SPLTV(3) menggunakan OBE dan GAUS JORDAN

SPLTV

1. ALJABAR LINIER WEEK 2 . SPLTV, OBE, GAUSS JORDAN

2. Persamaan Linier Tiga Variabel Jika diketahui dua atau lebih persamaan linier, setiap persamaan linier memiliki 3 variabel . Pasangan dua persamaan linear tiga variabel ( atau lebih ) yang ekuivalen dengan bentuk umum Dengan a,b,c,d, e,f, p,q ,  R dan a,b,c,d ,e,f ≠0 ax + by + cz = p dx + ey + fz = q

3. Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Metode Substitusi Metode Eliminasi Metode Gauss - Jordan Aturan Crammer (Tunggu Pembahasan Matriks) Metode Grafik tidak digunakan kembali karna memiliki kelemahan dalam melakukan penggambaran grafik

4. Metode Substitusi Sama dengan SPLDV namun step yang dilakukan : Memilih salah satu persamaan yang akan diubah (Persamaan 1) Masukkan ke dalam persamaan yang lain (Persamaan 2 dan 3) sehingga lebih sederhana dan memiliki lebih sedikit Variable (Persamaan 4 dan 5) Ulangi step Subtitusi dengan menggunakan salah satu dari Persamaan 4 atau 5 Subtitusi kembali ke persamaan lainnya untuk mendapatkan nilai salah satu Variabel Subtitusikan ke Persamaan lain untuk mendapatkan nilai dari Variabel yang tersisa

5. Contoh Metode Substitusi Selesaikan sistem persamaan linier berikut: 3x – 2y + 2z = 11 (1) 2x + 4y + z =1 2 (2) x + 3 y + 4z =1 4 ( 3 ) Misalkan variabel x yang dipilih pada persamaan ( 3 ), maka akan menjadi x + 3 y + 4z = 1 4  x = 1 4 – 3 y - 4z Kemudian substitusikan x ke dalam persamaan yang lain yaitu (1) dan (2)

6. x = 1 4 – 3 y - 4z 2x + 4y + z =1 2 ...... (2) 2(14 - 3y - 4z) + 4y + z = 12 28 - 6y - 8z + 4y + z = 12 -2y - 7z = -16 => 2y + 7z = 16 ...... (4) 3x – 2y + 2z = 11 ...... (1) 3(14 - 3y - 4z) - 2y + 2z = 11 42 - 9y - 12z - 2y + 2z = 11 -11y - 10z = -31 => 11y + 10z = 31 ..... (5)

7. Pilih Salah satu antara persamaan (4) atau (5) misalnya (4) 2y + 7z = 16 => 2y = 16 - 7z y = 8 - 3,5z Substitusikan ke dalam persamaan (5) 11y + 10z = 31 11 (8 - 3,5z) + 10z = 31 88 - 38,5z + 10z = 31 -28,5z = -57 => z = 2

8. Substitusi ke persamaan yang ada untuk mendapat nilai variabel lain 11y + 10z = 31 .... (5) 11y + 10(2) = 31 11y + 20 = 31 11y = 11 => y = 1 2x + 4y + z =1 2 ...... (2) 2x + 4(1) + 2 = 12 2x + 4 + 2 = 12 2x = 6 => x = 3

9. Metode Eliminasi Sama dengan SPLDV namun step yang dilakukan : Pilih satu variable yang akan di eliminasi, dan lakukan perhitungan pada 3 persamaan untuk mendapatkan 2 persamaan baru tanpa variabel yang dipilih Ulangi tahap pertama untuk 2 persamaan baru, hingga mendapat nilai dari variable yang diinginkan Ulangi proses atau substitusikan untuk mendapat nilai variabel yang lain

10. Contoh Metode Eliminasi Carilah nilai – nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut: 3x – 2y + z = 2 ( 1 ) 2x + 4y - 4z = -2 ( 2 ) 4 x - y + 2z = 8 ( 3 ) Penyelesaian Misal variabel yang akan dieliminasi adalah z , maka pers ( 1 ) dikalikan 4 dan pers ( 2 ) dikalikan 1. 3x – 2y + z = 2 dikalikan 4  12 x – 8 y + 4z = 8 2 x + 4 y - 4 z = -2 dikalikan 1  2 x + 4y - 4 z = -2 + 14 x - 4y = 6 (4) maka pers ( 1 ) dikalikan 2 dan pers ( 3 ) dikalikan 1. 3x – 2y + z = 2 dikalikan 2  6x – 4y + 2z = 4 4 x -y + 2z = 8 dikalikan 1  4 x - y + 2z = 8 - 2 x - 3y = - 4 (5)

11. Eliminasi Persamaan (4) dan (5), dengan menghilangkan variabel x. Maka persamaan (4) dikali 1 dan persamaan(5) dikali 7 14 x - 4y = 6 dikali 1  14x - 4y = 6 2 x - 3y = - 4 dikali 7  14x - 21y = -28 - 17y = 34  y =2 Substitusikan nilai y ke persamaan 5 2x - 3y = -4  2x - 3(2) = -4  2x = 2  x =1

12. Substitusikan variabel x = 1 dan y =2 ke dalam salah satu persamaan awal, misal pers ( 1 ) 3x – 2y + z = 2 3( 1 ) – 2 (2) + z = 2 z = 2 – 3 + 4 = 3 z = 3 Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah ( 1,2 , 3 )

13. Operasi Baris Elementer (OBE) Pada dasarnya untuk memecahkan sebuah sistem persamaan linear yaitu dengan merubahnya menjadi sistem persamaan linear baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama (tidak mengubah fundamental sistem awal), yang pastinya lebih mudah untuk dipecahkan.

14. Contoh Carilah salah satu sistem persamaan linear baru dari sistem persamaan linear berikut dengan syarat memiliki himpunan penyelesaian yang sama :

15. Apabila kita mengalikan persamaan (ii) dengan 2 maka didapat : kemudian jika persamaan (i) ditambahkan dengan persamaan (iii) maka kita peroleh:

16. Proses pembentukan sistem persamaan linear baru pada dasarnya menggunakan 3 operasi dasar yaitu : Mempertukarkan dua persamaan linear. ( L i ↔L j ) Mengalikan sebuah persamaan linear dengan konstanta/skalar, selama skalar bukan nol. (kL i →L i ) Menambahkan kelipatan dari suatu persamaan dengan persamaan lain.(kL i +L j →L j )

17. P enggunaan Operasi Baris Elementer Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut : Jika sistem persamaan linear tersebut direpresentasikan kedalam bentuk matriks, maka :

18. Perintah : Operasikan matriks tersebut dengan operasi (1) semisal dengan notasi R 1 ↔R 3 Operasikan matriks tersebut dengan operasi (2) semisal dengan notasi 2R 1 →R 1 Operasikan matriks tersebut dengan operasi (3) semisal dengan notasi −2R 2 +R 3 ↔R 3

19. Operasikan matriks tersebut dengan operasi (1) semisal dengan notasi R 1 ↔R 3

20. Operasikan matriks tersebut dengan operasi (2) semisal dengan notasi 2R 1 →R 1

21. Operasikan matriks tersebut dengan operasi (3) semisal dengan notasi −2R 2 +R 3 ↔R 3

22. Eliminasi Gauss - Jordan Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan berkebangsaan Jerman yang mempunyai kontribusi besar didalam bidang geometri, teori bilangan, teori fungsi dan teori probabilitas. Dia menemukan cara untuk menghitung lintasan asteroid, membuat penemuan dasar di dalam teori potensial (bidang elektromagnetik), dan orang pertama yang menggunakan telegraf (1833). Karena konstribusinya itu, dia mempunyai julukan “Prince of Mathematics”.

23. Eliminasi Gauss liminasi gauss ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss, metode ini dapat dimanfaatkan untuk memecahkan sistem persamaan linear dengan merepresentasikan (mengubah) menjadi bentuk matriks, matriks tersebut lalu diubah kebentuk Eselon Baris melalui Operasi Baris Elementer. Kemudian sistem diselesaikan dengan substitusi balik.

24. Bentuk Eselon Baris Suatu matriks memiliki bentuk eselon baris jika memenuhi 3 kriteria berikut : Jika didalam baris terdapat elemen-elemen yang tidak semuanya nol, maka bilangan tak nol pertama di dalam baris tersebut adalah 1. K alau ada baris-baris yang semua elemennya bernilai 0 semua, maka baris-baris tersebut harus dikelompokkan dan diletakkan dibagian bawah matriks. Jika terdapat dua baris berurutan yang memenuhi kriteria pertama, maka angka 1 (pertama/utama) dari baris yang lebih rendah berada lebih kekanan dari angka 1(pertama/utama) baris yang diatasnya.

25. Kriteria 1 Dari matriks diatas baris merah dan baris hijau memenuhi kriteria pertama, karena elemen-elemen pada baris merah atau hijau tidak semuanya nol dan bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) di dalam baris tersebut adalah 1. Sedangkan pada baris biru tidak memenuhi kriteria pertama sebab bilangan (elemen) bukan nol pertama (dari kiri) bukan bernilai 1, melainkan bernilai -1.

26. Kriteria 2 Dari contoh diatas, matriks dengan elemen berwarna biru memenuhi kriteria kedua sebab terdapat baris yang semua elemennya 0 dan baris tersebut diletakkan di bagian bawah matriks. Sedangkan pada matriks berwarna merah, masih belum memenuhi kriteria kedua, sebab walaupun terdapat baris dengan elemen-elemennya 0, namun baris-baris tersebut tidak dikelompokkan dan tidak diletakkan di bagian bawah matriks tersebut. Pada matriks merah agar memenuhi kriteria kedua seharusnya :

27. Kriteria 3 Pada matriks hijau sudah memenuhi kriteria ketiga, karena jelas angka 1 pertama (dari kiri) pada baris yang lebih rendah letaknya lebih kekanan dari angka 1 pertama dari baris yang diatasnya.

28. Contoh Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut : Mula-mula kita representasikan sistem tersebut kedalam bentuk matriks (OBE) .

29. Langkah 1 Kita akan membuat 1 pertama pada baris pertama dengan beberapa pilihan operasi : Kita bisa menukar baris ke-1 dengan baris ke-3, dinotasikan R 1 ↔R 3 Dengan mengganti baris ke-1 dengan hasil kali baris ke-1 dengan 1 /2 dinotasikan : 1 /2 R 1 →R 1

30. Dari dua pilihan sebelumnya kita bebas memilihnya, namun kita akan menggunakan pilihan yang pertama

31. Langkah 2 Selanjutnya kita akan menyederhanakan bentuk baris ke-2 dan ke-3 sekaligus yaitu dengan operasi −3R 1 +R 2 ←R 2 sehingga didapat :

32. Kemudian dilanjut dengan operasi −2R 1 +R 3 →R 3 ​

33. Langkah 3 Kita akan membuat 1 pertama pada baris kedua dengan operasi −6R 3 +R 2 →R 2 dan diperoleh :

34. Langkah 4 Kita akan menyederhanakan lagi baris ke-3 dengan operasi 1R 2 +R 3 →R 3 ​

35. Langkah 5 Selanjutnya kita akan membentuk 1 pertama pada baris ke-3 dengan operasi − 1/ 6R 3 →R 3 ​

36. Langkah 6 Selanjutnya kita akan membentuk pada kolom ketiga untuk baris pertama dan baris kedua dengan operasi R 1 -R 3 → R 1  

37. untuk baris kedua dengan operasi R 2 +7 R 3 → R 2  

38. Langkah 7 Selanjutnya kita akan membentuk pada kolom kedua untuk baris pertama dengan operasi R 1 -3R 2 → R 1 Dari hasil OBE diatas maka bisa diambil solusi yakni x = -3, y = 2 dan z = -1  

39. Dalam sistem Persamaan Linear ada kasus dimana kita akan menemukan persamaan dengan Banyak Solusi dengan syarat pada salah satu baris akan muncul semua kolom berisi angka 0 (nol) termasuk pada bagian hasil Tanpa Solusi dengan syarat pada salah satu baris akan muncul semua kolom berisi angka 0 (nol) namun hasil menunjukan nilai selain nol  

40. Latihan: Selesaikan sistem persamaan berikut:

41. Tugas Selesaikan sistem persamaan berikut: 11 x + 4 y - 7 z = 9 7 3 x + y + 18 z = 423 -x + 33 y = 57 9

42. Terimakasih