Spline cubico

En esta presentación se podrá ver el desarrollo del spline cúbico y sus principales aplicaciones en la realidad.

1. Universidad Politécnica del Golfo de México

2. Frida Miguel Monzalvo Navarrete Diego Mariano Espinosa Casso Melisa Priego Rodríguez Samuel Alberto Leal González Elda Patricia Torruco Cordova Adriana Lorena López Julia Xunaaxi del Cármen Segura Segura ISAI 5B Métodos Numéricos Spline Cubico

3. un  spline  es una  curva diferenciable definida en porciones   mediante polinomios.

4. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado , evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas , los splines se utilizan para aproximar formas complicadas

5. Existen 3 tipos de spline , lineal, cuadrático y cubico En este caso, cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [ m,n ] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma  P(x ) = ax³ + bx² + cx + d

6. En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo ( a,b,c,d ), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la segunda derivada : Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos P(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos . Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común . Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

7. La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así , podemos usar : Splines cúbicos naturales : La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines , esto son, los puntos m y n en el intervalo [ m,n ]. Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [ m,n ]. Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [ m,n ]

8. :Ecuación de interpolación

9. Ejemplo: En la siguiente tabla se muestra la evolución de la temperatura en Hong-Kong (y) cada dos horas (x). X Y 2 8 4 8 6 7 8 8 10 14 12 15 Utilizamos la siguiente fórmula para encontrar el número de ecuaciones e incógnitas que encontraremos: (n-1)*4 Donde n es el número de datos en la tabla: N= 6 (n-1)*4= (6-1)*4 =20 20  Número de ecuaciones y variables

10. Para facilitar la identificación de los intervalos podemos dibujar una recta. x 2 4 6 8 10 12 5 intervalos Intervalos (2,4) (4,6) (6,8) (8,10) (10,12) Hacemos que se cumpla la condición de que el spline tiene que pasar por los puntos dados en la tabla. Luego se define un polinomio cúbico para cada valor de los intervalos. S(x)= ax³+bx²+cx+d Y sustituimos el valor correspondiente de “ y ” en a, b, c y d.

11. El subíndice de las variables a, b, c, y d dependerán del intervalo en el que se encuentre el valor para el que asignamos el polinomio.

12. Una discontinuidad es un punto donde se cambia de intervalo, esto afecta la función del spline , y para evitarlo las evaluamos con la primera y segunda derivada de la función: S(x )= ax³+bx²+cx+d S’( x)= 3ax²+2bx+c  Primera derivada S ’’( x)= 6ax+2b  Segunda derivada En este caso, las discontinuidades son : ( 4, 6, 8, 10 ). Después evaluaremos la primera derivada con estos valores.

13. Para x=4 S’(x)= 3a(4)²+2b(4)+c = 48a1+8b1+c1 = 48a2+8b2+c2 Para x=6 S’(x)= 3a(6)²+2b(6)+c= 108a2+12b2+c2 = 108a3+12b3+c3 Para x=8 S’(x)= 3a(8)²+2b(8)+c= 192a3+16b3+c3 = 192a4+16b4+c4 Para x=10 S’(x)= 3a(10)²+2b(10)+c = 300a4+20b4+c4 = 300a5+20b5+c5 Ya que se trata de una discontinuidad tenemos que tomar en cuenta que forma parte de dos intervalos y que este no cambia de un polinomio a otro, es por eso que se da la igualdad.

14. Continuamos con la evaluación ahora con la segunda derivada de la función: Para x=4 S ’’( x)= 6a(4)+2b = 24a1+2b1 = 24a2+2b2 Para x=6 S ’’( x)= 6a(6)+ 2b = 36a2+2b2 = 36a3+2b3 Para x=8 S’’(x)= 6a(8)+ 2b = 48a3+2b3 = 48a4+2b4 Para x=10 S’’(x)= 6a(10)+ 2b = 60a4+2b4 = 60a5+2b5

15. Para cumplir con nuestras 20 ecuaciones debemos obtener dos mas y agregarlas a las 18 que ya conocemos, para eso asignaremos las siguientes condiciones: S’’(x0)= o y S ’’( xn )=0 X0= Punto inicial Xn = Punto final S’’(2 )= 6a(2)+2b  12a1+2b1=0 S’’(12)= 6a(12)+2b 72a5+2b5=0 Con esto tenemos ya nuestras 20 ecuaciones y 20 incógnitas , lo siguiente será acomodarlas en una matriz cuadrada para su resolución.

16. Matriz generada

17. De la matriz anterior obtenemos los siguientes resultados:

18. Sustituimos los valores en la función inicial y obtenemos los siguientes splines :

19. : Gracias: