S06_s1 - Transformada discreta de fourier

SEMANA 6

1. Procesamiento Digital
de Señales
Transformada Discreta de Fourier
CICLO 2024 -1

2. Logro de aprendizaje:
Alfinalizarlasesiónelestudiantecomprendetodoloreferentealasseriesde
Fourier,latransformadadeFourier,ysuimportanciaparalarepresentacióndelas
señaleseneldominiodelafrecuencia.
Transformada Discreta de Fourier
Representación de una señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia

3. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Siapartirdeunaseñalnoperiódica�??????,tenemoslaseñalperiódica�
??????[??????]cuyoperiodoes
N.Entonces:
LaseriedeFourierparalaseñal�
??????[??????]yloscoeficientesserás:
Sireemplazamosloscoeficientesporunosnonormalizados ,tenemos:
Transformada Discreta de Fourier

4. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Simultiplicamosydividimosporunaconstante,larelaciónsemantiene:
LaecuaciónsepuedevercomounasumadeRiemanndelaintegraldeunafunciónde
variablecontinuaentre0a2π,entonces:
Identificandotérminos,tambiéntenemos:
Transformada Discreta de Fourier

5. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
DadalaperiodicidaddelatransformadadeFouriercuyoperiodoes2π,entonceslaintegral
puedeextenderseacualquierperiodo,entonces:
EsposiblededucirlarelaciónentreloscoeficientesdelaseriedeFourierdiscretayla
transformadadeFourierdesuperiodofundamental:
Transformada Discreta de Fourier

6. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
LatransformadadeFourierentiempodiscretoesconvergentesilasseñalesson
absolutamentesumables,locualsuponequelaseñal�??????esdeenergíafinita:
Considerandolasseñalesnoperiódicas�??????,y??????yz??????contransformadasdeFourier
??????(Ω),Y(Ω)y??????Ωrespectivamente,entoncessetienenlassiguientespropiedades:
•Linealidad:Siz??????=α.�??????+β.y??????,tendremosque:??????Ω=α.??????(Ω)+β.Y(Ω).
•Desplazamientotemporal:siy??????=�??????−??????
0tendremoslosiguiente:
Transformada Discreta de Fourier

7. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
•Inversióneneltiempo:siy??????=�−??????,tenemoslosiguiente:
•Escaladotemporal:similaralcasoanterior,considerandolaseñaldiscreta:
•Si ,tenemos:
Transformada Discreta de Fourier

8. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
•Multiplicación:Siz??????=�??????.�??????,entoncessetieneque:
Elresultadorepresentalaconvoluciónperiódicade??????(Ω),YΩ,tenerencuentaquepuede
considerarsecualquierperiododeintegración.
•Convoluciónperiódica:Siz??????=�??????∗�??????,entonces:
Transformada Discreta de Fourier

9. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Otrasrelacionesimportantes:
•Diferenciación:Siy??????=�??????−�[??????−1],usamoslapropiedaddelinealidady
desplazamientotemporalparaobtenerlosiguiente:
•Valormedio:elvalormediodelaseñaldiscreta�??????enunperiodoes:
•RelacióndeParseval:
Transformada Discreta de Fourier

10. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Enelcasodeseñalesperiódicas,partiendodelaseriedeFourierdiscreta:
LatransformadadeFourierserá:
Considerarquealserperiódicosdeperiodo??????,los??????
??????,??????(Ω)siguesiendoperiódicode
periodo2π.
LatransformadadeFourierenelcasodiscreto,similaraltiempocontinuo,permite
simplificarelanálisisdesistemaslinealeseinvariantes.Larazónprincipaleslapropiedad
quepermitetransformarconvolucionestemporalesaproductosdelosespectros.
Transformada Discreta de Fourier

11. Transformada de Fourier en tiempo discreto:
Si,anteunaseñaldeentrada�??????,representamoslasalidadeunsistemaLTIcomo:
PodemossuponerlainterpretacióndelatransformadadeFourierentiempodiscretocomo
superposicióndearmónicos,entonces:
Setieneque�??????serepresentaporunacombinaciónlinealdearmónicosquehayenla
entrada,elcualalpasarporelsistemaLTIvealteradasuamplitudysufaseporelautovalor
??????Ω,elcualdependedelafrecuencia.
Estainterpretaciónesútilparadiseñarfiltrosselectivosenfrecuenciaparaseñalesen
tiempodiscreto.
Transformada Discreta de Fourier

12. Ejercicios:
•CalcularlatransformadadeFourierde�??????=
1
2
??????
????????????
•ObtenerlatransformadadeFourierde�??????=3????????????−1∗??????
??????(??????−1)
Transformada Discreta de Fourier Referencia: https://www.lpi.tel.uva.es/lineales/apuntes/tema4.pdf

13. MUCHAS GRACIAS POR LA ATENCIÓN PRESTADA