S3b Polígonos Teoría Pre 2025-2.pptx jjjk

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1. PRE 3b 2025-2 TEORÍA POLÍGONOS

2. POLÍGONO Definición.- Sean P 1 , P 2 , P 3 , . . . , P n  1 y P n puntos distintos de un plano H con n  3 , y los segmentos , , , …, y , tales que: Dos segmentos cualesquiera se intersecan sólo en sus extremos. Dos segmentos con un extremo común no son colineales. Entonces la unión de los segmentos , , , …, y se denomina polígono. Notación: Polígono P 1 P 2 P 3 . . . P n  1 P n : P 1 P 2 P 3 . . . P n  1 P n  

3. Vértices: P 1 , P 2 , P 3 , . . . , P n  1 y P n Lados: , , , …, y   P P P P P P P P P P P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n-1 n H

4. ÁNGULOS EN EL POLÍGONO Dos lados con un vértice común del polígono determinan un ángulo al cual se denomina ángulo del polígono tales como: P n P 1 P 2 , P 1 P 2 P 3 , P 2 P 3 P 4 , …, P n  2 P n  1 P n y P n  1 P n P 1. P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P n--1 P n

5. INTERIOR Y EXTERIOR DE UN POLÍGONO Un polígono separa a un plano en conjuntos de puntos interiores al polígono denominado el interior del polígono, puntos del polígono y puntos exteriores al polígono denominado el exterior del polígono. H Interior del polígono Exterior del polígono

6. POLÍGONO CONVEXO Y NO CONVEXO Un polígono se denomina convexo si el interior es un conjunto convexo, caso contrario se denomina polígono no convexo . A B C D E F G Interior conjunto convexo POLÍGONO CONVEXO M N L P Q R T Interior conjunto no convexo POLÍGONO NO CONVEXO

7. DEFINICIONES: 1.- Una diagonal en un polígono es un segmento que tiene por extremos dos vértices no consecutivos del polígono. A B C D E F G En el polígono ABCDEFG: y son diagonales  

8. 2.- Una diagonal media en el polígono es un segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados cualesquiera del polígono. A B C D E F G P Q M N t t n n a a r r En el polígono ABCDEFG, y son diagonales medias  

9. 3.- Un ángulo externo en un polígono convexo es el ángulo adyacente y suplementario a un ángulo del polígono. En el polígono ABCDEFG, el ∠ EFH es un ángulo externo. A B C D E F G H

10. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Triángulo …………………………..………………..3 lados Cuadrilátero…………………….…………….……..4 lados Pentágono…………………..……………………….5 lados Hexágono…………………………………………....6 lados Heptágono ……………………………………….....7 lados Octágono u Octógono………………….…………..8 lados Nonágono o Eneágono…………………………... 9 lados Decágono…………………………..………………10 lados Endecágono o Undecágono………….…………..11 lados Dodecágono ………………………..……….……. 12 lados Pentadecágono………………........……………...15 lados Icoságono………………………….………….…...20 lados

11. 1.- POLÍGONO EQUILÁTERO Es el polígono que tiene sus lados congruentes. A B C D E F a a a a a a Polígono equilátero convexo Q R S T V P t t t t t t Polígono equilátero no convexo DEFINICIONES:

12. 2.- POLÍGONO EQUIÁNGULO Es el polígono que tiene sus ángulos congruentes. A B C D E F 120 120 120 120 120 120 Polígono equiángulo convexo P Q R S T V Polígono equiángulo no convexo

13. 3.- POLÍGONO REGULAR Es el polígono convexo, equiángulo y equilátero. A B C D E F a a a a a a 120 120 120 120 120 120

14. EJERCICIO 01 A) FFV B) FVF C) FFF D) VFV E) VFF Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones : Un polígono equiángulo es también un polígono convexo . Un polígono equilátero es conjunto convexo. Un polígono no puede tener tres vértices colineales.

15. II. ( F) Todos los polígonos son conjuntos no convexos . III. (F) RESOLUCIÓN 01 Clave: C Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones : Un polígono equiángulo es también un polígono convexo . Un polígono equilátero es conjunto convexo. Un polígono no puede tener tres vértices colineales. I. (F) Los polígonos equiángulos pueden ser polígonos convexos o polígonos no convexos

16. NÚMERO DE DIAGONALES TRAZADOS DESDE UN VÉRTICE Teorema.- En el polígono convexo de n lados, el número de diagonales trazados desde un vértice es (n  3). V V V V V V V n-1 n 1 2 3 n-1 n-1 4 5 D UN VÉRTICE = n – 3 1 2 3 n-3

17. NÚMERO DE DIAGONALES Teorema.- En un polígono de n lados, el número de diagonales es V V V V V V n-1 n 1 2 3 n-1 n-1 4 5 N D =   V   V 1 vértice:……(n-3) diagonales. V 2 vértice:……(n-3) diagonales. Todas las diagonales unen dos vértices por lo tanto se duplican Al trazar de los n vértices: (n) (n-3)

18. De cada vértice se traza (n-3) diagonales.  = k(n-3) – (k-2)(k-1) /2   1 5 4 3 2 k n n-1 1 vértice:………….. (n-3) diagonales. 2 vértice:………….. (n-3) diagonales. 3 vértice:………….. (n-3) - 1 diagonales. 4 vértice:………….. (n-3) - 2 diagonales. … … k vértice:……… (n-3) – (k-2) diagonales. Sumando: k(n-3) – [ 1+2+3+4+………+(k-2) ] Pero: 1+2+3+4+………+(k-2) = (k-2)(k-2+1) /2 NÚMERO DE DIAGONALES TRAZADOS DESDE k VÉRTICES CONSECUTIVOS Teorema.- En un polígono de n lados, el número de diagonales trazados desde k vértices consecutivos (k < n) es: nk –   nk –   k-1 … …

19. NÚMERO DE DIAGONALES MEDIAS TRAZADOS DESDE EL PUNTO MEDIO DE UN LADO Teorema.- En un polígono de n lados, el número de diagonales medias trazados desde el punto medio de un lado es (n -1). V V V V V V V n-1 n 1 2 3 n-1 n-1 4 5 M M M M M M 1 2 3 4 n n-1 a b b c c d d a s s t t 1 2 3 n-2 n-1

20. V V V V V V V n-1 n 1 2 3 n-1 n-1 4 5 M M M M M M 1 2 3 4 n n-1 a b b c c d d a s s t t NÚMERO DE DIAGONALES MEDIAS Teorema.- En un polígono de n lados, el número de diagonales medias trazados desde el punto medio de un lado es:   De cada punto medio se trazan (n-1) diagonales medias. de M 1 ……(n-1) diagonales medias de M 2 ……(n-1) diagonales medias Al trazar de los n puntos medios: (n) (n-1) Todas las diagonales medias unen dos puntos medios por lo tanto se duplican N DM =  

21. V V V V V V V n-1 n 1 2 3 n-1 n-1 4 5 M M M M M M 1 2 3 4 n n-1 a b b c c d d a s s t t M 1 :……(n-1) diagonales medias NÚMERO DE DIAGONALES MEDIAS TRAZADAS DESDE LOS PUNTOS MEDIOS DE K LADOS CONSECUTIVOS Teorema.- En el polígono convexo de n lados, el número de diagonales medias trazadas desde los puntos medios de k lados consecutivos es: V K-1 K V M k-1 M k M 2 :……(n-1) - 1 diagonales medias M 3 :……(n-1) - 2 diagonales medias … … M k :……(n-1) - (k-1) diagonales medias M 4 :……(n-1) - 3 diagonales medias Sumando: k(n-1) – [1+2+3+4+….+(k-1) ] = k(n-1) – (k-1)(k) /2   nk –   nk –     … …

22.   En un polígono convexo la suma del número de lados y del número de diagonales es igual 15. Calcule el número de diagonales medias de dicho polígono. EJERCICIO 2 A) 12 B) 15 C) 9 D) 18 E) 16

23.   La diferencia de los números de lados de dos polígonos es 1 y la diferencia de sus números de diagonales es 35 . Calcule el número de diagonales medias del polígono de mayor número de lados. EJERCICIO 3 A) 32 B) 25 C) 37 D) 18 E) 36

24. EJERCICIO 4 En un pentágono equiángulo no convexo ABCDE, cada ángulo mide 60, AB = 12 u, BC = 7 u y CD = 10 u. Si es el lado de mayor longitud, c alcule (en u) AE + DE.   A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40  

25. EJERCICIO 05 En un polígono convexo desde cuatro vértices consecutivos se han trazado 25 diagonales. ¿Cuál es el número de lados del polígono? A) 8 B) C) 10 D) 11 E) 12  

26. SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS INTERNOS Teorema.- En un polígono convexo de n lados, la suma de las medidas de los ángulos internos es 180(n  2). 1 2 3 n-2 Se trazan las (n – 3) diagonales del vértice V 1 , observándose la formación de (n - 2) triángulos. Luego, S i = 180 (n - 2)

27. MEDIDA DE UN ÁNGULO INTERNO EN UN POLÍGONO CONVEXO Y EQUIÁNGULO Corolario.- En un polígono convexo y equiángulo de n lados, la medida de un ángulo interno es  

28. SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ÁNGULOS EXTERNOS Teorema.- En un polígono convexo de n lados, la suma de las medidas de los ángulos externos es 360.   1  2  3  4  5  n  n-1 ….

29. MEDIDA DE UN ÁNGULO EXTERNO EN UN POLÍGONO CONVEXO Y EQUIÁNGULO Corolario.- En un polígono convexo y equiángulo de n lados, la medida de un ángulo externo es .   1 V 2 V 3 V 4 V 5 V n V n -1 V q q q q q q q

30. EJERCICIO 06 Si la suma de medidas de los ángulos internos de un polígono regular es 1800, entonces la medida de un ángulo externo es A) 30 B) 36 C) 40 D) 45 E) 6

31. EJERCICIO 07 Si en un polígono regular la medida del ángulo interno es igual a cinco veces la medida del ángulo exterior, entonces el número total de diagonales del polígono es A) 14 B) 17 C) 20 D) 3 E) 54  

32.   En un hexágono regular ABCDEF, P es un punto de la prolongación de . Si m DEP = 15 y el punto D pertenece al interior del triángulo PCE, entonces la medida del ángulo APE es   EJERCICIO 08 A) 40 B) 30 C) 45 D) 60 E) 36

33. PRE 3b 2025-2 EJERCICIOS A DESARROLLAR EN CLASE MATERIAL DE ESTUDIO

34. GRACIAS