Sistema circular

Secuencia didáctica

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Daniela Santoni

Escuela Nª 4-242 Las Chimbas- Gral San Martín.
Curso: 5º fecha:
Alumno:
Otra forma de medir ángulos...EL SISTEMA CIRCULAR.

Hay varios sistemas de medición de ángulos. Hasta el momento hemos expresado las medidas de los
ángulos en el sistema sexagesimal; ahora estudiaremos otro sistema, denominado circular.

Para cada una de las circunferencias graficadas, realicen las siguientes actividades:























1. Utilizando un hilo, obtener la longitud del perímetro de cada circunferencia.



2. Corten un hilo de la longitud del radio y calculen cuantas veces entra el hilo (o sea el radio) en
cada una de ellas.

3. ¿Cuántas veces entra el hilo en el perímetro de media circunferencia?

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Daniela Santoni

4. ¿Recuerdas alguna fórmula para calcular la longitud de la circunferencia conociendo el radio?
¿Cuál? Dicha fórmula ¿Concuerda con los resultados obtenidos? ¿Por qué?

5. A los arcos ��̂ y ��̂ de las circunferencias concéntricas dibujadas les corresponde un mismo
ángulo central α.
Utilizando el hilo, midan los arcos ��̂ y ��̂ y los radios ��̅̅̅ y ��̅̅̅. Luego realiza los siguientes cocientes:

�� ̂
��̅̅̅̅
=


�� ̂
��̅̅̅
=

¿Cómo son los valores obtenidos? ¿Por qué?






























Observaran que los valores obtenidos son aproximadamente iguales. Esto es así porque los cocientes
entre las longitudes de los arcos abarcados por el mismo ángulo central y los radios correspondientes
son proporcionales:
�� ̂
��̅̅̅
=
�� ̂
��̅̅̅



La proporcionalidad que existe entre la longitud s de los arcos de dos circunferencias cualquieras
determinadas por un ángulo central α y los radios r correspondientes, permite tomar como medida
del ángulo el cociente, en cada circunferencia, entre la medida del arco y el radio:

�=
����
���??????�
=
�
�


Este número que obtenemos como cociente o razón es la medida del ángulo en el sistema circular,
cuya unidad es el radián.

Ejemplo:
Si β determina un arco de 6cm en una circunferencia de 2cm de radio, entonces la media del ángulo
medido en radianes de β es:

�=
�
�
=


= ………

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6. Según la definición: “un ángulo mide 1 radián cuando la longitud del arco es igual al radio de la
circunferencia”, entonces, midamos con el hilo la longitud del radio y extendamos la misma
sobre el perímetro de la circunferencia. Encuentra con ayuda del transportador la medida
aproximada (expresado en grados) de un ángulo de un radian.



























Un ángulo central α mide 1 radián cuando la longitud del arco s es igual al radio r de la
circunferencia.

�=�, por lo tanto

�=
�
�
=1 ���??????��




¿Cómo calculamos el ángulo sin utilizar hilo ni transportador?

Como hemos visto, para hallar la medida en radianes de un ángulo, calculamos el cociente entre la
longitud del arco que abarca y el radio. Por lo tanto, para calcular la medida de α en radianes de un
ángulo de un giro, hacemos:
�=
??????���??????��� �� ??????� �??????����������??????�
���??????�
=
2??????�
�
=………………

Cuando s=2πr, entonces el ángulo de 360º mide……………… radianes.

Sabiendo que 2π es la medida en radianes de un ángulo de un giro, es muy sencillo obtener las
medidas en radianes de un ángulo llano y también la de un ángulo recto. Completa el siguiente
cuadro:

Sistema sexagesimal Sistema circular
360º

180º

90º




1 giro = 2π rad = 360
o

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7. Utiliza la proporción hallada anteriormente para calcular un valor más exacto del ángulo de un
radian en el sistema sexagesimal.















Para realizar equivalencias entre los sistemas usamos proporcionalidad directa:


Ejemplo:
Calculemos la medida α en radianes de un ángulo cuya medida en el sistema sexagesimal es de 75º.
Para ello planteamos la siguiente proporción:

180º ---------------- π rad

75º ----------------- x rad

??????=


=
5??????
12


Es habitual que los ángulos en radianes se dejen expresados como fracciones de π, ya que esta es la
medida exacta del ángulo.

También podemos dar un valor aproximado de ellas, por ejemplo:

�=
5 . 3,14
12
≅ …………



Con calculadora científica:
Estas calculadoras tienen un comando para trabajar en grados (DEG) o en radianes (RAD). Con solo
oprimir una tecla pasamos de un sistema a otro. Así, si está trabajando en RAD y le pedimos sen1
aparece en la pantalla 0,84147098. Si ahora pasamos a DEG y le pedimos sen 57º 17’ 45’’ nos da el
mismo valor ya que 1 rad equivale a 57º 17’ 45’’

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Daniela Santoni

Ejercicios:

a) Calculen en grados sexagesimales, el valor aproximado de cada uno de los siguientes ángulos:

α = 2 radianes
γ = 1,5 radianes
ε = 8π radianes
β = π radianes
Ω =
??????
5
radianes



b) Calcular el valor de los siguientes ángulos en el sistema circular, recuerda que por convenio
dichos ángulos se expresan en función de π: (Puedes realizar un cuadro)

0°, 30º, 60º, 90°, 120°, 150º, 180°, 210º, 240°, 270°, 300º, 330º, 360°.