Sucesiones, sumatorias y progresiones

Investigación de matemática

1. Universidad de Oriente Núcleo Monagas Departamento de ciencias sociales Matemática I Profesora: Milagros Coraspe Alumno(a): Rosa Rondón 26.975.649 Sección “41’’ SUCESIONES, SUMATORIAS Y PROGRESIONES (ARITMETICAS Y GEOMETRICAS)

2. Introducción En esta presentación se darán a conocer las diferentes definiciones y tipos de sucesiones, sumatorias y progresiones. Su método o fórmula que se necesita para tener presente los resultados que obtendremos en posiciones definidas.

3. Sucesiones Una sucesión ( o progresión) es una lista de números en un orden específico. Por ejemplo: 2, 4, 6, 8, 10 forman una sucesión . Esta sucesión se denomina finita por que tiene un ultimo numero. Si un conjunto de números que forman una sucesión no tiene ultimo numero, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo : en una sucesión infinita; los tres últimos puntos indican que no hay último número en la sucesión. Como el cálculo trata con sucesiones infinitas, la palabra sucesión en este texto significará sucesión infinita. Se iniciara el estudio de esta sección con la definición de función sucesión. Una función sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto { 1, 2, 3, 4, ….., n, ….} de todos los números enteros positivos. Los números del contra dominio de una función sucesión se denominan elementos. Una sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden .

4. Finita o infinita Si la sucesión sigue para siempre, es una  sucesión infinita , si no es una  sucesión finita En orden Cuando decimos que los términos están "en orden", (nosotros somos los que decidimos   qué orden ) Podría ser adelante, atrás o alternando. Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos  en orden  (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces ). Ejemplo : {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la  sucesión  que alterna 0s y 1s. El  conjunto  sería sólo {0,1} La regla Una sucesión sigue una  regla  que te dice cómo calcular el valor de cada término. Ejemplo : la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez: Notación Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así: xn es el término n es la posición de ese término Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir :  x 5

5. Tipos de sucesiones Sucesiones aritméticas Una sucesión  aritmética  es aquélla en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. La fórmula para el término general de una sucesión aritmética  es an + b, en donde a y b son constantes, y n es el número del término deseado. Sucesiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón. Sucesiones especiales Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … Esta sucesión se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo.  Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el siguiente número de la sucesión . Números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, … El siguiente número se hace elevando su posición al cuadrado.  El segundo número es 2 al cuadrado (2 2  o 2×2). El séptimo número es 7 al cuadrado (7 2  o 7×7) etc. Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, … El siguiente número se calcula elevando su posición al cubo.  El segundo número es 2 al cubo (2 3  o 2×2×2). El séptimo número es 7 al cubo (7 3  o 7×7×7) etc.

6. Sumatorias El   sumatorio o   sumatoria  (también conocido como  operación de suma ,  notación sigma  o  símbolo suma ), es una notación matemática que permite representar sumas de muchos sumandos,  n  o incluso infinitos sumandos, evitando el empleo de los puntos suspensivos o de una explícita notación de paso al límite. La operación  sumatoria  se expresa con la letra griega sigma mayúscula  Σ,  y se representa así: Expresión que se lee: "   sumatoria  de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n  ". i es el valor inicial, llamado límite inferior. n es el valor final, llamado límite superior. Pero necesariamente debe cumplirse que : i ≤ n Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

7. Por sumatoria se entiende la suma de un conjunto finito de números, que se denota como sigue: Donde : S : magnitud resultante de la suma. T : cantidad de valores a sumar. k : índice de la suma, que varía entre h y h+t h : punto inicial de la sumatoria h+t : punto final de la sumatoria nk : valor de la magnitud objeto de suma en el punto k Un tipo particular de sumatoria de gran importancia lo es el caso cuando t→ ∞ , que se conoce como serie y se representa de la manera siguiente:

8. Propiedades de las sumatorias La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable . La sumatoria hasta N de una constante, es igual a N veces la constante . La sumatoria de una suma es igual a la suma de las sumatorias de cada término . La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de cada término . La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.

9. Los sumatorios tienen unas reglas, que han de cumplirse, a la hora de realizar las operaciones. Regla 1 : El sumatorio de una suma, es igual a la suma de las sumatorias de cada término. Es decir, que es lo mismo sumar primero los términos (que pueden ser datos que nos dan) y hacer luego el sumatorio, que realizarlo por separado, para cada uno de los términos. Regla 2 : La suma del producto de una constante por una variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable. Dicho de otra forma, que si tenemos una constante K multiplicando al sumatorio, podemos sacarla para fuera ( como factor común, que en realidad, lo es). Regla 3 : El sumatorio de n veces una constante, es igual a N veces esa constante. Si K es 3, sumar 3 20 veces, es lo mismo que multiplicar 3×20.

10. Regla 4 : El sumatorio de un producto, no es igual al producto de los sumatorios de cada término. Regla 5 : El sumatorio de los cuadrados de los valores de una variable, no es igual al sumatorio de la variable elevada al cuadrado . Por ejemplo, no es lo mismo sumar 1+2^2+3^2 = 1+4+9 =14 que hacerlo con 1+2+3=5 y elevarlo al cuadrado, que nos daría: 25.

11. Progresiones Aritméticas y Geométricas Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas. Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R .

12. Progresiones aritméticas Una  progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión a n  , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a 1 a n  = a 1  + (n - 1) d . a n : término general n : numero de términos a 1 : valor del primer término d : diferencia Por ejemplo La  sucesión matemática 3, 5, 7, 9,… es una progresión aritmética de diferencia constante 2, así como 5, 2, −1, −4,… es una progresión aritmética de diferencia constante −3. En conclusión, u na  progresión aritmética, de esta forma, se compone de una serie de números que tienen una diferencia constante cuando son sucesivos dentro de la secuencia en cuestión.

13. Suma de los términos de una progresión aritmética. Para determinar la  suma  de un número finito de términos de una progresión aritmética , denotada por a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-2 , a n-1 , a n , basta con considerar el principio de que los pares de términos a 1  y a n , a 2  y a n-1 , a 3  y a n-2 , etcétera, son  equidistantes , de manera que todos estos pares suman una misma cantidad . Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a: Ejemplo Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 8 , 3, -2, -7, -12, ... Solución:

14. Interpolación de términos en una progresión aritmética Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros m términos, llamados  medios diferenciales , de manera que todos ellos integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b sean los extremos. La diferencia de esta progresión se determinará con arreglo a la siguiente fórmula : Ejemplo Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12 . 8 ,     3, -2, -7  ,    -12 .

15. Progresiones geométricas Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas  progresiones geométricas . Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como  razón . Dicho de otro modo, en una  progresión geométrica  el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r , que se llama razón de la  progresión . Ejemplo La sucesión 3,6,12,24,48,...... es una progresión geométrica de razón 2. La sucesión 0,0.1,0.01,0.001,...... es una progresión geométrica de razón 0.1. La sucesión 1,1/4,1/16,1/64,....... es una progresión geométrica de razón 1/4 . El término general a n  de una progresión geométrica puede escribirse como: a n  = a 1  ×  r n-1 a n : término general r: razón a 1: valor del primer término n: número de términos

16. Dentro del ámbito de la citada progresión geométrica, tenemos que exponer que existe lo que se da en llamar interpolación de términos . Este se usa para definir lo que es la construcción de una progresión geométrica que se identifique por el hecho de que sus extremos tenga números dados. Así, por ejemplo, se establece que hay que interpolar tres números entre el 3 y el 48 el resultado estará conformado por el 6, el 12 y el 24. ¿ Cómo se puede calcular esa interpolación? Básicamente llevando a cabo la siguiente fórmula: r = m+1 √b/a En esa fórmula, m corresponde al número de medios que hay que interpolar y tanto b como a son los números que se sitúan en los extremos. Así, en el ejemplo dado anteriormente, m sería el número 3, b sería 48 y a sería el 3 . De la misma manera, se pueden llevar a cabo otra serie de operaciones matemáticas con lo que es cualquier progresión geométrica. En concreto, se puede proceder a la suma de un número determinado de los términos consecutivos en una citada progresión cualquiera, y también incluso si esta es decreciente. La suma de los términos de la progresión es igual al último término por la razón menos el primer término dividido por la razón menos 1.

17. Conclusión Se han obtenido conjuntos de números cuyos términos cumplen una determinada regla, lo que nos permite encontrar otros términos de manera única. Es decir, se puede determinar cuál es el primer término, cuál es el segundo y así sucesivamente . Una sucesión aritmética (o progresiones aritméticas) es una sucesión de números  tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo . La sumatoria se emplea para representar la suma de muchos o infinitos sumandos. Una sucesión geométrica (o progresiones) es una sucesión de números  tal que cada término se obtiene multiplicando al anterior por un número fijo .

18. Bibliografías http:// matematica.50webs.com/sucesiones.html http :// www.hiru.eus/matematicas/progresiones-aritmeticas-y-geometricas http:// matematica.laguia2000.com/general/sumatorio