Suplemen B Matriks dan Determinan bag ke-2.pptx

matrice and determinna

1. MATEMATIKA ITS 1 Suplemen B: Matriks dan Determinan Daryono Budi Utomo

2. MATEMATIKA ITS 2 Suplemen B: Matriks, Determinan dan Sistem Persamaan Linier B. 1 Matriks dan Operasinya B .2 Operasi Baris Elementer (OBE) dan Matriks Invers B .3 Sistem Persamaan Linier B . 4 Determinan B . 5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen  Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

3. MATEMATIKA ITS 3 Persamaan Linear Sebuah persamaan yang mengandung peubah bebas yang linear. 2 x + 3 y = 0 Sistem Persamaan Linear Beberapa persamaan yang mengandung peubah bebas yang linear. x 1 + x 2 + x 3 = 6 (1) x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 14 (2) x 1 + 4 x 2 + 9 x 3 = 36 (3) B .3 Sistem Persamaan Linier Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

4. MATEMATIKA ITS 4 Persamaan Tak Linear Sebuah persamaan yang mengandung peubah bebas yang tak linear. 2 x 2 + 3 y = 0 Sistem Persamaan Tak Linear Beberapa persamaan yang mengandung peubah bebas yang tak linear.   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

5. MATEMATIKA ITS 5 Sistem Persamaan Linear (SPL) Tak Homogen (selanjutnya disebut SPL) Homogen   Sistem persamaan linear tak homogen adalah  koleksi sebanyak berhingga persamaan-persamaan linier dengan konstanta semuanya tidak nol . Bentuk umum sistem persamaan linier tak homogen dengan m persamaan dan n variabel adalah sebagai berikut :             1. SPL Tak Homogen   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

6. MATEMATIKA ITS 6 2. SPL Homogen   Sistem persamaan linear homogen  adalah  koleksi sebanyak berhingga persamaan-persamaan linier dengan semua konstanta bernilai 0 (nol) . Bentuk umum sistem persamaan linier homogen dengan m persamaan dan n variabel adalah sebagai berikut :             Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

7. MATEMATIKA ITS 7 Perhatikan SPL x + y = 1 2 x - 3 y = 12 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan menggunakan eliminasi didapat: x + y = 1 (1) x 2  2 x + 2 y = 2 (3) 2 x - 3 y = 12 (2) x 1  2 x - 3 y = 12 (4) (3) – (4) : 5 y = -10  y = -2 ; x - 2 = 1  x = 3 ( x , y ) = (3, -2)  Satu penyelesaian           6       Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

8. MATEMATIKA ITS 8 Perhatikan SPL x + y = 4 3 x + 3 y = 12 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan menggunakan eliminasi didapat: x + y = 4 (1) x 3  3 x + 3 y = 12 (3) 3 x + 3 y = 12 (2) x 1  3 x + 3 y = 12 (4) (3) – (4) : 0 = 0 benar ( x , y )  Banyak penyelesaian Pada grafik dua garis berimpit             Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

9. MATEMATIKA ITS 9 Perhatikan SPL x + y = 1 3 x + 3 y = 12 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan menggunakan eliminasi didapat: x + y = 1 (1) x 3  3 x + 3 y = 3 (3) 3 x + 3 y = 12 (2) x 1  3 x + 3 y = 12 (4) (3) – (4) : 0 = - 9 salah (x, y )  Tidak ada penyelesaian Pada grafik dua garis yang sejajar                 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

10. MATEMATIKA ITS 10 Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan n Persamaan Dinyatakan dalam bentuk matriks  Ditulis :       Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

11. MATEMATIKA ITS 11  Bentuk SPL dinyatakan :   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan B.3.1 Penyelesaian SPL dengan Menggunakan Matriks Invers Kalikan kedua ruas dengan didapat :         Jadi untuk mendapatkan penyelesaian SPL: invers matriks A dikalikan dengan matriks kolom b

12. MATEMATIKA ITS 12 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan Contoh B.3.1. Dapatkan penyelesaian SPL berikut :       Jawab Bentuk matriks   Dapatkan invers A :          

13. MATEMATIKA ITS 13 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan                                    

14. MATEMATIKA ITS 14 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan                    

15. MATEMATIKA ITS 15 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan                  

16. MATEMATIKA ITS 16 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan            

17. MATEMATIKA ITS 17 B entuk Augmented matriks (matriks yang diperbesar) Koefisen peubah x Nilai sisi kanan   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan   Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan n Persamaan

18. MATEMATIKA ITS 18 B.3.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Metoda Eliminasi Gauss Untuk SPL yang mempunyai banyak persamaan lebih mudah menggunakan metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss dari bentuk Augmented matriks diubah menjadi matriks segitiga (bawah atau atas) dengan OBE   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

19. MATEMATIKA ITS 19 Langkah-langkah OBE membuat matriks segitiga atas Ubah kolom menjadi 0 dengan OBE, baris ke-1 sebagai basis Baris ke-2 – ( x Baris 1 didapat baris 2 dengan nilai baru Baris ke-3 – ( x Baris 1 didapat baris 3 dengan nilai baru ... Baris ke- n – ( x Baris 1 didapat baris n dengan nilai baru Bentuk Matriks menjadi   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

20. MATEMATIKA ITS 20 Langkah-langkah OBE (lanjutan ...) Ubah kolom menjadi 0 dengan OBE, baris ke-2 sebagai basis Baris ke-3 – ( x Baris 2 didapat baris 3 dengan nilai baru Baris ke-4 – ( x Baris 2 didapat baris 4 dengan nilai baru ... Baris ke- n – ( x Baris 2 didapat baris n dengan nilai baru Bentuk Matriks menjadi   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

21. MATEMATIKA ITS 21 Langkah-langkah OBE (lanjutan ...) Gunakan cara yang sama untuk mengubah kolom menjadi 0 Dan seterusnya sampai pada kolom ke-( n -2) Bentuk Matriks menjadi   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

22. MATEMATIKA ITS 22 Contoh Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss Jawab Matriks augmented dan OBE               17         )   )   ):   ):   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

23. MATEMATIKA ITS 23                       )           Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

24. MATEMATIKA ITS 24 Contoh Selesaikan SPL dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss Jawab Matriks augmented dan OBE   1   2   3   1                                 )     )   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

25. MATEMATIKA ITS 25                                                 Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

26. MATEMATIKA ITS 26               Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

27. MATEMATIKA ITS 27 B.3.3 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Metoda Eliminasi Gauss - Jordan Metoda Eliminasi Gauss – Jordan merupakan lanjutan dari metoda eliminasi Gauss Bentuk matriks segitiga atas/bawah dilakukan OBE sehingga membentuk matriks diagonal Augmented Matriks Matriks Segitiga Atas Matriks Diagonal Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

28. MATEMATIKA ITS 28 Contoh 10. Selesaiakan SPL dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss - Jordan Jawab Matriks segitiga atas dan OBE Jordan dari Contoh 8.                     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

29. MATEMATIKA ITS 29                         4               Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

30. MATEMATIKA ITS 30 Contoh Selesaiakan SPL dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss - Jordan Jawab Matriks segitiga atas Gauss Buat menjadi matriks Gauss-Jordan Untuk latihan !!! Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

31. MATEMATIKA ITS 31 Sistem Persamaan Linear Homogen   Sistem persamaan linear homogen adalah sistem persamaan linear yang semua suku konstannya nol. Bentuk umum SPL homogen adalah sebagai berikut:         Semua Koefisien   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

32. MATEMATIKA ITS 32 Karena semua suku konstan nol , maka jika dilakukan Operasi Baris Elementer (OBE) tetap saja suku konstannya nol, oleh karena itu matriks lengkap SPL homogen ini sering disingkat tanpa memasukkan kolom suku konstan yaitu:   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

33. MATEMATIKA ITS 33 SPL homogen selalu konsisten Minimal mempunyai penyelesaian nol yang disebut penyelesaian trivial . Jika terdapat penyelesaian yang lain, disebut penyelesaian tak-trivial .   Jadi, SPL homogen mempunyai dua kemungkinan penyelesaian, yaitu: Penyelesaian trivial. Penyelesaian banyak (tak-trivial). Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

34. MATEMATIKA ITS 34 Dalam kasus SPL homogen khusus dari dua persamaan dengan dua peubah, misal grafik persamaannya berupa garis-garis yang melalui titik asal , dan penyelesaian trivialnya berpadanan dengan perpotongan di titik asal .         Penyelesaian trivial         Penyelesaiannya banyak (tak-trivial)   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

35. MATEMATIKA ITS 35 Contoh 1. Tentukan SPL Homogen Jawab Dengan menggunakan eliminasi   Penyelesaian trivial         Gambar Grafik           Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

36. MATEMATIKA ITS 36 Contoh 2. Tentukan SPL Homogen Jawab Dengan menggunakan eliminasi benar Penyelesaian tak-trivial   Penyelesaian tak-trivial         Gambar Grafik     Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

37. MATEMATIKA ITS 37 Kasus khusus Suatu sistem homogen dijamin mempunyai penyelesaian tak-trivial, yaitu jika sistem tersebut mencakup jumlah peubah lebih banyak daripada jumlah persamaannya. Teorema 1. Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian tak trivial, jika banyaknya peubah lebih banyak dibandingkan banyaknya persamaan . Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

38. MATEMATIKA ITS 38 Perhatikan sistem persamaan berikut: Merupakan sistem persamaan linear dengan dua persamaan dan tiga peubah sehingga mempunyai banyak penyelesaian (tak-trivial)  lihat Contoh 3. Karena dalam sistem persamaan linear homogen, ruas kanan dari setiap persamaan bernilai nol, maka ketika dikenakan operasi baris elementer (OBE) tidak akan mengalami perubahan, sehingga untuk mencari penyelesaiannya tidak perlu menggunakan matriks lengkap, cukup menggunakan matriks koefisiennya saja.   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

39. MATEMATIKA ITS 39 Contoh 3. Tentukan penyelesaian SPL homogen berikut.   Penyelesaian:                   Nilai tergantung dari , misal   Jadi, SPL homogen mempunyai penyelesaian tak-trivial   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

40. MATEMATIKA ITS 40 Contoh 4. Tentukan penyelesaian SPL homogen berikut.   Penyelesaian:                                             Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

41. MATEMATIKA ITS 41         )                                       atau   atau   Karena dan bernilai sebarang bilangan riil maka keduanya dapat diganti dengan parameter, misalnya, dan sehingga penyelesaian SPL homogen tersebut ialah: .   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

42. MATEMATIKA ITS 42 Teorema 2 Sistem persamaan linear homogen mempunyai penyelesaian trivial, jika dan hanya jika matriks koefisien berukuran ekuivalen dengan matriks identitas.     sehingga sistem persamaan linear homogen yang di hasilkan berbentuk: dan penyelesaian dari sistem ini adalah trivial.   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

43. MATEMATIKA ITS 43 Contoh 5. Tentukan penyelesaian SPL homogen berikut.   Operasi Baris Elementer (OBE) untuk mendapatkan matriks segi tiga atas : Karena matriks koefisien tersebut ekuivalen dengan matriks identitas, maka sistem persamaan linear memiliki solusi trivial yaitu .               Lanjutkan OBE untuk mendapatkan matriks diagonal :     )           Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

44. MATEMATIKA ITS 44 Contoh 6. Tentukan penyelesaian SPL homogen berikut.   Jawab Bentuk matriks sebagai berikut   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

45. MATEMATIKA ITS 45                         ):                       Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan OB Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

46. MATEMATIKA ITS 46             +   +     +       +   Penyelesaian SPL Homogen: Sehingga diperoleh SPL   ;       Misal:   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan

47. MATEMATIKA ITS 47   Daryono, Kalkulus 1 : Suplemen B Matriks dan Determinan