Химия твердого тела, семинар, пространственные группы симметрии

Химия твердого тела, семинар, пространственные группы симметрии, Решетка Бравэ

1. Минеев Алексей Михайлович [email protected] 2023 Химия твердого тела Семинар 1 Структура курса Общие определения Координаты, элементарная ячейка, симметрия Элементы симметрии (принципы, виды, обозначения , правильные системы точек) Матрицы для симметрических преобразований (открытые, закрытые) Кафедра химии твердого тела ФЕН НГУ

2. Организационные моменты 2 Знакомство, правила курса, контакты, вопросы

3. 3 Структура курса

4. 4 Начальные определения и классификации Химия твердого тела Виды твердых веществ (по упорядоченности – кристаллические, аморфные) Кристалл Как описать структуру кристалла?

5. Описание кристаллических тел. Начало 5 Кристаллографические оси – воображаемые линии внутри кристалла, составляющие координатную систему для его описания.   Долевые координаты Доля от параметра ячейки

6. Элементарная ячейка – параллелепипед, построенный на векторах элементарных трансляций Элементарная ячейка * x, y, z координатные оси соответствуют a, b, c базисным векторам ( векторам элементарных трансляций) Элементарная ячейка – минимальный объем кристалла, из которого можно получить весь кристалл, размножая этот объем по всем осям А что в узлах элементарной ячейки?

7. 7 Формульная единица Что это? Отличие от молекулы? Посчитаем число формульных единиц для 1) 2 D ячеек (прямоугольная примитивная, центрированная) 2) 3 D ячеек (куб, Fe, Cu, CaF2, NaCl , алмаз) Группа частиц, соответствующая составу вещества (формуле)

8. 8 Свойства кристалла Симметрия Анизотропия Однородность Способность к самоогранке «Стремление» кристалла восстановить огранку Свойства кристалла в различных направлениях различны (в общем случае) Любые элементарные объемы кристаллического вещества, одинаково ориентированные в пространстве, одинаковы по свойствам (цвет, масса, твердость и т. д.) =

9. 9 Симметрия Свойство объекта накладываться сам на себя Симметрическое преобразование (операция симметрии) действие, приводящее к наложению объекта сам на себя Элемент симметрии геометрический образ симметрического преобразования

10. Способы описания симметрии 10 Геометрический (элементы симметрии) Алгебраический (матрицы)

11. 11 Элементы симметрии Закрытые Трансляции Винтовые оси Плоскости скользящего отражения n m t = m/n a, b, c n, d e t, t x , t y , t z Поворотные оси 1 2 3 4 6 Инверсионно- поворотные оси -1 -2 -3 -4 -6 Открытые

12. Поворотные оси симметрии 12 Элементарный угол поворота Минимальный угол вращения для наложения объекта сам на себя Возможные порядки осей? Порядок оси n = 360 / α Объект накладывается сам на себя с помощью вращения вокруг оси на заданный угол 2 3 4 6

13. Правильные системы точек элементов 13 Правильная система точек элемента / группы Кратность правильной системы точек Совокупность эквивалентных точек, возникающих при действии данного элемента/группы Количество эквивалентных точек в системе элемента / группы 4

14. Инверсионно-поворотные оси 14 Frank Hoffmann - Unit 3.3 - Point Symmetry and Rotoinversions Визуализация инверсионных осей: https://www.youtube.com/watch?v=9MMKjO5HB-I&ab_channel=FrankHoffmann

15. Обозначения элементов симметрии в Международных кристаллографических таблицах 15

16. Обозначения объектов на рисунках 16 + Z −Z , + Z + Z − Z + Z −1 Запятая = обозначение зеркального отображения объекта ( при любом направлении плоскости) Инверсионные оси (в т.ч. плоскости симметрии и центры инверсии) превращают объект в хиральный ; Поворотные оси не меняют хиральность объекта: Z Z Z Z Z Z

17. m = 2 Правильные системы точек элементов 17 y x z Z Z Z Z Z −Z , m ⊥ z Задача 1 .1 Построить правильные системы точек элементов и указать их кратность (ответ увидите, отодвинув зеленый прямоугольник) y x −Z Z y x Z Z Z Z Z Z m = 2 2 ‖ z m = 4 4 ‖ z m = 2 −1

18. Матричное описание 18 Составляем матрицы для осей 2, инверсии, плоскостей Принцип работы матрицы для симметрического преобразования (на примере плоскости) Преобразование координат элементами симметрии (на примере плоскости) Сложение и умножение матриц

19. 19 Элементы симметрии Закрытые -2 = m Плоскость зеркального отражения -1 = Центр инверсии Трансляции Винтовые оси Плоскости скользящего отражения n m t = m/n a, b, c n, d e t, t x , t y , t z Поворотные оси 1 2 3 4 6 Инверсионно- поворотные оси -1 -2 -3 -4 -6 Открытые

20. Винтовые оси 20 Frank Hoffman - Fascination of Crystals and Symmetry - Chapter 4 ( Youtube )

21. 21 a, b, c Frank Hoffman - Fascination of Crystals and Symmetry - Chapter 4 ( Youtube ) Плоскости скользящего отражения

22. 22 Frank Hoffman - Fascination of Crystals and Symmetry - Chapter 4 ( Youtube )

23. 23 Frank Hoffman - Fascination of Crystals and Symmetry - Chapter 4 ( Youtube )

24. 24 y x z y x Z y x Z −Z x z Z Правильные системы точек элементов Задача 1 .2 Постройте правильные системы точек для элементов, укажите кратность этих систем y y x Z Z y x Z x z y x z Z Z +1/2 x z Z x z Z - Z m = 2 m = 2 m = 2 m = 2 b ⊥ z b ⊥ x a ⊥ y b ⊥ z ( другая проекция) Когда плоскость скольз . отражения паралельна чертежу, стрелка указывает направление трансляции. Когда плоскость скольз . отражения перппендикулярна плоскости чертежа, представьте, что линия штрихами обозначает лежащие в плоскости чертежа стрелки, а линия точками показывает стрелки, направленные от вас/на вас

25. 25 y x z y x Z x Z Z+1/2 Правильные системы точек элементов Задача 1 .2 Постройте правильные системы точек для элементов, укажите кратность этих систем y x Z y x Z Z Z m = 2 m = 2 y x Z y x Z Z+1/2 с ⊥ y В след. ячейке a ⊥ y y x Z m = 2 m = 2 c ⊥ x y x Z − Z a ⊥ z

26. 26 y x z y x Z y x Z x Z Z+1/2 Правильные системы точек элементов Задача 1 .2 Постройте правильные системы точек для элементов, укажите кратность этих систем Z+1/2 y x Z −Z m = 2 n ⊥ z Для диагональных плоскостей происходит трансляция по двум базисным векторам сразу (+ отражение в третьем направлении) m = 2 m = 2 n ⊥ x y x Z y x Z n ⊥ y Z y x m = 4 Z y x Z+1/4 Z+3/4 Z+2/4 d ⊥ y

27. m = 2 Правильные системы точек элементов 27 y x z Z Z +1/2 Задача 1 .1 Построить правильные системы точек элементов и указать их кратность (ответ увидите, отодвинув зеленый прямоугольник) Z Z +2/4 Z Z +2/4 m = 2 m = 4 x +Z y -Z x +Z y 2 1 ‖ y Z Z m = 4 m = 2 2 1 ‖ z Z Z − Z Z − Z −4 ‖ z Если больше +1, вычитаем 1 4 2 ‖ z

28. Z Z+2/3 Z+1/3 28 Если больше +1, вычитаем 1 3 2 ‖ z y x z u Z Z Z Z 3 ‖ z Z Z Z Z −Z − Z −Z Z Z Z+1/3 Z+2/3 3 1 ‖ z Z Правильные системы точек элементов Задача 1 .2 Постройте правильные системы точек для элементов, укажите кратность этих систем Для наглядности повращал запятые тоже. Обычно так не делают , запятая – просто подпись зеркального отображения, а не объект Комментарий к -3 −3 ‖ z

29. Чтение графиков групп, часть 1 29 Задача 1. 3: Назовите элементы симметрии на графиках y x z y x z y x z Это плоскость с Это плоскость a п л-ть b x z y x z y Частичный ответ Это плоскость с Частичный ответ

30. 30 Общий случай матрицы для элементов симметрии Альтернативный подход (4×4) Вращательная часть Трансляционная часть Сдвиг от начала координат

31. 31 b ⊥ z Задача 1 . 4 Напишите координаты эквивалентных позиций и матрицы преобразования (все элементы в начале координат) Матрица Коорд . c ⊥ x c ⊥ y a ⊥ y Матрица Коорд . Матрица Коорд . Матрица Коорд .

32. 32 Сможете составить матрицу для оси 4 порядка?