UD BNKTLM DMSQHDR SGD U@KTDRNE
VGHBG @QD MNQL@KKX CHRSQHATSDC VHSG LD@M @MC RS@MC@QC CDUH@SHNM (M ANSG
B@RDR SGD R@LD HMHSH@K U@KTD RDDC V@R @OOKHDC SN , 3+ !WR Q@MCNL MTLADQ
FDMDQ@SNQ
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
+DLL@ σ KFDAQ@R &DMDQ@SDC AX 1@MCNL 5@QH@AKDR /HWX:Ω→ R
d
EH D UDQGRP YDULDEOH RQ WKH SUREDELOLW\ VSDFH(Ω,A,P) 7KHQ
A(X):={X
−1
(B):B∈B}
LV DσDOJHEUD FDOOHG WKHσ@KFDAQ@ FDMDQ@SDC AXX 7KLV LV WKH VPDOOHVW VXEσ
DOJHEUD RIAZLWK UHVSHFW WR ZKLFKXLV PHDVXUDEOH
3URRI(S HR D@RX SN UDQHEX SG@S{X
−1
(B):B∈B}HR @σ@KFDAQ@ @MC LNQD
NUDQ SG@S HS HR HMCDDC SGD RL@KKDRSσ@KFDAQ@ NEAVHSG QDRODBS SN VGHBGXHR
LD@RTQ@AKD
(S HR DRRDMSH@K SN TMCDQRS@MC SG@S HM OQNA@AHKHRSHB SDQLR SGDσ@KFDAQ@A(X)
B@M AD HMSDQOQDSDC @R ZBNMS@HMHMF @KK QDKDU@MS HMENQL@SHNMZ @ANTS SGD Q@MCNL
U@QH@AKDX
(M O@QSHBTK@Q HE @ Q@MCNL U@QH@AKDYHR @ ETMBSHNM NE SGD Q@MCNL U@QH@AKD
X HD HEY=Ψ(X) ENQ RNLD QD@RNM@AKD ETMBSHNMΨ SGDMYHRA(X)
LD@RTQ@AKD "NMUDQRDKX RTOONRDY:Ω→RHRA(X)LD@RTQ@AKD 3GDM
SGDQD DWHRSR @ ETMBSHNMΨRTBG SG@SY=Ψ(X) 'DMBD HEYHRA(X)
LD@RTQ@AKDYHR HM E@BS @ ETMBSHNM NEX "NMRDPTDMSKX VGDM VD JMNV SGD
U@KTDX(ω) VD HM OQHMBHOKD JMNV @KRNY(ω)=Ψ(X(ω)) @KSGNTFG VD L@X
G@UD MN OQ@BSHB@K V@X SN BNMRSQTBSΨ
#DMRHSX @MC #HRSQHATSHNM %TMBSHNMR
.TQ CHRBTRRHNM NE OQNODQSHDR NE Q@MCNL U@QH@AKDR RS@QSR VHSG SGD NMD
CHLDMRHNM@K RDSSHMF RB@K@Q Q@MCNL U@QH@AKDXHR @RRNBH@SDC SN SGDSURED
ELOLW\ GHQVLW\ IXQFWLRQXηνf(X)CD¥MDC AX SGD OQNODQSX
P(x
1≤X≤x 2)=

x2
x1
f(X)CX
VGDQDP(x
1≤X≤x 2)CDMNSDR SGD OQNA@AHKHSX NE SGD DUDMSx 1≤X≤x 2
3GDFXPXODWLYH SUREDELOLW\ GLVWULEXWLRQ IXQFWLRQF(X)HR FHUDM AX
x
0η→F X(x0):=P(X≤x 0)=

x0
−∞
f(X)CX
(D SGD OQNA@AHKHSX SG@SxKHDR HM SGD HMSDQU@K(x
1;x2]HRF X(x2)−F X(x1)VHSG
x
1<x2 .E BNTQRDF(∞)=1 RDD %HF
3GD ENKKNVHMF SGDNQDL DMRTQDR SGD DWHRSDMBD NE @ CDMRHSX
3GDNQDL 1@CNM-HJNCXL /HW(Ω,F)EH D PHDVXUDEOH VSDFH DQGμDσ
²QLWH PHDVXUH RQF 0RUHRYHU OHWνβμEH D PHDVXUH 7KHQνKDV D GHQVLW\
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
Probability Density Function Cummulative Density
Function
P(x
1
< X < x
2
)
x
1
x
2
x
1
x
2
1
%HFTQD 2JDSBG NE @ CDMRHSX @MC HSR BNQQDRONMCHMF CHRSQHATSHNM ETMBSHNM 2GNVM
HR SGD BNMMDBSHNM ADSVDDM SGD OQNA@AHKHSXP(x
1<X<x 2)@MC SGD FQ@OGR NE SGDRD
SVN ETMBSHNMR
ZLWK UHVSHFW WRμ LH WKHUH H[LVWV D PHDVXUDEOH IXQFWLRQf:(Ω,F)→([0,∞],B)
VXFK WKDW
IRU DOOE∈FLW KROGV WKDWν(E)=

E
fGμ.
3URRIRDD :< OO
(M @OOKHB@SHNMR NMD NESDM G@R SN CD@K VHSG C@S@ R@LOKDR NE Q@MCNL U@QH
@AKDR @MC SQHDR SN F@SGDQ RNLD HMENQL@SHNM @ANTS SGD CDMRHSX @MC CHRSQHAT
SHNM NE SGDRD Q@MCNL U@QH@AKDR 3GD ENKKNVHMF , 3+ ! $W@LOKD S@JDR ENQ
BNMUDMHDMBD1000R@LOKD ONHMSR NE @ MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL U@QH@AKD
VHSG LD@M3@MC U@QH@MBD25 HD NE @N(3,25)Q@MCNL U@QH@AKD @MC FQ@OGR
HSR CHRSQHATSHNM BTQUD TRHMF GHRSNFQ@LR RDD %HF ENQ @ UHRT@KHR@SHNM NE SGD
QDRTKSHMF OKNSR
, 3+ ! $W@LOKD THQiiBM;XK &DMDQ@SHMF SGD HL@FDR UHRT@KHRDC HM %HF
MTL W Q@MCM MTL
EHFTQD OKNS:KDMFSG W < W
:BNTMS AHMR < GHRS W RPQS MTL
EHFTQD GHRS W RPQS MTL
EHFTQD OKNS AHMR BNTMS W−AWW +HMD6HCSG W
BNTMS>RTL BTLRTL BNTMS
EHFTQD OKNS AHMR BNTMS>RTL W−AWW +HMD6HCSG W
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
@−15 −10 −5 0 5 10 15 20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
A
−15 −10 −5 0 5 10 15 20
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
B−15 −10 −5 0 5 10 15 20
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
C
%HFTQD @1000R@LOKD ONHMSR NE @N(3,25)Q@MCNL U@QH@AKD A GHRSNFQ@L B
DLOHQHB@K CDMRHSX @MC C DLOHQHB@K CHRSQHATSHNM NE SGDRD ONHMSR
3GD CDMRHSX ETMBSHNM NE @ Q@MCNL U@QH@AKD SGDMRLQW SUREDELOLW\ GHQVLW\
IXQFWLRQf
X,Y(x, y)NE SVN Q@MCNL U@QH@AKDRX@MCYHR FHUDM @M@KNFNTRKX @R
P(x
1≤X≤x 2,y1≤Y≤y 2)=

x2
x1

y2
y1
fX,Y(x, y)CyCx
VHSG
f
X,Y(x, y)=f
Y|X(y|x)f X(x)=f
X|Y(x|y)f Y(y),
VGDQDf
Y|X(y|x)@MCf
X|Y(x|y)@QD SGDFRQGLWLRQDO GHQVLWLHVNEYFHUDMX=x
@MC NEXFHUDMY=yQDRODBSHUDKX @MCf
X(x)@MCf Y(y)@QD SGDPDUJLQDO
GHQVLWLHVENQX@MCYQDRODBSHUDKX

(M O@QSHBTK@Q VD G@UD ENQ SGD L@QFHM@K
CDMRHSHDR
f
X(x)=

∞
−∞
fX,Y(x, y)Cy@MCf Y(y)=

∞
−∞
fX,Y(x, y)Cx.

$F SGD L@QFHM@K CDMRHSX NEXRHLOKX HFMNQDR @KK HMENQL@SHNM NEY @MC UHBD UDQR@
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
3VN Q@MCNL U@QH@AKDR @QDLQGHSHQGHQWHE SGD BNMCHSHNM@K OQNA@AHKHSX CHRSQH
ATSHNM NE DHSGDQ FHUDM SGD NARDQUDC U@KTD NE SGD NSGDQ HR SGD R@LD @R HE SGD
NSGDQWR U@KTD G@C MNS ADDM NARDQUDC DF
f
Y|X(y|x)=f Y(y)
(M O@QSHBTK@Q SVN Q@MCNL U@QH@AKDR @QD HMCDODMCDMS HE SGDHQ INHMS CDMRHSX HR
SGD OQNCTBS NE SGD L@QFHM@K CDMRHSHDR
f
X,Y(x, y)=f X(x)fY(y).
,NQDNUDQ ENQ HMCDODMCDMS Q@MCNL U@QH@AKDRXYHS GNKCR SG@SE(X·Y)=
E(X)·E(Y)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)@MCCov(X, Y)=0
%NQ NTQ SVN Q@MCNL U@QH@AKDRX@MCY SGDHQMRLQW GLVWULEXWLRQHR SGD CHR
SQHATSHNM NE SGD HMSDQRDBSHNM NE SGD DUDMSRX@MCY SG@S HR NE ANSG DUDMSR
X@MCYNBBTQQHMF SNFDSGDQ "NMRDPTDMSKX SGD INHMS CHRSQHATSHNM ETMBSHNM
F
X,Y(x, y)HR FHUDM AX
F
X,Y(x, y)=P(X≤x, Y≤y)=

x
−∞

y
−∞
fX,Y(u, v)CvCu.
(M SGD B@RD NE NMKX SVN Q@MCNL U@QH@AKDR SGHR HR B@KKDC @ AHU@QH@SD CHRSQHATSHNM
ATS SGD BNMBDOS @R VDKK @R SG@S NE SGD AHU@QH@SD CDMRHSHDR @MC HMCDODMCDMBD
FDMDQ@KHYDR SN @MX MTLADQ NE DUDMSR NQ Q@MCNL U@QH@AKDR
$W@LOKD 3GD -NQL@K#HRSQHATSHNM %NQ @ MNQL@KKX NQ &@TRRH@M CHR
SQHATSDC

Q@MCNL U@QH@AKDX SGD CDMRHSXf(x)HR FHUDM AX
f(x)=
1
√
2πσ
DWO

−
(x−μ)
2
2σ
2

,
VGDQDμ@MCσ
2
CDMNSD SGD LD@M U@KTD @MC SGD U@QH@MBD NEX QDRODBSHUDKX
3N CDMNSD SG@S @ QD@KU@KTDC Q@MCNL U@QH@AKDXHR MNQL@KKX CHRSQHATSDC VHSG
LD@Mμ@MC U@QH@MBDσ
2
VD VQHSDX∼N(μ, σ
2
)
3GD QDK@SHNM ADSVDDM SGD INHMS CDMRHSX NE SVN Q@MCNL U@QH@AKDR SGD
L@QFHM@K @MC BNMCHSHNM@K CDMRHSHDR HR RJDSBGDC HM %HF -NSD SG@S HM FDM DQ@K SGD BNMCHSHNM@K OQNA@AHKHSX NEXFHUDMYHR MNS SGD R@LD @RYFHUDMX
3GD OQNA@AHKHSX NE ANSGX@MCYSNFDSGDQ HRP(XY) @MC HE ANSGP(X)@MC
P(Y)@QD MNMYDQN SGHR KD@CR SN @ RS@SDLDMS NE%D\HV 7KHRUHP
P(X|Y)=
P(Y|X)·P(X)
P(Y)
,@MCP(Y|X)=
P(X|Y)·P(Y)
P(X)
.
"NMCHSHNM@K OQNA@AHKHSX HR @KRN SGD A@RHR ENQ RS@SHRSHB@K CDODMCDMBD @MC RS@ SHRSHB@K HMCDODMCDMBD @R VD VHKK RDD HM 2DB

3GD MNQL@K CHRSQHATSHNM V@R ¥QRS HMSQNCTBDC AX AQ@G@L CD ,NHUQD HM @M @QSHBKD HM
VGHBG V@R QDOQHMSDC HM SGD RDBNMC DCHSHNM NE GHR Z3GD #NBSQHMD NE "G@MBDRZ HM SGD
BNMSDWS NE @OOQNWHL@SHMF BDQS@HM AHMNLH@K CHRSQHATSHNMR ENQ K@QFD M@STQ@K MTLADQR
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
E(y)
E(x)
y
x
marginal
density
of y
x = x
0
conditional density of y, given x = x
0
marginal density of x
%HFTQD 1DK@SHNM ADSVDDM SGD INHMS L@QFHM@K @MC BNMCHSHNM@K CDMRHSHDR
!DENQD XNT BNMSHMTD L@JD RTQD SN @MRVDQ SGD ENKKNVHMF PTDRSHNMR
0THY 2DBSHNM
0&HUD SGD CD¥MHSHNMR NE '±KCDQ @MC +HORBGHSY BNMSHMTHSX @MC FHUD @M DW
@LOKD NE @ '±KCDQBNMSHMTNTR ETMBSHNM SG@S HR MNS +HORBGHSYBNMSHMTNTR
0&HUD SGD CD¥MHSHNM NE @σ@KFDAQ@ @ OQNA@AHKHSX LD@RTQD @MC @ OQNA@AHK
HSX RO@BD &HUD SVN DW@LOKDR ENQ OQNA@AHKHSX RO@BDR
0&HUD SGD CD¥MHSHNM NE @ Q@MCNL U@QH@AKD &HUD SVN DW@LOKDR ENQ Q@MCNL
U@QH@AKDR
0'NV B@Mσ@KFDAQ@R AD FDMDQ@SDC TSHKHYHMF Q@MCNL U@QH@AKDR
0&HUD SGD CD¥MHSHNMR NE SGD CDMRHSX @MC SGD CHRSQHATSHNM ETMBSHNM NE @ Q@M
CNL U@QH@AKD
06G@S @QD BNMCHSHNM@K CDMRHSHDR @MC L@QFHM@K CDMRHSHDR
06G@S CNDR SGD SGDNQDL NE 1@CNM-HJNCXL RS@SD @MC VGX HR HS HLONQS@MS
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
,NLDMSR @MC (MSDFQ@KR
/@QSHBTK@QKX HM OGXRHB@K DWODQHLDMSR MDHSGDQ CHRSQHATSHNMR MNQ CDMRHSHDR @QD
@U@HK@AKD D@RHKX SGQNTFGNTS LD@RTQDLDMS OQNBDRRDR SGNTFG SGD DWODBS@SHNM
@MC LNLDMSR @R VDKK @R SGDHQ OQNODQSHDR OK@X @M HLONQS@MS QNKD ENQ SGNRD
@OOKHB@SHNMR
"DMSQ@K ,NLDMSR @MC ,NLDMS &DMDQ@SHMF %TMBSHNMR
1@MCNL U@QH@AKDR B@M AD CDRBQHADC AX SGDHQkSG LNLDMSR VGHBG @QD CD¥MDC
A@R
E(x
k
):=

∞
−∞
x
k
f(x)Cx
@MC SGDHQkSG BDMSQ@K LNLDMSR
E((x−E(x))
k
):=

∞
−∞
(x−E(x))
k
f(x)Cx.
3GD LNRS HLONQS@MS LNLDMSR @QD SGDPHDQ @UDQ@FD U@KTD DWODBSDC U@KTD
1
st
LNLDMS
μ:=E(x)=

∞
−∞
xf(x)Cx
@MC SGDYDULDQFH2
nd
BDMSQ@K LNLDMS
σ
2
:=Var(x):=E ((x−μ)
2
):=

∞
−∞
(x−μ)
2
f(x)Cx,
VGDQDAX SGD PT@MSHSXσHR B@KKDC SGDVWDQGDUG GHYLDWLRQ
$W@LOKD ,NLDMS &DMDQ@SHMF %TMBSHNM @MC %HQRS ,NLDMSR NE -NQL@KKX
#HRSQHATSDC 1@MCNL 5@QH@AKDR %NQ MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL U@QH@AKDR
@KK GHFGDQ LNLDMSR k> 2 B@M AD DWOQDRRDC AX SGD LD@Mμ@MC SGD U@QH@MBD
σ
2

&HUDM @ QD@K Q@MCNL U@QH@AKDX SGD RNB@KKDCPRPHQW JHQHUDWLQJ IXQFWLRQ
HR CD¥MDC @R
M
X(t):=E( DWO(tX))
/QNUHCDC SGD LNLDMS FDMDQ@SHMF ETMBSHNM DWHRSR HM @M NODM HMSDQU@K @QNTMC
t=0 SGDnSG LNLDMS HR FHUDM @R
E(X
n
)=M
(n)
X
(0) =
C
n
MX(t)
Ct
n

t=0
.
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
3GTR ENQ @ MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL U@QH@AKDX SGD LNLDMS FDMDQ@SHMF
ETMBSHNM HR
M
X(t)=E (DWO(tX)) =

∞
−∞
1
√
2πσ
DWO

−
(x−μ)
2
2σ
2

DWO(tx)Cx
=DWO
ε
μt+
1
2
σ
2
t
2
θ
.
3GHR KD@CR SNE(X)=μE(X
2
)=μ
2
+σ
2
E(X
3
)=μ
3
+3μσ
2
...@MCE(X−
μ)=0E((X−μ)
2
)=E(X
2
−2μX+μ
2
)=σ
2
E((X −μ)
3
)=0...
%NKKNVHMF :< DW@LOKD VD @OOKX SGD LNLDMS FDMDQ@SHMF ETMBSHNM SN
CDQHUD SGD FDNLDSQHB CHRSQHATSHNM %HQRS UH@ , 3 +! VD NAS@HM @ BKNRDC ENQL
ENQ SGD LNLDMS FDMDQ@SHMF ETMBSHNM AX
JG 4 bBKTHB7vU bvKbmKU2tTUi FV TF [- F- y- BM7V Vc
T`2iivUJGV
[
@ @@@@@@@@@@@@
2tTUiVT@R
3GD ¥QRS @MC RDBNMC LNLDMSR @QD FDMDQ@SDC AX CH¤DQDMSH@SHNM @MC RTARSH
STSHNM ENQt=0HM SGD QDRTKS@MS DWOQDRRHNM %NQ SGD ¥QRS LNLDMS SGHR KD@CR
SN
JGS 4 HBKBiU/BzUJGV- i- yV
JGS 4
RfUT@RVk [ T
6D QDOD@S SGD OQNBDRR ENQ SGD RDBNMC LNLDMS
JGSS 4 HBKBiU/BzUJG-kV- i- yV
JGSS 4
@[ T UTYRVfUT@RVj
3GD U@QH@MBD HR MNV BNLOTSDC @MC RHLOKH¥DC AX MNSHMFq=1−p@MC
RTARSHSTSHNMVar(X)=E(X
2
)−E(X)
2

o_G 4 bm#bUJGSS- [- R@TV @ bm#bUJGS- [- R@TVk
T`2iivU bBKTHB7vUo_GV V
T
@@@@@@@@
k
UT @ RV
3GD ¥QRS @MC RDBNMC LNLDMSR NE @ Q@MCNL UDBSNQx=(x 1,...,xn)
T
@QD
CD¥MDC AX
μ:=E(x):=(E(x
1),...,E( x n))
T
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
@MC AX SGDFRYDULDQFH PDWUL[RXLLDSQHB @MC ONRHSHUD CD¥MHSD
P:=E((x−μ)(x−μ)
T
)
:=
⎛
⎜
⎜
⎝
E((x 1−μ1)(x1−μ1))E((x 1−μ1)(x2−μ2))...E((x 1−μ1)(xn−μn))
E((x
2−μ2)(x1−μ1))E((x 2−μ2)(x2−μ2))...E((x 2−μ2)(xn−μn))

E((x
n−μn)(x1−μ1))E((x n−μn)(x2−μ2))...E((x n−μn)(xn−μn))
⎞
⎟
⎟
⎠
.
3GD CH@FNM@K DKDLDMSRE((x
i−μi)
2
)NEP@QD SGDYDULDQFHV@MC SGD N¤
CH@FNM@K DKDLDMS @QD SGDFRYDULDQFHVNE SGD UDBSNQ BNLONMDMSR 3GDVWDQGDUG
VTXDUH GHYLDWLRQHR FHUDM AX SGD SQ@BD NEP
tr(P)=E
α
n
π
i=1
(xi−μ)
2
ω
.
%NQ HMRS@MBD VHSG SGD BNU@QH@MBD L@SQHWP SGD CDMRHSX NE @ MNQL@KKX CHR
SQHATSDCnUDBSNQ HR
f(x
1,...,xn)=
1
ξ
(2π)
n
ξ
det(P)
DWO
ε
−
1
2
(x−μ)
T
P
−1
(x−μ)
θ
.
3N FDMDQ@SD @ QD@KHR@SHNM NE @ LTKSHU@QH@SD &@TRRH@M Q@MCNL U@QH@AKDX∼
N(μ, P)P∈R
d×d
VD B@M OQNBDDC @R ENKKNVR BE :< OO
/DQENQL @ "GNKDRJX CDBNLONRHSHNM NEPSN XHDKC SGD MNMRHMFTK@Qd×d
L@SQHWGRTBG SG@SP=GG
T

&DMDQ@SD @ QD@KHR@SHNMu∈R
d
NE @ Q@MCNL UDBSNQU∼N(0,I)HMR
d

VGDQDI=CH@F(1,1,...,1) ∈R
d×d
CDMNSDR SGDd×dTMHS L@SQHW
%NQL SGD QD@KHR@SHNM NEX@Rx=Gu+μ
R @M DW@LOKD KDS TR @RRTLDμ:= 0@MC
P:=
⎛
⎝
1 2/3 1/3
2/3 1 1/3
1/3 2/3 1
⎞
⎠ ⇒ G=
⎛
⎝
100
0.6667 0. 7454 0
0.3333 0. 5963 0.7303
⎞
⎠.
(M %HF QD@KHR@SHNMR NEX@QD OKNSSDC AX TRD NE SGD ENKKNVHMF , 3+ !
BNLL@MCR
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
−3
−2
−1
0
1
2
3
−4
−2
0
2
4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
%HFTQD 1D@KHR@SHNMR NE @ CHLDMRHNM@K LTKSHU@QH@SD &@TRRH@M Q@MCNL U@QH@AKD
BE :< O
, 3+ ! $W@LOKD THQiiBM;j.XK &DMDQ@SHMF %HF
/ : <
& BGNK / W SHUIRUP &KROHVN\ GHFRPSRVLWLRQ
0$7/$% SURGXFHV 3 $ [ $ VR * $ [
,
ENQL , JHQHUDWH UHDOLVDWLRQV RI [
T : Q@MCM Q@MCM Q@MCM < W
W& T
RB@SSDQ W W W W EHKKDC W
GNKC NM
DMC
"QNRRDWODBS@SHNMR NE OQNCTBSR NE Q@MCNL U@QH@AKDR @QD FDMDQ@KKX CH§BTKS
SN NAS@HM SGNTFG SGD ENKKNVHMF OQNONRHSHNM @KKNVR TR SN B@KBTK@SD @M @QAHSQ@QX
OQNCTBS NE MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL U@QH@AKDR

/QNONRHSHNM $WODBS@SHNM NE @ /QNCTBS NE -NQL@KKX #HRSQHATSDC 1@MCNL
5@QH@AKDR6XSSRVHX=(x
1,x2,...,xn)
T
∼N(0,P) ZKHUHPLV DQn×n
SRVLWLYH VHPLGH²QLWH PDWUL[ )RU QRQQHJDWLYH LQWHJHUVs
1,s2,...,sn ZH KDYH
E
α
n
−
i=1
x
si
i
ω
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0 LIsLV RGG,
1
(
s
2
)!
˙
s1
ν1=0
···
˙
sn
νn=0
(−1)
ε
n
i=1
νi
·
·

s
1
ν1

...

s
n
νn

ε
1
2
h
T
Ph
θ
s/2
LIsLV HYHQ,
ZKHUHs=s
1+s2+···+s nDQGh=
ε
1
2
s1−ν1,
1
2
s2−ν2,...,
1
2
sn−νn
θ
T

2DD :< SNN (M SGD OGXRHBR KHSDQ@STQD RTBG BKNRDC ENQL RNKTSHNMR ENQ SGD DWODBS@SHNM NE
SGD OQNCTBS NE MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL U@QH@AKDR @QD @RRNBH@SDC VHSG:LFN[V IRUPXOD
BE :< O
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
3URRIRDD :< O
&KHE\VHY[V LQHTXDOLW\FHUDR @M DRSHL@SD GNV E@Q @ Q@MCNL U@QH@AKD CDUH@SDR
EQNL HSR LD@M
/QNONRHSHNM "GDAXRDUR (MDPT@KHSX /HWXEH D UDQGRP YDULDEOH ZLWK
²QLWH PHDQ DQG YDULDQFH WKHQ
P(|X−E(X)|≥ε)≤
Var(X)
ε
2
,
IRU HYHU\ε>0
3URRIBE :< O
R @M DWSDMRHNM NE NTQ HMSDFQ@SHNM BNMBDOS ENQ Q@MCNL U@QH@AKDR KDS TR CHR
BTRR SGD HMSDFQ@SHNM VHSG QDRODBS SN @ OQNA@AHKHSX LD@RTQD
(MSDFQ@SHNM VHSG 1DRODBS SN @ /QNA@AHKHSX ,D@RTQD
4O TMSHK MNV VD G@UD TRDC SGD BNMBDOS NE @ CDMRHSX SN RDS TO HMSDFQ@KR NUDQ
Q@MCNL U@QH@AKDR VHSG QDRODBS SN SGD +DADRFTD LD@RTQD .ESDM SGDRD CDM
RHSHDR @QD MNS @U@HK@AKD D@RHKX GDMBD VD AQHD¦X CD¥MD SGD HMSDFQ@SHNM VHSGQD
RODBS SN @ Q@MCNL LD@RTQD HSRDKE U NE BNTQRD @KK VG@S BNLDR B@M AD OK@XDC
A@BJ SN NTQ OQDUHNTR CHRBTRRHNMR AX @OOKXHMF SGD SGDNQDL NE 1@CNM-HJNCXL
3GDNQDL HM NQCDQ SN F@HM SGD @OOQNOQH@SD CDMRHSX ETMBSHNM
(MSDFQ@SHNM VHSG QDRODBS SN @ OQNA@AHKHSX LD@RTQD HR BNLLNMKX CD¥MDC HM
@ SGQDD RSDO OQNBDRR NESDM B@KKDC RSNBG@RSHB HMCTBSHNM
(E(Ω,A,P)HR @ OQNA@AHKHSX RO@BD @MCX=
ˆ
n
i=1
aiIAi
HR @ QD@KU@KTDC
RHLOKD Q@MCNL U@QH@AKD VD CD¥MD SGD HMSDFQ@K NEXVHSG QDRODBS SNPAX

Ω
XCP:=
n
π
i=1
aiP(Ai).
(E MDWSXHR @ MNMMDF@SHUD Q@MCNL U@QH@AKD VD CD¥MD

Ω
XCP:= RTO
Y≤X, YRHLOKD

Ω
YCP.
%HM@KKX HEX:Ω→RHR @ Q@MCNL U@QH@AKD VD VQHSD

Ω
XCP:=

Ω
X
+
CP−

Ω
X
−
CP,
OQNUHCDC @S KD@RS NMD NE SGD HMSDFQ@KR NM SGD QHFGS G@MC RHCD HR ¥MHSD
'DQD VD TRDC SGD ONRHSHUD O@QSX
+
:=L@W(X,0)@MC SGD MDF@SHUD O@QS
X
−
:=LHM(X,0)NEX RN SG@S VD G@UDX=X
+
−X
−

&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
-DWS RTOONRDX=(X
(1)
,X
(2)
,...,X
(d)
)
T
:Ω→ R
d
HR @ UDBSNQU@KTDC Q@M
CNL U@QH@AKD 3GDM

Ω
XCP:=

Ω
X
(1)
CP,

Ω
X
(2)
CP,...,

Ω
X
(d)
CP

.
6D VHKK @RRTLD SGD TRT@K QTKDR ENQ SGDRD HMSDFQ@KR SN GNKC ,NQDNUDQ VD B@M
VQHSD SGD DWODBSDC U@KTDE(X)@MC SGD U@QH@MBDVar(X)NE @ UDBSNQU@KTDC
Q@MCNL U@QH@AKDX@R
E(X)=

Ω
XCP @MCVar(X)=

Ω
|X−E(X)|
2
CP,
VGDQD|·|CDMNSDR SGD $TBKHCD@M MNQL .ARDQUD HM O@QSHBTK@Q SG@S
Var(X)=E (|X−E(X)|
2
)=E( |X|
2
)−|E(X)|
2
.
3GD FNNC SGHMF @ANTS CD¥MHMF LD@M @MC U@QH@MBD VHSG QDRODBS SN OQNA@
AHKHSX LD@RTQDR HR SG@S HS @KKNVR TR SN TRD SGD R@LD RXLANKR @MC ENQLTK@R ENQ
ANSG BNMSHMTNTR @MC CHRBQDSD Q@MCNL U@QH@AKDR .MD L@X MNSD SG@S VHSG QD
RODBS SN CHRBQDSD Q@MCNL U@QH@AKDR @MC SGDHQ CHRBQDSD OQNA@AHKHSX LD@RTQDR
BNTMSHMF LD@RTQDR SGD @ANUD HMSDFQ@KR ADBNLD RTLR
+DSX∼N(0,1) 4SHKHYHMF , 3+ ! VD DRSHL@SD SGD LD@M @MC U@QH@MBD NE
X
2

t 4 `M/MUR-RyyyyVc v 4 tXkc
K 4 K2MUvVc p 4 p`UvVc
K 4 yXNNdek p 4 kXyRky
(MCDODMCDMBD @MC "NMCHSHNM@K $WODBS@SHNM
+DS(Ω,A,P)AD @ OQNA@AHKHSX RO@BD @MCA, B∈AAD SVN DUDMSR VHSGP(B)>
0 6D V@MS SN ¥MC @ QD@RNM@AKD CD¥MHSHNM NE
P(A|B)=ZSGD OQNA@AHKHSX NEAFHUDMBZ
2TOONRD RNLD ONHMSω∈ΩHR RDKDBSDC Z@S Q@MCNLZ @MC VD @QD SNKCω∈B
6G@S SGDM HR SGD OQNA@AHKHSX SG@Sω∈A@KRN
2HMBD VD JMNVω∈B VD B@M QDF@QCB@R ADHMF @ MDV OQNA@AHKHSX RO@BD
3GDQDENQD VD CD¥MD
˜
Ω:=BDMCNVDC VHSG SGD SQ@BDσ@KFDAQ@
˜
A:={C∩B:
C∈A}@MC SGD LD@RTQD
˜
P:=
P
P(B)
RN SG@S
˜
P(
˜
Ω) = 1 3GDM SGD OQNA@AHKHSX
SG@SωKHDR HMAHR
P(A|B)=
˜
P(A)=
P(A∩B)
P(B)
.
3GHR LNSHU@SDR SGD ENKKNVHMF CD¥MHSHNM
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
!DENQD XNT BNMSHMTD L@JD RTQD SN @MRVDQ SGD ENKKNVHMF PTDRSHNMR
0THY 2DBSHNM
0&HUD SGD CD¥MHSHNMR NE SGD DWODBSDC U@KTDE(X)@MC SGD U@QH@MBDVarNE
@ QD@K U@KTDC Q@MCNL U@QH@AKDX 6G@S CN SGDRD SVN BNMBDOSR HKKTRSQ@SD
0+DS SGD CDMRHSX ETMBSHNMf(x)NE @ Q@MCNL U@QH@AKDxAD FHUDM @Rf(x):=
RHM(x)x∈[0,
1
2
π] "NLOTSD SGD DWODBSDC U@KTD @MC U@QH@MBD NEx
0+DS SGD CDMRHSX ETMBSHNMf(x)NE @ Q@MCNL U@QH@AKDxAD FHUDM @Rf(x):=
6x−6x
2
x∈[0,1] "NLOTSD SGD DWODBSDC U@KTD @MC U@QH@MBD NEx
06GX @QD LNLDMS FDMDQ@SHMF ETMBSHNMR TRDETK (KKTRSQ@SD XNTQ @MRVDQ
VHSG SGD DW@LOKD NE MNQL@KKX CHRSQHATSDC Q@MCNL U@QH@AKDR
06G@S CNDR "GDAXRDUWR HMDPT@KHSX RS@SD
0+DS(Ω,A,P)AD @ OQNA@AHKHSX RO@BD @MCXAD @ QD@K U@KTDC Q@MCNL U@QH
@AKD 6G@S CNDR SGD RXLANK
˙
Ω
XCPLD@M 'NV CNDR SGHR QDK@SD SNE(X)
@MCVar
#D¥MHSHNM "NMCHSHNM@K /QNA@AHKHSX +DS(Ω,A,P)AD @ OQNA@AHKHSX
RO@BD @MCA, B∈AAD SVN DUDMSR VHSGP(B)>0 3GDM SGDFRQGLWLRQDO
SUREDELOLW\P(A|B)NEAFHUDMBHR CD¥MDC @R
P(A|B):=
P(A∩B)
P(B)
.
-NV VG@S RGNTKC HS LD@M SN R@X ZA@MCB@QD HMCDODMCDMSZ 3GHR RGNTKC
LD@MP(A|B)=P(A) RHMBD OQDRTL@AKX @MX HMENQL@SHNM SG@S SGD DUDMSB
NBBTQQDC HR HQQDKDU@MS HM CDSDQLHMHMF SGD OQNA@AHKHSX SG@SAG@R NBBTQQDC 3GTR
P(A)=P( A|B)=
P(A∩B)
P(B)
⇒P(A∩B)=P(A)·P(B),
HEP(B)>0 6D S@JD SGHR ENQ SGD CD¥MHSHNM

DUDMHEP(B)=0
#D¥MHSHNM 3VN (MCDODMCDMS $UDMSR +DS (Ω,A,P)AD @ OQNA@AHKHSX
RO@BD 3VN DUDMSRA@MCB@QD B@KKDCLQGHSHQGHQWHE
P(A∩B)=P( A)·P(B).

5HRT@KKX HMCDODMCDMBD NE SVN DUDMSRA@MCBLD@MR SG@S SGD Q@SHNP(A)SNP(Ω) = 1HR
SGD R@LD @R SGD Q@SHNP(A∩B)SNP(B) NQ LNQD RKNOOX SGDASNΩHR SGD R@LD @R SGD O@QS
NEAHMBSNB
&KDSWHU

1@MCNL #H¤DQDMSH@K $PT@SHNMR HM 2BHDMSH¥B "NLOTSHMF
Ω = [0, 1]
2
A
B
A B
%HFTQD M DW@LOKD VHSG ZFDNLDSQHB OQNA@AHKHSHDRZλ(Ω) = 1λ(A)=λ(B)=
0.25R Sλ(A∩B)=0.25
2
3GTRA@MCB@QD HMCDODMCDMS ,NQDNUDQλ(A
c
)=
λ(B
c
)=1−0.2.5=0.75λ(A
c
∩B)=λ(B\(A∩B)) = 0. 25−0.25
2
=0.1875@MC
λ(A
c
)λ(B)=0.75·0.25 = 0.1875 HDA
c
@MCB@QD HMCDODMCDMS
3GHR BNMBDOS @MC HSR Q@LH¥B@SHNMR @QD SGD G@KKL@QJR NE OQNA@AHKHSX SGDNQX
(S HR D@RX SN BGDBJ SG@S HEA@MCB@QD HMCDODMCDMS SGDM RN @QDA
c
@MCB
NQ KHJDVHRDA
c
@MCB
c
RDD %HF DF
3VN DUDMSRA@MCB@QD B@KKDCPXWXDOO\ H[FOXVLYHHEA∩B=∅ .MD B@M
RGNV SG@S SVN DUDMSR B@MMNS AD ANSG HMCDODMCDMS @MC LTST@KKX DWBKTRHUD
TMKDRR NMD NE SGD SVN HR @ MTKK RDS
3GD ENKKNVHMF CD¥MHSHNM DWSDMCR SGD BNMBDOS NE HMCDODMCDMBD ¥QRS SN @M
@QAHSQ@QX MTLADQ NE DUDMSR TMCDQ BNMRHCDQ@SHNM SGDM SNσ@KFDAQ@R @MC K@RS
SN Q@MCNL U@QH@AKDR
#D¥MHSHNM (MCDODMCDMBD NE $UDMSRσ KFDAQ@R @MC 1@MCNL 5@QH
@AKDR +DS(Ω,A,P)AD @ OQNA@AHKHSX RO@BD
^ +DSA
1,A2,...AD DUDMSR HM(Ω,A,P) 3GDRD DUDMSR @QDLQGHSHQGHQWHE ENQ
@KK BGNHBDR NE1≤k
1<k2<···<k n HS GNKCR SG@S
P(A
k1
∩Ak2
∩···∩A kn
)=P( A k1
)·P(A k2
)·····P(A kn
).
^ +DSA
i⊂Ai=1,2,...ADσ@KFDAQ@R 3GD{A i}
∞
i=1
@QDLQGHSHQGHQWHE
ENQ @KK BGNHBDR NE1≤k
1<k2<···<k n@MC NE DUDMSRA i∈Ai HS GNKCR
SG@S
P(A
k1
∩Ak2
∩···∩A kn
)=P( A k1
)·P(A k2
)·····P(A kn
).
^ +DSX
i:Ω→R
d
i=1,2,... AD Q@MCNL U@QH@AKDR 3GD Q@MCNL U@QH@AKDR
X
1,X2,...@QDLQGHSHQGHQWHE ENQ @KK HMSDFDQRk≥2@MC @KK BGNHBDR NE
!NQDKRDSRB
1,B2,...,Bk⊂R
d
HS GNKCR SG@S
P(X
1∈B1,X2∈B2,...,Xk∈Bk)=P( X 1∈B1)·P(X 2∈B2)·...·P(X k∈Bk).
6HFWLRQ

3NAH@R1HFNHO %KNQH@M5XSS
3GHR HR DPTHU@KDMS SN R@XHMF SG@S SGDσ@KFDAQ@R{A(X i)}
∞
i=1
FDMDQ@SDC AX
SGDX
i@QD HMCDODMCDMS
-DWS VD FHUD SGD BNMMDBSHNM SN CHRSQHATSHNM ETMBSHNMR @MC CDMRHSHDR NE HM
CDODMCDMS Q@MCNL U@QH@AKDR
3GDNQDL (MCDODMCDMBD "QHSDQH@ ENQ #HRSQHATSHNM @MC #DMRHSX %TMBSHNM
/HW(Ω,A,P)EH D SUREDELOLW\ VSDFH 7KH UDQGRP YDULDEOHVX
1,...,Xn:Ω→R
ZLWK GLVWULEXWLRQ IXQFWLRQVF
Xi
RIX ii=1,...,n DUH LQGHSHQGHQW LI DQG RQO\
LI
F
X1,...,Xn(x1,...,xn)=F X1
(x1)·...·F Xn(xn),
IRU DOOx
i∈R
d
i=1,...,n
0RUHRYHU LI WKH UDQGRP YDULDEOHVX
1,...,XnKDYH GHQVLWLHV LV HTXLYD
OHQW WR
f
X1,...,Xn(x1,...,xn)=f X1
(x1)·...·f Xn(xn)∀x i∈R
d
i=1,...,n,
ZKHUH WKH IXQFWLRQVf
Xi
DUH WKH GHQVLWLHV FRUUHVSRQGLQJ WRX i
3URRI%NQ SGD @RRDQSHNM VQS SGD CHRSQHATSHNMR KDS TR @RRTLD ¥QRS SG@S SGDX
i
i=1,...,n @QD HMCDODMCDMS 3GDM
F
X1,...,Xn(x1,...,xn)=P( X 1≤x1,...,Xn≤xn)
=P(X
1≤x1)·...·P(X n≤xn)
=F
X1
(x1)·...·F Xn(xn)
-DWS VD OQNUD SGD @RRDQSHNM VQS SGD CDMRHSHDR 'DQD VD OQNUD SGD BNM
UDQRD RS@SDLDMS ENQ SGD B@RD SG@S @KK Q@MCNL U@QH@AKDR G@UD CDMRHSHDR 2DKDBS
A
i∈A(X i)i=1,...,n 3GDMA i=X
−1
i
(Bi)ENQ RNLDB i∈B 'DMBD
P(A
1∩···∩A n)=P( X 1∈B1,...,Xn∈Bn)
=

B1×···×B n
fX1,...,Xn(x1,...,xn)Cx1...Cx n
=
n
ζ
i=1

Bi
fXi
(xi)Cxi

= n
ζ
i=1
P(Xi∈Bi)=
n
ζ
i=1
P(Ai).
3GDQDENQDA(X
1),...,A( X n)@QD HMCDODMCDMSσ@KFDAQ@R
3VN NE SGD LNRS HLONQS@MS OQNODQSHDR NE HMCDODMCDMS Q@MCNL U@QH@AKDR @QD
FHUDM HM SGD ENKKNVHMF SGDNQDL
&KDSWHU

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

The Project Gutenberg eBook of Seikkailu
rosenkreuziläisten luona

This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States
and most other parts of the world at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it
under the terms of the Project Gutenberg License included with this
ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the
United States, you will have to check the laws of the country where
you are located before using this eBook.
Title: Seikkailu rosenkreuziläisten luona
Author: Franz Hartmann
Translator: Kyllikki Ignatius
Release date: February 11, 2018 [eBook #56543]
Language: Finnish
Credits: Produced by Tapio Riikonen
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK SEIKKAILU
ROSENKREUZILÄISTEN LUONA ***

Produced by Tapio Riikonen
SEIKKAILU
ROSENKREUZILÄISTEN
LUONA
Kirj.
T:RI FRANZ HARTMANN
Saksankielestä suomentanut

Kyllikki Ignatius
Ruusu-risti-kirjasto N:o 1.
Viipurissa, Kustannusosakeyhtiö Tietäjä, 1922.

SISÄLLYS:
      Johdanto.
   I. Kävelyretki.
  II. Teosofinen luostari.
III. Selityksiä.
  IV. Pöytäkeskustelua.
   V. Alkemiallinen laboratorio.
  VI. Loppu.

JOHDANTO
Tämä novelli, joka ilmestyi Bostonissa vuonna 1839, oli ensimmäinen
yritykseni romaanikirjoittamisen alalla. Menestys oli suuri sekä
Amerikassa että Englannissa, joten kirja vähässä ajassa ilmestyi
monena painoksena. Sen päätarkoituksena oli alkujaan levittää
eräitä aatteita, joita t:ri Carl du Prel "Maallinen luostari"-nimisellä
kirjallaan oli herättänyt eloon Saksassa, englanninkieltä puhuviin
piireihin ja niitä valaista teosofiselta näkökannalta. Missä määrin
tässä kerrotut tapahtumat perustuvat omiin kokemuksiini, jätän
järkevän lukijan oman arvostelun varaan.
Florens, 1899.
Tekijä.

I.
KÄVELYRETKI
Pienessä kylässä alppien keskellä, lähellä sitä paikkaa, missä Etelä-
Baijerin ja Itävallan rajat leikkaavat toisiaan, kirjoitan muistiin
seuraavan kokemukseni. Eiliset vaikutelmat ovat vieläkin aivan
selvinä mielessäni ja niiden kautta saamani kokemus on yhtä
todellinen, kuin mikä tahansa jokapäiväisen elämän tapahtuma. Se
oli kuitenkin niin kovin ihmeellinen, että tuskin voin pitää sitä muuna
kuin unena. Olin juuri lopettanut rosenkreuziläisten historiaa
koskevat tutkimukseni. Olin suurella vaivalla lukenut vanhoja,
madonsyömiä kirjoja ja lahonneita käsikirjoituksia, niin vanhoja, että
niistä tuskin sai selvää. Päivät ja puolet yöt olin viettänyt
luostarikirjastoissa ja vanhojen kirjojen kaupoissa ja kaiken, mistä oli
vähänkään hyötyä tutkimuksilleni, olin jäljentänyt ja koonnut.
Vihdoinkin oli vaivaloinen työni valmis ja aikomukseni oli sallia
itselleni muutaman päivän lepoajan Tyrolin alpeilla.
Lumi peitti vielä vuoret, vaikkakin kevät jo oli tehnyt tuloaan
laaksoissa. Olin kuitenkin niin kovin kyllästynyt kaupungin
levottomaan ja meluavaan elämään, että mieleni teki hengittämään
vuoriston puhdasta ja virkistävää ilmaa. Mieleni teki jälleen

katselemaan välkkyviä jäätiköitä, jotka äärettömien peilien tavoin
kimaltelivat nousevan auringon valossa. Halusin antautua siihen
tunnelmaan, jonka vallassa Byron kirjoitti seuraavat säkeistöt:
"Kun sinä kiireelle vuoren rohkeena kiipeet, — huippuja
peittävän pilvien, hankien huomaat; kun yli ihmiskunnan sä
hengessä nouset, — allasi laaksossa vain vihan viihtyvän
näät.
Vaikkakin ylläsi aurinko kullassa hohtaa, allasi maa, meri
rannaton, ääretön aukee, — seisot sä siinä kahleissa kallion
jäisen, ulvovi myrsky ympäri paljaan pääsi; siinä huipulle
pyrkijän vaivojen palkka."
[Suom. Jussi Snellman.]
K:sta lähtevä juna kiidätti minut nopeasti S:n asemalle. Sieltä
jatkoin matkaa jalkaisin. Iloissani hengitin raitista maaseudun ilmaa,
joka ikäänkuin täytti minut uudella elinvoimalla ja haihdutti
kaupungin kiihkeän katuelämän päätä pyörryttävän huumauksen.
Kaikkialla tuoksuivat männyt ja pienet kukat, jotka uskalsivat
pilkistää näkyville paikoilla, mistä lumi oli sulanut. Tie kulki laaksosta
vuorta kohden pitkin joen uomaa. Taustassa kapeni laakso ja vuoren
seinämät tulivat jyrkemmiksi. Siellä täällä näkyi karjatalojen ryhmiä
sekä joitakin talonpoikaistupia, jotka ikäänkuin hiipivät ulkonevien
kallionkielekkeiden lähelle hakeakseen turvaa laakson kautta
vinkuvia, kohisevia myrskyjä vastaan. Aurinko laski läntisen
taivaanrannan taakse kullaten vuorien lumipeitteiset huiput ja pienen
rautaristin kyläkirkon tornissa. Kirkosta kaikuivat Ave Marian säveleet
saapuessani O:n. Sieltä oli aikomukseni tehdä jalkamatkoja
vuoristoon.

Kylässä otettiin minut vieraanvaraisesti vastaan ja matkasta
väsyneenä laskeusin aikaiseen levolle, Seuraavana aamuna heräsin
pienten kellojen kilinään laitumelle lähtevien vuohien kaulassa.
Nousin avaamaan ikkunan. Yön varjot pakenivat auringonnousun
lähetessä. Päivä sarasti ja hämärässä avautui silmieni eteen
arvokkaiden vuorenhuippujen mahtava jono. Se muistutti mieleeni
Edwin Arnoldin kertoman kuvauksen näköalasta Prinssi Siddarthan
palatsista Vishramvanissa:
"Vuoristo lepäsi siinä valkoisena, tahraa vailla taivasta
vasten tarkkaan kuvastui tietönnä, rajatonna, ihmeellisnä; sen
ylväs korkeus, ääret ilmavat kohotti korkealle aatoksen
harjuista särmikkäistä, kallioista, rinteistä vihannoista,
jäätiköistä, rotkoista jylhistä ja jyrkänteistä ylemmäs,
ylemmäs — se kunnes uskoi taivaassa seisovansa, jumalten
seurassa haastelevan."
[Suom. Jussi Snellman.]
Pian olin taas matkalla ja astuin laakson läpi joen kulkua seuraten.
Tällä kohden oli joenuoma hyvin kapea ja vaahtosi ja leikki iloisesti
syöksyessään kivien yli, mutta kauempana laaksossa levisi se
suureksi virraksi, joka levollisena ja majesteetillisena matkaili seudun
läpi. Pitkät vuorijonot näyttivät halkaisevan laaksoa, jossa kuljin,
joten aina uusia laaksoja avautui toisten rinnalle. Monet näistä
laaksoista olivat minulle tuttuja, sillä olin niiden kautta risteillyt
parikymmentä vuotta sitten ja olin tarkalleen tutkinut niiden
salaperäisiä luolia ja metsikköjä. Mutta yhtä laaksoa en tuntenut. Se
johti korkealle kaksijakoiselle vuorelle, jonka huipulle oli mahdoton
päästä ja näytti siltä, kuin ei kuolevaisen jalka sinne koskaan voisi
astua. Näkymätön, mutta vastustamaton voima tuntui vetävän

minua tätä laaksoa kohti. Antauduin sen valtaan ikäänkuin tuntien,
että laakson tutkimattomissa syvyyksissä ja tuon saavuttamattoman
vuoren juurella täyttyisivät sydämeni salaisimmat ja
epämääräisimmät toivomukset. Oli kuin selviäisi siellä arvoitus, jonka
ratkaisua en kirjoista ollut löytänyt.
Aurinko ei vielä ollut noussut taivaanrannan yläpuolelle. Oikealla ja
vasemmalla olevat metsät lepäsivät vielä syvän, yksivärisen mustan
hunnun peittäminä. Astuessani tuohon kapeaan, salaperäiseen
laaksoon, johti tie minut yhä korkeammalle pitkin toisen vuoren
seinämää pimeän metsän halki. Hitaasti ja melkein huomaamatta
nousi tie. Ensiksi kulki se pitkin vaahtoavaa joenuomaa, mutta kuta
kauemmaksi tulimme, sitä heikompana kuului metsäpuron kohina.
Yhä kauemmaksi syvyyteen tuntui virran pauhu haipuvan. Sitten
tulivat metsät valoisammiksi ja tummemmat puut jäivät kauas
alapuolelleni. Edessäni ja yläpuolellani kasvoi vielä siellä täällä puita
luoksepääsemättömän vuoren paljailla kielekkeillä. Yhä nousi tie
vuorta kohti. Mutta äkkiä kuulin taas vesiputouksen kohinan ja
uudestaan lähestyin vuorivirran uomaa. Se oli nyt kallionlohkareiden
täyttämä, jotka jättiläisvoima näytti särkeneen palasiksi ja koonneen
sekavaksi röykkiöksi. Kivien välissä vesi iloisena vaahtosi.
Siellä täällä oli pieniä, ruohopeitteisiä maasarakkeita, kuin
yksinäisiä pöytiä erämaan keskessä. Veden ja ilman vaikutus oli
hävittänyt niiden perustasta suurimman osan huuhtoen pois maan,
joten saarekkeet nyt muodostivat heikoilla jaloilla seisovia pöytiä.
Lujuudesta huolimatta oli niiden lopullinen häviö vain ajasta
riippuvainen, sillä perusta särkyi vähitellen kokonaan.
Polku johti minut yhä ylöspäin, kulkien toisinaan lähempänä jokea,
toisinaan kaukana nousten yli suurten kallionlohkareitten, sitten taas

kohoten notkon pohjasta, jonka sulava lumi oli muodostanut. Näin
olin jo tunkeutunut syvälle salaperäiseen laaksoon, kun nousevan
auringon ensimmäiset säteet näkyivät korkealla yläpuolellani olevilla
kallioilla. Erästä taivastatavottelevaa vuorenhuippua ympäröi
ikäänkuin pyhäinkehä, toisella puolen taas virtasi auringonvalo
täydellä loistollaan laaksoon. Lempeä ilmanhenki tuuditti puiden
latvoja ja koivuja, jotka siellä täällä mäntyjen välistä pilkistäen
lepattivat lehviään. Nyt oli aivan hiljaista, silloin tällöin vain kuului
tiaisen piipitys ja harvemmin vielä kirkui ilmassa haukka, joka pitkin,
kaarenmuotoisin liikkein kohosi taivasta kohden päivätyötään
alkamaan. Vähitellen levisi tuhkanharmaille vuorenseinille ja kallioille
kalpea, hopeanvärinen hohde, mutta rotkoissa ja kuiluissa koettivat
paksummat, siniset varjot yhä vastustaa valon vaikutusta.
Katsellessani taaksepäin, näin laakson laajenevan ja alhaalla
taustassa välkkyi joki kiemurrellessaan seudun läpi. Paljon
leveämpänä kuin täältä lähtiessään, synnytti se tuonne niittyjen
keskeen lammikkoja, soita ja lätäköltä. Toisella puolen kohosivat
mahtavat, laajat vuorijonot taivasta kohden ja huippujen välistä
kuulsi yhä uusia niiden takaa. Vuorten juuret peitti sankka
kasvullisuus. Kallionkielekkeet taas loivat vaihtelevan värisarjan
silmien nähtäväksi seinien mustasta varjosta kaukaisimman kukkulan
autereiseen valkeuteen, joka herkkine värineen näytti sulautuvan
taivaan kalpeaan sineen. Sinne tänne yli seudun valoi nousevan
auringon hohde valomeren, joka tunkeutuen kallion kielekkeiden ja
puunoksien välistä ilmoitti päiväntähden lähestymistä. Korkeammat
kukkulat lämpenivät jo auringonsäteistä kauan ennen kun valo
uskalsi alas laaksonpohjaan. Ja kun ne täydellä loistollaan kultasivat
vuorenhuiput, heikkenivät tummat varjot yhä enemmän ja haihtuivat
lopulta kokonaan.

Vihdoin tuli tuo suuri hetki. Aurinko nousi ylevän majesteetillisena
vuorenhuippujen takaa kaikkien nähtäväksi. Varjot pakenivat ja
säteilevä valovirta tunkeusi laaksoon, loisti läpi pimeän mäntymetsän
ja kultasi kaikki vuorenhuiput. Säteet kipinöivät lumi- ja jääkentillä,
joilla ne taittuivat häikäiseväksi valoksi, mutta kallion seinämillä
leikkivät ne pehmein tuhatkimalteisin värivivahduksin.
Polku kiersi kallionkielekkeen ympäri ja äkkiä seisoin tuon
saavuttamattoman vuorijättiläisen juurella. Paikalta, jonne
seisahduin, levisi melkein puuton taival aina huipulle asti. Vain paikka
paikoin versoi pieni kasvi kivilohkareiden välissä, jotka joskus tuon
salaperäisen vuoren korkeuksista suistuneina olivat tänne
lohkoutuneet. Siellä täällä kasvoi sammalta, johon juurtuneet
matalat pensaat kohottivat vaivaisia aavemaisen näköisiä oksiaan
taivasta kohden. Nämä viheriät sammalkentät peittivät tuon
saavuttamattoman vuoren rinteet aina huipun paljaille, harmaille
seinille asti. Jättiläismäisinä vartijoina uhkaavine katseineen nuo
huiput hiljaisesti ja liikkumatta puolustivat linnoitustaan ylöspäin
kiipeävää kasvullisuutta vastaan ja ajoivat sen takaisin laaksoon.
Samoin kuin ennen määräämättömien aikojen kuluessa riehuu nytkin
ikuinen taistelu. Vain taistelevien joukkojen rintamat vaihtelevat
vuosien kuluessa. Muuttumattomina kuin ijäiset totuudet seisovat
paljaat, harmaat kalliot korkeudessa. Siellä täällä koettaa
kasvullisuus tehdä hyökkäyksen heidän valtakuntaansa samoin kuin
harhakuvat todellisuuden maailmaan. Mutta kuolema voittaa. Yhä
uudestaan jäävät viheriöivät keitaat alassyöksyvien kallioiden alle.
Mutta sitten voittaa taasen elämä. Kalliot särkyvät ja niiden
murenevilla huipuilla vihertää taas uusi elämä.
Alppien kalkkivuoret ovat tuulen ja sateiden vaikutuksesta
lohkeilleet merkillisiksi muodostumiksi, joiden mukaan huiput ovat

saaneet nimensä. Mielikuvitusta ei tarvitse paljoakaan käyttää, jotta
jylhän Keisarivuoren huipussa näkisimme Keisari Barbarossan
muodon pitkine, punaisine partoineen. Kruunu päässä ja valtikka
kädessä istuu hän valtaistuimellaan talvipakkasesta ja kesäkuumasta
välittämättä odotellen herättämistä uuteen elämään. Hochvogel on
kuin kotka siivet levällään ja Widderhorn kuvaa pässin sarvia. Vuoren
juurella on maa enimmäkseen kivilohkareiden ja hiekkakumpujen
peittämä. Niiden välissä levittää leskenlehti suuria viheliäisiä lehtiään
ja munkkikaapun siniset kellokukat heiluttavat päitään. Syrjäisillä
paikoilla kasvaa edelweiss, muodoltaan samanlainen kuin se
edelweiss, jonka olen nähnyt kasvavan Popocatepetlilla Meksikossa
sekä Etelä-Amerikan Kordilleilla. Täällä kasvaa vuorigentiana,
alppiruusu, velhonlehti, arnica montana, salaperäinen hyperikon ja
monta muuta harvinaista kasvia, joilla on lääkitsevä voima ja
salaperäinen vaikutus. Missä maapohja on paksumpaa, kasvaa
hiukan suurempia kasveja, mutta useimmat pienet maakummut ovat
liian matalia jaksaakseen ravita puita. Ne voivat kyllä kasvaa jonkun
matkaa ylöspäin, mutta jonakin päivänä lakaisee myrsky yli kallioiden
ja alkaa hävitystyötään. Mahtavat, vanhat puut, joiden voimakkaat
oksat olivat puhkaisseet maapohjan, makaavat siellä täällä ojentaen
kaarnattomat, haalistuneet oksansa taivasta kohden kuin lihattomat
käsivarret. On ikäänkuin he vielä kuoleman hetkellään olisivat
turhaan apua huutaneet. Kääpiöpuut kasvavat kukkaisruumiitten yli
ja ravitsevat itseään kuolleitten ydinvoimalla.
Näillä vuorilla sulautuvat vuodenajat huomaamatta toisiinsa. Nyt
oli kevät, mutta kuitenkin näkyi kitukasvuisten mäntyjen vihertävien
oksien lomasta punaisia ja keltaisia syksynvärittämiä lehtiä. Jyrkillä
rinteillä kasvava sammal on sekin punertavaa kuin syksyllä. Kuiluissa
ja notkoissa on vielä kuluneen talven lunta ja jäätä. Mutta yläpuolelle
punaisen ja viheriän ja yläpuolelle puhtaan valkoisen lumen kohoavat

vuorenkukkuloiden harmaat joukot. Ne muodostavat
pylväskäytävineen ja kattohuippuineen, kupuineen,
suippopatsaineen ja tornineen jumalien rakentaman kaupungin.
Taustassa levittää taivas sinisen tai harmaan katoksen sen yli. Pieniä
puroja virtaa rotkoista rinteiden poikki. Ne syöksyvät alas
kallionkielekkeiltä ja haihtuvat höyryksi, ennenkun ovat päässeet
pohjaan asti. Kalliotkin ovat toisin paikoin onttoja muodostaen sinne
tänne notkoja, jotka osoittavat pienten vesisuonien voiman silloin
kun ne huippujen sulaneesta lumesta ovat paisuneet.
Jonkun aikaa nautin ihanasta näköalasta. Jatkoin sitten matkaani
ja lähestyin vuoripuroa, joka näytti saaneen alkunsa kauempana
olevasta vesiputouksesta. Seurasin sen kulkua. Vesi oli niin
ihmeellisen kirkasta, että pieninkin kivi eroittautui puron pohjassa.
Toisin paikoin näytti se liikkumattomalta, kuin juoksevassa tilassa
oleva auringonsäteitten läpäisemä kristalli. Kun este sattui tielle,
vaahtosi se korkealle kuin äkillisen vihan valtaamana, syöksyen
toisinaan taas pieninä putouksina iloisesti tanssien kivien välissä ja
monivärisenä kimallellen auringossa.
Tässä erämaassa ei mikään muistuttanut mieleen ihmisen
olemassaoloa. Joskus vain näki poikkisahatun puunpätkän, joka
viittasi ihmiskäden hävittävään toimintaan. Vanhoihin, onttoihin ja
lahonneihin puihin oli kokoontunut sadevettä, joka välkkyi
auringonpaisteessa pienen peilin tavoin. Sellaisia varmaankin
käyttivät vedenneidot. Veden rannalla kasvoi pieniä sieniä, jotka
mielikuvituksessamme muuttuvat haltioiden ja keijukaisten pöydiksi,
tuoleiksi ja teltoiksi.
Jalkani upposi nyt pehmeään sammalpeittoon, jolla paikoittain
kasvoi suuria valkoisia ohdakkeita. Niiden suipoilla lehdillä välkkyivät

auringonsäteet. Edessäni oli pieni petäikkö kuin keidas erämaassa.
Siellä teki mieleni levätä ja nauttia luonnon ihanuudesta. Laskeusin
pitkälleni mäntyjen varjoon. Kaukaa kuului vuoripuron kohina ja
silmieni edessä haihtui vesiputous höyrypilveksi, jossa aurinko
liekehti kaikissa sateenkaaren väreissä. Vesihöyry putosi
kallionnotkoon, jonka sammalpeitteisellä rinteeellä pieni vesiputous
kaivoi itselleen tien. Sieltä kiiruhti se hopeaisena suihkuna alas
laaksoon jokeen yhtyäkseen.
Kauan katselin veden leikkiä ja kuta kauemmin sitä katselin, sitä
tutummaksi tulivat siinä olevat muodot. Hyvin kauniit, ylimaalliset
olennot näyttivät tanssivan edestakaisin vesihiukkasten keskessä. He
viittasivat käsillään auringonpaisteessa ja pudistelivat vuotavaa
hopeasuihkua hiuksistaan ja liehuvista kiharoistaan. Heidän
naurunsa soi kuin Minnehahaputouksen helinä. Kallion kielekkeillä
irvistelivät maahenget ja tontut katsellen salaa keijukaisten tanssia.
Putouksen yläpuolella näytti vesi ennen syöksyään hiukan
peräytyvän, mutta alas päästyään tunki se kärsimättömänä esteitten
läpi, eikä näyttänyt kyllin nopeasti pääsevän pois kotisijoiltaan.
Alhaalta laaksosta kaikui tänne korkeuksiin äänekäs riemulaulu. Oli
kuin puro laulaisi ilostaan yhtyessään jokeen.
Mistä johtuu, että tällaisia kuvittelemme? Minkätähden annamme
"kuolleille kappaleille" inhimillisen tajunnan ja tunnon? Miksi emme
onnen hetkinä tyydy siihen tietoisuuteen, että elämme ruumiissa?
Minkätähden pyrkii tajuntamme hurjasti pois vankilastaan kaivaten
yhtymistä kaikkialliseen elämään? Onko meidän elämämme vain
ruumiimme elimellisen toiminnan tulos, vai onko se kaikkiallisen
elämän ilmennys, joka samalla yhtyy polttopisteeseen fyysillisessä
ruumiissa? Onko personallinen tajuntamme olemassaolo riippuvainen
fyysillisen ruumiin olemassaolosta ja kuoleeko se tämän mukana? Vai

onko olemassa henkinen elämä, kuuluva ihmisen korkeammalle,
kuolemattomalle ja näkymättömälle itselle, joka tosin määrätyksi
ajaksi on yhdistetty fyysilliseen ruumiiseen, mutta joka kuitenkin voi
elää siitä riippumatta? Jos näin on asia, jos fyysillinen ruumiimme
vain on välikappale, jonka avulla tajuntamme toimii, niin ei tämä
välikappale voi olla todellinen itsemme. Jos tämä edellytys pitää
paikkansa, niin on todellinen itsemme siinä, missä tajuntamme on ja
se voi siis olla olemassa ruumiista riippumatta. Kun hengessämme
leijailemme vuorenhuippujen ääriä myöten, kun vähitellen
laskeudumme ja taasen nousemme ylöspäin, kun
mielikuvituksessamme tarkastelemme kaikkia noita kaukaisia
paikkoja ja näemme ne yhtä selvinä kuin aivan läheltä katsottuna,
silloin tunnemme myöskin yhtä suurta iloa ja riemua, kuin jos todella
olisimme siellä olleet. On kuin olisimme jättäneet jälkeemme
aineellisen ruumiimme siitä syystä, että se oli liian raskas
kantaakseen henkeämme tuon taivasta tavoittelevan vuoren huipulle
asti. Tietysti täytyy jonkun tajuntamme ja elämämme osan jäädä
fyysilliseen muotoomme, jotta se kykenisi elämään poissaolomme
aikana ja samalla huolehtia sen elintoiminnoista. Olemmehan
lukeneet somnabuleista ja haltioissa olleista henkilöistä, joiden
sisäinen henkinen itse kaikkine tajunnan, tunnon ja
havainnonkykyineen on ollut eroitettuna näennäisesti kuolleesta
ruumiistaan. Se on matkaillut kaukaisissa maissa, on palannut
takaisin ajatuksen nopeudella tuoden mukanaan kuvauksia noista
näkemistään paikoista, kuvauksia, jotka sittemmin ovat oikeiksi
todistetut. Miksi näemme elämän kaikissa kappaleissa, vieläpä
kuolleissakin, jos vain itse kykenemme asettumaan sellaiseen tilaan,
että voimme havaita niiden elävän? Onko maailmankaikkeudessa
ylimalkaan mitään kuollutta? Eikö kivikin pidä osasiaan koossa
vetovoiman avulla ja eikö sitä painolaki vedä maata kohti? Eivätkö

veto- ja painovoima ole energiaa ja eikö voima juuri ole sielu, se
sisäinen vaikutin, joka aiheuttaa näkyväisen, ulkonaisen
ilmennyksen, sen, jota sanomme aineeksi. Sehän lopuksi kuitenkin
on samaa kuin voima tai olemus tai millä nimellä tahdommekaan
nimittää asiaa, jota emme voi käsittää. Näin ollen olisi kaikissa
kappaleissa elämä ja sielu. Ja voisimmehan myöskin ajatella
sieluolemuksia, joiden ulkonainen muoto ei ole niin karkea kuin
omamme ja jotka sen tähden ovat fyysillisille aistimillemme
näkymättömiä, vaikkakin sielumme voi ne havaita.
Luonnon hiljaisuudessa muuttuvat ajatukset valve-uniksi ja unet
näyiksi. Kuvittelen, kuinka tässä ihanassa erämaassa viettäisin loput
elämästäni, ehkäpä vielä jakaisin olinpaikkani muutamien samoin
ajattelevien ystävieni kanssa. Kuvittelen, kuinka me yhteisine
harrastuksinemme eläisimme onnellisina yhdessä ja pyrkisimme
totuudentietoon. Täällä, kaukana pintapuolisesta, alhaisesta ja
jokapäiväisestä elämästä kykenisi ihminen saavuttamaan paljon
selvemmän henkisen havaintokyvyn, paljon syvemmän ajatusten
keskittämistaidon sekä paljon korkeamman luonnon salaisuuksien
ymmärtämyksen. Kuinka tarkaksi havaitsemaan sekä ulkonaisia että
sisäisiä kappaleita kehittyisivätkään aistimme! Kuinka tarkasti
oppisimmekaan itseämme tuntemaan! Mitä enää välittäisimme niistä
narrimaisuuksista, joita nimitämme seurusteluksi! Mitä meihin enää
koskisi se suuri hullujenhuone, jota sanomme maailmaksi! Täällä
saisimme häiritsemättä elää omassa itsessämme irroitettuina
seuraelämän painostavasta toiminnasta, joka päivittäin ja hetkittäin
saattaa meidät muuttamaan omaa itseämme — olemaan siellä, jossa
emme mielellämme tahdo olla, toimimaan, niinkuin emme
mielellämme tahdo toimia ja kumartamaan "tapa"-nimistä
jumaluutta, jota kuitenkin sydämissämme halveksimme.

Olisiko meillä hyötyä sellaisesta elämästä ja olisiko siitä hyötyä
muille? — Jos on totta, että maailma ja me itse olemme aatteesta
rakennetut, niin juuri tällaisessa erämaassa olisi meillä parhaimmat
edellytykset käsittämään aatteita ja niitä muodostelemaan.
Ajatuksista ja aarteista ei voi tulla harhakuvia. Niillä täytyy olla
todellinen olemassaolo, yhtä todellinen ja ehkäpä vielä kestävämpi
kuin tämän maailman objektiivisillä kappaleilla. Mehän tiedämme,
että aatteet jäävät elämään kun muoto, missä ne ilmenevät, on
särkynyt. Me tiedämme, että aatteet, samoin kuin muutkin
hedelmät, syntyvät ja tuleentuvat. Ja kun jokin aate on kypsä, näkyy
se henkisellä taivaalla ja jotkut harvat vastaanottavaiset henget
omaksuvat sen. Henget, jotka kykenevät yleviä aatteita käsittämään
ja muodostelemaan ja antamaan niille aineellisen ilmennysmuodon,
voivat tehdä ihmiskunnan hyväksi paljon enemmän elämällä
yksinäisyydessä, kuin ollessaan maailman keskessä, jossa heidän
työtään vähemmän tärkeät asiat alituiseen häiritsevät. — Aatteet,
joita hän muovailee, eivät kuole hänen ruumiinsa kanssa. Ne
heijastuvat siihen suureen peiliin, jota sanomme astraalivaloksi ja
säilyvät maailman muistissa, jotta taas toiset voisivat niihin tarttua ja
niitä hyväkseen käyttää.
Mikä on kaiken lopuksi tuo olento, jota sanomme ihmiseksi? Mikä
on tuo elävä, lihasta, verestä ja luista rakennettu eläimellinen
elimistö, joka elää aikansa ja sitten kuolee ja jota useimmat ihmiset
kunnioittavat niin suuresti, kuin jos se olisi heidän kuolematon
itsensä. Sen mukavuuden tähden he usein ovat valmiit uhraamaan
itsekunnioituksensa, arvonsa, kunniansa ja hyveensä. Onko se
muuta kuin eläin, jonka älytoimintaa hallitsee korkeampi tahto kuin
muiden eläimien? Voiko tämä älytoiminta olla kuolleen aineen
mekaanillisen, kemiallisen ja fysiologisen toiminnan tulos? Jos ei niin
ole, mikä silloin aiheuttaa tuon toiminnan ja voiko sen syy olla

muodosta riippumaton? Mitä on ihminen ilman älyä? Jos äly on
hengen ominaisuus, joka tuntuu välttämättömältä, niin mitä olisi
silloin ihminen ilman henkeä, ilman henkistä älyä?
Miettiessäni näitä kysymyksiä kuului aivan vieressäni typerä
naurahdus. Olin ollut niin syventyneenä omiin ajatuksiini, etten
ollenkaan ollut huomannut vieraan lähestymistä. Nostin katseeni ja
näin aivan vieressäni erään noita puoleksi mielenvikaisia olentoja,
joita sanotaan kretiineiksi ja joita usein näkee Sveitsin ja Savoijin
vuoristoissa. Olin hiukan hämmästynyt ja harmissani tuosta
epämieluisasta keskeytyksestä ja kysyin sentähden jonkun verran
jyrkällä äänellä: "Mitä haluatte?"
Leveä irvistys levisi kääpiön kasvoille, — kääpiö hän varmaankin oli
— ja hän vastasi: "Mestari sanoo, että minun on tuotava sinut hänen
luoksensa." — Hämmästyin hiukan hänen vastaustaan, mutta kun
muistin, että kääpiö oli tylsämielinen ja ettei häneltä niin muodoin
voinut odottaa järkevää vastausta, kysyin vaan: "Kuka on Mestarisi?"
— Hänen vastauksensa kuului: "Imperaattori." — Sitä sanaa
lausuessa näytti älyn kipinä valaisevan hänen silmiänsä ja hänen
äänensä sointu tuntui osoittavan, että tuo imperaattori, olkoon hän
sitten kuka tahansa, epäilemättä oli henkilö, jota kretiini
ehdottomasti totteli. Koetin vielä tehdä kysymyksiä kääpiölle
saadakseni selvää siitä, kuka hänen imperaattorinsa oli ja missä hän
asui, mutta kaikki ponnistukseni olivat turhia. Hän oli epäilemättä
tylsämielinen, sillä hän vain irvisteli ja toisti ennen lausumansa
sanat. — Päätin lopuksi kuitenkin seurata häntä nähdäkseni kuinka
seikkailu päättyisi. —
Kretiini astui edellä ja minä seurasin häntä. Hän vei minut tuon
saavuttamattoman vuoren juurelle. Astuessamme kääntyi tylsämieli

usein taaksepäin nähdäkseen seurasinko häntä. Minulla oli hyvä
tilaisuus tutkia hänen pukuansa ja vartaloansa. — Hän ei ollut
kolmea jalkaa pitempi ja silminnähtävästi kyttyräselkäinen. Yllään oli
hänellä ruskea takki, johon oli kiinnitetty hilkka. Tämä teki hänet
pienen P. Augustinuksen järjestöön kuuluvan kapusiiniläismunkin
näköiseksi. Hyvin suurta päätä ja epäsuhtaisen paksua ruumista
kannattivat hyvin hennot, pienet sääret. Jalat taas näyttivät
harvinaisen suurilta. Ehkäpä riippui hänen pienestä vartalostaan ja
kasvojen raikkaasta ja terveestä väristä, että hän näytti melkein
lapselta. Tätä olettamusta vastusti melkoisen pitkä parta, joka
ympäröi hänen kasvojaan. Kädessä kantoi hän lahon puun oksasta
taitettua sauvaa, jonka hän nähtävästi oli tieltä löytänyt.

II.
TEOSOFINEN LUOSTARI
Seurasin kaameaa opastani ja tulimme pian taas polulle, joka kulki
pitkin joenuomaa. Vesi virtasi rauhallisena valkoisten piikivien
peittämän pohjan yli ja sen mataluus osoitti, että olimme lähellä
lähteitä.
Kulkiessamme tuota salaperäistä vuorta kohti näyttivät sen
kiviseinät nousevan kohtisuorasti maasta, eikä missään näkynyt
kohtaa, mihin muu olento, kuin lintu, olisi voinut astua. Mutta kun
lähestyimme sitä, havaitsin seinässä halkeaman, joka avautui
sisäänpäin kuin rotko tai tunneli. Astuessani siihen huomasin heti,
että se kulki mahtavan kiviseinän halki ja vei meidät toisella puolella
olevaan laaksoon. Muutamilla askeleilla pääsimme tunnelin toiseen
päähän ja huuliltani pääsi riemun ja ihmetyksen huudahdus
nähdessäni kaiken sen kauneuden, joka silmieni eteen levisi.
Edessäni oli saavuttamattomien vuorenhuippujen ympäröimä
laakso. Ja tähän laaksoon olivat luonto ja taito yhteisvoimin luoneet
ylimaallista kauneutta. Se avautui kuin ääretön ulappa silmieni eteen
ja sulkeutui taas taustassa jonkinlaisena amfiteatterina. Maan peitti

lyhyt, viheriä ruoho ja vaahterapuut. Kaikkialla näkyi metsiä ja
lehtoja, järviä ja pieniä puroja. Keskellä maisemaa kohosi ylevä
vuorenhuippu korkealle avaruuden eetteriin. Siihen oli muodostunut
notko, jonka yläpuolella riippui kallionkielekkeitä. Alle jäi ontto paikka
kuin mahtavan aallon pohjaksi, jonka maagillinen sana oli kiveksi
kironnut. — Kiviseinät laskeutuivat voimakkaasti vedetyin piirtein
kohti alempana olevaa äyrästä ja nousivat sitten taas jyrkkinä
mahtavaan korkeuteen. — Tämän ylevän kauneuden näkeminen
hämmästytti minua kovasti. Oppaanikin näkyi ymmärtävän
yllätykseni, sillä hän seisahtui ja hymyili iloissaan peittämättömästä
ihmetyksestäni. — Ympäröivä hiljaisuus olisi ollut täydellinen, ellei
sitä olisi häirinnyt pienen putouksen kohina vähän matkan päässä
vasemmalla. Se juoksi jyrkän rinteen yli ja kuvastui laskiessaan
juoksevana hopealankana tummanharmaata kalliota vastaan.
Putouksen yksitoikkoinen kohina juhlallisen hiljaisuuden
vastakohtana tuntui ajanvirran tuohinalta ijäisyyden valtakunnassa.
Tunsin toisen maailman kuin sen, missä tähän asti olin elänyt,
laskeutuvan luokseni. Ilma tuntui puhtaammalta, valo
eetterimäiseltä, ruoho viheriäisemmältä kuin tunnelin toisella puolen.
Tunsin olevani rauhan laaksossa, autuuden ja tyytyväisyyden
paratiisissa.
Korkealla huipulla näin eräänlaisen palatsin, linnoituksen tai
luostarin ja lähemmäksi tultuani huomasin sen olevan kivestä tehdyn
lujan rakennuksen. Sen korkeat muurit kohosivat ympäröivien puiden
latvojen yläpuolelle ja jonkinlainen temppelinkupu peitti katon.
Rakennuksen ulkoseinät olivat tiiviisti yhteenliitetyt, muoto oli
suorakulmainen, eikä näyttänyt olevan minkään erikoisen
rakennustyylin mukaan pystytetty. Sitä koristi monet akkunat, pienet
tornit, parvekkeet ja verannat.

Laakson toisella puolella oli luonto ylevä ja kaunis. Harmaat,
jättiläismäiset kalliot kohosivat loppumattomina teräksensinistä
taivasta kohti Korkeimman huipun alapuolelle oli valkoisia pilviä
kokoontunut kuin nauhaksi vuoren ympärille, joten ne näyttivät
eroittavan pään muusta ruumiista. Vuoren alaosa oli osaksi varjojen
peitossa, osaksi heikon, henkimäisen valon kirkastama. Tämä sai
aikaan lumoavan vaikutuksen. Siinä, missä pilvenjoukot kokoontuivat
vuorenseinää vastaan, kuvastui kuin hävityksen maailma. Vuoren
seinusta näytti rikkirevityltä ja autioiden kallionröykkiöiden
yksitoikkoisuutta häiritsi vain lumikinosten jäännökset rotkossa ja
kuiluissa.
Kuljimme eteenpäin ja saavuimme leveään lehtikujaan, joka vei
rakennukselle. Siinä huomasin jalon ja arvokkaan näköisen miehen
meitä lähestyvän. Hän oli verhottu keltaiseen kaapuun, päätä peitti
lainehtiva musta tukka ja käynti oli joustava. Kun kretiini näki
miehen, kiiruhti hän hänen luokseen, lankesi polvilleen hänen
eteensä ja hävisi sitten.
Olin kovin hämmästynyt tästä ihmeellisestä tapaamisesta, mutta
en saanut aikaa sitä mietiskelemään, sillä vieras tuli luokseni ja
lausui minut tervetulleeksi. — Hän näytti noin 35 vuoden ikäiseltä ja
oli vartaloltaan pitkä ja kookas. Katseensa oli lempeä ja ystävällinen
ja näytti tunkevan läpi koko olemukseni ja lukevan kaikki
sisäisimmätkin ajatukseni. "Varmaankin on tuo mies adepti",
ajattelin.
"Niin", vastasi vieras, joka oli lukenut ajatukseni. "Olet joutunut
adeptien luo, joita niin paljon olet ajatellut ja joiden tuttavuuteen
niin monasti olet kaivannut pääseväsi. Vien sinut temppeliimme ja

saatan sinut muutamien kulta- ja ruusuristi-veljesten kanssa
tuttavuuteen."
Katsahdin häneen ja tuntui kuin ei tuo mies olisikaan ollut minulle
vieras. Hänessä oli jotain hyvin tuttua, ikäänkuin olisin tuntenut
hänet jo vuosikausia, vaikken muistissani löytänyt hänelle sijaa.
Ponnistelin turhaan aivojani, saadakseni selville, missä ja milloin olin
hänet tavannut tai edes jonkun hänen näköisensä. Mutta taaskin
vastasi rosenkreuziläisjärjestön imperaattori, joka hän tuntui olevan,
lausumattomiin ajatuksiini. "Olet oikeassa. Emme enää ole vieraita
toisillemme, sillä olen usein ollut luonasi, vaikket ole minua nähnyt.
Olen johtanut aatteiden virtaa aivoissasi sinun niitä järjestellessä ja
paperille pannessa. — Sitä paitsi olet usein käynyt täällä ja
seurustellut minun ja veljien kanssa fyysillisen ruumiisi nukkuessa.
Mutta palatessaan lihasta ja verestä koottuun verhoonsa, ei sielusi
ole jaksanut painaa ruumiin muistiin elettyjä kokemuksiasi. Siksi et
ole herätessäsi muistanut mitään toisella puolella tekemistäsi
havainnoista. Eläimellisen muodon muisti pidättää vain ulkonaisten
aistimien kautta tulleet vaikutelmat. Henkinen muisti herää, kun
tulemme henkiseen tilaan."
Sanoin imperaattorille pitäväni tätä päivää elämäni onnellisimpana
ja valitin vain, etten ainaiseksi voinut sinne jäädä. Tunsin itseni
arvottomaksi elämään olentojen seurassa, jotka olivat niin korkealla
oman kehitysasteeni yläpuolella.
"Emme salli sinun pian lähtevän luotamme", vastasi Mestari. "Saat
riittävästi aikaa tutkiaksesi elämäämme, mutta sinun on mahdotonta
vielä jäädä tänne ainaiseksi. Sinussa on vielä paljon alhaisia ja
eläimellisiä aineksia, jotka muodostavat itsesi osan. Ne eivät kauan
jaksaisi kestää tämän paikan puhtaan ja henkisen ilmapiirin

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Random Differential Equations In Scientific Computing Tobias Neckel Florian Rupp

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Random Differential Equations In Scientific Computing Tobias Neckel Florian Rupp

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Slide 82