Suma,resta,multiplicacion y division matematicas.

UNA DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS FUE LA SUMA; QUE FUE UTILIZADA PARA RESOLVER PROBLEMAS CONCRETOS,PUESTO QUE NO HABÍA LLEGADO A UN GRADO SUFICIENTE DE ABSTRACCIÓN MATEMÁTICA.

1. N O R M A L S U P E R I O R D E L S U R D E T A M A U L I P AS. NORMALISTA: FERNANDO EMMANUEL MARTÍNEZ MARTINEZ. CATEDRÁTICO(A): PROFA. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA. MATERIA: LOS NUMEROS Y SUS RELACIONES.

2. Operaciones aritméticas Clasificación Operaciones de composición o directas: Suma Multiplicación Potenciación Operaciones de descomposición o inversas: Resta División Radicación Logaritmación

3. suma Suma de conjuntos: “ sumar dos o mas conjuntos, que no tienen elementos comunes, es reunir En un solo conjunto todos los elementos que integran los conjuntos dados y solo ellos”. Ejemplo: AB, CDE, EF = ABCDEF Suma de números naturales: “suma de varios números naturales es el numero cardinal del conjunto suma de los conjuntos cuyos números cardinales son los números dados”. Ejemplos: 2+4+3=9

4. Casos particulares de la suma Sumando unidad veamos el siguiente ejemplo: 1 silla + 1 silla + 1 silla = 3 sillas 1 pera + 1 pera + 1 pera = 3 peras Sumando nulo. Modulo de adición. un ejemplo de ello es: n + 0= n

5. Leyes de la suma Ley de la uniformidad Ley conmutativa Ley asociativa Ley disocositiva

6. Ley de uniformidad Esta puede enunciarse de tres modos que son equivalentes: 1)La suma de varios números dados tiene un valor único siempre es igual. ejemplo: 3 monedas + 2 monedas = 5 monedas 3mangos + 2 mangos =5 mangos 2)Las sumas de los números respectivamente iguales son iguales. Ejemplo: si en cada ala de un colegio cada asiento seta ocupado por un alumno de tal modo que ningún alumno queda sin asiento, tenemos que el numero de asientos es igual a la cantidad de alumnos. 3)Suma de iguales. Sumando miembro a miembro varias igualdades, resulta una igualdad. Ejemplo: a=b c=d m=n Resulta a + c + m = b + d + n

7. Ley conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma. Si en la suma 2 libros+ libros+ 4 libros = 9 libros Cambiando el orden de los conjuntos sumandos, el conjunto suma no varia, por que contiene el mismo número de elementos y así tenemos: 3 libros + 2 libros + 4 libros = 9 libros 4libros + 3libros + 2 libros = 9 libros Por lo tanto podemos decir que: 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 , etc.

8. Ley disociativa La suma de varias números no se alterna descomponiendo uno o varios en dos o mas sumandos. Esta ley es reciproca a la ley asociativa. Ejemplo: En la suma 10 3, puesto que 10 = 8 + 2, tendremos que: 10 + 3 = 8 + 2 + 3

9. Paréntesis: Su uso como signos de agrupación: Los paréntesis son signos de asociación o agrupación, pues se usan para asociar o agrupar los números indicados una operación. Cuando una operación se encierra en un paréntesis, ello indica que dicha operación debe efectuarse primero, y en el resultado de ella se verifica la otra operación indicada . ( ) llamados paréntesis ordinarios { } ¨ ¨ llaves __ vinculo o barra. [ ] ¨ ¨ corchetes

10. Ley asociativa La suma de varios miembros no baria sustituyendo varios súmanos por su suma. Si A tiene 5 años, B 6 años y C 8 años, sumando edades tenemos: 5 años+6años+8años=19años Sera el mismo resultado si primeros sumamos las dos primeras edades y después la tercera lo cual seria de la siguiente manera: (5 años + 6 año) + 8 años=19 años 11 años

11. Suma de iguales o desiguales Ley de monotonía: Sumando miembro a miembro desiguales del mismo sentido con igualdades resulta una desigualdad del mismo sentido. Sumando miembro a miembro varias desigualdades del mismo sentido, resulta otra desigualdad del mismo sentido. Nota: si se suman desigualdades de sentido contrario, el resultado no puede anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad.

12. Pruebas y comprobaciones *por la ley conmutativa *por la ley asociativa *por la prueba del 9 Alteraciones de los sumandos Si un numero aumenta o disminuye un numero cualquiera, la suma aumenta o disminuye el mismo numero. Si un sumando aumenta un numero cualquiera y el otro sumando disminuye el mismo numero, l a suma no varia.

13. RESTA O SUSTRACCION . Objetivo: Dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia).

14. Pruebas: 1)Sumando el sustraendo con la diferencia, debiendo dar el minuendo. 2) Restando la diferencia del minuendo, debiendo ser el sustraendo. 93,254 58,076 35, 178 58,076 35,178 93,254 15,200 13,896 1,304 15,200 1,304 13,896

15. Representación grafica. Representar gráficamente la diferencia de 7 – 4. Representación grafica.

16. Leyes de la resta: Ley de uniformidad: La diferencia de dos números tiene un valor único o siempre es igual. 11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único número que sumado con 3 da 11. Restando miembro a miembro dos igualdades resulta otra igualdad. a=3 ___5=b__ a-5=3-b

17. Ley de monotonía: consta de tres partes. 1) Si una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad minuendo. 8>5 ____2=2____ 8-2>5-2 6>3

18. 2) Si una desigualdad (minuendo) se resta una igualdad (sustraendo), siempre que la resta se pueda efectuar resulta una desigualdad de sentido contrario que la desigualdad sustraendo. 9=9 ____5>3____ 9-5<9-3 4<6

19. 3) Si una desigualdad se resta otra desigualdad de sentido contrario, siempre que la resta sea posible, resulta una desigualdad del mismo sentido que la desigualdad del minuendo. 7>4 ___2<3___ 7-2>4-3 5>1

20. Alteraciones del minuendo y el sustraendo. 1) Si el minuendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en el mismo número. 9-7=2 (9+3)-7=2 + 3 12-7= 5

21. 2) Si el sustraendo aumenta o disminuye un número cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo el mismo número. 10-3=7 10-(3+5)= 7 – 5 10-8= 2

22. 3) Si el minuendo y el sustraendo aumenta o disminuyen a la vez un mismo número, la diferencia no varía. 15-6=9 (15+2)-(6+2)=9 17-8=9

23. Operaciones indicadas de suma y resta. Se verán las operaciones indicadas de suma y resta primero desde un punto de vista practico y luego bajo un aspecto teórico. operaciones indicadas de suma y resta en que no hay signo de agrupación Estas operaciones se efectúan en el orden que se hallan Asi que diremos que : 5+4-3+2 = 5+4= 9; 9-3= 6; 6+2= 8

24. Operaciones en que hay signos de agrupación.. Las operaciones cerradas dentro de los paréntesis, hasta convertirlas en un solo numero y luego efectuar las operaciones que queden indicadas. Se efectúan primero las operaciones encerradas entre los paréntesis. (7-2) + (5+4) –(3-2) = 13

25. Teoría … Estudiaremos ahora el método de efectuar las operaciones indicadas de suma y resta, fundado en las propiedades de la suma y la resta. Es necesario conocer este método porque si las cantidades están representadas por letras no podemos efectuar las operaciones encerradas en los paréntesis y por tanto no se puede aplicar el método explicado anteriormente.

26. Suma … Suma de un numero y una suma indicada. Para sumar un numero con una suma indicada el numero con uno cualquiera de los sumandos de la suma. Sea la operación (2+3+4)+5, decimos que : (2+3+4 )+5=2+(3+5)+4=14 En efecto: al sumar el numero 5 con el sumando 3, la suma (2+3+4) queda aumentada en unidades porque si un sumando se aumenta en un numero cualquiera la suma queda aumentada en dicho numero.

27. Suma de dos sumas indicadas Para sumar dos sumas indicadas se suman todos los sumandos que la forman . Sea la operación (5+6) +(7+8), decimos que: (5+6)+(7+8)= 5+6+7+8=26 En efecto: al añadir la suma 7+8 al sumando 6 de la primera, esta suma queda aumentada en 7 +8 unidades por la misma razón del caso anterior.

28. Suma de un numero y una diferencia indicada Para sumar un numero con una diferencia indicada, se suma el numero con el minuendo y de esta suma se resta el sustraendo. Sea la operación (7-5)+4, decimos que: (7-5)+4=(7+4)-5=11-5=6 En efecto: al sumar el numero 4 al minuendo, la diferencia 7-5 queda aumentada en 4 porque hemos visto que si el minuendo se aumenta en un numero cualquiera, la diferencia que aumentada en ese numero.

29. Suma de diferencias indicadas Para sumar dos o mas diferencias indicadas, se suman los minuendos y de esta suma se resta la suma de los sustraendos. Sea la operación (8-5)+(6-4), decimos que: (8-5)+(6-4)= (8+6)-(5+4) = 14-9=5 En efecto: al sumar el minuendo 8 el minuendo6, la diferencia (8-5) que da aumentada en 8 unidades, pero al restar el sustraendo 6 queda disminuida en 6 unidades, luego si la suma (4+5) aumenta 8 y disminuye 6 aumenta 2 que es la diferencia 8-6

30. Resta .. Resta de un numero y una suma indicada Para restar de un numero una suma indicada, se restan del numero, uno a uno, todos los sumandos de la suma. Sea la operación 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16 En efecto: si 25 se disminuye primero en 2, después en 3 y luego en 4, queda disminuido en 9 unidades que es la suma 2+3+4.

31. Resta de una suma indicada y un numero Para resta de una suma indicada y un numero, se resta el numero de cualquier sumando de la suma. Sea la operación (4+5+6)-3, probar que: (4+5+6)-3=(4-3)+5+6=12 en efecto: al restar el 3 de uno de los sumandos de la suma, esta queda disminuida en 3 unidades.

32. Resta de un numero y una diferencia indicada Para restar de un numero una diferencia indicada, se suma el sustraendo con el numero y de esta suma se resta el minuendo Sea l a operación 50-(8-5), que decimos que : 50-(8-5)= (50+5)-8=47 En efecto: sabemos que si al minuendo y al sustraendo de una diferencia se sum a un mismo numero, la diferencia no varia. Añadiendo 5 al minuendo y al sustraendo de la diferencia 50-(8-5), tenemos. 50-(8-5)= (50+5)-(8-5+5) = (50+5)-8 por que si al 8 restamos 5 y le sumamos 5 queda 8

33. Resta de una diferencia indicada y un numero Para restar de una diferencia indicada un numero, se resta del minuendo la suma del sustraendo y el numero. Sea la operación (15-7) -6, decimos que: (15-7) -6=15-(7+6)=15-13= 2 En efecto: al sumar 6 con el sustraendo 7, la diferencia 15-7 queda disminuida en 6 unidades porque si al sustraendo se suma un numero cualquiera. La diferencia queda disminuida en este numero.

34. Resta de dos sumas indicadas Para restar dos sumas indicadas se restan de la primera suma, uno a uno, todos los sumandos de la segunda suma. Sea la operación (4+5)-82+3)= 4+5-2-3=4 En efecto: si de la suma (4+5) restamos primero 2 y después 3, esta suma queda disminuida en 5 unidades que es la suma 2+3.

35. Resta de dos diferencias indicadas Para restar dos diferencias indicadas, se suma el minuendo de la primera con el sustraendo de la segunda y de esta suma se resta del sustraendo de la primera con el minuendo de la segunda. Sea la operación (8-1) –(5-3)=(8+3)-(5+1)= 11 -6=5 En efecto: al sumar el sustraendo 3 con el minuendo 8 la diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda disminuida en 5 unidades; luego si (8-1) aumenta 3 disminuye 5, en definitiva disminuye 2, que es la diferencia 5-3

36. Resta de una suma y una diferencia indicada. Para restar de una suma una diferencia indica, se suma el sustraendo con la suma indicada u de esta suma se resta el minuendo. Sea la operación (8+4)-(3-2), probar que: (8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3= 14-3=11 En efecto: al sumar el sustraendo 2 con la suma (8+4) esta suma queda aumentada en 2 unidades, pero al restar el minuendo 3 disminuye 3 unidades, luego si aumenta 2 disminuye 3 , disminuye 1 unidad que es la diferencia (3-2)

37. Casos particulares. La suma de dos números mas su diferencia en igual al doble del mayor. Sean los números 8y 5, decimos que : (8+5 )+(8-5)=2x8= 16 En efecto : sabemos que para sumar una suma con una diferencia, se suma el minuendo de la diferencia con uno de los sumandos de la suma y de esta suma se resta el sustraendo, luego : (8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-5=8+8= 2x8

38. La suma de dos números menos su diferencia es igual al doble del menor Sean los números 8 y 5, decimos que: (8+5)+(8-5)= 2x5=10 En efecto: sabemos que para restar de una suma una diferencia se suma el sustraendo con la suma y de esta suma se resta el minuendo, luego : (8+5)-(8-5)=8+5-5+8= 5+5+8-8= 5+5= 2x5

39. COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número es la diferencia entre dicho número y una unidad de un orden superior a su cifra de mayor a menor. 1) El complemento aritmético de 98 es 100-98 = 2 2) El complemento aritmético de 356 es 1000-356 = 644 3) El complemento aritmético de 1,250 es 10,000-1,250 = 8,750 4) El complemento aritmético de 14,200 es 100,000-14,200 = 85,800

40. REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL COMPLEMENTO DE UN NÚMERO Se resta de 9 todas las cifras del número, empezando por la izquierda, menos la última cifra significativa, que se resta de 10. si el número termina en ceros, a la derecha de la última resta se escriben estos ceros.

41. EJEMPLOS: 1) Hallar el complemento aritmético de 346. diremos: de 3 a 9 = 6 ; de 4 a 9 = 5 ; de 6 a 10 = 4 , luego el complemento aritmético de 346 es 654. 2) Hallar el complemento aritmético de 578, 900. diremos: de 5 a 9 = 4 ; de 7 a 9 = 2 ; de 8 a 9 = 1 ; de 9 a 10 = 1 , luego el complemento aritmético es 421,100

42. APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO PARA EFECTUAR LA RESTA Para efectuar la resta por medio del complemento aritmético se suma el minuendo con el complemento aritmético del sustraendo, poniéndole a este delante una unidad son signo menos, que se tendrá al efectuar la suma. 1) Efectuar 1,034 – 615 por medio del complemento aritmético.

43. Es el complemento aritmético con una unidad con signo menos adelante, y tendremos: 1, 034 + 1, 385 0, 419 La diferencia entre 1,034 y 615 es 419, que se puede comprobar efectuando la resta: 1, 034 - 615 0, 419

44. APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO PARA EFECTUAR VARIAS SUMAS Y RESTAS COMBINADAS Para efectuar sumas y restas combinadas por medio del complemento aritmético se suman todos los sumandos con los complementos aritméticos de los sustraendos , poniendo delante de cada complemento una unidad con signo menos, que se tomara en cuenta al efectuar la suma.

45. EJEMPLOS: 1) Efectuar por los componentes 56 – 41 + 83 – 12. _56 Comp.. Aritmético de 41… 159 + _83 Comp.. Aritmético de 12.. 188 86

46. Multiplicación ¿ que es? Es una operación de composición que tiene por objeto, dados números llamados multiplicando y multiplicador, hallar un numero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.

47. El producto de dos números se indica con el signo X o con punto colocado entre los factores, que es el nombre que se le da al multiplicando y multiplicador. Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 o 6 · 5

48. Si el multiplicador es cero, el producto es cero. Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando. Si el multiplicador es >1, el producto es > el multiplicando. Si el multiplicador es < 1, el producto es < el multiplicando. Relación entre el producto y el multiplicando

49. Definición de la multiplicación cuando el multiplicador es un numero natural Cuando el multiplicador es un numero natural, la multiplicación es una suma abreviada que consta de tantos sumandos iguales al multiplicando como unidades tenga el multiplicador 4x3= 4+4+4+4=12

50. Para multiplicar un entero por la unidad seguida de ceros se añaden al entero tantos ceros como ceros acompañen a la unidad. multiplicación por la unidad seguida de ceros 54 x 100 = 5400, por que el valor relativo de cada cifra se ha hecho 100 veces mayor

51. Multiplicación de dos números terminados en ceros Se multiplican los números como si no tuvieran ceros y a la derecha de este producto se añaden tantos ceros como haya en el multiplicando y multiplicador. 4300 x 2500 = 107 500 000

52. Numero de cifras del producto En el producto hay siempre tantas cifras como haya en el multiplicando y multiplicador juntos o una menos. Así, el producto 345 x 23 ha de tener cuatro cifras o cinco. 345 x 23 > 345 x 10, y como este ultimo producto 345 x 10 = 3450 tiene cuatro cifras, el producto 345 x 23, que es mayor que el, no puede tener menos de cuatro cifras. 7935

53. Representación grafica del producto Representar gráficamente 3x2 2 3 Se construye un rectángulo cuya base sea el segmento que representa el 3 y cuya altura sea el segmento que representa el 2. El rectángulo ABCD que consta de dos filas horizontales de 3 cuadrados cada una es la representación grafica del producto 3 x 2 = 6 A B C D 2 3

54. PRODUCTO CONTINUADO Para hallar el producto de mas de dos números como 2 x 3 x 4 x 5 1. Se halla el producto de dos de ellos. 2. Luego se multiplica este producto por el tercero. 3. Luego este segundo producto por el factor siguiente y así hasta el ultimo factor. Así, en este caso, tendremos: 2 x 3 = 6 6 x 4 = 24 24 x 5 = 120

55. Pruebas de la multiplicación Pueden realizarse de tres modos: 1. Cambiando el orden de los factores, lo cual debe darnos el mismo producto. 2. Dividiendo el producto entre uno de los factores, lo cual debe darnos el otro factor. 3. Por la prueba del 9

56. Leyes de la multiplicación Son 6: Ley de uniformidad Ley conmutativa Ley asociativa Ley disociativa Ley monotonía Ley distributiva

57. Ley de uniformidad Enunciarse de tres modos : 1. El producto de dos números tiene un valor único o siempre igual. 2. Los productos de números respectivamente iguales son iguales. 3. Productos de dos igualdades. Multiplicando miembro a miembro varias igualdades resulta otra igualdad. 5 sillas x 2 = 10 sillas 5 días x 2 = 10 días 5 x 2 = 10 a = b c = d ac = bd

58. Ley conmutativa El orden de los factores no altera el producto Que se trate de dos factores 2. Que se trate de mas de dos factores Vamos a demostrar que 6 x 4 = 4 x 6. 6x 4 = 6 + 6+ 6+ 6+ 6= 24 4 x 6= 4+ 4+ 4+ 4+ 4 +4= 24 Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2 Se puede considerar descompuesto en dos factores: 5 . 4 y 3 . 2

59. Ley asociativa El producto de varios números no varia sustituyendo dos o mas factores por su producto 2 x 3 x 4 x 5 = 120 (2 x 3) x 4 x 5 = 120 6 (2 x 3) x (4 x 5) = 120 6 20 En general: abcd = (ab) cd = a( bcd )

60. Ley disociativa El producto de varios números no varia descomponiendo uno o mas factores en dos o mas factores Sea el producto 8 x 5; puesto que 8 = 4 x 2, tendremos: 8 x 5 = 4 x 2 x 5

61. Producto de igualdades y desigualdades. Ley de monotonía. Multiplicando miembro a miembro desigualdades del mismo sentido e igualdades, resulta una desigualdad del mismo sentido que las dadas. Siendo 8>3 4=4 8x4>3x4 resulta 32>12.

62. OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACION.

63. OPERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACION EN QUE NO HAY SIGNOS DE AGRUPACION. Para comenzar, deben efectuarse en este orden: primero, los productos indicados y luego las sumas o restas. Ejemplo: efectuar, 5+3x4-2x7 Efectuamos primero los productos 3x4=12 y 2x=14 y tendremos: 5+3x4-2x7 =5+12-14 = 3.

64. PERACIONES INDICADAS DE MULTIPLICACION EN QUE HAY SIGNOS DE AGRUPACION. PRIMERO: Las operaciones encerradas en los paréntesis y luego las operaciones que queden indicadas. Ejemplo: (5+3)2+3(6-1) . En la practica, se suele suprimir el signo x entre un numero y un paréntesis o entre dos paréntesis. A si pues, en este ejemplo, (5+3) 2 equivale a (5+3) x 2 y 3(6-1) equivale a 3 x (6-1) . Entonces efectuamos primero los paréntesis, (5+3) = 8 y (6-1)= 5 , y tendremos: (5+3) 2 + 3(6-1) = 8 x 2 + 3 x 5 = 16 + 15 = 31 .

65. LEY DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACION. PRODUCTO DE UNA SUMA POR UN NUMERO. Para multiplicar una suma indicada por un numero se multiplica cada sumando por este numero y se suman los productos parciales. Ejemplo: (5+4)2 . Decimos que, (5+4)2= 5x2+4x2=10+8= 18 Entonces: (5+4)2 = (5+4) + (5+4) = 5+4+5+4 = 5+5+4+4 = (5+5) + (4+4) = 5x2+4x2 .

66. Para multiplicar una resta indicada por un numero se multiplican el minuendo y el sustraendo por este numero y se restan los productos parciales. Ejemplo: (8-5) 3. Asi que decimos: (8 – 5) 3 = 8 x 3 – 5 x 3 = 24 – 15 = 9 Entonces multiplicar (8 – 5) 3 equivale a tomar (8 – 5) como sumando tres veces, o sea: (8 – 5) 3 = (8 – 5) + (8 – 5) + (8 – 5) o también realizar lo siguiente: = (8+8+8) – (5+5+5) = 8 x 3 – 5 x 3 . Producto de una resta por un numero.

67. Suma algebraica. Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que contiene varios signos + o – es una suma algebraica. En esta suma algebraica, 7, 2, 9 y 3 son los términos de la suma. Los términos que van precedidos del signo + o que no llevan signo delante son positivos. Asi que en este caso, -2 y -3 son negativos. En la suma algebraica a + b – c – d + e, los términos positivos son a,b y e, y los negativos, - c y – d.

68. Productos de una suma algebraica por un numero Para multiplicar una suma por un numero se multiplica un termino de la suma por dicho numero, poniendo delante de cada producto parcial el signo + si el termino que se multiplica es positivo y el signo – si es negativo. Ejemplo: (8 – 2 + 6 – 3) 5 . Asi que decimos: (8-2+6-3)5 = 8 x 5 – 2 x 5 + 6 x 5 – 3 x 5 = 40 – 10 + 30 – 15 =45 En general: (a – b + c –d )n = an – bn + cn – dn.

69. Factor común En la suma algebraica x 5 + 3 x 2 – 4 x 2 los términos son los productos 2x5, 3x2 y 4x2. en cada uno de estos productos aparece el factor 2; 2 es un factor común. Igualmente en la suma algebraica 9 x 3 – 3 x 5 -3 x 2 +8 x 3 el 3 es un factor común; en la suma ab + bc – bd el factor común es b ; en la suma 5 ay + 5ax – 5an el factor común es 5 a.

70. La operación de sacar factor común. 1) sabemos que por ley distributiva, que: (8+6)5=8x5+6x5. Invirtiendo los miembros de esta igualdad, tenemos: 8x5+6x5=5(8+6) Aquí vemos que en el primer miembro tenemos el factor común 5 y en el segundo miembro aparece el factor común 5 multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos escrito 8+6 que es lo que queda en el primer miembro dividiendo cada termino entre 5. Hemos sacado el factor común 5. 2) sabemos, por la ley distributiva, que: (9-7)2=9x2 – 7x2. invirtiendo tenemos: 9x2-7x2=2(9-7). En el primer miembro tenemos el factor común 2 y en el segundo miembro aparece el 2 multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos puesto lo que queda en el primer miembro dividiendo cada termino entre el factor común 2. hemos sacado el factor común 2. 3) sacar el factor común en 9x8 +8x3-8. Asi que 9x8+8x3-8=8(9+3-1).

71. Producto de sumas y diferencias. Producto de 2 sumas. Para multiplicar dos sumas indicadas se multiplican todos los términos de la primera por cada uno de los términos de la segunda y se suman los productos parciales. Entonteces efectuamos (6+5)(3+2) y decimos que: (6+5)(3+2) = 6x3+5x3+6x2+5x2 = 18+15+12+10 = 55 . En efecto: el producto (6+5) (3+2) se compondrá de tres veces (6+5) mas dos veces (6+5) , luego: (6+5)(3+2)=(6+5)3+(6+5)2 = 6x3+5x3+6x2+5x2 .

72. Producto de suma por diferencia. Para multiplicar una suma por una diferencia se suman los productos de cada termino de la suma por el minuendo y de esta suma se restan los productos de cada termino de la suma por el sustraendo. Efectuar: (9+7)(5-4)=9x5+7x5-9x4-7x4 = 45+35-36-28=16. En efecto: el producto (9+5)(5-4) se compondrá de cinco veces (9+7) menos cuatro veces (9+7),luego: (9+7)(5-4)=(9+5)-5(9+7)4 =(9x5+7x5)-(9x4+7x4)=9x5+7x5-9x4-7x4. En general (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.

73. Caso particular. Producto de la suma de dos números por su diferencia. El producto de la suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de los nuemros . Ejemplo: efectuar (6+5)(6-5)= 6 2 – 5 2 = 36-25=9 En efecto: aplicando la regla explicada en el numero anterior, tenemos: (6+5)(6-5)= 6x6 +5x6-6x5-5x5 = 6x6-5x5= 6 2 – 5 2 .

74. Producto de dos diferencias. Para multiplicar dos diferencias indicadas se suma el producto de los minuendos con el producto de los sustraendos y de esta suma se restan los productos de cada minuendo por el otro sustraendo. Efectuar: (7-4)(3-2). Decimos que: (7-4)(3-2)=7x3+4x2-7x2-4x3 = 21+8-14-12=3 En efecto: el producto (7-4)(3-2)= (7-4)3-(7-4)2 = (7x3-4x3)-(7x2-4x2) =(7x3+4x2)-(7x2+4x3) (126) =7x3+4x2-7x2-4x3 (125)

75. Regla general para multiplicar sumas algebraicas. De acuerdo con las reglas aplicadas en los números anteriores, tenemos que: (a+b)(c+d) = ab+bc+ad+bd (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd (a-c)(c-d) = ac-bc - ad+bd. Observando esto lo que hemos hecho es multiplicar términos del primer paréntesis por cada termino del segundo paréntesis poniendo delante de cada producto el signo + cuando los factores que se multiplican tienen signos iguales (los dos + o los dos - ) y el signo – cuando tienen signos distintos.

76. Regla general. Para multiplicar dos sumas algebraicas se multiplica cada termino de la primera suma por cada termino de la segunda suma, poniendo delante de cada producto el signo + cuando los dos términos que se multiplican tienen signos iguales, y el signo – cuando tienen signos distintos. Entonces daremos un ejemplo: Efectuar (8-6)(5+4) por la regla general. (8-6)(5+4)=8x5 – 6x5 +8x4 – 6x4 = 40 – 30 + 32 – 24 = 18 Hemos multiplicado 8 por 5 y como 8 y 5 tienen signos iguales (al no llevar signo delante llevan +) delante del producto 8x5 va un + (que no se escribe por ser el primer termino, pero va sobreentendido). Después multiplicamos – 6 por 5 poniendo delante de este producto el signo – porque 6y5 tienen signos distintos ; luego 8 por 4, poniendo + delante del producto porque 8y4 tienen signos iguales y por ultimo -6 por 4 poniendo delante del producto – porque tienen signos distintos.

77. Producto de un producto indicado por un numero. Para multiplicar un producto indicado por un numero se multiplica uno de los factores del producto por dicho numero. Vamos a multiplicar el producto 4 x 5 por 6. Decimos que basta multiplicar uno solo de los factores, bien el 4 o el 5, por el multiplicador 6. Multiplicando el factor 5, tenemos: (4x5)6 = 4(5x6)=4(30)= 120 .

78. Producto de dos productos indicados. Para multiplicar dos productos indicados se forma un solo producto con todos los factores. Vamos a multiplicar el producto 2x3 por el producto 4x5x6. Decimos que: (2x3)(4x5x6)=2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720. Entonces al multiplicar el factor 3 del producto 2x3 queda multiplicado por el producto 4x5x6, según el caso anterior.

79. INVERSA DE LA MULTIPLICACIÓN SU ODJETO DADO EL PRODUCTO DE 2 FACTORES ( DIVIDIENDO) Y UNO DE LOS FACTORES (DIVISOR), HALLAR EL OTRO FACTOR (COCIENTE) DIVISIÓN

80. El signo de la division es o una rayita horizontal o inclinada colocada entre el dividendo y el divisor. Asi la division de D (dividendo) entre d (divisor) y siendo c el cociente, se indica de los tres modos siguientes: D÷d =c _ D_ =c d D/d=c

81. Entonces podemos decir que dividir un número (dividendo) entre otro ( divisor) es hallar un número (cociente) que multiplicado por el divisor de el dividendo. ejemplo 20/4 es allar el número que multiplicado por 4 de 20 4x5=20 Del propio modo: 8÷4 = 2 por que 2x4 =8 15 =5 3

82. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA DIVISIBILIDAD TODO NÚMERO QUE DIVIDE A OTROS VARIOS, DIVIDE A SU SUMA SEA EL NÚMERO 5 , QUE DIVIDE AL 10, 15, 20=45, O SEA QUE 10+25+20 ES M. 5 EN EFECTO: 10=5x2; 15= 5x3; 20= 5x4

83. Sacando el valor común 5 en el segundo miembro de la ultima igualdad, tenemos: 10+15+20= 5 (2+3+4) o sea 10+15+20= 5x9 10+15+20= 45, contiene al 5, 9 veces y 5 divide a la suma 10+5+20

84. Todo número que no divide a otro vario divide a u suma, si la suma de los residuos que resultan de dividir estos entre el número que no los divide, es divisible entre este número.