Regra de sarrus

1. Quem foi Sarrus ?

2. Pierre Fréderic Sarrus , matemático frânces , nasceu em Saint- Afridique ( Aveyron ) em 10 de março de 1798 e morreus em 20 de novembro de 1861. Começou a estudar medicina, mas logo abandonou em favor dos estudos matemáticos em Montpellier.

3. Já com doutorado, foi professor de Física na Perpignan (1827). Dois anos depois foi nomeado professor na Faculdade de Estrasburgo. Sarrus foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de estudos em integrais múltiplas. Pierre também se interessou e estudou astronomia, mas ele é conhecido hoje por sua famosa regra e seus trabalhos em álgebra linear(sistemas de equações lineares) juntos aos de Cayley e Hamilton.

4. Regra de Sarrus

5. A Regra de Sarrus é utilizada no cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Sua aplicação permite o cálculo de maneira prática, relacionando a diagonal principal com a diagonal secundária. 

6. Diagonal principal: a11, a22 e a33. Diagonal secundária: a13, a22, a31

7. Determinantes

8. Determinante é uma matriz quadrada representada de uma forma diferente, pois calculamos o seu valor numérico, o que não acontece com a matriz. Nela aplicamos as quatro operações, ou seja, somamos, multiplicamos, dividimos, subtraímos obtendo outra matriz. Os determinantes apareceram há cerca de 300 anos(apesar de já existirem “esboços” do que seriam determinantes na Matemática chinesa de 2.000 anos atrás) associados à resolução de equações lineares.

9. Propriedades dos Determinantes

10. 1° Propriedade Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.

11. 2° Propriedades Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

12. 3° Propriedade Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.

13. 4° Propriedade O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det ( R t ).

14. Determinantes de matriz quadrada de ordem 1

15. Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por A= [a¹¹]. Por definição, o determinante de A é igual ao número a¹¹. Indicamos assim: det A = a¹¹. Por exemplo, dadas as matrizes A = [4] e B=[-2]; det A + det B = 4+(-2)= 2

16. Determinantes de matriz quadrada de ordem 2

17. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

18. Diagonal principal: 2 X 6 = 12 Diagonal secundária: 9 X (–1) = – 9 Det A  = 12 – (–9) Det A  = 12 + 9 Det A  = 21 

19. Determinantes de matriz quadrada de ordem 3

20. Consideremos a matriz genérica de ordem 3: Define-se o determinante da matriz de ordem 3 ao número: det A= a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 11 a 22 a 33 - a 12 a 23 a 31 - a 13 a 21 a 32 a 31 a 32 a 33

21. Podemos obter esses seis produtos de uma forma prática, conhecida como regra de Sarrus , fazendo o seguinte:

22. Repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações como indicado:

23. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal; Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal; O determinante é a soma dos valores assim obtidos.

24. O método original criado por Pierre Sarrus , para o cálculo de determinante de matriz de ordem 3 está desenvolvido abaixo. D = ab'c " - ab"c ' - a'bc " + a'b"c + a"bc ' - a"b'c = ab'c " + bc'a " + ca'b " - a"b'c - b"c'a - c"a'b

25. Exemplo Seja a matriz :

26. Vamos calcular seu determinante. Os procedimentos são:

27. 1º) Ao lado direito da 3ª coluna, copiam-se suas duas primeiras colunas. 2º) A seguir, multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à direita .

28. 3º) Logo após, multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita, trocando o sinal . 4º)  Por fim, somam-se os elementos dos produtos obtidos em (2º) e (3º). Assim: Det A = 9 - 8 + 0 - 2 + 12 + 0 = 11

29. Grupo Aline Lidia Bianka Monnyque Consuello Oliveira Erica Marcela Graziella Saionara Jardyelle Rayane José Lucas Maria Eduarda Mayara Chaprão