Resolucion de triangulos rectangulos

1. Resolución de triángulos rectángulos
Ejercicio nº 1.-

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54. Halla la
medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.

Ejercicio nº 2.-

Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto mide la
altura del paralelogramo? ¿Y su área?


Ejercicio nº 3.-

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del
otro cateto y la medida de sus ángulos.


Ejercicio nº 4.-

Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.


Ejercicio nº 5.-

Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo.
Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el
cable? ¿Cuál es la longitud del cable?


Ejercicio nº 6.-

Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo
un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80. Halla la altura de la
torre.




Ejercicio nº 7.-

Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:



a Calcula la altura del árbol.

b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

2. Ejercicio nº 8.-

Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:



Halla el valor de c y la longitud del cable.


Ejercicio nº 9.-

Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:





Ejercicio nº 10.-

Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6 metros en línea
recta y este ángulo es de 50.¿Cuál es la altura del edificio?

3. Soluciones
Resolución de triángulos rectángulos
Ejercicio nº 1.-

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 54. Halla la
medida del resto de los lados y de los ángulos del triángulo.


Solución:

Como el triángulo es rectángulo, los ángulos son:




90
36549090


C
ˆ
B
ˆ
A
ˆ


Hallamos los lados:
cm 935
54
8484
54 ,
sen
,
c
c
,
sen
c
b
B
ˆ
sen 


cm 493
54
8484
54 ,
tg
,
a
a
,
tg
a
b
B
ˆ
tg 




Por tanto:




90
ˆ
cm; 93,5
54
ˆ
cm; 8,4
36
ˆ
cm; 49,3



Cc
Bb
Aa


Ejercicio nº 2.-

Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60. ¿Cuánto mide la
altura del paralelogramo? ¿Y su área?


Solución:



Para hallar la altura hacemos:
cm 36
2
312
6012
12
60 

senh
h
sen

.A
2
cm 31203620 será área El 

4. Ejercicio nº 3.-

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm. Calcula la longitud del
otro cateto y la medida de sus ángulos.


Solución:

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el otro cateto:


cm 981144225
2251441512
2
2222
222



bb
bb
cba


Hallamos los ángulos:
"12'523660
15
9

 B
ˆ
,B
ˆ
sen
c
b
B
ˆ
sen
48"'75390

 B
ˆ
A
ˆ

90C
ˆ


Por tanto:




90
ˆ
cm; 15
"12'5236
ˆ
cm; 9
48"'753
ˆ
cm; 12



Cc
Bb
Aa


Ejercicio nº 4.-

Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y sus ángulos.


Solución:



Hallamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:
cm 687457
2222
,lll 


Hallamos los ángulos: "44'275490"16'3235
7
5

 A
ˆ
B
ˆ
A
ˆ
A
ˆ
tg


Los ángulos del rombo miden:

5. "29'55108
ˆ
2
"31'471
ˆ
2




B
A



Ejercicio nº 5.-

Queremos fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo.
Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40. ¿A qué distancia del poste sujetaremos el
cable? ¿Cuál es la longitud del cable?


Solución:



Como es un triángulo rectángulo, los otros ángulos serán:


90
ˆ
504090
ˆ
90
ˆ


C
BA


Hallamos los otros lados:
m 174
40
5353
4040 ,
tg
,
a
a
,
tg
a
b
tg 


m 455
40
5353
4040 ,
sen
,
c
c
,
sen
c
b
sen 




Por tanto, el cable de 5,45 m lo sujetaremos a 4,17 m del poste.


Ejercicio nº 6.-

Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo
un ángulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80. Halla la altura de la
torre.

6. Solución:
























605
80
5
60
80
tgxh
tgxh
x
h
tg
x
h
tg




6056080
60580
tgtgxtgx
tgxtgx


 


6056080
6056080
tgtgtgx
tgtgxtgx



m 202
6080
605
,
tgtg
tg
x 





m 4712
6080
80605
,
tgtg
tgtg
h 






La torre tiene una altura de 12,47 metros.


Ejercicio nº 7.-

Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:



a Calcula la altura del árbol.

b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?


Solución:

7. x,
h
tg
hx
x
h
x,
h
tg
x
h
tg













57
35
1
57
35
45



h,
h
tg


57
35


  htghtg,htgh, 

3535573557
 

3513557353557 tghtg,tghhtg, 
x,
tg
tg,
h 

 m 093
351
3557




a El árbol mide 3,09 metros.

b Pablo está a 3,09 metros del árbol.


Ejercicio nº 8.-

Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:



Halla el valor de c y la longitud del cable.


Solución:


m 775
60
55
60 ,
sen
a
a
sen 


m 892
60
55
60 ,
tg
x
x
tg 




Por otra parte, si consideramos el otro triángulo:
m 787
40
55
40 ,
sen
b
b
sen 


m 965
40
55
40 ,
tg
y
y
tg 




Por tanto:

La longitud del cable es a  b  5,77  7,78  13,55 metros.
El valor de c es x  y  2,89  5,96  8,85 metros.

8. Ejercicio nº 9.-

Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:




Solución:


cm 302503
3
50 ,senh
h
sen 

cm 931503
3
50 ,cosa
a
cos 



Si consideramos el otro triángulo, tenemos que:
cm 583
40
302302
40 ,
sen
,
x
x
,
x
h
sen 


74240583
583
40 ,cos,b
,
b
x
b
cos 



Por tanto:

x  3,58 cm
y  a  b  1,93  2,74  4,67 cm
h  2,30 cm

Ejercicio nº 10.-

Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60. Nos alejamos 6 metros en línea
recta y este ángulo es de 50.¿Cuál es la altura del edificio?




Solución:

9.  




506
60
6
50
60
tgxh
tgxh
x
h
tg
x
h
tg














506506050660 tgtgxtgxtg xtgx 
 

50650605065060 tgtgtgxtgtgxtgx 
m 23,13
5060
506





tgtg
tg
x
m 9222
5060
60506
60 ,
tgtg
tgtg
tgxh 







Por tanto, el edificio mide 22,92 m de alto.