relaciones y funciones de la matematica

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About This Presentation

matematica


Slide Content

Matemática para los
Negocios I
Relaciones y Funciones

Logro de la sesión
Resuelveproblemasdeaplicaciónalaeconomía,en
contextosintramatemáticosyextramatemáticos,
aplicandolosmodelosderelacionesyfuncionesen
formacorrecta.

Producto Cartesiano
�??????�=�,�/�∈??????∧�∈�
Sea �=�,�,�y �=�,�
�??????�=�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�
�??????�=�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�

Relaciones
Se llama relación binaria de A en B o relación entre elementos de A y
B a todo subconjunto R del producto cartesiano �??????�
Sea �=�,�,�y �=�,�, de donde
�??????�=�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�
Relación: ??????=�,�??????�??????�/�+�=�
??????=�,�,�,�

Ejemplos explicativos
Ejercicio 1
Dados los conjuntos �=�,�y �=�,�,�, determine la
relación ??????=�,�??????�??????�/�+�≤�
Resolución
�??????�=�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�,�
�,���������+�≤�; �,���������+�≤�
�,���������+�≤�; �,���������+�≤�
??????���:??????=�,�,�,�,�,�,�,�

Funciones
??????����������
�=�,�,�,�,�,�,�,�,��,��
���??????�??????�:����=�,�,�,�,��
??????����:??????���=�,�,�,�,��

Observación:
���������������"x"���������������ú�??????���������"�"
•Dado el conjunto de pares ordenados �=�,�,�,�
��������:��=�,��=�"�"Siesunafunción
•Dado el conjunto de pares ordenados �=�,�,�,�
��������:��=�,��=�"�"Noesunafunción
•Dado el conjunto de pares ordenados �=�,�,�,�
��������:��=�,��=�, ??????������"�"seafunción,"n"debeser5

Ejemplos explicativos
Ejercicio 2
Dada la función �=�,�,�,�−�,�,�,�,�−�
Calcule la suma de elementos de su dominio
Resolución
Para que sea función, se cumple �,�−�=�,�−�
�−�=�−�de donde ��=�luego �=�
�=�,�,�,−�,�,�,�,−�, �=�,�,�,−�,�,�
���(�)=�,�,�
??????���:��

Ejemplos explicativos
Ejercicio 3
Dada la función �=�,�,�,�,�,�
�
−�,�,�,�,�−�
Calcule la suma de elementos de su rango
Resolución
Para que sea función, se cumple�,�=�,�
�
−�
�=�
�
−�de donde �=�
�
−�−�luego �=�ó�=−�
Para �=��=�,�,�,�,�,�,�;�,�,�No es función
Para �=−��=�,−�,�,�,�,−�,−�,�,�,��Si es función
??????��(�)=−�,�,�,��
??????���:��

Regla de correspondencia de una función
�=��
�,�??????�
�:�������
�:�����
Observación

���
�se cumple �≥�

�
�−�
se cumple �−�≠�de donde �≠�

Ejemplos explicativos
Ejercicio 4
Determine el dominio de la función �(�)=��−�+
�
�−�
Resolución
•Para que exista ��−�
��−�≥�de donde ��≥�luego �≥�/�
•Para que exista
�
�−�
�−�≠�luego �≠�
??????���:����=
�
�
;+∞−�

Ejemplos explicativos
Ejercicio 5
Determine el dominio de la función
�(�)=�
�
−���+��+��−�
Resolución
•Para que exista�
�
−���+��
�
�
−���+��≥�de donde �−��−��≥�
luego �??????−∞,�∪��,+∞
•Para que exista ��−�
��−�≥�de donde ��≥�luego �??????−∞,��
??????���:����=−∞,�∪��;��

Ejemplos explicativos
Ejercicio 6
Determine el dominio de la función
�(�)=
��
�
�
−�−�
+
�−�
�
−��
Resolución
•Para que exista
��
�
�
−�−�
�
�
−�−�≠�de donde �−��+�≠�
luego �≠�,−�
•Para que exista
�−�
�
, "�"puede tomar cualquier valor real
•Para que exista −��, "�"puede tomar cualquier valor real
??????���:����=??????−�,−�

Diferencia gráfica entre una relación y una función
Función:Una recta vertical corta a la gráfica solo en un punto
Relación:Una recta vertical corta a la gráfica en más de un punto

Función lineal
��=��+�
���(�)=−∞,+∞
??????��(�)=−∞,+∞

Función cuadrática
��=��
�
+��+�
���(�)=−∞,+∞
��??????���,�
�=−
�
��
�=�(�)

Función constante
��=�, ���������������
���(�)=−∞,+∞
??????��(�)=�

Aplicacionesalaeconomía
Luegode3añosdefuncionamiento,unaempresatuvo240colaboradores,yluego
de6añosdefuncionamientotuvo375colaboradores.Además,sesabequecadaaño
lacantidaddecolaboradoresaumentaenformalineal.Calculedespuésdecuántos
añosdefuncionamiento,laempresatendrá915colaboradores.
Resolución
??????���������:��=��+�
�:������������������(�):�����������������������
Luego de 3 años: ��=��+�=���
Luego de 6 años: ��=��+�=���

��+�=���
��+�=���
de donde �=��,�=���Luego ��=���+���
Condición: ��=���+���=���de donde ���=���
??????���:??????���������ñ��

Aplicacionesalaeconomía
Unaempresaproduce�toneladasdealimentoauncostounitariode
$300latonelada,conuncostofijode$7000diarios.Además,elprecio
decadatoneladadealimentosedeterminasegún�=���−�,donde
�eselpreciodeventaendólaresdecadatoneladadealimento
cuandosedemanden�toneladas.Calculeelprecioalquesedebe
venderlatoneladadealimentoparaquelaempresaobtengauna
utilidaddiariade$23000.
Resolución
�����:�=����+����
�������:�=���−��de donde �=−�
�
+����
��??????�??????���:�=−�
�
+����−����+����
�=−�
�
+����−����

Aplicacionesalaeconomía
Condición �=−�
�
+����−����=�����
De donde �=�
�
−����+�����, luego �=���ó�=���
Para �=���el precio de venta será �=���−���=���
Para �=���el precio de venta será �=���−���=���
??????���:������??????������������������������??????��������������������

Conclusiones:
•Unafunciónesunarelación,perounarelaciónno
necesariamenteesunafunción.
•Parareconocergráficamenteaunafunciónsetrazauna
rectavertical,lacualdebecortaralagráficaenunsolo
punto.
•Unafunciónlinealtieneporgráficaaunarecta.
•Lagráficadeunafuncióncuadráticaesunaparábola.
•Lagráficadeunafunciónconstanteesunarecta
horizontal.

Tarea de la semana 9
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