Sistemas numéricos

Sistemas numéricos

1. Sistemas Numéricos

2. Sistemas Numéricos Existem diversos sistemas numéricos, o mais comum que utilizamos no dia-a-dia é o sistema decimal. O sistema decimal é chamado assim por ser baseado em 10 dígitos (de 0 a 9). Diz-se de base 10. Os outros sistemas numéricos são compostos de bases diferentes.

3. Sistema Decimal Para entender melhor outros sistemas numéricos, é necessário relembrar algumas regras do sistema decimal. Um número no sistema decimal pode ser decomposto em um somatório de produtos de potências de base 10. Exemplos: 1234 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1 1234 = 1 x 10 3 + 2 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 16920 = 1 x 10 4 + 6 x 10 3 + 9 x 10 2 + 2 x 10 1 + 0 x 10

4. Sistema Decimal Para somar 2 números decimais basta seguir os passos dos próximos slides. Esses passos todos já viram no ensino básico. Como exemplo vamos somar os números 1234 e 493. Os mesmos passos são utilizados para outros sistemas numéricos.

5. Somando 2 números decimais 1 2 3 4 + 4 9 3 Alinham-se os 2 números a direita, u m abaixo do outro.

6. Somando 2 números decimais 1 2 3 4 + 4 9 3 7 Da direita para a esquerda, somam-se os dígitos.

7. Somando 2 números decimais 1 2 3 4 + 4 9 3 12 7 Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da esquerda sobe para o próximo dígito.

8. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 2 7 Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da esquerda sobe para o próximo dígito.

9. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 7 2 7 A soma continua incluindo os dígitos que vieram de somas anteriores.

10. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 1 7 2 7 Em alguns casos, um dos números não possui os dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

11. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 1 7 2 7 Após somar todos os dígitos, tem-se o resultado final da soma.

12. Sistema Binário Sistema de base 2, ou seja, 2 dígitos (0 e 1). Sistema utilizado internamente pelos computadores. Dígito 0 significa a ausência de corrente elétrica. Dígito 1 significa a presença de corrente elétrica. Assim como no sistema decimal, vários dígitos podem formar um número maior. Exemplo: o número 11001011 em binário corresponde ao número 203 em decimal.

13. Sistema Binário Assim como os números decimais podem ser decompostos em potências de base 10, um número binário pode ser decomposto em potências de base 2. Exemplos: 1110 = 1 x 2 3 + 1 x 2 2 + 1 x 2 1 + 0 x 2 1110 = 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14

14. Sistema Binário Tabela de alguns números binários: Decimal Binário 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 Decimal Binário 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 Decimal Binário 16 10000 17 10001 18 10010 19 10011 20 10100 21 10101 22 10110 23 10111

15. Sistema Binário Para converter um número de binário para decimal basta decompô-lo em suas bases: Exemplo: 1101101=1x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +1x2 1101101=1x64+1x32+0x16+1x8+1x4+0x2+1x1 1101101=1x64+1x32+1x8+1x4+1x1 1101101=64+32+8+4+1 1101101=109

16. Sistema Binário Para converter um número de decimal para binário, é preciso encontrar quais as bases binárias que o formam. Veremos os passos nos próximos slides. Como exemplo vamos converter o número 233 para binário.

17. Sistema Binário 233 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 Primeiro monta-se a tabela de bases binárias

18. Sistema Binário 233 128+105 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 Agora decompôe-se o resto do número (105) na maior base menor que ele. Neste caso a base escolhida é 128.

19. Sistema Binário 233 128+ 105 128+ 64+41 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 Nos próximos passos decompõe-se o número decimal na maior base binária menor que o número. Neste caso a base e scolhida é 64.

20. Sistema Binário 233 128+105 128+64+ 41 128+64+ 32+9 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 A decomposição continua até que o número inicial seja totalmente decompostos em bases binárias.

21. Sistema Binário 233 128+105 128+64+41 128+64+32+ 9 128+64+32+ 8+1 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 A decomposição continua até que o número inicial seja totalmente decompostos em bases binárias.

22. Sistema Binário 233 128+64+32+8+1 2 7 +2 6 +2 5 +2 3 +2 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 Após a decomposição, os valores são convertidos para suas potências de base 2.

23. Sistema Binário 233 128+64+32+8+1 2 7 +2 6 +2 5 +2 3 +2 1x2 7 +1x2 6 +1x2 5 +1x2 3 +1x2 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 Agora as potências utilizadas são multiplicadas por 1.

24. Sistema Binário 233 128+64+32+8+1 2 7 +2 6 +2 5 +2 3 +2 1x2 7 +1x2 6 +1x2 5 +1x2 3 +1x2 1x2 7 +1x2 6 +1x2 5 +0x2 4 +1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +1x2 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 Neste caso, algumas potências como 2 4 e 2 2 não aparecem. As potências faltantes são inseridas sendo multiplicadas por zero.

25. Sistema Binário 233 128+64+32+8+1 2 7 +2 6 +2 5 +2 3 +2 1x2 7 +1x2 6 +1x2 5 +1x2 3 +1x2 1 x2 7 + 1 x2 6 + 1 x2 5 + x2 4 + 1 x2 3 + x2 2 + x2 1 + 1 x2 11101001 Base Binária Valor Decimal 2 1 2 1 2 2 2 4 2 3 8 2 4 16 2 5 32 2 6 64 2 7 128 2 8 256 Terminada a decomposição em potências. Base separar os multiplicadores para obter o número binário.

26. Somando dois números binários Para somar dois número binários, utiliza-se o mesmo esquema de somar dois números decimais. Como exemplo, vamos somar os números 10011010010 e 111101101.

27. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

28. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

29. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

30. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

31. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

32. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

33. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

34. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece, e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

35. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece, e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

36. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece, e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

37. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece, e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

38. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Em alguns casos, um dos números não possui os dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

39. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

40. Somando dois números binários 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Após somar todos os dígitos, tem-se o resultado final da soma.

41. Outros Sistemas Numéricos Sistema Hexadecimal: Base 16 Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F Exemplo: A12C0D4 Muito utilizado para ler números grandes de sistemas computacionais Sistema Octal : Base 8: Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7 Exemplo: 705242 Pouco utilizado na prática

42. Outros Sistemas Numéricos Se você tem um número qualquer, por exemplo, 1001, como saber em qual sistema numérico ele está? No caso do 1001, ele pode pertencer a qualquer um dos 4 sistemas numéricos vistos, pois todos eles possuem os dígitos 0 e 1. Para dizer explicitamente a base em que se encontra um número, é só adicionar o número da base do sistema numérico no final do número: Binário: 1001 2 Decimal: 1001 10 Hexadecimal: 1001 16 O ctal : 1001 8 No caso dos números decimais, é comum não mostrar o número da base.

43. Octal = base 8 sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a representação de quantidade. No ocidente, estes símbolos são os algarismos arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 7 Conversão – Octal par Binário e Decimal Ex.: 45 (8) = ? (2) = ? (10 ) 4=100 (2) 5=101 (2 ) Logo = 100101 (2) 1 5 4 3 1 2 1 1 (2) = 1x2 5 +0x2 4 +0x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +1x2 Ou 1 32 16 8 1 4 2 1 1 (2) = Logo= 37 (10 )

44. Conversão –Binário para Octal e Decimal Ex.: 1011 (2) = ? (8) Divide por milhar 001 (2) =1 (8) 011 (2 ) =3 (8) Logo = 1011 (2) = 13 (8) = 11 (10)

45. Conversão – Octal para Decimal Ex.: 56 (8) = ? (10) 5 (8) = 101 (2) 6 (8) =110 (2) Logo = 101110 (2 ) = 1 32 16 1 8 1 4 1 2 1 (2 ) = 46 (10)

46. Conversão – Decimal para Octal Ex.: 101 (10) = 1100101 (2) =? (8) Separa de 3 em 3 001 100 101 (2)   4 2 1 Octal Binário 1 1 2 1 3 1 1 4 1 5 1 1 6 1 1 7 1 1 1 1 4 5

47. Conversão – Hexadecimal para Decimal Ele é muito utilizado para representar números binários de uma forma mais compacta, pois é muito fácil converter binários pra hexadecimal e vice-versa. Dessa forma, esse sistema é bastante utilizado em aplicações de computadores e microprocessadores (programação, impressão e displays). Ex.: 50B 5x16 2 +0x16 1 +11X16 = 1280+11=1291 Conversão – Binário para Hexa Ex.: 101111 (2) Separa de 4 em 4 bits 10 1111 (2) = 1 8 1 4 1 2 1 1 (2) =2F