Slides – Função Logarítmica (Matematica).pptx

Definição e propriedades básicas de logaritmos
• Conceito e definição formal de função logarítmica
• Análise do domínio, imagem e gráfico da função logarítmica
• Resolução de equações e inequações logarítmicas

1. Função Logarítmica

2. Sumário • Definição e propriedades básicas de logaritmos • Conceito e definição formal de função logarítmica • Análise do domínio, imagem e gráfico da função logarítmica • Resolução de equações e inequações logarítmicas • Aplicações práticas da função logarítmica em diversas áreas

3. Definição de Logaritmo • Logaritmo é o expoente que uma base deve ter para resultar em um número. • Se , então , onde é a base e é o logaritmando. • A base deve ser positiva e diferente de 1 ( e ). • O logaritmando deve ser sempre positivo ( ). • Exemplo: , pois .

4. Propriedades Fundamentais Fonte: www.preparaenem.com • , pois qualquer número elevado a 0 é igual a 1. • , pois qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo. • , o logaritmo de uma potência na mesma base é o expoente. • , logaritmo de um produto. • , logaritmo de um quociente.

5. Mudança de Base • A mudança de base permite calcular logaritmos em bases diferentes. • Fórmula: , onde é a nova base. • A nova base deve ser positiva e diferente de 1. • Útil para usar calculadoras que só calculam logaritmos na base 10. • Exemplo: .

6. Definição de Função Logarítmica • Função logarítmica é definida como , com e . • O domínio da função é , ou seja, o logaritmando deve ser positivo. • A imagem da função é o conjunto dos números reais ( ). • A função logarítmica é a inversa da função exponencial. • O gráfico da função logarítmica depende do valor da base .

7. Gráfico da Função Logarítmica Fonte: www.geogebra.org • Se , a função é crescente e o gráfico se eleva da esquerda para a direita. • Se , a função é decrescente e o gráfico desce da esquerda para a direita. • O gráfico sempre passa pelo ponto , pois . • O gráfico se aproxima do eixo y, mas nunca o toca (assíntota vertical). • A forma do gráfico depende da base , influenciando sua inclinação.

8. Domínio e Imagem • O domínio da função é , ou seja, . • A imagem da função é o conjunto de todos os números reais, . • O domínio é restrito porque não existe logaritmo de números negativos ou zero. • A imagem é irrestrita, pois o logaritmo pode assumir qualquer valor real. • Essas características são importantes para analisar a função.

9. Equações Logarítmicas Fonte: www.youtube.com • Equações logarítmicas envolvem logaritmos com a incógnita. • Para resolver, iguale os logaritmandos após igualar as bases. • Exemplo: . • Verifique se a solução satisfaz as condições de existência do logaritmo. • Use propriedades para simplificar antes de resolver.

10. Inequações Logarítmicas • Inequações logarítmicas envolvem desigualdades com logaritmos. • Se , a desigualdade se mantém ao remover os logaritmos. • Se , a desigualdade se inverte ao remover os logaritmos. • Exemplo: (se ). • Verifique as condições de existência para o logaritmando.

11. Aplicações: Escala Richter • A Escala Richter usa logaritmos para medir a magnitude de terremotos. • A magnitude é calculada por , onde é a amplitude. • Cada aumento de 1 na escala representa um aumento de 10 vezes na amplitude. • Terremotos com magnitude maior que 7 são considerados grandes. • A escala ajuda a quantificar a energia liberada por um terremoto.

12. Aplicações: Nível de Som Fonte: canaldoouvido.blogspot.com • O nível de som em decibéis (dB) usa logaritmos. • , onde é a intensidade e é a referência. • Um aumento de 10 dB representa um aumento de 10 vezes na intensidade. • O nível de som ajuda a medir e comparar a intensidade sonora. • Usado em acústica e engenharia para controlar o ruído.

13. Aplicações: Química • Em química, o pH usa logaritmos para medir a acidez ou basicidade. • , onde é a concentração de íons hidrogênio. • pH menor que 7 indica acidez, maior que 7 indica basicidade. • pH igual a 7 indica neutralidade. • O pH é crucial para reações químicas e processos biológicos.

14. Aplicações: Juros Compostos Fonte: www.idinheiro.com.br • O cálculo de juros compostos pode usar logaritmos para encontrar o tempo. • , onde é o montante, é o capital, é a taxa. • Usando logaritmos, . • Permite calcular o tempo necessário para um investimento atingir um valor. • Essencial em finanças e planejamento financeiro.

15. Exercício 1 • Calcule o valor de na equação: . • Primeiro, transforme a equação logarítmica em exponencial. • Então, . • Resolva para : . • Verifique se satisfaz a condição de existência.

16. Exercício 2 • Resolva a inequação: . • Transforme a inequação logarítmica em exponencial. • Então, . • Resolva para : . • Considere a condição de existência: .

17. Exercício 3 • Simplifique a expressão: . • Use as propriedades dos logaritmos para simplificar. • . • Então, . • A expressão simplificada é .

18. Conclusão Fonte: www.preparaenem.com • A função logarítmica é fundamental na matemática e em diversas aplicações. • Entender suas propriedades e gráficos é essencial. • A resolução de equações e inequações logarítmicas é importante. • Aplicações práticas abrangem áreas como física, química e finanças. • Continue praticando para aprimorar suas habilidades.