SPLTV MATERI KELAS X bbbbbbbbbbbbbb.pptx

xfgchvn

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

2. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL Sistem persamaan yang berbentuk: ax + by + cz = d ; dimana a, b, c, dan d adalah konstanta dan a, b, dan c tidak nol disebut “ persamaan linear dalam tiga variabel”. Himpunan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu {(x,y,z)|ax+by+cz = d} adalah suatu bidang datar dalam sumbu-sumbu ortogonal X, Y, dan, Z. Yang mempunyai satu penyelesaian untuk x, y,danz, yaitu (x, y,z). Bentuk umum persamaan linear dengan tiga variabel yaitu:

3.                 a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r  bilangan real                 a, d, g = koefisien dari x                 b, e, h = koefisien dari y                 c, f, i   = koefisien dari z                 p, q, r = konstanta                 x, y, z = variabel ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel yang mempunyai variabel x , y dan z adalah :

4. Untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dapat menggunakan beberapa cara antara lain sebagai berikut : 1. M etode eliminasi 2. Metode s ubsitusi 3. Metode gabungan el iminasi dan subsitusi 4. Metode determinan

5. METODE ELIMINASI Metode ini bekerja dengan cara mengeliminasi ( menghilangkan ) variabel-variabel di dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal . Langkah-langkah : x + y – z = 1 (1) -8x + 3y – 6z = 1 (2) -4x –y +3z = 1 (3) Pertama -tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunya koefisien yang sama ( baik positif maupun negative) untuk variabel yang sama . Misalnya , lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan . Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4). x + y – z = 1 (1) -4x –y +3z = 1 (3) -3x + 2z = 2 (4) +

6. Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z . Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini , kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing . Untuk menghilangkan y , kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1). x + y – z = 1 (1) x 3 3x + 3 – 3z = 3 (1) -8x + 3y – 6z = 1 (2) x 1 -8x + 3y – 6z = 1 (2) -5x + 3z = 2 (5) - Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z . -3x - 2z = 2 (4) x3 -9x + 6z = 6 (4) -5x + 3z = 2 (5) x2 -10x + 6z = 4 (5) x = 2 (6) -

7. -3x + 2z = 2 (4) -3(2) + 2z = 2 -6 + 2z = 2 2z = 8 z = 4 x + y – z = 1 (1) 2 + y – 4 = 1 y = 1- 2 – 4 y = 3 Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4 Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2 . Sekarang kita bisa subtitusikan ( masukkan ) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z . Akhirnya , kita substitusikan ( masukkan ) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y .

8. METODE SUBSTITUSI Contoh : Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut ! 2x + y – z = 3 ....(1) x + y + z = 1 ....(2) x – 2y – 3z = 4 ....(3)   (3 dan 4) → x – 2y – 3 = 4 1 – y – z – 2y – 3z = 4 – 3y – 4z = 3 ....(6) Jawab : Dari persamaan (2) x + y + z = 1 → x = 1 – y – z .... (4) (4 dan 1) → 2x + y – z = 3 2(1 – y – z) + y – z = 3 2 – 2y – 2z + y – z = 3 – y – 3z = 1 y = – 3z – 1 ....(5)

9. (5 dan 6) → -3y – 4z = 3 -3 (-3z – 1) – 4z = 3 9z + 3 – 4z = 3 5z = 0 z = 0 ....(7) untuk z = 0, y = -1, disubsitusikan ke persamaan (2) x + y + z = 1 x – 1 + 0 = 1 x = 2 Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, -1, 0)} untuk z = 0 disubsitusikan ke persamaan (5) y = -3z – 1 y = -3(0) – 1 y = -1

10. METODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI Contoh : Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut! 2x – y + 2z = -1 ....(1) 3x + 2y – z = 10 ....(2) 4x – y – 3 z = - 3 ....(3) Dari persamaan (2) dan (3) 3x + 2y + z = 10│ x 4│ → 12x + 8y - 4z = 40 -4x – y – 3z = -3 │ x 3│ → -12x – 3y – 9z = -9 + 5y – 13z = 31 .... (5) Jawab : Dari persamaan (1) dan (3) 2x – y + 2z = -1 │ x 2 → 4x – 2y + 4z = -2 -4x – y – 3z = -3 │ x 1 → -4x – y – 3z = -3 + -3y + z = -5 .... (4)  

11. Dari persamaan (4) dan (5) -3y + z = -5 │ x 13 │ → -39y + 13z = -65 5 y - 13 z = 31 │ x 1 │ → 5y – 13z = 31 + -34y = -34 .... (5) y = 1 2x – y + 2z = -1 2x – 1 + 2(-2) = -1 2x – 5 = -1 2x = -1 + 5 2x = 4 x = 2 y = 1 disubsitusikan ke persamaan (4) -3y + z = -5 -3(1) + z = -5 z = -5 + 3 z = -2 untuk y = 1, z = -2 disubsitusikan ke persamaan (1) Jadi himpunan penyelesaiannya {(2, 1, -2)}

12. Metode Determinan Persamaan linier 3 variabel : Determinan :

13. Contoh Metode Determinan Tentukan himpunan penyelesaian dari : Jawaban :

14. Persamaan linier 3 variabel : Determinan :

15. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari : Jawaban :

16. Persamaan linier 3 variabel : Determinan :

17. Contoh : ) Tentukan himpunan penyelesaian dari : Jawaban :

18. Persamaan linier 3 variabel : Determinan :

19. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari : Jawaban :

20. Metode Determinan Jadi , Himpunan Penyelesaian :

21. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan cara substitusi : ( i ) 3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . . ( ii ) 4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . . . ( iii ) 2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . . Latihan soal :

22. Penyelesaian : Dari persamaan ( iii ) : 2x – y + z = 7  z = – 2x + y + 7 ( iiia ) Substitusikan ( iiia ) ke ( i ) : 4x + 2y + 2 (– 2x + y + 7 ) = 18  3x + 2y – 4x + 2y + 14 = 18 – x + 4y = 4 ……. ( iv ) Substitusikan ( iiia ) ke ( ii ) : 4x + 3y – 5 (– 2x + y + 7 ) = 17  4x + 3y + 10x – 5y – 35 = 17 14x – 2y = 52  y = 7x – 26 ….. ( v ) Substitusikan ( v ) ke ( iv ) : – x + 4y = 4  – x + 4 ( 7x – 26 ) = 4  – x + 28x – 104 = 4  27x = 108  x = 4 Untuk x = 4 substitusikan ke ( v ) diperoleh nilai y y = 7x – 26  y = 7.4 – 26 = 28 – 26 = 2 Untuk x = 4 dan y = 2 selanjutnya substitusikan ke ( iii ) diperoleh nilai z. 2x – y + z = 7  2.4 – 2 + z = 7  8 – 2 + z = 7  z = 1 Jadi penyelesaiannya adalah ( 4 , 2 , 1 ).

23. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan cara eliminasi dan substitusi : 3x + 2y + 2z = 18 . . . . . . . . . . . . . ( i ) 4x + 3y – 5z = 17 . . . . . . . . . . . . . ( ii ) 2x – y + z = 7 . . . . . . . . . . . . . ( iii )

24. Penyelesaian : Kita harus tentukan salah satu variabel yang akan kita eliminasi , misalkan variabel z. ( i ) 3x + 2y + 2z = 18 |x1| 3x + 2y + 2z = 18 ( iii ) 2x – y + z = 7 |x2| 4x – 2y + 2z = 14 ------------------ – – x + 4y = 4 ( iv ) ( ii ) 4x + 3y – 5z = 17|x1| 4x + 3y – 5z = 17 ( iii ) 2x – y + z = 7|x5 | 10x – 5y + 5z = 35 ------------------- + 14x – 2y = 52 ( v ) Dari persamaan ( iv ) dan ( v ) didapat : ( iv ) – x + 4y = 4 |x1| – x + 4y = 4 ( v ) 14x – 2y = 52 |x2| 28x – 4y = 104 -------------- + 27x = 108  x = 4 Untuk x = 4 selanjutnya disubstitusikan ke ( iv ) – x + 4y = 4  – 4 + 4y = 4  y = 2 Untuk x = 4 dan y = 2 disubstitusikan ke ( iii ) 2x – y + z = 7  8 – 2 + z = 7  z = 1 Jadi penyelesaiannya ( 4 , 2 , 1 )