Sesión13-Determinante.ppt clases de discreta

Sesión13-Determinante.ppt clases de discreta

1. Determinantes Determinantes

2. 2
DeterminantesDeterminantes

3. 3
¿Qué es una matriz de orden n?
¿Qué es una Matriz Columna?
¿Todas las matrices tienen determinante?
¿Cuál es la condición para poder multiplicar matrices?
¿Qué es el método de Sarrus?
DeterminantesDeterminantes

4. Logro de Logro de
SesiónSesión
4
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas
de Determinates y Matriz inversa de forma correcta.

5. DETERMINANTES
5

6. DETERMINANTES
6

7. 7
El determinante de una matriz cuadrada A,
es un numero real.
El determinante de una matriz A se denota
por |A|, Det(A) o D(A)
Determinantes

8. 8
CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE
UNA MATRIZ DE SEGUNDO ORDEN
El determinante de una matriz A
2X2, es un
numero real y está definido por:

2221
1211
aa
aa
A
12212211
aaaa

9. 9
Determinantes
Calcule el determinante de la siguiente matriz
1 2
1 3
A
 

 
 

10. 10
Determinantes
31
21

A )2)(1()3)(1(  5

11. 11
Determinantes
Calcule el determinante de la siguiente
matriz
4 4
4 4
B
 

 
 
Solución:|B| = 0

12. 12
Determinantes
DETERMINANTES DE TERCER
ORDEN
El determinante de una matriz cuadrada A
de orden 3 es calculada mediante la regla
de Sarrus:

13. 13
Determinantes
Calcule el determinante de las siguientes
matrices
1 3 1
1 2 3
2 1 2
A
 
 
 
 
  
 

14. 14
Determinantes
1 3 1 1 3
1 2 3 1 2
2 1 2 2 1
A 
  
-4



-4 + 18 +1+ 3


- 6


= 8

15. 15
Determinantes
Calcule el determinante de la siguiente
matriz
1 2 2
4 3 2
5 0 3
B
 
 
 
 
 
 
Solución:|B| = 17

16. 16
Determinantes
CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE
UNA MATRIZ DE ORDEN “n”
MENOR COMPLEMENTARIO
Sea A una matriz de orden nxn y sea Mij la
matriz de orden (n-1)(n-1) obtenida de A
eliminando la fila i y la columna j.

17. 17
Determinantes
Calcule los menores de la matriz A, dada a
continuación:












212
321
131
A

18. 18
Determinantes












212
321
131
A









22
31
12M









12
21
13M








21
13
21M








22
11
22M








12
31
23M








21
32
11M

19. 19
Determinantes
COFACTOR
Sea A una matriz de orden nxn. El
cofactor de A, denotado A
ij, está dado por
ij
ji
ij MA

)1(

20. 20
Determinantes
Calcule los cofactores de la matriz A,
dada a continuación:












212
321
131
A

21. 21
Determinantes
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE
ORDEN “n”
Sea A una matriz de orden nxn. Entonces
el determinante de A, está dado por
nn
AaAaAaA
1112121111
 

22. 22
Determinantes
OBSERVACIÓN
La definición anterior utiliza la
primera fila de A. En realidad se
podría haber usado cualquier fila o
cualquier columna de A

23. 23
Determinantes
Calcule mediante cofactores el
determinante de la matriz A, dada a
continuación:












212
321
131
A

24. 24
Determinantes
2 3 1 3 1 2
1 3 1
1 2 2 2 2 1
1 12 3 8
A
 
  
   
   
= - 1 - 3
+12
=8

25. 25
Determinantes
Calcule mediante cofactores el
determinante de la matriz A, dada a
continuación:
25















2102
3201
1301
8035
A

26. UPN
[email protected]
26
Determinantes
Propiedad 2
|A| = |A
T
|
Una matriz y su transpuesta tiene el
mismo determinante













520
413
211
A
Verifique la propiedad 2 para la matriz
A

27. 27
Determinantes
SOLUCIÓN
542
211
031
542
211
031
16













TT
AA
A

28. 28
Determinantes
Propiedad 3
Si cualquier fila o columna de A está
constituida de ceros, entonces:|A| = 0











000
413
211
A
Ejemplo:
0A

29. 29
Determinantes
Propiedad 4
Si cualquier fila o columna de A se multiplica
por un escalar C , entonces |A| que da
multiplicado por C













520
413
211
A
Ejemplo:
AB 464













520
16412
211
B

30. 30
Determinantes
Propiedad 5
Dada una matriz A, si B es una matriz que se
obtiene intercambiando dos filas o columnas de A,
entonces det(B)=-det(A)
Ejemplo:























520
300
024

300
520
024
BA

31. 31
Determinantes
Propiedad 6
Si dos filas o dos columnas de una matriz son iguales,
entonces el det(A)=0.
Ejemplo
























020
040
424

521
521
024
BA

32. 32
Determinantes
Propiedad 7
54)2(2733
2
200
210
111
3













AA
AA
Sea A una matriz cuadrada de orden n y k un escalar
diferente de cero, entonces
det(kA)=k
n
det( A)
Ejemplo

33. 33
Determinantes
Propiedad 8
Si I
n es la matriz identidad de orden n,
entonces det(I
n
)=1
Ejemplo:
1
10
01







 AA

34. 34
Determinantes
Si I
n
es la matriz identidad de orden n y
k≠0 un escalar, entonces det(kI
n
)=k
n.
EJEMPLO
2555
422
10
01
2
2
2
2
2









I
Ientonces
I
Propiedad 9

35. 35
Determinantes
Propiedad 10
Si B es una matriz que se obtiene a partir de la
matriz A, sumando a una de sus filas (o columnas)
el múltiplo escalar de otra, entonces
det(B) = det(A)
Ejemplo:

36. 36
Determinantes
Propiedad 10
2
20
21








 BB
2
43
21







 AA
123FF

37. 37
Determinantes
Teorema 11
Si una matriz A es triangular superior(o inferior)
entonces el determinante es el producto de los
elementos de la diagonal principal.
Ejemplo
15
300
250
431











 AA

38. 38
Determinantes
Propiedad 12
Si A es una matriz no singular entonces
A
AyA
1
0
1



39. MATRICESMATRICES
39
Matrices Inversibles
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o
regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
La matriz inversa, si existe, es única.

A
-1
A = A·A
-1
= I

40. MATRICESMATRICES
40
Matrices Inversibles
Propiedades

1.(A·B)
-1
=B
-1
A
-1
2.(A
-1
)
-1
=A
3.(kA)
-1
=(1/k·A
-1
4.(A
t
)
–1
=(A
-1
)
t

41. MATRICESMATRICES
41
Matrices Inversibles
Observación
Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I,
pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A
es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la
inversa de A "por la derecha".

42. MATRICESMATRICES
42
Matrices inversibles
Hay varios métodos para calcular la matriz
inversa de una matriz dada:

•Directamente
•Usando Determinantes
•Por el método de Gauss-Jordan

43. MATRICESMATRICES
43
Matrices inversibles
Directamente

44. MATRICESMATRICES
44
Matrices inversibles
Hay varios métodos para calcular la matriz
inversa de una matriz dada:

•Directamente
•Usando determinantes
•Por el método de Gauss-Jordan

45. DETERMINANTES
45
1
A














343
215
321
A














343
215
321
A
     























 2203615283
42
15
3
33
25
2
34
21
1A
10366425 
Calcular la
Solución
Primero calculamos el determinante de A

46. DETERMINANTES
46
5
34
21
)1(
11
11











A
21
33
25
)1(
21
12










A
17
43
15
)1(
31
13









A
6
34
32
)1(
12
21











A
12
33
31
)1(
22
22










A
2
43
21
)1(
32
23









A
1
21
32
)1(
13
31 










A 13
25
31
)1(
23
32 








A
9
15
21
)1(
33
33











A
Segundo calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.
















343
215
321
A

47. DETERMINANTES
47
T
B
adjA













9131
2126
17215
B
adjAB
T














9217
131221
165


Tercero con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
que es la

48. DETERMINANTES
48













332313
322212
312111
11
AAA
AAA
AAA
A
A
Calcula la


Cuarto encuentro la inversa de la matriz A así:














9217
131221
165
103
1
1
A
adjAB
T














9217
131221
165

49. MATRICESMATRICES
49
Matrices inversibles
Hay varios métodos para calcular la matriz
inversa de una matriz dada:

•Directamente
•Usando determinantes
•Por el método de Gauss-Jordan

50. MATRICESMATRICES
50

51. MATRICESMATRICES
51
Hallar la Matriz Inversa de
Construimos la matriz ampliada colocando “I” a la derecha
Realizamos operaciones elementales con filas

52. MATRICESMATRICES
52
Hallar la Matriz Inversa de

53. MATRICESMATRICES
53
MATRIZ INVERSA

54. ¿Qué aprendí de los determinantes?
¿Cómo se relaciona los determinantes con
los sistemas computacionales que utilizo a
diario?
¿Para qué me sirve saber resolver
problemas con matrices?
Contesta:Contesta:
54

55. 1.Seymour, Lipschutz. “Matemática Discreta”. 511
LIPS. Pág.. 340-360
2.Kolman, Bernard. Estructuras de Matemáticas
Discreta para la Computación. 511.5 CABA. Pág.
230-258
BibliografíaBibliografía
55

56. 56
Hasta la
próxima ………..
……… clase

57. DIAGRAMAS DE HASSEDIAGRAMAS DE HASSE
57
Hasta la
próxima ………..
……… clase