Suplemen B Matriks dan Determinan bag ke-1.pptx

bilangan kompleks

1. MATEMATIKA ITS 1 Suplemen B: Matriks dan Determinan Daryono Budi Utomo

2. MATEMATIKA ITS 2 Suplemen B: Matriks, Determinan dan Sistem Persamaan Linier   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan B. 1 Matriks dan Operasinya B .2 Operasi Baris Elementer (OBE) dan Matriks Invers B .3 Sistem Persamaan Linier B . 4 Determinan B . 5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

3. Definisi Matriks Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan dinamakan anggota / elemen matriks MATEMATIKA ITS 3 B .1 Matriks dan Operasinya Ukuran Matriks Ukuran matriks dinyatakan oleh m x n , m banyaknya baris, n banyaknya kolom Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Matriks A mempunyai ukuran m x n , ditulis sebagai:  

4. MATEMATIKA ITS 4 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Contoh ;   ;      

5. MATEMATIKA ITS 5 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Jenis-jenis Matriks Matriks Baris Matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks baris . Contoh B.1.1   2. Matriks Kolom Matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks baris Contoh B.1.2  

6. MATEMATIKA ITS 6 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan 3. Matriks Nol Matriks yang semua entrinya adalah 0 ( nol ) disebut matriks nol dilambangkan dengan O. Contoh B.1.3 4. Matriks Bujur sangkar Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar . Jadi , sebuah matriks dengan orde m × n disebut matriks bujur sangkar jika m = n .   Contoh B.1.4 1. adalah matriks bujur sangkar berorde 2 2. adalah matriks bujur sangkar berorde 3  

7. MATEMATIKA ITS 7 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Dalam matriks bujur sangkar , entri di mana i = j terletak pada diagonal utama matriks . Diagonal utama memanjang dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah matriks . Jadi , entri terletak pada diagonal utama matriks A berorde n .   Diagonal utama matriks bujur sangkar A berorde 3 ditunjukkan di bawah ini :  

8. MATEMATIKA ITS 8 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Matriks Segitig Matriks bujur sangkar yang semua entri di atas atau di bawah entri diagonalnya nol disebut matriks segitiga . Matriks segitiga atas A = [ a ij ] jika dan hanya jika a ij = 0 untuk i > j , Matriks segitiga bawah B = [ b ij ] jika dan hanya jika b ij = 0 untuk i < j Contoh B.1.5 1. matriks segitiga atas   2. matriks segitiga bawah  

9. MATEMATIKA ITS 9 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan 6. Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua entrinya nol kecuali entri diagonalnya . Contoh B.1.6   7. Matriks yang semua entri diagonalnya sama dengan satu dan entri lainnya sama dengan nol disebut matriks identitas . Matriks identitas dari orde n ditulis .   Contoh B.1.7 matriks identitas order 3 dinotasikan            

10. MATEMATIKA ITS 10 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan 8. Kesamaan Matriks Dua matriks dikatakan sama jika order matrik sama dan entri yang bersesuaian sama Contoh B.1.8 1. ; maka 2. dan Jika maka  

11. MATEMATIKA ITS 11 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan 9. Matriks Transpose Transpose (A) adalah matriks yang entrinya diperoleh dari entri pada A dengan mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. yang dinyatakan dengan   Sifat-sifat matriks transpose  

12. MATEMATIKA ITS 12 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Contoh B.1.9 Diberikan matriks Transpose matriks A yaitu :        

13. MATEMATIKA ITS 13 Jawab         Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

14. MATEMATIKA ITS 14 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan 10. Matriks Trace Jika A adalah matriks bujur sangkar , maka Trace dari A , dilambangkan dengan Tr ( A ), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama dari A . Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar   Contoh B.1.10 Doberikan matriks bujur sangkar adalah  

15. MATEMATIKA ITS 15 Tentukan a. tr ( A ), b. tr ( B ), c. tr ( C ), d. tr ( AB )   Jawab a. tr ( A ) = 5, b. tr ( B ) = 7, c. tr ( C ) = tidak ada karena C bukan matriks persegi d. tr ( AB ) = 19   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

16. MATEMATIKA ITS 16 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Jika dua matriks A dan B mempunyai ukuran yang sama, maka kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Untuk menambahkan atau mengurangkan kedua matriks tersebut anggota yang berpadanan dijumlahkan atau dikurangkan. Matriks yang tidak mempunyai ukuran yang sama tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Operasi Matriks

17. MATEMATIKA ITS 17 Contoh   ;   dan Tidak bisa karena ukuran matriks tidak sama   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Sifat Penjumlahan Matriks 1. sifat Komutatif 2. sifat asosiatif 3. sifat identitas penjumlahan 4. sifat invers penjumlahan  

18. MATEMATIKA ITS 18 2. Perkalian Skalar dan Matriks Jika A sebarang matriks dan c sebarang skalar, maka hasil kali skalar dan matriks cA adalah mengalikan semua anggota A dengan skalar c . Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Sifat Perkalian Skalar 1. 2. 3.  

19. MATEMATIKA ITS 19 Contoh B.1.12 Hitunglah     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan         Jawab

20. MATEMATIKA ITS 20 3. Perkalian Matriks   Kolom matriks A = Baris matriks B Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Perkalian AB ( A dan B adalah matriks ) dapat dilakukan jika jumlah kolom A = jumlah baris B. Jadi jika A adalah matriks berorde m × n dan B adalah matriks berorde n × p maka AB dimungkinkan karena jumlah baris A = jumlah kolom B. Order AB adalah m × p .

21. MATEMATIKA ITS 21 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Cara melakukan perkalian : Dengan   Sifat Perkalian Matriks 1. AB ≠ BA Umumnya tidak bersifat komutatif 2. A ( BC ) = ( AB ) C Asosiatif 3. A ( B + C ) = AB + AC Distributif terhadap perkalian addition) 4. Jika A matriks bujur sangkar berorder n dan I matriks identitas berorder n , maka Identitas Perkalian  

22. MATEMATIKA ITS 22 Contoh Hitunglah: a. AB , b. BA , c. AC , d. CA   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

23. MATEMATIKA ITS 23 Jawab           Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

24. MATEMATIKA ITS 24 Matriks Simetris Matriks simetris adalah matriks persegi A yang A T = A . Teorema: Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran y ang sama, dan k adalah skalar, maka A T juga simetris A + B dan A - B simetris kA adalah simetris   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

25. MATEMATIKA ITS 25 Matriks Simetris Miring (skew symmetric) Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Matriks bujur sangkar dikatakan simetris miring (skew-symmetric) jika . Dalam matriks simetris miring: ( i ) entri diagonal adalah nol , dan (ii) .   Contoh B.1.15 Jika maka . Jadi matriks simetri miring Dapat dilihat pada matriks bahwa : Entri diagonal:  

26. MATEMATIKA ITS 26 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Sifat Matriks Simetris dan Skew- simetris 1. Jika A adalah matriks bujur sangkar , maka adalah matriks simetris dan adalah matriks simetris miring. 2. Jika A dan B adalah matriks simetris dengan order yang sama , maka A + B juga demikian . 3. Jika A adalah matriks simetris / simetris -miring dan k adalah skalar maka k A juga simetris /miring- simetris . 4. Jika A dan B adalah matriks simetris dengan order yang sama , maka perkalian AB simetris hanya jika AB = BA . 5. Matriks bujur sangkar dapat dinyatakan sebagai jumlah dari matriks simetris dan matriks simetris miring.  

27. MATEMATIKA ITS 27 B . 2 Operasi Baris Elementer (OBE) dan Matriks Invers Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan B . 2.1 Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer disingkat dengan OBE adalah operasi baris pada suatu matriks menghasikan matriks baru yang tetap ekuivalen /similar artinya matriks baru mempunyai karakteristik yang tetap sama apabila dilakukan Operasi Baris Elementer . Adapun langkah-langkah OBE beserta notasi dari langkah tersebut sebagai berikut : notasi untuk operasi penukaran baris ke - i dengan baris ke - j ) notasi untuk operasi menggandakan tiap entri baris ke-i dengan scalar notasi untuk operasi menambahkan tiap entri baris ke-i dengan scalar kali baris ke -j  

28. MATEMATIKA ITS 28 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan   Contoh B.2.1.1: Ubah matriks berikut menjadi matriks segitiga atas Jawab Agar lakukan Bagi baris 1 dengan 3 atau Tukar baris 1 dengn baris 2 atau Tukar baris 1 dengan baris 3 Dalam hal ini dipilih baris 1 ditukar dengan baris 3, bentuk matriks menjadi :        

29. MATEMATIKA ITS 29 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan   Lakukan OBE baris 2 terhadap baris 1 untuk mengubah Lakukan OBE baris 3 terhadap baris 1 untuk mengubah         Lakukan OBE baris 3 terhadap baris 2 untuk mengubah         ):         ):            

30. MATEMATIKA ITS 30 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Bentuk Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi Matriks eselon baris tereduksi adalah matriks yang memenuhi 4 sifat berikut : Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol , maka entri pertama yang tidak nol harus 1 ( disebut 1-utama / leading-1) Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian baris bawah matriks Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan daripada 1- utama baris yang lebih atas Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus bernilai 0 ( nol )   Sebuah matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3, dikatakan berada dalam bentuk eselon baris ( row-echelon form ), sedangkan matriks yang mempunyai semua sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan berada dalam bentuk eselon baris tereduksi ( reduced row-echelon form ). Untuk membuat matriks eselon tereduksi digunakan OBE.

31. MATEMATIKA ITS 31 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Contoh B.2.1.1: Bentuk matriks eselon baris     Bukan bentuk matriks eselon baris Keterangan : * adalah sebarang bilngan riil  

32. MATEMATIKA ITS 32 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Bukan bentuk matriks eselon baris Keterangan : * adalah sebarang bilngan riil        

33. MATEMATIKA ITS 33 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Contoh B.2.1.2 Diberikan matriks sebagai berikut :     Perhatikan susunan entri matriks A Kolom 1 mempunyai 1-utama dibawahnya semua entri sudah 0 ( nol ) Kolom 2 mempunyai 1-utama diatas dan dibawahnya semua entri sudah 0 ( nol ) Kolom 3 mempunyai 1-utama diatasnya entrinya tidak sama dengan 0 ( nol ) yaitu : matriks A merupakan bentuk eselon baris , diubah nilai nya menjadi 0 ( nol ) dengan OBE menjadi matriks berbentuk eselon baris tereduksi  

34. MATEMATIKA ITS 34 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Untuk membuat menjadi , gunakan OBE: menghasilkan :   Untuk membuat menjadi , gunakan OBE: menghasilkan :     Matriks A sudah dalam bentuk m atriks eselon baris tereduksi    

35. MATEMATIKA ITS 35 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Contoh B.2.1.2 Matriks-matriks berikut berada dalam bentuk eselon baris tereduksi . Matriks-matriks berikut berada dalam bentuk eselon baris , tapi bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi .

36. MATEMATIKA ITS 36 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Contoh B.2.1.3 Ubahlah matriks berikut dalam bentuk eselon baris tereduksi   Untuk mengubah matriks B men jadi matriks eselon baris terduksi , diagonal utama sama dengan 1 dan nilai elemen dibawah dan diatas diagonal utama sama dengan dengan menggunakan OBE        

37. MATEMATIKA ITS 37 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Matriks B berubah menjadi Perhatikan ubah menjadi dengan cara Bagi baris 1 dengan 2 atau Tukar baris 1 dengan baris 2 atau baris 3 atau Baris 1 dikurang baris 2 ( ini yang dilakukan )                                          

38. MATEMATIKA ITS 38 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan   Mengubah matriks eselon baris ke matriks eselon baris tereuksi                                    

39. MATEMATIKA ITS 39 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan B . 2.2 Matriks Invers Matriks persegi A dikatakan mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian hingga: AB = BA = I , dimana I matriks identitas B dikatakan invers matriks A ditulis A -1 , maka AA -1 = A -1 A = I Contoh 1. ,  

40. MATEMATIKA ITS 40 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Mencari Matriks Invers Diberikan matriks A tambahkan pada sisi kanan matriks identitas, ubahlah matriks A menjadi bentuk matriks identitas dengan menggunakan OBE . Hasil dari matriks sisi kanan merupakan matriks invers dari matriks A .        

41. MATEMATIKA ITS 41 Contoh 2. Diberikan matriks A sebagai berikut:   Tentukan invers matriks A Penyelesaian               8     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

42. MATEMATIKA ITS 42                       Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

43. MATEMATIKA ITS 43   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan