Suma y Suma Directa de Subespacios Vectorioales

Algebra Lineal

1. ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL Algebra Lineal Jonathan López Jonathan Naranjo

2. SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES La suma de dos s.e.v con la siguiente notación: sea (V, K, +, * ) W1 + W2= { u ∈ V / u=w1+w2, w1 ∈ W1 ∧ w2 ∈W2 } CALCULO DE LA SUMA W1 + W2 = < B1 +B2 > B1: base de W1 B2: base de W2

3. SUMA DIRECTA DE S.E.V W1 + W2 = W1 + W2 si y solo si : W1 W2={ Ov } TEOREMA DE LA DIMENSION Dim (w1+w2)= dim w1 + dim w2 – dim w1 ∩ w2 Ejemplo: 3 = 2 + 1 - dim w1 ∩ w2 Dim (w1 ∩ w2)= 0 W1 ∩ W2 = {0,0,0} +

4. Ejemplo W1={( x,y,z )R^3/x-y=0} W2={( x,y,z )R^3/ 2x-z=0, 2x=2y} W1 ∩ W2 W1 int . W2 = {( x,y,z )R^3/ x-y=0, 2x-z=0,2x=2y} base [x-y=0,2*x-z=0,2*x=2*y] generado por el vector (1,1,2) W1 ∩ W2 = W2 ( b)Para calcular W1+W2 calculemos primero una base de W1 y W2

5. Nota: Se observa que no existe suma directa W1 [x-y=0,z=z,0] W1 = L{(1,1,0),(0,0,1)} W2 [2*x-z=0,2*x=2*y,0] W2=L {(1,1,2)} Por tantoW1+W2= L{(1,1,0),(0,0,1),(1,1,2)} Veamos si son L.I u :=[1,1,0 ] v:=[0,0,1] w :=[1,1,2] a* u+b * v+c *w=[0,0,0] son L.D. por tanto veamos si eliminando w son L.I. a* u+b *v=[0,0,0} se concluye que W1+W2 = W1 c ) No se puede obtener la suma directa pues la interseccion no es vacia .