Statistical Fundamentals for Semiconductor Manufacturing and Engineering

本课件为《半导体制造与统计工程》第二章，系统讲解概率与统计在工程中的应用基础，主要内容包括：

常用概率分布：均匀分布、指数分布、正态分布、三角分布、伽马分布、爱尔朗分布等连续分布；伯努利、二项、泊松、几何、负二项等离散分布；以及卡方分布、t分布、F分布等复杂分布。

统计推断方法：参数估计、置信区间构建（均值、方差、比例等）。

假设检验：包括单样本与双样本均值检验、方差检验、两类错误分析、检验效能等。

应用背景：紧密结合半导体制造过程中的质量控制和过程分析，适用于工程类、统计类课程教学。

关键词：概率分布、假设检验、置信区间、统计推断、质量工程、半导体制造

1. 1 本 PPT 仅为学校课堂教学或者科学研究目的，供学校内部教学或科研人员使用，但不得以营利为目的使用，不得出版、出售、赠与或其他方式向公众提供本 PPT 的原件或者复制件

2. 统计过程 控制 STATISTICAL PROCESS CONTROL

3. 统计过程控制简介 什么是过程？ AT&T 的 Shewhart （休哈特）： 共同作用产生某个特定结果的任何一组条件或 因素 可以应用于任何有意义的活动， 比如制造、工程、市场、会计、管理、检测、计划、采购、维护 什么是控制？ Shewhart ： 为了当前的某个目的，如果我们利用过去的经验，能够在一定范围之内预测一个现象在未来会如何变化，那么我们就说这个现象是受控制 的 制造系统必须是稳定的、可重复的、高质量的可以生产规定性能的产品 所有参与者必须持续努力改进制造过程的产出并 减少变化性 减少变化性很大程度上可以通过严格的过程控制实现 统计过程控制 (SPC) 实现过程稳定并减少变化性的有力工具，其中最先进的方法就是 控制图 1924 年 Shewhart 发明了控制图 3 让数据说话

4. 控制图 （ Control Chart ） 一种检验过程是否处于统计控制状态的图形 中心线、上下控制线、测量值 图中的每个点都是 多次测量 的结果 表现 周期、趋势、反常、偏离等 模式 判定控制状态 / 失控状态 : 有没有超限或特定趋势 目的 定义过程 达到的目标或标准 达到目标的工具 两种类型的数据 变量 Variable: 产品质量特性的数据 对应 变量控制图 属性 Attribute ：非质量数据，比如缺陷比例、合格 / 不合格等，对应 属性控制图 4 引起变化的原因： 普遍原因：内在的、固有的，引起随机变化 特殊原因：外部的、突发的、间断的 这些原因容易从控制图中读出来

5. 三种类型 - R 图： R 是极差 = 最大值 - 最小值 - S 图： S 是标准差 X - R 图：测量受到限制时，每一个 点只代表一次测量 - R 图的构成及实质 从置信区间的角度： 如果一个质量 特征参数是正态分布的，假设已知  和  ， 那么大小为 n 的样本均值也是正态分布的， 其均值为  ，标准差为 ，那么一个 样本均值位于 区间内的概率是 (1-  ) 。通常取 3  ，即 z = 3 ，这就是控制图的上下限 从假设检验的角度： 实际上反复执行如下的假设检验   变量控制图的实质 5

6. 举例：变量控制图（以 - R 为例）   创建控制图的步骤 （数据在下一页） Step 1. 确定分组大小 n ： n = 4 – 5 ； 计算控制限时，分组数目 k = 20 – 25 Step 2. 在表格里记录每组样本的观测值，计算均值和极差 Step 3. 计算 k 个分组平均值的平均值 Step 4. 计算 k 个分组的极差的平均值 Step 5. 计算控制界   6 对 图： 中心线 CL = 控制上限 UCL = 控制下限 UCL = 对 R 图： 中心线 CL = 控制上限 UCL = 控制下限 UCL = 公式中的 A 2 , D 3 , D 4 是系数，由分组大小 n 决定，可以查表 6. 构造控制图 7. 根据图形模式进行解读 创建 - S 图和 X - R 图 的方法类似 采样频率、控制界限和方框里的值都不是轻意给的，背后有严格的统计学依据   UCL 和 LCL 实际上是构建了一个置信区间，或者说，一直进行假设检验！

7. 举例：以修剪引线长度（ Lead Dimension ）为例 7 从图中可以看出第 3 到 5 点进入 C 区，检查发现，引线粘接到裁刀上，修复后正常

8. 理解控制图 过程在“控制之中” 大约三分之二的点将落在中心线附近 一些点将接近控制界限 这些点将落在中心线两侧 中心线两侧的点数将保持平衡 控制界限之外没有点 如果我们统计所有的点，并把它们画在图的一侧，将形成一 个近似的对称分布 8 过程“失去控制”（都是 原则性定义 ） 有 点落在了它的控制界限之外 ， 意味着过程受到 特殊 原因 所扰乱 ：最简单的判断 过程呈现 非自然模式 ，比如多个点连续在中线以下或以上，预示过程可能或潜在处于失控状态 非自然模式（ nonnatural ）又称非随机（ nonrandom ）模式 控制图呈现的信息远远不止如此

9. 西部电子质量控制手册：判定非自然模式的一组规则 （ 1 ） 任一单个点处于 3  控制限之外 （ 2 ） 3 个连续点中有 2 个处在 2  警示限之外（ A 区） （ 3 ） 5 个连续点中有 4 个处于 1  警示限之外（ B 区） （ 4 ） 9 个连续点处在中心线同侧 （ 5 ） 6 个连续点持续增加或减少 （ 6 ） 14 个连续点交替上升和下降 （ 7 ） 15 个连续点处于 C 区的两侧 9 以上规则分别应用于 6 种模式， 用于判别 可能的、潜在的失控行为

10. AMD-SPC 规范的一部分：判定特殊原因（非自然模式） 10

11. 的解读   表明过程的中心，给出分布的平均值 中心发生移动，图的模式也会改变 举例： 一个镀金过程：最终的原因仪器损坏，维修后恢复。 注意： R 图没有受到影响。 这类变化只影响平均值，不影响宽度，比如改变引线焊接机的设置、电镀槽的温度等 11

12. 什么导致偏离？ ：铝引线抗拉强度 -R 图 第 8 个 - 第 16 个点连续下跌，但 R 图正常。经检查，原因是铝废料附着在焊接工具上，清洗后正常。 注意 第一、 图的模式是对 某 种原因的反映，这种原因对所有产品的影响是立刻的，或者是以相同的方式进行的 第二、 最常见的原因类型 ： 在机器设置、材料、操作员、检查、测试设备、过程参数、环境等方面的改变将立即干扰图的自然模式 第三、 控制图的模式变化无法告诉我们到哪里去检查或者原因是什么，但是它能告诉我们什么时候去寻找问题   12

13. R 图的解读 极差 R 图衡量过程的均匀性并对变化的幅度或范围的改变做出反应 当一个过程保持不变， R 图将会呈现一个自然的模式，表明过程的均匀性 过程的均匀性由 R 图数据的幅度来反映，幅度越小，过程就越好 什么改变了 R 图模式 影响 R 图的原因具有另一个共同特性， 即 它们能够对产品的一部分施加不同于对产品的其余部分的影响。 比如 测试装置不稳定 、 机器 内部 的轴承 磨损等 R 图对许多类型的原因是非常敏感的，它是发现混合、反常和交互等的最好方法 操作员或者检查员疲劳或者缺乏训练 从供应商接收到的材料不合格 设备没有得到很好的维修 ， 测试设备不稳定 把不同批次的产品混在一起等 ， 例如， 当零件表面是 “ 粗糙的 ” 或 “ 光滑的 ” 时候，镀金过程的表现是不同的 13

14. 属性控制图 为什么要用属性控制图？ 变量太多，数以千计，不经济，不现实，不需要 转化为简单的合格 / 不合格 一个属性图可以用到多个质量特性 控制图类型 p 图： 代表缺陷单元在总数中所占的比例， 也就是缺陷部件的比例 , 或者不合格率。 在辨别特殊变化原因时，该图是最灵敏的第三种控制图 np 图：用于缺陷单元数的控制图 c 图：用于缺陷数的控制图 u 图：用于每单元缺陷数的控制图 14 二项分布 n 次相互独立的试验中获得 x 次成功的概率 p 是成功率或不合格率：缺陷单元在总数中所占的比例 概率公式 分布参数 均值： 方差： p 的估计 ，其中 d 是不合格数， n 是总数    

15. p 图的构成 p 图构成 中心线 （ ） 代表过程的缺陷比例的平均值 p 图上的控制界限通常为  3  ， 即 注意：上下限与 n 有关系，允许分组的样本数不一样（因为要保证每组都有至少一个不合格），每个分组有自己的上下限 步骤 Step 1. 确定 每个 分组的 最小 样本 数： 其中 是估计的平均缺陷率， 2.3 是一个常数，表示在 90% 的时间里至少有一个有缺陷的零件。 Step 2. 从过程中进行随机抽样，根据规格对抽样进行检查，得到缺陷单元的 总 数目   15 Step 3. 计算每个分组的缺陷率（ p i ） Step 4. 计算缺陷率的平均值 ， 作 为控制图的中心线 Step 5. 计算控制上限（ UCL ）和控制下限（ LCL ） 如果下限为负，则不设下限。由于是二项分布， 就等于根号部分 Step 6. 构造控制图 ，对 模式进行解释    

16. 举例： 属性图的解读 共同点： p 图、 np 图、 c 图和 u 图等 具有 相同的解释特性 属性控制图反映的是过程总体的状况和趋势！ 属性控制图可以表示一个单独的属性，也可以表示多个特性的组合 举例： 用于开短缺陷分析的 c 图（总图） 开短缺陷有 7 种类型：引线偏移 / 短路、电性过压 / 静电损害、全球脱落、裸片可见缺陷、引线未焊接、引线断裂、无明显缺陷等。 16 缺陷 c 图总图没有任何问题 真没有问题吗？

17. 7 种缺陷类型的分 c 图 17

18. 累计 计数 控制图（ CCC ） Thomas W. Calvin 提出 ，用来控制低 ppm 质量水平的过程 在控制图上画出 合格单元的数量 ，而不是不合格单元的数量 基 础是 几何分布 ： 一个不合格单元预期出现之前合格单元的累积数目 控制图参数 可以依据几何分布确定 控制图可以在半对数纸上构造 ： 垂直轴采用对数尺度，表示累积计数值 ， 水平轴采用线性尺度，表示时间段，比如天、周、月等 累计计数，直到出现一例缺陷 18 回顾几何分布 : 检测多少个部件才能发现第 1 个不合格部件？

19. 举例：构建 CCC 图的步骤 Step 1. 对将要用 CCC 图控制的过程缺陷率（ ）进行初步估计。 Step 2. 选择  ， 表示 一个点 可能 落在界限之外的概率。 注意： 在传统的 p 图中 ，对应 3  界限 ，  = 0.0027 。在应用 CCC 图的时候，经常用到  = 0.01 ， 意味着即使在过程正常运行的时候，仍然有 10 % 的概率有一个点落在界限之外。 Step 3. 确定平均运行长度 ， 表示在发现一个新的不合格项目之前，必须检测的项目的期望数目 : Step 4. 确定中心线（ CL ） : Step 5. 确定控制上下限： ， Step 6. 利用上面计算的参数在半对数纸上构造控制图。对数的垂直轴用于累积计数值（ n ），而线性水平轴用于绘制停止值 n  的序列。   19

20. CCC 图的解读 序号 解 读 1 如果累积线在通过控制下限之前中断（由于发现了一个不合格的项目），表明过程失去控制 2 如果 5 个或更多被中断的线连续地低于中心线，这也表明过程是不稳定的 3 任意超过控制上限的线，或者 5 个或更多被中断的线连续穿过中心线，表明过程得到了显著的改进 20

21. 预控制技术（ Pro-Control ） 在缺陷发生前就防止缺陷的发生 步骤 把容差范围分为 3 个区域：目标和警示区 检验过程是否合格：只要对系统做出改变，比如采用新设备、新材料，需要连续检测 5 个单元（ 见下页流程图 1 ） 对合格的过程进行定期检测：抽取两个单元，只有当两个单元都落在警示区域（黄色）或者任意一个落在红区，则对系统进行检查（ 见下页流程图 2 ），否则保持原状。 定期检测采样频率： 有很好的经验数值 和 风险 风险： 得到调整风险，实际上并不需要， 2% 风险： 制造出不合格产品，但没有得到信号， 1% - 2% 21 根据正态分布的假设计算：  = 标称值，容差限 =  3 σ

22. 预控制技术的两个步骤 合格性检验流程图 22 预控制流程图 只有当两个单元都落在警示区域（黄色）或者任意一个落在红区，则对系统进行检查 只要对系统做出改变，比如采用新设备、新材料，就需要进行合格性检验

23. 预控制技术举例 23 一个 6  过程的预控制 预控制判定规则

24. 控制图方面的更多研究 分组的样本容量和抽样频率 控制图反映的模式的更多更深入的解读 其他形式的控制图 低 ppm 质量水平下的控制图，达到接近完美的水平 多变量图（ Multi-variable charts ） ： 揭示不同时刻元件内部、元件之间以及来自测量的变化和波动，我们把精力集中在最重要的领域 平均移动控制图 在线控制图 24

25. 本章结束，谢谢聆听！ 25