Synchronization A Universal Concept In Nonlinear Sciences 1st Edition Arkady Pikovsky

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Sciences 1st Edition Arkady Pikovsky download
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Synchronization
A universal concept in nonlinear sciences
First recognized in 1665 by Christiaan Huygens, synchronization phenomena
are abundant in science, nature, engineering, and social life. Systems as diverse
as clocks,singing crickets, cardiac pacemakers, ﬁring neurons, and applauding
audiences exhibit a tendency to operate in synchrony. These phenomena are
universal and can be understood within a common framework based on modern
nonlinear dynamics. The ﬁrst half of this book describes synchronization
without formulae, and is based on qualitative intuitive ideas. The main effects
are illustrated with experimental examples and ﬁgures; the historical
development is also outlined. The second half of the book presents the main
effects of synchronization in a rigorous and systematic manner, describing both
classical results on the synchronization of periodic oscillators and recent
developments in chaoticsystems, large ensembles,and oscillatory media. This
comprehensive book will be of interestto a broad audience, fromgraduate
students to specialist researchers in physics, applied mathematics, engineering,
and natural sciences.
A
RKA PIKOVSKYwas part of the Max-Planck research group on nonlinear
dynamics before becoming Professor of Statistical Physics and Theory of Chaos
at the University of Potsdam, Germany. A memberof the German and American
Physical Societies, he is also part of the Editorial Board ofPhysical ReviewE,
for the term 2000–2002. Before this, he was a Humboldt fellow at the University
of Wuppertal. His PhD focused on the theory of chaos and nonlinear dynamics,
and was carried out at the Institute of Applied Physics of the USSR Academy of
Sciences. Arkady Pikovsky studied radiophysics and physics at Gorky State
University, and started to work on chaos in 1976, describing an electronic device
generating chaos in his Diploma thesis and later provingit experimentally.
M
ICHAELROSENBLUMhas been a research associate in the Department of
Physics, University of Potsdam, since 1997. His main research interests are the
application of oscillation theory and nonlinear dynamics to biological systems
and time series analysis.He was a Humboldt fellow in the Max-Planck research
group on nonlinear dynamics, and a visiting scientist at Boston University.
Michael Rosenblum studied physics at Moscow Pedagogical University, and
went on to work in the Mechanical Engineering Research Institute of the USSR
Academy of Sciences, where he was awarded a PhD in physics and mathematics.

ii
J¨URGENKURTHShas been Professor of Nonlinear Dynamics at the University
of Potsdam and director of the Interdisciplinary Centre for Dynamics of
Complex Systems since 1994. He is a fellow of the American Physical Society
and fellow of the Fraunhofer Society (Germany), and is currently vice-president
of the European Geophysical Society. He is also a member of the Editorial
Board of theInternational Journal of Bifurcation and Chaos. Professor Kurths
was director of the group for nonlinear dynamics of the Max-Planck Society
from 1992 to 1996. He studied mathematics at Rostock University, and then
went on to work at the Solar–Terrestrial Physics Institute, and later the
Astrophysical Institute of the GDR Academy of Sciences. He obtained his PhD
in physics, and started to work on nonlinear data analysis and chaos in 1984. His
main research interests are nonlinear dynamics and their application to
geophysics and physiology and to time series analysis.

Cambridge Nonlinear Science Series 12
Editors
Professor Boris Chirikov
Budker Institute of Nuclear Physics,
Novosibirsk
Professor Predrag Cvitanovi ´c
Niels Bohr Institute, Copenhagen
Professor Frank Moss
University of Missouri, St Louis
Professor Harry Swinney
Center for Nonlinear Dynamics,
The University of Texas at Austin
The Cambridge Nonlinear Science Series contains books on all aspects of contemporary
research in classical and quantum nonlinear dynamics, both deterministic and
nondeterministic, at the level of graduate text and monograph. The intention is to have
an approximately equal blend of experimental and theoretical works, with the emphasis in
the latter on testable results. Speciﬁc subject areas suitable for consideration include:
Hamiltonian and dissipative chaos; squeezed states and applications of quantum
measurement theory; pattern selection; formation and recognition; networks and learning
systems; complexity in low- and high-dimensional systems and random noise; cellular
automata; fully developed, weak and phase turbulence; reaction–diffusion systems;
bifurcation theory and applications; self-structured states leading to chaos; the physics of
interfaces, including fractaland multifractal growth;and simulations used in studiesof
these topics.
Titles in print in this series
G. M. Zaslavsky, R. Z. Sagdeev,
D. A. Usikov and A. A. Chernikov
1. Weak chaos and quasi-regular patterns
J. L. McCauley
2. Chaos, dynamics and fractals: an
algorithmic approach to deterministic
chaos
C. Beck and F. Schlögl
4. Thermodynamics of chaotic systems:
an introduction
P. Meakin
5. Fractals, scaling and growth far from
equilibrium
R. Badii and A. Politi
6. Complexity – hierarchical structures
and scaling in physics
H. Kantz and T. Schreiber
7. Nonlinear time series analysis
T. Bohr, M. H. Jensen, G. Paladin
and A. Vulpiani
8. Dynamical systems approach to turbulence
P. Gaspard
9. Chaos, scattering and statistical mechanics
E. Schöll
10. Nonlinear spatio-temporal dynamics
and chaos in semiconductors
J.-P. Rivet and J. P. Boon
11. Lattice gas hydrodynamics
A. Pikovsky, M. Rosenblum and J. Kurths
12. Synchronization – a universal concept in
nonlinear sciences

Synchronization
Auniversalconceptin
nonlinearsciences
Arkady Pikovsky, Michael Rosenblum
and Jürgen Kurths
University of Potsdam, Germany

  
Cambridge, New York, Melbourne, Madrid, Cape Town, Singapore, São Paulo
Cambridge University Press
The Edinburgh Building, Cambridge  , United Kingdom
First published in print format
- ----
- ----
- ----
© A. Pikovsky, M. Rosenblum and J. Kurths 2001
2001
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This book is in copyright. Subject to statutory exception and to the provision of
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- ---
- ---
- ---
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Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York
www.cambridge.org
hardback
p ap erback
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eBook (EBL)
eBook (EBL)
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To my father Samuil AP
To Sonya MR
To my father Herbert JK

Contents
Prefacexvii
Chapter 1Introduction 1
1.1 Synchronizationinhistoricalperspective1
1.2 Synchronization: just a description7
1.2.1 What is synchronization?8
1.2.2 What is NOT synchronization?14
1.3 Synchronization: an overview of different cases18
1.3.1 Terminologicalremarks22
1.4 Main bibliography 23
Part I: Synchronization without formulae
Chapter
2Basic notions: the self-sustained oscillator and its phase27
2.1 Self-sustained oscillators: mathematical models of natural systems28
2.1.1 Self-sustained oscillations are typical in nature28
2.1.2 Geometrical image of periodic self-sustained oscillations: limit cycle29
2.2 Phase: deﬁnition and properties31
2.2.1 Phase andamplitude of a quasilinear oscillator31
2.2.2 Amplitude is stable, phase is free32
2.2.3 General case: limit cycle of arbitrary shape33
2.3 Self-sustained oscillators: main features35
2.3.1 Dissipation, stability and nonlinearity35
2.3.2 Autonomous and forced systems: phase of a forced system is not free!38
2.4 Self-sustained oscillators: further examples and discussion40
2.4.1 Typical self-sustained system: internal feedback loop40
ix

x Contents
2.4.2 Relaxation oscillators41
Chapter3Synchronization of a periodic oscillator by external force45
3.1 Weakly forced quasilinear oscillators46
3.1.1 The autonomous oscillator and the force in the rotating reference frame46
3.1.2 Phase and frequency locking49
3.1.3 Synchronization transition53
3.1.4 An example: entrainment of respiration by a mechanical ventilator56
3.2 Synchronization by external force: extended discussion59
3.2.1 Stroboscopic observation59
3.2.2 An example: periodically stimulated ﬁreﬂy61
3.2.3 Entrainment by a pulse train62
3.2.4 Synchronization of higherorder. Arnold tongues65
3.2.5 An example: periodic stimulation of atrial pacemaker cells67
3.2.6 Phase and frequency locking: general formulation67
3.2.7 An example: synchronization of a laser69
3.3 Synchronization of relaxation oscillators: special features71
3.3.1 Resetting by external pulses. An example: the cardiac pacemaker71
3.3.2 Electrical model of the heart by van der Pol and van der Mark72
3.3.3 Variation of the threshold. An example: the electronic relaxation oscillator73
3.3.4 Variation of thenatural frequency76
3.3.5 Modulation vs. synchronization77
3.3.6 An example: synchronization of the songs of snowy tree crickets78
3.4 Synchronization in the presence of noise79
3.4.1 Phase diffusion in a noisy oscillator80
3.4.2 Forced noisy oscillators. Phase slips81
3.4.3 An example: entrainment of respiration by mechanical ventilation85
3.4.4 An example: entrainment of the cardiac rhythm by weak external stimuli85
3.5 Diverse examples 86
3.5.1 Circadian rhythms86
3.5.2 The menstrual cycle88
3.5.3 Entrainment of pulsatile insulin secretion by oscillatory glucose infusion89
3.5.4 Synchronization inprotoplasmic strands of Physarum90
3.6 Phenomena around synchronization 90
3.6.1 Related effects at strong external forcing91
3.6.2 Stimulation of excitable systems93
3.6.3 Stochastic resonance from the synchronization viewpoint94
3.6.4 Entrainment of several oscillators by a common drive98

Contents xi
Chapter4Synchronization of two and many oscillators102
4.1 Mutual synchronization of self-sustained oscillators102
4.1.1 Two interacting oscillators103
4.1.2 An example: synchronization of triode generators105
4.1.3 An example: respiratory and wing beat frequency of free-ﬂying barnacle
geese107
4.1.4 An example: transition between in-phase and anti-phase motion108
4.1.5 Concluding remarks and related effects110
4.1.6 Relaxation oscillators. An example: true and latent pacemaker cells in the
sino-atrial node111
4.1.7 Synchronization ofnoisy systems. An example: brain and muscle activity of a
Parkinsonian patient112
4.1.8 Synchronization of rotators. An example: Josephson junctions114
4.1.9 Several oscillators117
4.2 Chains, lattices and oscillatory media119
4.2.1 Synchronization in a lattice. An example: laser arrays119
4.2.2 Formation of clusters. An example: electrical activity of mammalian
intestine121
4.2.3 Clusters and beats in a medium: extended discussion122
4.2.4 Periodically forced oscillatory medium. An example: forced
Belousov–Zhabotinsky reaction124
4.3 Globally coupled oscillators126
4.3.1 Kuramoto self-synchronization transition126
4.3.2 An example: synchronization of menstrual cycles129
4.3.3 An example: synchronization of glycolytic oscillations in a population of
yeast cells130
4.3.4 Experimental study of rhythmic hand clapping131
4.4 Diverse examples 131
4.4.1 Running and breathing in mammals131
4.4.2 Synchronization of two salt-water oscillators133
4.4.3 Entrainment of tubular pressure oscillations in nephrons133
4.4.4 Populations of cells133
4.4.5 Synchronization of predator–prey cycles134
4.4.6 Synchronization in neuronal systems134
Chapter5Synchronization of chaotic systems137
5.1 Chaotic oscillators 137
5.1.1 An exemplar: the Lorenz model138
5.1.2 Sensitive dependence on initial conditions140

xii Contents
5.2 Phase synchronization of chaotic oscillators141
5.2.1 Phase and average frequency of a chaotic oscillator142
5.2.2 Entrainment by a periodic force. An example: forced chaotic plasma
discharge144
5.3 Complete synchronization of chaotic oscillators147
5.3.1 Complete synchronization of identical systems. An example:
synchronization of two lasers148
5.3.2 Synchronization of nonidentical systems149
5.3.3 Complete synchronization in a general context. An example: synchronization
and clusteringof globally coupled electrochemical oscillators150
5.3.4 Chaos-destroying synchronization152
Chapter6Detecting synchronization in experiments153
6.1 Estimating phases and frequencies from data153
6.1.1 Phase of a spike train. An example: electrocardiogram154
6.1.2 Phase of a narrow-band signal. An example: respiration155
6.1.3 Several practical remarks155
6.2 Data analysis in “active” and “passive” experiments156
6.2.1 “Active” experiment156
6.2.2 “Passive” experiment157
6.3 Analyzing relations between the phases160
6.3.1 Straightforward analysis of the phase difference. An example: posture control
in humans160
6.3.2 High level of noise163
6.3.3 Stroboscopic technique163
6.3.4 Phase stroboscope in the case ni
1≈mi 2. An example: cardiorespiratory
interaction164
6.3.5 Phase relations in the case of strong modulation. An example: spiking of
electroreceptors of a paddleﬁsh166
6.4 Concluding remarks and bibliographic notes168
6.4.1 Several remarks on “passive” experiments168
6.4.2 Quantiﬁcation and signiﬁcance of phase relation analysis170
6.4.3 Some related references171
Part II: Phase locking and frequency entrainment
Chapter
7Synchronization of periodic oscillators by periodic external
action
175
7.1 Phase dynamics 176
7.1.1 A limit cycle and the phase of oscillations176

Contents xiii
7.1.2 Small perturbations and isochrones177
7.1.3 An example: complex amplitude equation179
7.1.4 The equation for the phase dynamics180
7.1.5 An example: forced complex amplitude equations181
7.1.6 Slow phase dynamics182
7.1.7 Slow phase dynamics: phase locking and synchronization region184
7.1.8 Summary of the phase dynamics187
7.2 Weakly nonlinear oscillator189
7.2.1 The amplitude equation189
7.2.2 Synchronization properties: isochronous case192
7.2.3 Synchronization properties: nonisochronous case198
7.3 The circle and annulus map 199
7.3.1 The circle map: derivation and examples201
7.3.2 The circle map: properties204
7.3.3 The annulus map210
7.3.4 Large force and transition to chaos213
7.4 Synchronization of rotators and Josephson junctions215
7.4.1 Dynamics of rotators and Josephson junctions215
7.4.2 Overdamped rotator in an external ﬁeld217
7.5 Phase locked loops 218
7.6 Bibliographic notes 221
Chapter8Mutual synchronization of two interacting periodic
oscillators
222
8.1 Phase dynamics 222
8.1.1 Averaged equations for the phase224
8.1.2 Circle map226
8.2 Weakly nonlinear oscillators227
8.2.1 General equations227
8.2.2 Oscillation death, or quenching229
8.2.3 Attractive and repulsive interaction230
8.3 Relaxation oscillators232
8.4 Bibliographic notes 235
Chapter9Synchronization in the presence of noise236
9.1 Self-sustained oscillator in the presence of noise236
9.2 Synchronization in the presence of noise237
9.2.1 Qualitative picture of the Langevin dynamics237
9.2.2 Quantitative description for white noise240

xiv Contents
9.2.3 Synchronization by a quasiharmonic ﬂuctuating force244
9.2.4 Mutual synchronization of noisy oscillators245
9.3 Bibliographic notes 246
Chapter10Phase synchronization of chaotic systems247
10.1 Phase of a chaotic oscillator248
10.1.1 Notion of the phase248
10.1.2 Phase dynamics of chaotic oscillators254
10.2 Synchronization of chaotic oscillators255
10.2.1 Phase synchronization by external force256
10.2.2 Indirect characterization of synchronization258
10.2.3 Synchronization in terms of unstable periodic orbits260
10.2.4 Mutual synchronization of two coupled oscillators262
10.3 Bibliographic notes263
Chapter11Synchronization in oscillatory media266
11.1 Oscillator lattices266
11.2 Spatially continuous phase proﬁles269
11.2.1 Plane waves and targets269
11.2.2 Effect of noise: roughening vs. synchronization271
11.3 Weakly nonlinear oscillatory medium273
11.3.1 Complex Ginzburg–Landau equation273
11.3.2 Forcing oscillatory media276
11.4 Bibliographic notes278
Chapter12Populations of globally coupled oscillators279
12.1 The Kuramoto transition279
12.2 Noisy oscillators283
12.3 Generalizations 286
12.3.1 Models based on phase approximation286
12.3.2 Globally coupled weakly nonlinear oscillators289
12.3.3 Coupled relaxation oscillators290
12.3.4 Coupled Josephson junctions291
12.3.5 Finite-size effects294
12.3.6 Ensemble of chaotic oscillators294
12.4 Bibliographic notes296

Contents xv
Part III: Synchronization of chaotic systems
Chapter
13Complete synchronization I: basic concepts301
13.1 The simplest model: two coupled maps302
13.2 Stability of the synchronous state304
13.3 Onset of synchronization: statistical theory307
13.3.1 Perturbation is a random walk process307
13.3.2 The statistics of ﬁnite-time Lyapunov exponents determine diffusion308
13.3.3 Modulational intermittency: power-law distributions310
13.3.4 Modulational intermittency: correlation properties316
13.4 Onset of synchronization: topological aspects318
13.4.1 Transversebifurcations of periodic orbits318
13.4.2 Weak vs. strong synchronization319
13.4.3 Local and global riddling322
13.5 Bibliographic notes323
Chapter14Complete synchronization II: generalizations and complex
systems
324
14.1 Identical maps, general coupling operator324
14.1.1 Unidirectional coupling325
14.1.2 Asymmetric local coupling327
14.1.3 Global (mean ﬁeld) coupling328
14.2 Continuous-time systems 329
14.3 Spatially distributed systems331
14.3.1 Spatially homogeneous chaos331
14.3.2 Transverse synchronization of space–time chaos332
14.3.3 Synchronization of coupled cellular automata334
14.4 Synchronization as a general symmetric state335
14.4.1 Replica-symmetric systems336
14.5 Bibliographic notes337
Chapter15Synchronization of complex dynamics by external forces340
15.1 Synchronization by periodic forcing341
15.2 Synchronization by noisy forcing341
15.2.1 Noisy forced periodic oscillations343
15.2.2 Synchronization of chaotic oscillations by noisy forcing345
15.3 Synchronization of chaotic oscillations by chaotic forcing346
15.3.1 Complete synchronization346
15.3.2 Generalized synchronization347

xvi Contents
15.3.3 Generalized synchronization by quasiperiodic driving352
15.4 Bibliographic notes353
Appendices
Appendix
A1:Discovery of synchronization by Christiaan Huygens357
A1.1 A letter from Christiaan Huygens to his father, Constantyn Huygens357
A1.2 Sea clocks (sympathy of clocks). Part V358
AppendixA2:Instantaneous phase and frequency of a signal362
A2.1 Analytic signal and the Hilbert transform362
A2.2 Examples 363
A2.3 Numerics: practical hints and know-hows366
A2.4 Computation of the instantaneous frequency369
References371
Index405

Preface
The word “synchronous” is often encountered in both scientiﬁc and everyday lan-
guage. Originating from the Greek wordsχρ´oνoς(chronos, meaning time) and
σ´υν(syn, meaning the same, common), in a direct translation “synchronous” means
“sharing the common time”, “occurring in the same time”. This term, as well
as the related words “synchronization” and “synchronized”, refers to a variety of
phenomena in almost all branches of natural sciences, engineering and social life,
phenomena that appear to be rather different but nevertheless often obey universal
laws.
A search in any scientiﬁc data base for publication titles containing the words
with the root “synchro” produces many hundreds (if not thousands) of entries.
Initially, this effect was found and investigated in different man-made devices,
from pendulum clocks to musical instruments, electronic generators, electric power
systems, and lasers. It has found numerous practical applications in electrical and
mechanical engineering. Nowadays the “center of gravity” of the research has
moved towards biological systems, where synchronization is encountered on dif-
ferent levels. Synchronous variation of cell nuclei, synchronous ﬁring of neurons,
adjustment of heart rate with respiration and/or locomotory rhythms, different forms
of cooperative behavior of insects, animals and even humans – these are only
some examples of the fundamental natural phenomenon that is the subject of this
book.
Our surroundings are full of oscillating objects. Radio communication and elec-
trical equipment, violins in an orchestra, ﬁreﬂies emitting sequences of light pulses,
crickets producing chirps, birds ﬂapping their wings, chemical systems exhibiting
oscillatory variation of the concentration of reagents, a neural center that controls the
xvii

xviii Preface
contraction of the human heart and the heart itself, a center of pathological activity
that causes involuntary shaking of limbs as a consequence of Parkinson’s disease
– all these and many other systems have a common feature: they produce rhythms.
Usually these objects are not isolated from their environment, but interact with other
objects, in other words they are open systems. Indeed, biological clocks that govern
daily (circadian) cycles are subject to the day–night and seasonal variations of
illuminance and temperature, a violinist hears the tones played by her/his neighbors,
a ﬁreﬂy is inﬂuenced by the light emission of the whole population, different centers
of rhythmic brain activity may inﬂuence each other, etc. This interaction can be very
weak, sometimes hardly perceptible,but nevertheless it often causes a qualitative
transition: an object adjusts its rhythm in conformity with the rhythms of other
objects. As a result, violinists play in unison, insects in a population emit acoustic
orlight pulses with a common rate, birds in aﬂock ﬂaptheir wings simultaneously,
the heart of a rapidly galloping horse contracts once per locomotory cycle.
This adjustment of rhythms due to an interaction is the essence of synchro-
nization, the phenomenon that is systematically studied in this book.
The aim of the book is to address a broad readership: physicists, chemists, biolo-
gists, engineers, as well as other scientists conducting interdisciplinary research;
1
it
is intended for both theoreticians and experimentalists. Therefore, the presentation
of experimental facts, of the main principles, and of the mathematical tools is not
uniform and sometimes repetitive. The diversity of the audience is reﬂected in the
structure of the book.
The ﬁrst part of this book, Synchronization without formulae, is aimed at readers
with minimal mathematical background (pre-calculus), or at least it was written with
this intention. Although Part I contains almost no equations, it describes and explains
the main ideas and effects at a qualitative level.
2
Here we illustrate synchronization
phenomena with experiments and observations from various ﬁelds. Part I can be
skipped by theoretically oriented specialists in physics and nonlinear dynamics, or
it may be useful for examples and applications.
Parts II and III cover the same ideas, but on a quantitative level; the reader of these
parts is assumed to be acquainted with the basics of nonlinear dynamics. We hope
that the bulk of the presentation will be comprehensible for graduate students. Here
we review classical results on the synchronization of periodic oscillators, both with
and without noisy perturbations; consider synchronization phenomena in ensembles
of oscillators as well as in spatially distributed systems; present different effects that
occur due to the interaction of chaotic systems; provide the reader with an extensive
bibliography.
1
As the authors are physicists, the book is inevitably biased towards the physical description of
the natural phenomena.
2
To simplify the presentation, we omit in Part I citations to the original works where these ideas
were introduced; one can ﬁnd the relevant references in the bibliographic section of the
Introduction as well as in the bibliographic notes of Parts II and III.

Preface xix
We hope that this book bridges a gap in the literature. Indeed, although almost
every book on oscillation theory (or, in modern terms, on nonlinear dynamics) treats
synchronization among other nonlinear effects, only the books by Blekhman [1971,
1981], written in the “pre-chaotic” era, are devoted especially to the subject. These
books mainly deal with mechanical and electromechanical systems, but they also
contain extensive reviews on the theory, natural phenomena and applications in
various ﬁelds. In writing our book we made an attempt to combine a description
of classical theory and a comprehensive review of recent results, with an emphasis
on interdisciplinary applications.
Acknowledgments
In the course of our studies of synchronization we enjoyed collaborations and dis-
cussions with V. S. Afraimovich, V. S. Anishchenko, B. Blasius, I. I. Blekhman,
H. Chat´e, U. Feudel, P. Glendinning, P. Grassberger, C. Grebogi, J. Hudson,
S. P. Kuznetsov, P. S. Landa, A. Lichtenberg, R. Livi, Ph. Marcq, Yu. Maistrenko,
E. Mosekilde, F. Moss, A. B. Neiman, G. V. Osipov, E.-H. Park, U. Parlitz, K. Pi-
ragas, A. Politi, O. Popovich, R. Roy, O. Rudzick, S. Ruffo, N. Rulkov, C. Sch¨afer,
L. Schimansky-Geier, L. Stone, H. Swinney, P. Tass, E. Toledo, and A. Zaikin.
The comments of A. Nepomnyashchy, A. A. Pikovski, A. Politi, and C. Zieh-
mann, who read parts of the book, are highly appreciated.
O. Futer, N. B. Igosheva, and R. Mrowka patiently answered our numerous
questions regarding medical and biological problems.
We would like to express our special gratitude to Michael Zaks, who supported
our endeavor at all stages.
We also thank Philips International B.V., Company Archives, Eindhoven, the
Netherlands for sending photographs and biography of Balthasar van der Pol and
A. Kurths for her help in the preparation of the bibliography.
Finally, we acknowledge the kind assistance of the Cambridge University Press
staff. We are especially thankful to S. Capelin for his encouragement and patience,
and to F. Chapman for her excellent work on improving the manuscript.
Book homepage
We encourage all who wish to comment on the book to send e-mails to:
[email protected];
[email protected];
[email protected].
All misprints and errors will be posted on the book homepage
(URL: http://www.agnld.uni-potsdam.de/∼syn-book/).

Chapter1
Introduction
1.1Synchronization in historical perspective
The Dutch researcher Christiaan Huygens (Fig. 1.1), most famous for his studies in
optics and the construction of telescopes and clocks, was probably the ﬁrst scientist
who observed and described the synchronization phenomenon as early as in the
seventeenth century. He discovered that a couple of pendulum clocks hanging from
a common support had synchronized, i.e., their oscillations coincided perfectly and
the pendula moved always in opposite directions. This discovery was made during a
sea trial of clocks intended for the determination of longitude. In fact, the invention
and design of pendulum clocks was one of Huygens’ most important achievements.
It made a great impact on the technological and scientiﬁc developments of that time
and increased the accuracy of time measurements enormously. In 1658, only two
years after Huygens obtained a Dutch Patent for his invention, a clock-maker from
Utrecht, Samuel Coster, built a church pendulum clock and guaranteed its weekly
deviation to be less than eight minutes.
After this invention, Huygens continued his efforts to increase the precision and
stability of such clocks. He paid special attention to the construction of clocks
suitable for use on ships in the open sea. In his memoirsHorologium Oscillatorium
(The Pendulum Clock, or Geometrical Demonstrations Concerning the Motion of
Pendula as Applied to Clocks), where he summarized his theoretical and experi-
mental achievements, Huygens [1673] gave a detailed description of such clocks.
In these clocks the length of the pendulum was nine inches and its weight
one-half pound. The wheels were rotated by the force of weights and were
enclosed together with the weights in a case which was four feet long. At the
1

2 Introduction
bottom of the case was added a lead weight of over one hundred pounds so that
the instrument would better maintain a perpendicular orientation when
suspended in the ship.
Although the motion of the clock was found to be very equal and constant in
these experiments, nevertheless we made an effort to perfect it still further in
another way as follows....the result is still greater equality of clocks than
before.
Furthermore, Huygens shortly, but extremely precisely, described his observation
of synchronization as follows.
...It is quite worthnoting that when we suspended two clocks so constructed
from two hooks imbedded in the same wooden beam, the motions of each
Figure 1.1.Christiaan Huygens (1629–1695), the famous Dutch mathematician,
astronomer and physicist. Among his main achievements are the discovery of theﬁrst
moon and the true shape of the rings of Saturn; the ﬁrst printed work on the calculus
of probabilities; the investigation of properties of curves; the formulation of a wave
theory of light including what is well-known nowadays as the Huygens principle. In
1656 Christiaan Huygens patented the ﬁrst pendulum clock, which greatly increased
the accuracy of time measurement and helped him to tackle the longitude problem.
During a sea trial, he observed synchronization of two such clocks (see also the
introduction to the English translation of his book [Huygens 1673] for a historical
survey). Photo credit: Rijksmuseum voor de Geschidenis der Natuuringtenschappen,
courtesy American Institute of Physics Emilio Segr`e Visual Archives.

1.1 Synchronization in historical perspective 3
pendulum in opposite swings were so much in agreement that they never
receded the least bit from each other and the sound of each was always heard
simultaneously. Further, if this agreement was disturbed by some interference, it
reestablished itself in a short time. For a long time I was amazed at this
unexpected result, but after a careful examination ﬁnally found that the cause of
this is due to the motion of the beam, even though this is hardly perceptible. The
cause is that the oscillations of the pendula, in proportion to their weight,
communicate some motion to the clocks. This motion, impressed onto the beam,
necessarily has the effect of making the pendula come to a state of exactly
contrary swings if it happened that they moved otherwise at ﬁrst, and from this
ﬁnally the motion of the beam completely ceases. But this cause is not
sufﬁciently powerful unless the opposite motions of the clocks are exactly equal
and uniform.
The ﬁrst mentionof this discovery can be found in Huygens’ letter to hisfather
of 26 February 1665, reprinted in a collection of papers [Huygens 1967a] and repro-
duced in Appendix A1. According to this letter, the observation of synchronization
was made while Huygens was sick and stayed in bed for a couple of days watching
two clocks hanging on a wall (Fig. 1.2). Interestingly, in describing the discovered
phenomenon, Huygens wrote about “sympathy of two clocks”(le ph´enom´ene de la
sympathie, sympathie des horloges).
Thus, Huygens had given not only an exact description, but also a brilliant quali-
tative explanation of this effect ofmutual synchronization; he correctly understood
that the conformity of the rhythms of two clocks had been caused by an impercep-
tible motion of the beam. In modern terminology this would mean that the clocks
were synchronized in anti-phase due tocouplingthrough the beam.
In the middle of the nineteenth century, in his famous treatiseThe Theory of
Sound, William Strutt (Fig. 1.3) [Lord Rayleigh 1945] described the interesting
phenomenon of synchronization in acoustical systems as follows.
When two organ-pipes of the same pitch stand side by side, complications ensue
which not unfrequently give trouble in practice. In extreme cases the pipes may
Figure 1.2.Original
drawing of Christiaan
Huygens illustrating his
experiments with two
pendulum clocks placed on
a common support.

4 Introduction
almost reduce one another to silence. Even when the mutual inﬂuence is more
moderate, it may still go so far as to cause the pipes to speak in absolute unison,
in spite of inevitable small differences.
Thus, Rayleigh observed not only mutual synchronization when two distinct but
similar pipes begin to sound in unison, but also the effect ofquenching(oscilla-
tion death) when the coupling results in suppression of oscillations of interacting
systems.
A new stage in the investigation of synchronization was related to the devel-
opment of electrical and radio engineering. On 17 February 1920 W. H. Eccles
and J. H. Vincent applied for a British Patent conﬁrming their discovery of the
synchronization property of a triode generator – a rather simple electrical device
based on a vacuum tube that produces a periodically alternating electrical current
[Eccles and Vincent 1920]. The frequency of this current oscillation is determined
by the parameters of the elements of the scheme, e.g., of the capacitance. In their
Figure 1.3.Sir John William Strutt, Lord Rayleigh (1842–1919). He studied at
Trinity College, Cambridge University, graduating in 1864. Hisﬁrst paper in1865
was on Maxwell’s electromagnetic theory. He worked on the propagation of sound
and, while on an excursion to Egypt taken for health reasons, Strutt wroteTreatise on
Sound(1870–1871). In 1879 he wrote a paper on traveling waves, this theory has
now developed into the theory of solitons. His theory of scattering (1871) was the
ﬁrst correct explanation of the blue color of the sky. In 1873 he succeeded to the title
of Baron Rayleigh. From 1879 to 1884 he was the second Cavendish professor of
experimental physics at Cambridge, succeeding Maxwell. Then in 1884 he became
the secretary of the Royal Society. Rayleigh discovered the inert gas argon in 1895,
the work which earned him a Nobel Prize in 1904. Photo credit: Photo Gen. Stab.
Lit. Anst., courtesy AIP Emilio Segr`e Visual Archives.

1.1 Synchronization in historical perspective 5
experiments, Eccles and Vincent coupled two generators which had slightly different
frequencies and demonstrated that the coupling forced the systems to vibrate with a
common frequency.
A few years later Edward Appleton (Fig. 1.4) and Balthasar van der Pol (Fig.
1.5) replicated and extended the experiments of Eccles and Vincent and made the
ﬁrst step in the theoretical study of this effect [Appleton 1922; van der Pol 1927].
Considering the simplest case, they showed that the frequency of a generator can
be entrained, or synchronized, by a weak external signal of a slightly different fre-
quency. These studies were of great practical importance because triode generators
became the basic elements of radio communicationsystems. The synchronization
phenomenon was used to stabilize the frequency of a powerful generator with the
help of one which was weak but very precise.
Synchronizationin living systems has also been known for centuries. In 1729
Jean-Jacques Dortous de Mairan, the French astronomer and mathematician, who
Figure 1.4.Sir Edward Victor Appleton (1892–1965). Educated at Cambridge
University, he began research at the Cavendish Laboratory with W. L. Bragg. During
the First World War he developed an interest in valves and “wireless” signals, which
inspired his subsequent research career. He returned to the Cavendish Laboratory in
1919, continuing to work on valves and, with B. van der Pol,on nonlinearity, and on
atmospherics. In 1924, in collaboration with M. F. Barnett, he performed a crucial
experiment which enabled a reﬂecting layer in the atmosphere to be identiﬁed and
measured. In 1936 he succeeded C. T. R. Wilson in the Jacksonian Chair of Natural
Philosophy at Cambridge, where he continued collaborative research on many
ionospheric problems. He was awarded the Nobel Prize for Physics in 1947 for his
investigations of the ionosphere. Photo credit: AIP Emilio Segr`e Visual Archives,
E. Scott Barr Collection.

6 Introduction
was later the Secretary of the Acad´emie Royale des Sciences in Paris, reported on
his experiments with a haricot bean. He noticed that the leaves of this plant moved
up and down in accordance with the change of day into night. Having made this
observation, de Mairan put the plant in a dark room and found that the motion of
the leaves continued even without variations in the illuminance of the environment.
Since that time these and much more complicated experiments have been replicated
in different laboratories, and now it is well-known that all biological systems, from
Figure 1.5.Balthasar van der Pol (1889–1959). He studied physics and mathematics
in Utrecht and then went to England, where he spent several years working at the
Cavendish Laboratory in Cambridge. There he met E. Appleton, and they started to
work together in radio science. In 1919 van der Pol returned to Holland and in 1920
he was awarded a doctorate from Utrecht University. In 1922 he accepted an offer
from the Philips Company and began work at Philips Research Laboratories in
Eindhoven; soon he became Director of Fundamental Radio Research. Van der Pol
acquired his international reputation due to his pioneering work on the propagation
of radio waves and nonlinear oscillations. His studies of oscillation in a triode circuit
led to the derivation of the van der Pol equation, a paradigmatic model of oscillation
theory and nonlinear dynamics (see Eq. (7.2)). Together with van der Mark he
pioneered the application of oscillation theory to physiological systems. Their work
on modeling and hardware simulation of the human heart by three coupled relaxation
oscillators [van der Pol and van der Mark 1928] remains a masterpiece of biological
physics. Photo credit: Philips International B.V., Company Archives, Eindhoven, The
Netherlands (see Bremmer [1960/61] for details).

1.2 Synchronization: just a description 7
rather simple to highly organized ones, have internal biological clocks that provide
their “owners” with information on the change between day and night. The origin
of these clocks is still a challenging problem, but it is well established that they
can adjust their circadian rhythms (fromcirca=about anddies=day) to external
signals: if the system is completely isolated from the environment and is kept under
controlled constant conditions (constant illuminance, temperature, pressure, param-
eters of electromagnetic ﬁelds, etc.), its internal cycle can essentially differ from
a 24-hour cycle. Under natural conditions, biological clocks tune their rhythms in
accordance with the 24-hour period of the Earth’s daily cycle.
As the last historical example, wecite another Dutchman, the physician Engelbert
Kaempfer [1727]
1
who, after his voyage to Siam in 1680 wrote:
The glowworms...represent another shew, which settle on some Trees, like a
ﬁery cloud, with this surprisingcircumstance, that a whole swarm of these
insects, having taken possession of one Tree, and spread themselves over its
branches, sometimes hide their Light all at once, and a moment after make it
appear again with the utmost regularity and exactness... .
To our knowledge, this is the ﬁrst reported observation of synchronization in a
large population of oscillating systems.
We end our historical excursus in the 1920s. Since then many interesting syn-
chronization phenomena have been observed and reported in the literature; some
of them are described in the following chapters. More importantly, it gradually
became clear that diverse effects which at ﬁrst sight have nothing in common,
obey some universal laws. A great deal of research carried out by mathematicians,
engineers, physicists, and scientists from other ﬁelds, has led to the development
of an understanding that, say, the conformity of the sounds of organ-pipes or the
songs of the snowy tree cricket is not occasional, but can be described by a uniﬁed
theory. In the following chapters we intend to demonstrate that these and a variety
of other seemingly different effects have common characteristic features and can be
understood within a uniﬁed framework.
1.2Synchronization: just a description
We have shown with a few introductory examples (and we will illustrate it with
further examples below) that synchronization is encountered in various ﬁelds of
science, in engineering and in social behavior. We do not intend to give any rigorous
deﬁnition of this phenomenon now. Before we discuss this notion in detail, although
without mathematical methods, in Part I, and before we present the theoretical
description in Parts II and III, we just give here a simple qualitative description of
the effect; this section can be skipped by readers with a basic knowledge of physics
1
Citation taken from [Buck and Buck 1968].

8 Introduction
and nonlinear dynamics. Using several characteristic examples, we explain what
synchronization is, and outline the common properties of systems that allow this
effect to occur. However, the answer to the question “Why does it take place?” is
left to Chapter 2.
1.2.1What is synchronization?
We understand synchronization as anadjustment of rhythms of oscillating objects
due to their weak interaction. Except for rare cases when it is said explicitly
otherwise, this concept is used throughout the book. To explain this concept in
qualitative terms we will concentrate on the following four questions.
What is an oscillating object?
What do we understand by the notion “rhythm”?
What is an interaction of oscillating systems?
What is an adjustment of rhythms?
To illustrate this general deﬁnition we take the classical example – a pendulum
clock.
Self-sustained oscillator: a model of natural oscillating objects
Let us discuss how a clock works. Its mechanism transforms the potential energy
of the lifted weight (or compressed spring, or electrical battery) into the oscillatory
motion of the pendulum. In its turn, this oscillation is transferred into the rotation
of the hands on the clock’s face (Fig. 1.6a). We are not interested in the particular
design of the mechanism; what is important is only that it takes energy from the
source and maintains a steady oscillation of the pendulum, which continues without
any change until the supply of energy expires. The next important property is that
the exact form of the oscillatory motion is entirely determined by the internal
parameters of the clock and does not depend on how the pendulum was put into
motion. Moreover, after being slightly perturbed, following some transient process
the pendulum restores its previous internal rhythm.
These features are typical not only of clocks, but also of many oscillating objects
of diverse nature. The set of these features constitutes the answer to the ﬁrst of
the questions above. In physics such oscillatory objects are denotedself-sustained
oscillators; below we discuss their properties in detail. Further on we often omit the
word “self-sustained”, but by default we describe only systems of this class. Here
we brieﬂy summarize the properties of self-sustained oscillatory systems.
This oscillator is anactive system. It contains an internalsource of energy
that is transformed into oscillatory movement. Being isolated, the oscillator continues to generate the same rhythm until the source of energy expires.

1.2 Synchronization: just a description 9
Mathematically, it is described by anautonomous(i.e., without explicit time
dependence) dynamical system.
The form of oscillation is determined by the parameters of the system and
does not depend on how the system was “switched on”, i.e., on the transient
to steady oscillation.
The oscillation is stable to (at least rather small) perturbations: being disturbed, the oscillation soon returns to its original shape.
Examples of self-sustained oscillatory systems are electronic circuits used for
the generation of radio-frequency power, lasers, Belousov–Zhabotinsky and other oscillatory chemical reactions, pacemakers (sino-atrial nodes) of human hearts or artiﬁcial pacemakers that are used in cardiac pathologies, and many other natural and artiﬁcial systems. As we will see later, an outstandingcommon feature of such
systems is their ability to be synchronized.
Characterization of a rhythm: period and frequency
Self-sustained oscillators can exhibit rhythms of various shapes, from simple sine- like waveforms to a sequence of short pulses. Now we quantify such rhythms using our particular example – the pendulum clock. The oscillation of the pendulum is periodic (Fig. 1.6b), and theperiodTis the main characteristic of the clock. In-
deed, the mechanism that rotates the hands actually counts the number of pendulum
oscillations, so that its period constitutes the base time unit.
Often it is convenient to characterize the rhythm by the number of oscillation
cycles per time unit, or by the oscillationcyclic frequency
f=
1
T
.
(a) (b)
α
time
period T
α
Figure 1.6.(a) An example of a self-sustained oscillator, the pendulum clock. The
potential energy of the lifted weight is transformed into oscillatory motion of the
pendulum and eventually in the rotation of hands. (b) The motion of the pendulum is
periodic, i.e., its angleαwith respect to the vertical varies in time with the periodT.

10 Introduction
In the theoretical treatment of synchronization, theangular frequencyω=2πf=
2π/Tis often more convenient; below we often omit the word “angular” and call
it simply the frequency. Later on we will see that the frequency can be changed
because of the external action on the oscillator, or due to its interaction with another
system. To avoid ambiguity, we call the frequency of the autonomous (isolated)
system thenatural frequency.
Coupling of oscillating objects
Now suppose that we have not one clock, but two. Even if they are of the same type
or are made by the same fabricator, the clocks seem to be identical, but they are not.
Some ﬁne mechanical parameters always differ, probably by a tenth of a per cent, but
this tiny difference causes a discrepancy in the oscillatory periods. Therefore, these
twoclocks show a slightly different time, and if we look at them at some instant of
time, then typically we ﬁnd the pendula in different positions (Fig. 1.7).
Let us now assume that these two nonidentical clocks are not independent, but
interact weakly. There might be different forms of interaction, orcoupling, between
these two oscillators. Suppose that the two clocks are ﬁxed on a common support,
and let this be a not absolutely rigid beam (Fig. 1.8), as it was in the original
observation of Huygens. This beam can bend, or it may vibrate slightly, moving
from left to right, this does not matter much. What is really important is only that the
motion of each pendulum is transmitted through the supporting structure to the other
pendulum and, as a result, both clocks “feel” each other: they interact through the
vibration of the common support. This vibration might be practically imperceptible;
in order to detect and visualize it one has to perform high-precision mechanical
measurements. However, in spite of its weakness, it may alter the rhythms of both
clocks!
(a) (b)
time
period T
1
period T
21
2
1,2
α
α
α
Figure 1.7.Two similar pendulum clocks (a) cannot be perfectly identical; due to a
tiny parameter mismatch they have slightly different periods (hereT
2>T1) (b).
Therefore, if we look at them at some arbitrary moment of time, the pendula are,
generally speaking, in different positions:α
1ceα2.

1.2 Synchronization: just a description 11
Adjustment of rhythms: frequency and phase locking
Experiments show that even a weak interaction can synchronize two clocks. That
is, two nonidentical clocks which, if taken apart, have different oscillation periods,
when coupled adjust their rhythms and start to oscillate with a common period.
This phenomenon is often described in terms of coincidence of frequencies as
frequency entrainmentorlocking:
2
if two nonidentical oscillators having their
own frequenciesf
1andf 2are coupled together, they may start to oscillate with a
common frequency. Whether they synchronize or not depends on the following two
factors.
1. Coupling strength
This describes how weak (or how strong) the interaction is. In an experimental
situation it is not always clear how to measure this quantity. In the experiments
described above, it depends in a complicated manner on the ability of the supporting
beam to move. Indeed, if the beam is absolutely rigid, then the motions of pendula
do not inﬂuence the support, and therefore there is no way for one clock to act on
the other. If the clocksdo not interact, the coupling strength is zero. If the beam is
not rigid, but can vibrate longitudinally or bend, then an interaction takes place.
2. Frequency detuning
Frequency detuningormismatchhf=f 1−f2quantiﬁes how different the
uncoupled oscillators are. In contrast to the coupling strength, in experiments with
clocks detuning can be easily measured and varied. Indeed, one can tune the fre-
quency of a clock by altering the pendulum length.
3
Thus, we can ﬁnd out how
the result of the interaction (i.e., whether the clocks synchronize or not) depends
2
We use “entrainment” and “locking” as synonyms (see terminological remarks in
Section 1.3.1).
3
Mechanical clocks usually have a mechanism that easily allows one to do this. The process is
used to force the clock to go faster if it is behind the exact time, and to force it to slow down if
it is ahead.
1
2
α
α
Figure 1.8.Two pendulum
clocks coupled through a
common support. The beam
to which the clocks are ﬁxed
is not rigid, but can vibrate
slightly, as indicated by the
arrows at the top of the
ﬁgure. This vibration is
caused by the motions of
both pendula; as a resultthe
two clocks “feel” the
presence of each other.

12 Introduction
on the frequency mismatch. Imagine that we perform the following experiment.
First we separate two clocks (e.g., we put them in different rooms) and measure
their frequenciesf
1andf 2. Having done this, we put the clocks on a common
support, and measure the frequenciesF
1andF 2of thecoupledsystems. We can
carry out these measurements for different values of the detuning to obtain the
dependence of5F=F
1−F2on5f. Plotting this dependence we get a curve
as shown in Fig. 1.9, which istypical for interacting oscillators, independent of
their nature (mechanical, chemical, electronic, etc.). Analyzing this curve we see
that if the mismatch of autonomous systems is not very large, the frequencies of
two clocks (two systems) become equal, orentrained, i.e., synchronization takes
place. We emphasize that the frequenciesf
1,2andF 1,2have to be measured for
the same objects, but in different experimental conditions:f
1,2characterize free
(uncoupled, or autonomous) oscillators, whereas the frequenciesF
1,2are obtained
in the presence of coupling. Generally, we expect the width of the synchronization
region to increase with coupling strength.
A close examination of synchronous states reveals that the synchronization of
two clocks can appear in different forms. Itmay happen that two pendula swing in a
similar manner: for example, they both move to the left, nearly simultaneously attain
the leftmost position and start to move to the right, nearly simultaneously cross the
vertical line, and so on. The positions of the pendula then evolve in time in the way
shown in Fig. 1.10a. Alternatively, one may ﬁnd that two pendula always move in
opposite directions: when the ﬁrst pendulum attains, say, the leftmost position, the
second pendulum attains the rightmost one; when they cross the vertical line, they
move in opposite directions (Fig. 1.10b). To describe these two obviously distinct
regimes, we introduce the key notion of synchronization theory, namely thephase
of an oscillator.
We understand the phase as a quantity that increases by 2πwithin one oscil-
latory cycle, proportional to the fraction of the period (Fig. 1.11). The phase un-
ambiguously determines the state of a periodic oscillator; like time, it parametrizes
∆
F
region
∆f
synchronization
Figure 1.9.Frequency vs.
detuning plot for a certain
ﬁxed strength of interaction.
The difference of
frequencies5Fof two
coupled oscillators is plotted
vs. the detuning (frequency
mismatch)5fof uncoupled
systems. For a certain range
of detuning the frequencies
of coupled oscillators are
identical (5F=0),
indicating synchronization.

1.2 Synchronization: just a description 13
the waveform within the cycle. The phase seems to provide no new information
about the system, but its advantage becomes evident if we consider the difference
α
(b)(a)
timetime
1,21,2
Figure 1.10.Possible synchronous regimes of two nearly identical clocks: they may
be synchronized almost in-phase (a), i.e., with the phase differenceφ
2−φ1≈0, or
in anti-phase (b), whenφ
2−φ1≈π.
4π
0
2π
period T
time
time
process
phase
Figure 1.11.The deﬁnition
of phase. The phase of a
periodic oscillation grows
uniformly in time and gains
2πat each period.

14 Introduction
of the phases
4
of two clocks. This helps us to distinguish between two different
synchronous regimes.
If two pendula move in the same direction and almost simultaneously attain,
say, the rightmost position, then their phasesφ
1andφ 2are close and this state is
calledin-phase synchronization(Fig. 1.10a). If we look at the motions of pendula
precisely (we would probably need rather complicated equipment in order to do
this), we can detect that the motions are not exactly simultaneous. One clock that
was initially faster is a little bit ahead of the second one, so that one can speak of
aphase shiftbetween two oscillations. This phase shift may be very small, in the
case of two clocks it may be not visible to the unaided eye, but it is always present
if two systems have initially different oscillation periods, or different frequencies.
If the pendula of two synchronized clocks move in opposite directions then one
speaks of synchronization inanti-phase(Fig. 1.10b). Exactly this synchronous state
was observed and described by Christiaan Huygens. A recent reconstruction of this
experiment carried out by I. I. Blekhman and co-workers and theoretical investi-
gations demonstrate that both in- and anti-phase synchronous regimes are possible
[Blekhman 1981], depending on the way the clocks are coupled (see Section 4.1.1
for details). Again, the oscillationsof two clocks are shifted not exactly by half of
the period – they are not exactly in anti-phase, but there exists an additional small
phase shift.
The onset of a certain relationship between the phases of two synchronized
self-sustained oscillators is often termedphase locking. Here we have described
its simplest form; in the next chapters we consider more general forms of phase
locking.
This imaginary experiment demonstrates the hallmark of synchronization, i.e.,
being coupled, two oscillators with initially different frequencies and independent
phases adjust their rhythms and start to oscillate with a common frequency; this
also implies a deﬁnite relation between the phases of systems. We would like to
emphasize that thisexact identityof frequencies holds within a certain range of
initial frequency detuning (and not at one point as would happen for an occasional
coincidence).
1.2.2What is NOT synchronization?
The deﬁnition of synchronization just presented contains several constraints. We
would like to emphasize them by illustrating the notion of synchronization with
several counter-examples.
4
Phase can be introduced in two different, although related, ways. One can reset it to zero at the
beginning of each cycle, and thus consider it on the interval from 0 to 2π; alternatively, one can
sum up the gain in phase and, hence, let the phase grow inﬁnitely. These two deﬁnitions are
almost always equivalent because usually only the difference between the phases is important.

1.2 Synchronization: just a description 15
There is no synchronization without oscillations in autonomous systems
First, we would like to stress the difference between synchronization and another
well-known phenomenon in oscillating systems, namely resonance. For illustration
we take a system that is to some extent similar to the clock, because its oscillatory
element is also a pendulum. Let this pendulum rotate freely on a horizontal shaft
and have a magnet at its free end (Fig. 1.12). The pendulum is not a self-sustained
system and cannot oscillate continuously: being kicked, it starts to oscillate, but this
free oscillation decays due to friction forces. The frequencyf
0of free oscillations
(the eigenfrequency) is determined by the geometry of the pendulum and, for small
oscillations, it does not depend on the amplitude. To achieve a nondecaying motion
of the pendulum we place nearby an electromagnet fed by an alternating electrical
current with frequencyf. Correspondingly, the pendulum is forced by the periodical
magnetic ﬁeld. This oscillation is only visible if the frequency of the magnetic
forcefis close to the eigenfrequencyf
0, otherwise it is negligibly small; this
is the well-known resonance phenomenon.After initial transience, the pendulum
oscillates with the frequency of the magnetic ﬁeldf. If this frequency were to
vary, the frequency of the pendulum’s oscillation would also vary. This seems to
be the entrainment phenomenon described above, but it is not! This case cannot be
considered as synchronization because one of two interacting systems, namely the
pendulum, has no rhythm of its own. If we decouple the systems, e.g., if we place
a metal plate between the electromagnet and the pendulum, the latter will stop after
some transience. Hence, we cannot speak of an adjustment of rhythms here.
Synchronous variation of two variables does not necessarily imply
synchronization
Second, our understanding of synchronization implies that the object we observe can
be separated into different subsystems that can (at least in principle, not necessarily
in a particular experiment) generate independent signals. Thus we exclude the cases
when two oscillating observables are just different coordinates of a single system.
Consider, e.g., the velocity and the displacement of the pendulum in a clock; obvi-
ously these observables oscillate with a common frequency and a deﬁnite phase
N
S
Figure 1.12.Resonance is
not synchronization! The
magnetic pendulum
oscillates in the
electromagnetic ﬁeld with
the frequency of the electric
current. This is an example
of a forced system that has
no rhythm of its own: if the
pendulum is shielded from
the electromagnet then its
oscillation decays.

16 Introduction
shift, but there cannot be any velocity without displacement and vice versa. Of
course, in such a trivial example the nonrelevance of the notion of synchronization
is evident, but in some complex cases it may not be obvious whether the observed
signals should be attributed to one or to different systems.
We can illustrate this with the following example from population dynamics. The
variation of population abundances of interacting species is a well-known ecological
phenomenon; a good example is the hare–lynx cycle (Fig. 1.13). The numbers of
predators and prey animals vary with the same period,T≈10 years, so that one
can say that they vary synchronously with some phase shift. This plot resembles
Fig. 1.10, but nevertheless wecannot speak of synchronization here because this
ecological system cannot be decomposed into two oscillators. If the hares and lynxes
were separated, there would be no oscillations at all: the preys would die out, and
thenumber of predators would be limited by the amount of availablefood and
other factors. Hares and lynxes represent two components of the same system. We
cannot consider them as two subsystems having their own rhythms and, hence, we
cannot speak about synchronization. On the contrary, it is very interesting to look
for, and indeed ﬁnd, synchronization of two (or many) hare–lynx populations which
occupy adjacent regions and which are weakly interacting, e.g., via local migration
of animals.
Too strong coupling makes a system uniﬁed
Finally, we explain what we mean by “weak coupling”, again using our “virtual”
experiment. At the same time (we can also say “synchronously”) we illustrate again
1850 1870 1890 1910 1930
Years
0
50
100
150
Thousands
hare
lynx
Figure 1.13.A classical set of data (taken from [Odum 1953]) for a predator–prey
system: the Canadian lynx and snowshoe hare pelt-trading records of the Hudson
Bay Company over almost a century. The notion of synchronization is not
appropriate here because the lynxes and hares constitute a nondecomposable system.

1.2 Synchronization: just a description 17
the difference between the terms “synchronous motion” and “synchronization”.
Again, we take two clocks and mechanically connect the pendula with a rigid link
(Fig. 1.14). Obviously, the clocks either stop, or the pendula move synchronously.
We would not like to denote this trivial effect as synchronization: the coupling is not
weak, it imposes too strong limitations on the motion of two systems, and therefore
it is natural to consider the whole system as nondecomposable.
So, the possibility of separating several oscillating subsystems of a large system
may depend on the parameters. Usually it is rather difﬁcult, if at all possible, to de-
termine strictly what can be considered as weak coupling, where the border between
“weak” and “strong” lies, and, in turn, whether we are lookingat a synchronization
problem or should be studying the new uniﬁed system. In rather vague terms, we can
say that the introduction of coupling should not qualitatively change the behavior of
eitherone of the interacting systems and should not deprive the systemsof their
individuality. In particular, if one system ceases to oscillate, it should not prevent
the second one keeping its own rhythm.
To summarize, if, in an experiment, we observe two variables that oscillate
seemingly synchronously, it does not necessarily mean that we encounter synchro-
nization. To call a phenomenon synchronization, we must be sure that:
we analyse the behavior of two self-sustained oscillators, i.e., systems
capable of generating their own rhythms;
the systems adjust their rhythms due to weak interaction;
the adjustment of rhythms occurs in a certain range of systems’ mismatch; in
particular, if the frequency of one oscillator is slowly varied, the second system follows this variation.
Correspondingly, a single observation is not sufﬁcient to conclude on synchroniza-
tion. Synchronization isa complex dynamical process, not a state.
Figure 1.14.An example
of whatcannotbe
considered as weak
coupling.

18 Introduction
1.3Synchronization: an overview of different cases
Thus far we have mentioned many examples of cooperative behavior of diverse
oscillating objects, from simple mechanical or electrical devices to living systems.
Now we want to list different forms of synchronization. In doing this we do not
pay attention to the origin of the oscillations (i.e., whether they are produced by an
electronic circuit or by a living cell) or the interaction (i.e., whether it takes place
via a mechanical link or via some chemical mediator) but rather to certain general
properties, e.g., whether the oscillations are periodic or irregular, or whether the
coupling is bi- or unidirectional. This is not a full and rigorous classiﬁcation, just a
brief discussion of the main problems of synchronization theory that are addressed
in this book.
The main example of the previous section – two interacting pendulum clocks
– illustrates an important case that is denotedmutual synchronization(see also
Chapters 4 and 8). Indeed, these two objects equally affect each other and mutually
adjust their rhythms. It may also be that one oscillator is subject to an action that is
completely independent of the oscillations of this driven system. We start with the
description of such a case and then proceed to some more complex situations.
Synchronization by an external force (Chapters 3 and 7)
Synchronization was discovered by Huygens as a side effect of his efforts to create
high-precision clocks. Nowadays, this effect is employed to provide a precise and
inexpensive measurement of time by means of radio-controlled clocks. Here, a
weak broadcasted signal from a very precise central clock makes once-a-minute
small adjustments to the rhythm of other clocks and watches, thus entraining them
and making improvements in their quality superﬂuous. We emphasize the essential
difference between radio-controlled and the “railway station clocks”. The former
are self-sustained oscillators and are therefore able to show the time (although not
so precisely) even in the absence of synchronizing radio signals. On the contrary,
railway station clocks are usually passive systems that are simply controlled by an
electrical signal; they do not function if this signal disappears. Actually, these station
clocks are nothing else than one (central) clock with many distant faces; hence, the
notion of synchronization is not applicable here.
A similar synchronization scheme has been “implemented” by nature for the
adjustment of biological clocks that regulate daily (circadian) and seasonal rhythms
of living systems – from bacteria to humans. For most people the internal period
of these clocks differs from 24 h, but it is entrained by environmental signals,
e.g., illuminance, having the period of the Earth’s rotation. Obviously, the action
here is unidirectional: the revolution of a planet cannot be inﬂuenced by mankind
(yet); thus, this is another example of synchronization by an external force. In
usual circumstances this force is strong enough to ensure perfect entrainment; in
order to desynchronize a biological clock one can either travel to polar regions or

1.3 Synchronization: an overview of different cases 19
go caving. It is interesting that although normally the period of one’s activity is
exactly locked to that of the Earth’s rotation, the phase shift between the internal
clock and the external force varies from person to person: some people say that
they are “early birds” whereas others call themselves “owls”. Perturbation of the
phase shift strongly violates normal activity. Every day many people perform such
an experiment by rapidly changing their longitude (e.g., crossing the Atlantic) and
experiencing jet lag. It can take up to several days to re-establish a proper phase re-
lation to the force; in the language of nonlinear dynamics one can speak of different
lengths of transients leading to the stable synchronous state.
Ensembles of oscillators and oscillatory media (Chapters 4, 11 and 12)
In many natural situations more than two oscillating objects interact. If two os-
cillators can adjust their rhythms, we can expect that a large number of systems
could do the same. One example has already been mentioned in Section 1.1: a large
population of ﬂashing ﬁreﬂies constitutes what we can call an ensemble of mutu-
ally coupled oscillators, and can ﬂash in synchrony. A very similar phenomenon,
self-organization in a large applauding audience, has probably been experienced by
every reader of this book, e.g., in a theater. Indeed, if the audience is large enough,
then one can often hear a rather fast (several oscillatory periods) transition from
noiseto a rhythmic, nearly periodic, applause. This happens when the majority of
the public applaud in unison, or synchronously.
A ﬁreﬂy communicates via light pulses with all other insects in the population,
and a person in a theater hears every other member of the audience. In this case one
speaks ofglobal(all-to-all) coupling. There are other situations when oscillators are
ordered into chains or lattices, where each element interacts only with its several
neighbors. Such structures are common for man-made systems, examples are laser
arrays and series of Josephson junctions, but may also be encountered in nature.
So, mammalian intestinal smooth muscle may be electrically regarded as a series of
loosely coupled pacemakers having intrinsic frequencies. Their activity triggers the
muscle contraction. Experiments show that neighboring sources often adjust their
frequencies and form synchronous clusters.
Quite often we cannot single out separate oscillating elements within a natural
object. Instead, we have to consider the system as a continuous oscillatory medium,
as it is in the case of the Belousov–Zhabotinsky chemical reaction. This can be
conducted, e.g., in a thin membrane sandwiched between two reservoirs of reagents.
Concentrations of chemicals vary locally, and collective oscillations that have a
common frequency can be interpreted as synchronization in the medium.
Phase and complete synchronization of chaotic oscillators (Chapters 5, 10
and Part III)
Nowadays it is well-known that self-sustained oscillators, e.g., nonlinear electronic
devices, can generate rather complex,chaoticsignals. Many oscillating natural

20 Introduction
systems also exhibit rather complex behavior. Recent studies have revealed that such
systems, being coupled, are also able to undergo synchronization. Certainly, in this
case we have to specify this notion more precisely because it is not obvious how to
characterize the rhythm of a chaotic oscillator. It is helpful that sometimes chaotic
waveforms are rather simple, like the example shown in Fig. 1.15. Such a signal is
“almost periodic”; we can consider it as consisting of similar cycles with varying
amplitude and period (which can be roughly deﬁned as the time interval between
the adjacent maxima). Fixing a large time intervalτ, we can count the number of
cycles within this intervalN
τ, compute themean frequency
f=
N
τ
τ
,
and take this ascharacterization of the chaotic oscillatory process.
With the help of mean frequencies we can describe the collective behavior of
interacting chaotic systems in the same way as we did for periodic oscillators. If the
coupling is large enough (e.g., in the case of resistively coupled electronic circuits
this means that the resistor should be sufﬁciently small), the mean frequencies of two
oscillators becomeequal and a plot such as that shown in Fig. 1.9 can be obtained.
It is important that coincidence of mean frequencies does not imply that the signals
coincide as well. It turns out that weak coupling does not affect the chaotic nature
of both oscillators; the amplitudes remain irregular and uncorrelated whereas the
frequencies are adjusted in a fashion that allows us to speak of the phase shift between
0 1020304050
time
–18
–8
2
12
22
x
T
iT
i+1
T
i+2
Figure 1.15.An example of the chaotic oscillation obtained by simulation of the
R¨ossler system (it can be considered as a model ofa generalized chemical reaction)
[R¨ossler 1976]. (The R¨ossler system, as well as other dynamical models discussed in
this book (e.g., the Lorenz and the van der Pol models), are usually written in a
dimensionless form. Therefore, in Figs. 1.15, 1.16 and numerous other ﬁgures in this
book, both the time and the time-dependent variables are dimensionless.) The
interval between successive maxima irregularly varies from cycle to cycle,
T
iceTi+1ceTi+2, as well as the height of the maxima (the amplitude). Although
the variability ofT
iis in this particular case barely seen, in general it can be rather
large; therefore we characterize the rhythm via an average quantity, the mean
frequency.

1.3 Synchronization: an overview of different cases 21
the signals (see Fig. 1.16c and compare it with Fig. 1.10a). This is denotedphase
synchronizationof chaotic systems.
Very strong coupling tends to make the states of both oscillators identical. It in-
ﬂuences not only the mean frequencies but also the chaotic amplitudes. As a result,
the signals coincide (or nearly coincide) and the regime ofcomplete synchronization
sets in (Fig. 1.16e, f).
Synchronization phenomena can be also observed in large ensembles of mutually
coupled chaotic oscillators and in spatial structures formed by such systems. These
effects are also discussed in the book.
0 50 100
time
–20
0
20
x
1
,x
2
–20 0 20
x
1
–20
0
–20
x
2
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figure 1.16.Two chaotic signalsx 1,x2originating from nonidentical uncoupled
systems are shown in (a). Within the time interval shown they have 21 and 22
maxima, respectively, hence the mean frequencies are different. Introduction of
coupling between the oscillators adjusts the frequencies, although the amplitudes
remain different (c). The plot ofx
1vs.x2(d) now shows some circular structure that
is typical in the case of two signals with equal frequencies and a constant phase shift
(compare with (b), where no structure is seen). Strong coupling makes the two
signals nearly identical ((e) and (f)).

22 Introduction
What else is in the book
Relaxation oscillators (Sections 2.4.2, 3.3 and 8.3)
Quite often the oscillation waveforms are very far from sinusoidal. Many oscillators
exhibit alternation of the epochs of “silence” and rapid activity; examples are con-
tractions of the heart and spiking of neurons. Such systems are calledrelaxation
oscillators, and a popular model is theintegrate-and-ﬁre oscillator. Understanding
synchronization of such systems is important, e.g., in the context of neuroscience (neu-
ronal ensembles) and cardiology (interaction of primary and secondary pacemakers of
the heart).
Rotators (Sections 4.1.8 and 7.4)
Mechanical systems with rotating elementsrepresent a special kind ofobjects that are
able to synchronize. An electrical analog of rotators are the superconductive Josephson
junctions. Synchronization of such systems is important for engineering applications.
Noise (Section 3.4, Chapter 9)
Periodic oscillators are idealized models of natural systems. Real systems cannot be
considered perfectly isolated from the environment and are, therefore, always subject
to different irregular perturbations. Besides, the internal parameters of oscillating
objects slightly vary, e.g., due to thermal ﬂuctuations. Thus, to be realistic, we have to
study the properties of synchronization in the presence of noise.
Inferring synchronization from data (Chapter 6)
A stand-alone problem is an experimental investigation of possibly coupled oscillators.
Quite often, especially in biological or geophysical applications, measured signals
are much more complex than periodic motions of a clock’s pendulum, and just an
observation does not help here: special data analysis techniques are required to reveal
synchronization. Moreover, sometimes wehave no access to the parameters of the
systems and coupling, but can only observe the oscillations. For example, the human
organism contains a number of oscillators, such as the rhythmically contracting heart
and respiratory system. Unlike the described “virtual” experiment with clocks, it is
impossible (or, at least, very difﬁcult) to tune these systems or to inﬂuence the coupling
strength. The only way to detect the interaction is to analyze the oscillations registered
under free-running conditions.
1.3.1
Terminological remarks
It appears very important to deﬁne the vocabulary of synchronization theory. Indeed,
the understanding of such basic terms assynchronization,lockingandentrainment
differs, reﬂecting the background, individual viewpoints and taste of a researcher. In
order to avoid ambiguity we describe here howweunderstand these terms.

1.4 Main bibliography 23
We emphasize that we do not propose any general deﬁnition ofsynchronizationthat
covers all the effects in interacting oscillatory systems. We understand synchronization
as the adjustment of rhythms due to interaction and we specify this notion in particular
cases, e.g., in considering noisy and chaotic oscillators. Generally, we do not restrict
this phenomenon to a complete coincidence of signals, as is sometimes done.
We do not imply different meanings of the termslockingandentrainment; through-
out the book these words are used as synonyms. We stress that we understand phase
lockingnot as the equality of phases, but in a wider sense, that includes the constant
phase shift and (small) ﬂuctuations of the phase difference. That is, we say that the
phasesφ
1andφ 2aren:mlocked if the inequality|nφ 1−mφ 2|<constant holds.
In considering interacting chaotic systems we distinguish different stages of syn-
chronization. In this context, the termphase synchronizationis used to denote the state
when only a relation between the phases of interacting systems sets in, whereas the
amplitudes remain chaotic and can be nearly uncorrelated. This state can be described
in terms of phase locking as well, and the words “phase synchronization” are used
here to distinguish it from thecomplete synchronizationwhen the chaotic processes
become identical. The latter state is also frequently termed a full or an identical
synchronization.
We emphasize that “oscillator”, if not stated explicitly otherwise, means a self-
sustained system. Such systems are sometimes denoted by the terms “self-oscillatory”
(“auto-oscillatory”) or “self-excited”. By “limit cycle” we, according to the main
object of our interest, mean here only the attractor of the self-sustained oscillator,
not of the periodically forced system.
1.4
Main bibliography
Here we cite only some books and review articles. This list is deﬁnitely not com-
plete, because descriptions of synchronization phenomena can be found in many other
monographs and textbooks.
The only books solely devoted to synchronization problems are those by
I. I. Blekhman [1971; 1981]; they primarily address mechanical oscillators, pendulum
clocks in particular, systems with rotating elements, technological equipment, but also
some electronic and quantum generators, chemical and biological systems.
A brief and popular introduction to synchronization can be found in [Strogatz and
Stewart 1993]. An introduction to the synchronization theory illustrated by various
biological examples is given in [Winfree 1980; Glass and Mackey 1988; Glass 2001].
The theory of synchronization of self-sustained oscillators by a harmonic force in
the presence of noise was developed by R. L. Stratonovich [1963]. The inﬂuence of
noise on mutual synchronization of two oscillators, synchronization by a force with
ﬂuctuating parameters and other problems are described by A. N. Malakhov [1968].
Different aspects of synchronization phenomena are studied in the monograph by
P. S. Landa [1980]: synchronization of a self-sustained oscillator by an external force,

24 Introduction
mutual synchronization of two, three and many oscillators, impact of noise on the syn-
chronization and entrainment of an oscillator by a narrow-band noise, synchronization
of relaxation oscillators.
Y. Kuramoto [1984] developed the phase approximation approach that allows a uni-
versal description of weakly coupled oscillators. His book also presents a description
of synchronization in large populations and synchronization of distributed systems
(media). Some aspects of synchronization in spatially distributed systems, formation
of synchronous clusters due to the effect of ﬂuctuations, synchronization of globally
(all-to-all) coupled oscillators with an emphasis on application to chemical and bi-
ological systems are discussed in [Romanovskyet al.1975, 1984]. Synchronization
effects in lasers are described in [Siegman 1986].
Synchronization of chaotic systems is addressed in chapters by Neimark and Landa
[1992] and Anishchenko [1995]. We also mention a collection of papers and review
articles [Schuster (ed.) 1999], as well as journal special issues on synchronization of
chaotic systems [Pecora (ed.) 1997; Kurths(ed.) 2000].
We assume that the readers of Parts II and III of this book are acquainted with
the basics of nonlinear science. If this is not the case, we can recommend the follow-
ing books for anintroductory reading on oscillation theory and nonlinear dynamics:
[Andronovet al.1937; Teodorchik 1952; Bogoliubov and Mitropolsky 1961; Hayashi
1964; Nayfeh and Mook 1979; Guckenheimer and Holmes 1986; Buteninet al.1987;
Rabinovich and Trubetskov 1989; Glendinning 1994; Strogatz 1994; Landa 1996]. In
particular, [Rabinovich and Trubetskov 1989; Landa 1996] contain chapters highlight-
ing the main problems of synchronization theory.
The reader wishing to know more about chaotic oscillations has many options,
from introductory books [Moon 1987; Peitgenet al.1992; Tuﬁllaroet al.1992;
Lorenz 1993; Hilborn 1994; Strogatz 1994; Baker and Gollub 1996] to more advanced
volumes [Guckenheimer and Holmes 1986; Schuster 1988; Wiggins 1988; Devaney
1989; Wiggins 1990; Lichtenberg and Lieberman 1992; Neimark and Landa 1992; Ott
1992; Argyriset al.1994; Alligoodet al.1997].

PartI
Synchronization without formulae

Chapter2
Basic notions: the self-sustained oscillator
and its phase
In this chapter we specify in more detail the notion of self-sustained oscillators that
was sketched in the Introduction. We argue that such systems areubiquitous in nature
and engineering, and introduce their universal description in state space and their
universal image – the limit cycle. Next, we discuss the notion and the properties of
the phase, the variable that is of primary importance in the context of synchronization
phenomena. Finally, we analyze several simpleexamples of self-sustained systems,
as well as counter-examples. In this way we shall illustrate the features that make
self-sustained oscillators distinct from forced and conservative systems; in the fol-
lowing chapters we will show that exactly these features allow synchronization to
occur. Our presentation is not a systematic and complete introduction to the theory
of self-sustained oscillation: we dwell only on the main aspects that are important for
understanding synchronization phenomena.
The notion ofself-sustained oscillatorswas introduced by Andronov and Vitt [An-
dronovet al.1937]. Although Rayleigh had already distinguished between maintained
and forced oscillations, and H. Poincar´e had introduced the notion of thelimit cycle,
it was Andronov and Vitt and their disciples who combined rigorous mathematical
methods with physical ideas. Self-sustained oscillators are a subset of the wider class
ofdynamical systems. The latter notion implies that we are dealing with a determin-
istic motion, i.e., if we know the state of a system at a certain instant in time then we
can unambiguously determine its state in the future. Dynamical systems are idealized
models that do not incorporate natural ﬂuctuations of the system’s parameters and
other sources of noise that are inevitable in real world objects, as well as the quan-
tum uncertaintyof microscopic systems. In the 1930s only periodic self-oscillations
were known. Nowadays, irregular, orchaoticself-sustained oscillators are also well-
studied; we postpone consideration of such systems till Chapter 5.
27

28 Basic notions
2.1Self-sustained oscillators: mathematical models of
natural systems
2.1.1Self-sustained oscillations are typical in nature
What is the common feature of such diverse oscillating objects as a vacuum tube radio
generator, a pendulum clock, a ﬁreﬂy that emits light pulses, a contracting human
heart and many other systems? The main universal property is that these are all active
systems that taken apart, or beingisolated, continue to oscillate in their own rhythms.
This rhythm is entirely determined by the properties of the systems themselves; it is
maintained due to an internal source of energy that compensates thedissipationin the
system. Such oscillators are calledautonomousand can be described within a class of
nonlinearmodels that are known in physics and nonlinear dynamics asself-sustained
or self-oscillatory (auto-oscillatory) systems.
1
Quite often we can verify that an oscillator is self-sustained if we isolate it from
the environment and check whether it still oscillates. So, one can isolate a ﬁreﬂy (or a
cricket) from other insects, put it into a place with a constant temperature, illuminance,
etc., and observe that, even being alone, it nevertheless produces rhythmic ﬂashes
(chirps). One can isolate a plant, an animal, or a human volunteer and establish that
they stillexhibit the rhythms of daily activity. Such experiments have been carried
out by many researchers after de Mairan
2
, and these studies clearly demonstrated
that circadian rhythms exist in the absence of 24-hour external periodic perturbations.
Thus, these rhythms are generated by an active, self-sustained system – a biological
clock – in contrast to other process having the same periodicity, namely tidal waves.
Tides are caused by the daily variation of gravitational forces due to the Moon. Al-
though we cannot isolate oceans from this perturbation, the mechanism of the tides is
well-understood and we know that the ocean is not a self-sustained oscillator; these
oscillations would vanish in the absence of the periodic force, i.e., ifthere were no
Moon.
Below we consider without any further discussion many natural rhythms, e.g.,
physiological, as self-sustained oscillations. The reason for this is that the systems
which generate these rhythms are necessarily dissipative and therefore long-lasting
rhythmical processes can only be maintained at the expense of some energy source.
Hence, if it is evident that these systems are autonomous then we conclude that they
are self-sustained.
1
In radiophysics and electrical engineering the term “generator” is traditionally used as a
synonym of a self-sustained oscillatory system. In the following, if not said explicitly
otherwise, we use the word “oscillator” as a short way of saying “self-sustained system”. See
also the terminological remarks in Section 1.3.1.
2
See the historical introduction in Section 1.1.

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quelle mie peregrinazioni! Come tutta scintillava di pace benigna la
gran tavola della casa!
— E il vecchio passero sta bene? — domandai posando la mano su la
spalla della mamma che stava dando un'ultima occhiata all'arrosto,
su cui il fuoco lento avea disegnato larghe chiazze brunite.
— Bene come un papa! — ella rispose. E il passero in quell'istante,
come per rispondere direttamente alla domanda, fece — ci! ci! —
perchè certo un raggio di sole era giunto sino alla sua gabbia.
— Di mezzogiorno ci batte il sole perchè canta? — domandai.
— A mezzogiorno arriva sino a lui e allora fa due o tre stridi; poi non
si sente più tutto il giorno. È un rusticone!...
*
Il pranzo fu lieto da principio, poi volse a tristezza, giacchè non
sempre il vino desta gioconde imagini. Eravamo noi due soli, come
da tanti anni. Si parlò di molte cose passate, e ciò avvenne
naturalmente per la ragione che tanto per la mamma come per me
l'avvenire si è chiuso e ben sappiamo che cosa ci è dato in ventura.
Ciò toglie forse lietezza, ma in verità non aggiunge timore. La via è
segnata almeno così. Trascorra almeno con la benedizione del
Signore e con la coscienza di non aver fatto piangere nessuno!
Si parlò dunque del passato: profili dolci e melanconici di chi non è
più, sorgevano evocati attorno a noi, come volessero assidersi alla
antica mensa.
Vero è però che quando la coscienza è in pace il parlare dei morti e
coi morti non dà sconforto nè tristezza.
*
Le due bottiglie erano vuotate, io le avea ben vuotate: un bisbiglio
sommesso e accorato veniva dalla cucina: era la vecchia fantesca
che avea finito di accudire alle sue faccende e avea cominciato la
lunga interminabile serie delle preghiere vespertine.

Il passero fece: — ci, ci!
— Oh si sveglia, — fece la mamma.
Poco dopo una zona di sole che fasciava la stanza, si affievolì
languidamente, poi si ritrasse come luce che vien meno.
Un ritratto mio di quando era in collegio a Venezia pendeva dalla
parete: era un gruppo di tutti i convittori insieme ai maestri. Lo
avevamo fatto — ricordo benissimo — il giorno prima della licenza
Liceale. Che bel giorno di luglio fu quello! Quante melanconie,
quante lagrime, quante speranze, quante non conosciute tristezze in
quegli anni di collegio, otto anni, passati lontani dalle carezze de'
miei genitori! Io non ci volevo stare in collegio: fuori delle inferriate
della mia stanza si vedeva la laguna lucida e azzurra, infinitamente
triste quasi sotto un'oppressione di storie e di memorie, con l'isoletta
in fondo dove è il cimitero, irta di melanconici cipressi che
sporgevano su dal muro rosso di cinta. Aveva un nome l'isoletta: ma
lo ho dimenticato! Oh, che spasimo per tutto il cuore, che frenesia di
libertà, che nostalgia di te, cara mamma, e di lui che non c'è più! Io
glielo dicevo, glielo scrivevo con le lagrime: “portami via dal collegio!
„ e lui in quelle sue lettere così sobrie, così pure di schiette italiche
forme, così buone, mi diceva di pazientare, che era per il mio bene,
il mio avvenire: la mia gloria, la sua gloria.
Povero babbo! Ben poco tempo si visse assieme per fabbricar questo
sognato avvenire per cui tu lavorasti a morte, per cui io vissi schiavo
tanti anni e furono gli anni migliori!
Eppure, che fremito di libertà quel giorno....! Che impazienza
lagrimosa di uscire da quel chiostro, di prendere la vita come si
afferra una vergine donna, di berla, di goderla quella vita che,
finalmente, ci si affacciava a diciotto anni!
*
E come me, gli altri. O pure fronti giovanili, o vivaci pupille! Molte,
ora, sono spente e gran mora di terra le ricopre: molte, ora, sono
curve sotto il lavoro maledetto.

Ah, vecchio e savio maestro di filosofia, quel giorno che noi si andò a
farci quel ritratto e si correva per le calli e su per i ponti, come un
branco di selvaggi alla battaglia, ci seguivi anche tu, c'eri anche tu
con noi, vecchio dalmata savio, e una lagrima cadde dalla tua
pupilla, ma la tua parola non ne fece il commento: le tue parole non
furono se non dolci per noi e piene di speranza. Ma la lagrima voleva
dire: “anche su le vostre spalle sarà messo il basto, e chi non avrà il
peso su le spalle lo avrà forse su la coscienza, che è peggio„; ma tu
non ce l'hai detto. Tu ci guardavi melanconicamente nella nostra
giovinezza, inconscia delle cose future, non in diverso modo che io
vidi un cavallino puledro giovaneggiare in mille salti accanto alla
giumenta piena di guidaleschi, la quale guardava il suo nato con
occhi pensosi. Anche per lui il padrone a suo tempo avrebbe
preparato la soma.
Il passero fece ancora una volta: ci, ci.
— Ma si sveglia il sornione: si vede che sa che tu sei tornato e ti fa
festa! — disse la mamma.
— No, mamma: avete fatto male a chiudermi in collegio, — dissi
come conclusione di un lungo discorso. — Avete fatto male: i miei
anni di libertà non me li potete più dare indietro!
— Va là, figliuolo, o dentro o fuori, — disse ella tranquillamente, — è
tutto un collegio. Almeno così ora hai da vivere.... e da provvedere
alla tua vecchia mamma!
— Così è, così è! Meno male! — io le risposi e le diedi la mano e
lasciammo la stanzetta terrena che era buia oramai e salimmo le
scale interne che conducevano alle stanze.
Nell'anticamera, dove era appeso il passero, batteva bene il sole
tuttavia.
*
Mia mamma era solita ogni dì, dopo il pranzo, accostarsi alla gabbia
e dare un paio di sementine sbucciate al vecchio passero: il quale
graziosamente le pigliava, e poi ella si ritirava nella sua stanza.

Così ella fece anche ieri: ma il passero vedendo una faccia nuova,
esitava ad accostarsi e torceva il collo e la testolina con quell'occhio
luminoso come capocchia di nero spillo, per vedere chi ci fosse oltre
la mamma.
— È il tuo padrone: è il tuo padrone, vecchio passero: to', mangia le
sementine!
Così ella disse e fece, e poi si appartò nella sua stanza, una stanza
tiepida e senza rumore che dà su di un orticello abbandonato: e il
sole dalla finestra entra e fa risplendere i molti santi ed i cari profili
dei ritratti di chi è lontano; oh, tanto lontano che non ci si può
arrivare per quanto si viaggi e per terra e per mare: pure tutti un
giorno ci arriveremo là lontano senza viaggiare. Forse ci rivedremo
anche!
Mia madre, seduta in una gran poltrona, legge certi suoi romanzi
della vecchia scuola: versioni inverosimili di vicende anche più
inverosimili. Un romanzo della buona arte simbolica o psicologica
non sono mai riuscito a farglielo finire.
— Sarà scritto bene, figliuolo; ma è troppo difficile e vi sono troppe
melanconie: ne ho tante io!
Legge anche i giornali; ma di questi cura in speciale modo le vicende
dei re e dei principi coi quali è in molta dimestichezza. Ne sa le
genealogie, le parentele, i maritaggi; cos'ha fatto quello; cos'ha fatto
quell'altro.
Quando è incerta, si rivolge a me e mi domanda: — Chi è quella
Guglielmina? è la figlia del re tale? Come va allora che non si sposa?
Dovrebbe sposare il tale principino. E quel re X*** cosa fa che non
viaggia più? —
A queste domande io so rispondere ben poco: — Gente che ha buon
tempo, mamma! — rispondo talvolta per levarmi d'imbarazzo.
Anche ieri, come ho detto, ella si ritirò nella sua stanza. Io rimasi
solo presso la finestra, vicino alla gabbia del vecchio passero.

Io ebbi la voglia di rinnovare la antica conoscenza con lui. Diamine,
eravamo vecchi amici! Gli dicevo: “Vi ho raccolto per la via implume,
signor mio! vi ho sottratto ai monelli che vi avrebbero ucciso, al gelo,
alla fame; vi ho curato, allevato, nutrito! Pagate ora il debito di
riconoscenza che avete col vostro signore e padrone. Vi ricordate
quando facevate: ci, ci! nel corridoio luminoso, nove anni addietro, e
mi saltavate su le spalle?„
Io misi la mano nello sportello, la mia grossa mano che riempiva
tutta la gabbietta, e le cinque mie dita violente afferrarono dopo
breve contesa la piccola bestiolina, e me la accostai alle labbra.
Il cuore del passero batteva.
La mano provò una ben curiosa sensazione nello stringere una
cosina così piccola e così fragile.
Se a pena le mie dita si fossero ristrette di un mezzo centimetro,
quegli ossicini che formavano quel piccolo scheletro si sarebbero
frantumati e quel cuore si sarebbe improvvisamente arrestato: e
nessuno mi avrebbe detto niente.
La perversa tentazione! Quel soffice involucro di penne invitava a
premere fortemente tanto per sentire dove cominciava la carne e
come quel cuore avrebbe fatto a cessare. Perchè quel cuore batteva
con violenza; più forte del cuore dell'uomo in quanto che esso era un
movimento come aereo: come il pulsare di un'ala interna veloce.
“No, io non istringerò — pensai — io ti ridonerò la tua libertà. Povero
animaluccio vissuto sempre lì su quella scala, senza avere imparato
altro che a fare ci, ci! Oramai, vecchio, giusta cosa è che tu goda di
quello che solo godono gli abitatori dell'aria, finchè l'uomo non li
uccide: un po' di libertà!„
E pur tuttavia era una cosa che faceva pena sentire come quel
piccolo cuore battesse precipitosamente. Come può un piccolo
muscolo pulsare così?
Quando noi, grossi animali voraci, mangiamo un arrosto di uccelletti,
non ci avvediamo nè meno di quel piccolo cuore: lo divoriamo

assieme a tutto il resto.
Eppure è un piccolo cuore che batte così!
Ho pensato a tutte le macchine che fanno gli uomini; le uniformi e
multiformi macchine; le enormi e le minime.
Nessuna mi ricordava questo rumore meraviglioso. Egli è che questo
è un rumore vitale, e il meccanico, forse, si è chiamato Dio.
Pulsava che pareva un anelito, così grande che penetrava sin dentro
di me; così ripetuto nel tempo che io credo che in un secondo
avesse battuto dieci volte; così fragoroso che io mi voltavo qualche
volta con timore che la mamma sentisse e uscisse dalla stanza per
isgridarmi. Come non scoppia il piccolo involucro di penne?
Le due zampettine pendevano in giù inerti dal mio pugno. Una era
diritta, l'altra era quella rattrappita che avea medicato io nove anni
addietro.
— Ti ricordi, ingrato, quando io ti medicai?
E col dito dell'altra mano toccai quella testolina soffice e piatta.
Il piccolo cuore batteva oramai spaventosamente.
— Va! va! — dissi — va anche tu, va almeno tu libero! Cerca la
foresta dove vi sieno tutte le belve che nascono dalla terra e
camminano su la terra, meno l'uomo. Cercati la compagna, fatti il
nido. Va sopra la foresta: scandi l'azzurro: impara a cantare!
*
Il sole cadeva oramai dietro gli squallidi tetti; la nenia delle campane
che chiamavano per il vespero, rompeva sola il tedio immobile di
quella mia vecchia città melanconica.
— Va libero!
E lo lanciai con violenza in alto e apersi il pugno.
Il passero descrisse una breve parabola, ma non dispiegò le ali verso
l'azzurro lontano, non mandò alcun grido per salutare l'acquistata

libertà.
Cadde pesantemente sul selciato come cosa che non ha più vita.
Evidentemente, senza volerlo, io avea stretto con troppo entusiasmo
e il piccol cuore avea cessato di battere.

LE OSTRICHE DI SAN DAMIANO.
Questa semplice e faceta istoria non è toccata a me, che scrivo, ma
ad un signore a me prossimo per sangue e per la grande stima e il
più grande affetto che nutro verso di lui, giacchè egli è uomo di
singolari virtù; le quali sarebbero più conosciute e pregiate nel
mondo se un certo disdegno naturale verso gli errori e le umane
vanità, una melanconica abitudine di vivere a sè e di nutrirsi, per
così dire, della sua coscienza, una cotale timidezza e a volte
asprezza verso gli altri, non velassero lo splendore di queste virtù e
ne occultassero sin anche il profumo.
Ma basti dire di lui e veniamo alla istoria che io per facilità di
racconto riferirò in prima persona: ma avverto ancora che non si
tratta di me; prova ne sia questa: che io sono assai temperato nel
vitto e mi sostenterei come un hidalgo con un pugno di ulive secche,
mentre l'amico mio qui fa la figura di uno che è molto goloso: vizio
spiacente quant'altri mai, come definisce Dante nel canto di Ciacco
Fiorentino: e cominciamo senz'altro:
*
Avevo fame quella mattina: più fame del consueto, prima perchè
spirava dal cielo terso d'aprile un'aura montanina che faceva
amabilmente accapponar la pelle, e poi perchè l'ora dell'asciolvere
era stata ritardata di un buon quarto d'ora per esser dovuto andare
all'ufficio delle Finanza a ritirare lo stipendio.
Del resto è incredibile quanto conferisca a temprar l'appetito
l'abitudine di sfiatarsi un poco co' giovani nella scuola; e anche i
polmoni se ne avvantaggiano tanto! Quella mattina poi mi ero quasi

commosso a spiegare il canto di Romeo di Provenza e avea bisogno
vivissimo di rifarmi.
E se il mondo sapesse il cuor ch'egli ebbe,
Mendicando sua vita a frusto a frusto....
“....Proprio così!... Ma sì, entriamo qui: una volta tanto non è la
morte di nessuno. Che cosa si spenderà di più? Una lira, due a dir
molto: e d'altronde non toccammo oggi lo stipendio? nonne
meruimus hodie stipendia?„
E così dicendo fra me, senza dar tempo ad un più savio pensiero di
ritornare su la deliberazione già presa, spinsi con coraggio la vetriata
di uno dei più eleganti e rinomati restaurants della città, e mi trovai
in una magnifica sala dove de' bellissimi divani di velluto cremisi
davanti a larghi tavoli scintillanti di stoviglie e di candidi lini,
invitavano ad assidersi con tutta pace. E debbo confessare che ad
entrare di preferenza in quel caffè restaurant mi avea indotto la
reputazione della squisitissima cucina; e ne volevo fare esperienza
personale e vi sarei venuto prima se non soffrissi di una certa
“animadversione„, come si direbbe latinamente, verso i camerieri, i
quali dall'alto dei loro colletti puntati contro i menti sbarbati, vi
squadrano, vi leggono la storia della vita lì su due piedi, vi dicono
cogli occhi press'a poco così: “Tu non sei un milionario, tu non sei un
nobile, tu non sei uno scavezzacollo, tu non sei un impresario di
femine, tu non sei un affarista; tu hai tutta l'aria di un povero
galantuomo che tira la vita coi denti, oibò! Qual vento ti ha quivi
sbattuto fuor del tuo costume? Sbrigati e vattene!„ e non dicono
grazie nè anche se voi lasciate sul piatto una lauta mancia di venti
centesimi.
Così io pensava, ma vedi giudicio uman come spesso erra! Non
appena la mia persona comparve nella sala, che subito il padrone
(senza dubbio era il padrone) che troneggiava su di un alto banco di
marmo, si levò dal suo beato scanno e venne verso di me e mi fece
un graziosissimo inchino e mi sorrise in atto pieno di deferenza.

Era costui un bellissimo giovane di primo pelo, elegante, lindo, fresco
che pareva un sorbetto, e così ben nutrito, così roseo, così florido
che faceva proprio onore al locale. “Se i beccacchi e le quaglie del
tuo restaurant hanno la carne delicata come la tua, non è usurpata
la fama che di te s'ode; ma guardati, giovane amico,
dall'intraprendere alcun viaggio di scoperte in terre ignote, perchè se
tu capitassi, per tua mala sorte, fra i Lestrigoni o gli Antropofagi, non
io certo ti farei garanzia del ritorno!„ Così gli dissi col pensiero,
rispondendo con ugual sorriso e saluto al suo sorriso. Ed egli,
rinnovando il sorriso, fece alcuni segni cabalistici ad un cameriere,
così snello e ben azzimato anche lui che in tutt'altro luogo lo avrei
barattato per un onorevole deputato giovane o per un conferenziere
di dame o per un ben lisciato esteta che si appresti a svelare i
simboli della sua meravigliosa psiche alle turbe estatiche: ed era un
cameriere!
Il quale mi seguì, mi tolse il pastrano, il cappello, il bastone, mi
guidò presso un tavolo appartato e quasi libero, perchè vi erano solo
due inglesi silenziosi, intenti a mangiare, ma con tanto garbo che
parevano inghiottire delle pillole del farmacista.
Dicevano ogni tanto yes, e io non poteva a meno di meditare come
questa gente inglese che mangia con tanta delicatezza e pudore,
divori poi con tanta ingordigia nazioni e popoli.
Come mi fui seduto, il cameriere, stando a me di fronte e posando a
pena le palme sul tavolo, disse:
— Vuol cominciare con un assaggio di pâté coi tartufi? È stato tolto
dal gelo in questo momento. Lo troverà squisitissimo. — Veramente
non disse “squisitissimo„: disse “splendido„: anzi io ho ancora
nell'orecchio il ronzio di questa parola che egli ripeteva ad ogni frase.
— Cominciamo com'ella dice! — risposi io.
— E vino quale desidera? V'è del Barolo in bottiglia che è molto
buono.
— Non ne dubito, ma a me basta un poco di vino comune.

— Va benissimo.
E subito dopo mi metteva davanti sul suo reggifiasco di lucidissimo
metallo, un fiasco di vino toscano che portava scritto su di un
cartellino: “Vino di Chianti stravecchio„.
— Ma quest'è troppo, — diss'io, — e poi deve essere carissimo....
— Tutt'altro, signore! — rispose il tavoleggiante, — e poi ella ne
berrà quanto crede.
E versando io lieve, lieve, il fragrante liquore in un calice sottile di
cristallo e sorbendo, trovai di fatto che era un vino prelibatissimo e
mi ricordai del ditirambo del Redi là dove dice:
Montepulciano d'ogni vino è il re!
Anche il pâté, benchè cibo pruriginoso e inusitato al mio gusto, era
di rara finezza, e spalmandone alcuni crostini, dicevo a me stesso
che un cuoco il quale sa allestire simili manicaretti, è pur degno della
riconoscenza de' suoi simili. Terminato il detto cibo, il cameriere
comparve e col suo garbato sorriso mi disse:
— Ora le consiglierei una minestra di cappelletti di Bologna: sono
giunti freschi stamane e sono ora sul punto buono di cottura.
Non mi parve cortesia rifiutare un consiglio così disinteressato, e
accettai i cappelletti, i quali ebbero la medesima buona accoglienza
del pâté coi tartufi.
— Adesso, signore, io le porterò una quaglia arrostita con contorno
di funghi....
Io ne avea già abbastanza e l'abituale mia sobrietà non eccedeva
oltre a un piatto e un brodo a colazione: ma quel pâté avea
malauguratamente allargato i posti del ventricolo e d'altronde il
fermarsi lì alla minestra mi parea da pitocco. Vero è che le parole
“una quaglia coi funghi„ mi avevano dato l'idea di un prezzo
vertiginoso e non conforme alla mia borsa.

Ma il cameriere che conobbe e lesse in volto il mio dubbio, si affrettò
a dire:
— È una specialità della casa!
Come si poteva dir di no? E feci buon viso anche alla quaglia, la
quale era degna della sua buona rinomanza e non ebbe altro torto
se non quello di far scendere il livello del vino nel fiasco ed
aumentare una certa nebbia nel mio cervello.
— Adesso basta, poi, signor mio! — dissi al cameriere quando,
sparecchiato che ebbe gli avanzi della misera quaglia (chè nulla è più
melanconico a vedersi dei residui del pasto) mi ebbe posto dinanzi
un piattello che parea d'argento, dove sopra un fino tovagliuolo si
pavoneggiavano e, ne' loro larghi gusci di madreperla, nuotavano sei
ostriche intatte, lattee e di non comune grandezza e purezza.
— .... e poi cotesto io non l'ho ordinato! — aggiunsi con giusto
sentimento di sdegno.
— Verissimo, signore, — fu sollecito a ribattere il cameriere con una
grazia degna di un gentiluomo, — ma sappia ella — e abbassò la
voce — che queste ostriche sono fuori del conto. Oggi — e abbassò
ancora la voce — è San Damiano....
— Verissimo; ma io non ho mai udito dire che le ostriche abbiano un
santo protettore, e di tal nome.
— No, signore, non le ostriche! Ma il figlio del padrone del caffè si
chiama Damiano: quindi è il suo giorno onomastico, ed è
consuetudine di offrire in questa occasione una qualche delicatezza
ai signori avventori che ci onorano in questo giorno di festa per la
famiglia.
Che si poteva rispondere? Avrei potuto opporre dei dubbi su la
veridicità di tale asserzione, ma levando gli occhi dal prezioso
piattello e dirigendoli verso il banco, vidi quell'egregio giovane che
rispondeva all'a me venturato nome di Damiano e già mi guardava,
sorridermi tutto come dire: “Creda: è così, come afferma il

cameriere: ella può mangiare senza tema di contrarre alcun obbligo
o servitù!„
Che più?
Io presi delicatamente con le dita uno di que' preziosi molluschi (e
mandavano un profumo di alghe marine e di fresche onde
oceaniche) e lo inghiottii d'un solo boccone di cui mi dura ancora la
dolcezza nel cuore, come dice il divino poeta: ma il verso, oh, vedi
triste effetto delle eccessive libazioni! non mi riuscì di formularlo per
intero.
E anche le restanti cinque ostriche subirono la medesima sorte della
prima, e l'una era più squisita dell'altra.
“L'uomo vorace e ingegnoso — pensava tra me — mette a
contribuzione la terra, l'aria ed il mare per soddisfare i propri
appetiti: e benchè il vizio della gola sia spregevole e indegno della
umana dignità, certo è che l'inferma nostra natura vi cade più spesso
che non convenga;„ e quei gusci d'ostrica mi richiamavano in mente
quella lirica bellissima dello Zanella che ha per titolo: Sopra una
conchiglia fossile:
Vagavi co' nautili,
co' murici a schiera
e l'uomo non era!
versi che non mai come allora mi erano parsi tanto pieni di reconditi
sensi!
E il cameriere mi tolse que' gusci e mi pose davanti una fruttiera
ricolma di mandarini, di datteri e di altre prelibate e rare frutte di
questa sacra terra, madre di ogni cosa bella e buona.
Nè io potei dire: “ricuso la frutta!„ giacchè dopo un pasto così
signorile sarebbe parsa cosa sconveniente. Però in tanta beatitudine
un pensiero acerbo mi trafiggeva e pensavo che il guadagno
giornaliero che l'arte mia di professore mi procura, non sarebbe stato
sufficiente a pagare una così lauta imbandigione. Di fatto tutte quelle

vivande dovevano superare il prezzo di lire cinque e ottanta
centesimi, della qual somma posso ogni dì liberamente disporre dopo
dodici anni di professione magistrale.
E siccome questo dubbio amareggiava l'opera piacevole della
digestione, così me lo volli togliere e chiamai il cameriere.
— Comandi, signore!
— Il conto!
Il cameriere tolse dallo sparato il suo taccuino di pelle nera, brandì
un terribile lapis (e in quel punto i biglietti di Banca, nuovi, riscossi
poco prima alla Finanza, perdettero del loro colore, impallidirono).
— Subito fatto, signore; la colazione a prezzo fisso due e cinquanta,
il vino — sbirciò il fiasco a pena — mezza lira: tre lire in tutto.
Respirai liberamente.
— Non si potrebbe essere più discreti: verrò, signore, molto di
sovente, — ebbi a dire, e la lode volle uscire spontaneamente.
— Sistema della casa, — disse con semplice modestia quel valoroso
tavoleggiante.
— Allora mi porti il caffè.
— Desidera anche un bicchierino di cognac?
— Perchè no? Volentieri: semel in anno....
Ma quel benemerito cameriere se ne era andato, e quando ritornò
co' vassoi, mi sussurrò all'orecchio:
— Desidera un sigaro di contrabbando? ho degli Avana hors ligne.
— È illegale, — diss'io.
— Oh, per codesto può star tranquillo: il signor Procuratore generale
che viene qui a pranzo, non fuma che i miei Avana: anzi ne fa
provvista.
— Quand'è così: regis ad exemplum totus informabitur orbis....

E il non mai dimenticabile cameriere mi incendiò un Avana
meraviglioso: la cui nebbia azzurrognola e lieve, commista alla
nebbia del vino e del liquore, mi assopì lievemente con un senso di
beatitudine infinita.
“Il mondo è bello e santo è l'avvenir! — ripeteva fra me col grande
poeta: — sì, certo, il mondo è bello„, e non sentivo più alcun rumore
intorno a me, benchè la sala fosse piena di gente.
*
Quand'ecco, un po' alla volta, piano piano, percepii che la seggiola
che mi era di fronte si muoveva, aprii gli occhi e scorsi il giovane
Damiano che si sedeva timidamente davanti a me.
“Che vuol costui?„ dissi fra me, aprendo gli occhi.
Sorrideva, vidi che sorrideva di compiacenza e di affetto nel florido
volto, ma poi sentii queste acerbe parole che mi sconvolsero la
digestione.
— Signor professore, ella vedo che non mi riconosce più.... Io invece
la conosco benissimo!
— Ahimè! — sospirai nel mio cuore — dolcezza dell'incognito troppo
fugacemente scomparsa!
— In verità, no, signore, non ho questo onore! — balbettai.
Sorrideva sempre:
— Sono stato suo scolaro dieci anni fa: ma lei vedo che non si
ricorda più della mia fisonomia, ma io mi ricordo benissimo di lei,
signor professore.
Io tornai a sospirare nel cuore più profondamente e da quell'uomo di
delicatissimo sentire che sono, mi vergognai di essere colto nello
spiacente vizio della gola da un mio scolaro: pur tuttavia risposi:
— Le sono grato e lieto della memoria, anzi gratissimo; ma tanti
giovani sono passati sotto di me che stento a ricordarmene
singolarmente.

— Oh lei se ne deve invece ricordare benissimo, signor professore,
— insistette colui con più ineffabile sorriso.
— Creda!... e misi la mano sul petto.
— Io mi chiamo Damiano Saltori.... Questo nome dovrebbe
ricordarle qualcosa! — Attese un istante e poi pronunciò queste
terribili parole: — Ella, signor professore, mi bocciò inesorabilmente
all'esame dalla terza alla quarta ginnasiale. Anzi lei diceva
“schiacciare„ e non “bocciare„. Vede se mi ricordo!
“Che tradimento è questo?„ pensai fra me sobbalzando.
Addio dolcezza della digestione! Non so che risposi, ma certo mi
confusi e dovetti rispondere così press'a poco:
— Scusi, non l'ho fatto a posta! Se proprio fu così, me ne rimorde il
cuore! Sinceramente!
— Ma io le devo la vita, signor professore! — esclamò allora con mia
somma sorpresa il giovane al colmo dell'entusiasmo — io le devo il
mio presente benessere, la mia fortuna: quante volte avrei voluto
fermarla per la via e manifestarle la mia riconoscenza, ma me ne
mancò il coraggio; adesso invece che ella è entrato nel mio esercizio,
mi sono permesso....
— Io non capisco.... — risposi tuttavia turbato, giacchè temevo che
quel mio antico scolaro si ricordasse di quella figura retorica che va
sotto il nome di “ironia„.
— Oh, è una cosa chiara: chiara come il sole: si ricorda quello che lei
mi diceva?
— Io? no, signore!
— Lei mi diceva: tu sei un buono e bravo figliuolo, ma per seguire gli
studi classici ci vuole qualche cosa di più che l'ingegno, che non hai
nemmen quello, ci vuol l'arte: tu arte non ne hai: tu sei un'ostrica.
Me lo ricordo, sa?
Arrossii al ricordo delle squisitissime ostriche poco fa divorate, e me
le sentii ancora vive coi loro gusci nello stomaco.

— Perdoni, proprio.... — dissi al colmo dell'imbarazzo.
— Macchè, lei diceva una santissima verità, — proseguì l'egregio
Damiano: — erano i miei genitori che non la volevano capire: dovevo
diventare un avvocato ad ogni costo, nobilitare con un titolo di
dottore il nome della famiglia, e professori e lezioni in casa! ma già
quel latino non mi andava giù, e a fare i còmpiti d'italiano sudavo
freddo. E lei mi ha bocciato e ha fatto benissimo.
— Non mi ricordo, signore....
— Non si ricorda, signore, di una scenata che avvenne tra mio padre
e lei? di quel deputato nostro avventore, che reclamò dalla
presidenza gli scritti per portarli al ministero, della minaccia di
reclamare un provvedimento?
Ora di fatto mi ricordavo: era stato l'onorevole...... Ma è meglio non
farne il nome.
— E lei duro, — proseguì quel simpaticissimo Damiano, — volevano
tirare il collo a due quattro e farli diventare due sei, e lei duro; anche
il preside voleva tirare il collo ai due quattro, e lei duro! E mio padre
diceva (mi vien da ridere a pensarci): “come? faccio anch'io degli
sconti coi miei debitori per delle centinaia di lire, e lei per un
punto....„
— Che vuole, signor mio....
— Ma ha fatto benissimo! Dopo, i miei genitori l'hanno capita. Mi
hanno mandato come volevo io in Isvizzera, dove ho imparato le
lingue e il commercio. Io volevo seguitare a ingrandire l'esercizio di
papà e lui voleva invece ritirarsi dagli affari.... Oggi come oggi sono
felicissimo. Quel Cornelio Nepote non mi andava giù....
— Troppo giusto....!
E mi volle lui stesso infilare il pastrano e mi porse il cappello e il
bastone e mi pregò di venire spesso a onorare il suo esercizio.
— Io non dimenticherò mai il giorno di San Damiano — diss'io.

— Tutta bontà sua, signor professore! — e mi tenne aperta egli
stesso la vetrata, ed io uscii dal restaurant col superbo Avana fra le
labbra, come un banchiere o un gentiluomo che non misura certo il
danaro per la colazione.

NELLA TERRA DEI SANTI E DEI POETI.
I.
Lungo il mare sino ad Ancona. — All'Aspio. — Frati e
monache. — Paesaggio delle Marche. — Centenario
Leopardiano: il nuovo Santo. — Loreto e le melanconie
della Madonnina nera. — Leggende sul Leopardi. —
Ingresso trionfale. — Recanati. — Mattino recanatese.
— Il recesso del Poeta e gli abatini savi. —
Montemorello. Lagrime. — Il palazzo Leopardi.
Diceva mia madre che se avessi lasciato la città melanconica, l'anima
mia sarebbe consolata.
Fu così che nel pomeriggio delli 3 agosto 1898 partii da Rimini in
bicicletta insieme all'ingegner Pasini: il quale è un omino grigio, di
mezza statura, di mezza età, ma pedalatore grandissimo, e quando
la sera può riposare su la gloria di un centocinquanta chilometri, è
felicissimo: chilometri di montagna, s'intende!
Sul più bello delle nostre conversazioni, la mia bicicletta detonò
come una santa Barbara e il Pasini mi vide d'un tratto scomparire in
una nube di polvere come fossi stato una deità omerica. La
pneumatica posteriore era scoppiata!
Ed eccoci così d'un tratto trasformati in due pedoni curvi e polverosi,
oggetto di derisione ai passanti che prima invece guardavamo
dall'alto, volando con tanta superba prestezza!

Davvero si cammina su di una bolla d'aria, e non soltanto nella via
che da Rimini va a Pesaro!
La gomma era scoppiata presso alla Focara, di Dantesca memoria, e
per giungere a Pesaro ci volle una bella marcia: inoltre la via era
tutta un polverone, così che il nostro ingresso nella città di
Gioacchino Rossini non fu per nulla trionfale: un superbo signore,
anzi, imberbe e capelluto, che incontrammo trainato da due baldi
destrieri, non ci degnò di uno sguardo. Noi ne fummo molto
mortificati, tanto più quando ci assicurarono che quegli era il
successore di G. Rossini, cioè il signor Pietro Mascagni.
Benchè le riparazioni alla macchina ci facessero perdere assai tempo,
era tuttavia nostra intenzione col lume di luna di proseguire lo stesso
sino a Senigallia, ma la luna appunto che sorta era allora
melanconicamente lenta, si ottenebrò di vapori e il vento dal mare ci
portò l'odore della pioggia.
Deliberammo perciò di pernottare a Fano, e fu buon consiglio perchè
l'acqua cadde e prima noi ci addormentammo che quella cessasse.
*
Verso le tre del mattino il Pasini entrò nella mia stanza e, sporgendo
il candeliere dalla finestra, mi assicurò che tutte le stelle brillavano
meglio di prima; di fatti il primo sole del viaggio ci si levò
omericamente puro e grande dalla marina sonnolenta tuttavia.
Sul ponte del fiume Celano c'era un palo con l'avviso: “Vietato il
passo a più di quaranta quintali„, e questo fu il solo pericolo corso
nella giornata perchè poco dopo giungevamo a Senigallia ancora
addormentata, e benchè la attraversassimo di corsa, io non mi
dimenticai di buttarvi il mio biglietto di visita in memoria di esservi
nato; cosa della quale io stesso mi ricordo solo quando devo scrivere
su la carta bollata anche il luogo di nascita.
Dopo Senigallia, i villaggi, le ville innumerevoli, tutti adagiati lungo la
spiaggia che si incurva sino alla dorica Ancona, si svegliavano allora.
Forse di questo prematuro risveglio era anche causa il cannone che

dal forte del monte Conero ogni tanto rombava come un cane che
vigila sul mare. Ed io pensai: “Va! che il mare è deserto: la squadra
di Tegethoff non c'è più sul mare! Allora conveniva vomitar ferro e
fuoco.„
Si destavano allora, dico: la gente, in abiti estivi si dondolava su le
vie presso le carrette delle pesche, delle verdure, del pollame.
Prendere il bagno, vivere lungo il lido, romanamente avvolti negli
accappatoi, mangiare, dormire, asolare: ecco la vita di questi giorni e
di questi luoghi e non dei ricchi soltanto! Alla sera si apre il giornale
e si trova con dispiacere che le cose d'Italia vanno male. Or via!
signor ingegner X***, a lei che è milionario e pur lavora dodici ore il
giorno e dalla terra lombarda vince con le sue macchine la
concorrenza mondiale e afferma che la sua ambizione maggiore è di
mandare all'estero degli operai italiani che sappiano montare una
macchina come un operaio inglese; e anche a lei, signor ingegner
Y***, che fa press'a poco lo stesso ed è animato dai medesimi
sentimenti, mando da queste terre ridenti, cullantisi nel classico
dolce far nulla, il più ossequioso dei miei saluti!
*
— Sai tu dove faremo la colazione noi? — disse il Pasini.
— Qui ad Ancona, — diss'io.
— No: all'Aspio: vedrai bel luogo.
E volgemmo le spalle al mare e ci internammo fra le colline, finchè
giungemmo all'Aspio. Il quale è un piccolo fiume che ad un certo
punto si insena in una vallicella ombrosa ove sono sorgenti di acque
minerali, che dicono molto benefiche per chi soffre di visceri. Da
poco, anzi, vi è sorto uno stabilimento che sa ancor della frescura
della calce. Presso alle sorgenti molti placidi frati offrivano i loro calici
purgativi a molte pingui monache e novellavano al rezzo. Più tardi,
alla mensa comune, quei religiosi, dopo averci guardato con
sospetto, finirono coll'ammansarsi con noi: tanto che l'ottimo Pasini
cominciò a far loro la storia della bicicletta dai più remoti tempi sino
ai nostri giorni, storia che i monaci gradirono moltissimo, anzi a tal

punto che un francescano il quale avea portato dal convento una
bottiglia di vino per dir la messa, il solo vino — dicea — che il suo
stomaco digerisse, ordinò i calici, e la volle stappare e bere per la
bella circostanza. Della qual cosa gliene seppimo grado.
Una monacella allora che avea attentamente udito, sospirò queste
parole: Dopo la bicicletta, dopo il telegrafo senza fili, dopo la luce
elettrica dove arriveremo mai noi?
E cercò negli occhi dei compagni una risposta a quella dimanda che
all'anima sua pareva angosciosa. Un frate dell'ordine dei serviti,
quegli che pareva il più autorevole e avea mangiato in proporzione,
levò una mano untuosa e sentenziò: Il cervello dell'uomo, figlia mia,
si assottiglierà tanto che non ne rimarrà più nulla!
La risposta parve soddisfare tutti e anche noi: i quali vedendo che
nessun altro monaco avea intenzione d'imitare l'esempio del
francescano, montammo in sella prendendo la via del Santuario di
Loreto.
*
Il paesaggio delle Marche — con quelle città irrigidite lassù sovra
alture che non sono più colline e monti ancora non sono — è
melanconico.
Si vedono e si guardano tutte: Osimo, Castelfidardo, Loreto,
Macerata, Recanati: non benevolmente si guardano e pare dicano
l'una all'altra: “Tu sei più morta di me!„
Io sentivo di entrare nel dominio di un'anima melanconica, e gli
occhi teneva rivolti verso ponente, al lontano colle di Recanati. Sopra
appunto vi galoppavano le nubi allora; galoppavano e correvano, e
per certo effetto di luce lucida e fosca, si distinguevano bene le case
della patria tua, Leopardi!
Nella gente che incontravamo per salire a Loreto — e la cupola del
Bramante e i turriti sproni del tempio già giganteggiavano sul capo
— suonano pure e antiche voci italiche e certi scorci di fraseggiare
così eleganti che que' villani sembrano aver fatto i loro studi

esclusivamente su qualche codice del trecento. Così la pronuncia
nulla ha della sguaiatezza meridionale o della leziosaggine toscana o
del rimbombo romano, nè della sfumata fierezza umbra: è qualcosa
che non saprei definire, ma sento di definire bene dicendo: “È la
lingua di Giacomo Leopardi!„ Questo popolo fu il segreto testo
classico su cui egli studiò. Eppure quelle parole mi facevano l'effetto
di qualcosa che sornuota ad un naufragio; qualcosa che decade e
non rinascerà più!
E così ogni tanto ci si presentava qualche figura di donna, che parea
fusa nel bronzo, con certe linee di statue antiche. Anche nell'andare
aveano qualche cosa di dignitoso e di composto come la materiale
aristocrazia di una stirpe di cui l'anima è già svanita.
“Sciocchezze tutte le vostre — mi avrebbero potuto rispondere gli
uomini e le cose — e stanno soltanto nel cervello di voi. Il vostro
compagno non pensa a questo, e anche gli altri ciclisti hanno
costume, prima, di bere un boccale all'osteria del ponte, poi fanno a
chi regge più in sella per la costa. Ieri poi ci passò in carrozza una
coppia di innamorati e trovarono che tutto era allegrissimo e
giovanissimo. Emendatevi: il vino dell'Aspio in voi si è mutato in
negri fantasmi.„
Ma io seguii questi miei fantasmi.
— Perchè lassù — accennavo Recanati — fanno tante feste? lo
sapete voi? — chiesi ad una donna che mi camminava del pari.
Ella mi guardò, girò attorno due occhi ebeti, poi disse:
— Sarà per qualche santo nuovo!
— Questa è la verità, buona donna; sono proprio le feste per un
santo nuovo. Anche egli ha sofferto e poi è morto affinchè questi
morti potessero risorgere: lo stesso come ha fatto il nostro Signore
Gesù Nazareno. La cupola del cielo è più grande di quella di Loreto e
Dio ci fa stare tutti i Santi che vuole.
Così io spiegai, ed ella fe' cenno che mi avea compreso benissimo.

Ma per consolazione della vista e del cuore su per le ripe coperte di
pruni polverosi e densi, su cui la vitalba gettava i suoi festoni
rigogliosi, si arrampicavano a modo di caprette alcune fanciulline
bellissime, ma assai sudice. Coglievano le more da' pruni e parte
mangiavano, parte, forse imitando il costume di Loreto, infilavano e
ne facevano corone.
Mi fermai e dissi ad una:
— Perchè non ti lavi la faccia?
Ella mi rivolse il caro volto imbrattato e gli occhi puri e profondi
come l'ignoto che è in ogni bambino, e disse: — Pulito come uno
specchio!
— Ma voi, voi — disse un'altra — sudate che gocciate come se ve la
fossi lavata!
Avevo in tasca un cartoccio di mentine e cominciai a distribuirne, e
allora — io non so come — sbucarono dalle siepi, dai casolari, dalla
via, tanti bimbi, tutti laceri, tutti sudici, ma splendenti come teste del
Lippi: e finchè ebbi delle mentine mi seguirono e i papaveri e i
fioracci sterpavano e gettavano, frustando la bicicletta.
Così feci l'ingresso nella tua città, Madonnina nera, che stai nella
casetta nera, ed hai tante margherite e gemme su di te che riluci
anche senza le lampade d'oro!
Piovigginava all'entrare in Loreto ed erano le quattro.
*
Loreto, come oggi Recanati al Mare, fu una figliazione dell'antica
Recanati e diventò poi indipendente e ostile alla città madre. Quindi
è città relativamente moderna, anzi agli onori di città venne elevata
nel secolo XVI, da non so quale Pio o Sisto; e si vede che quei papi
aveano l'abitudine di far nobili le borgate: e quindi tutti gli abitatori
di esse diventavano in certo modo nobili da borghigiani o rusticani
che erano prima; press'a poco come oggi si fa col cavalierato e con

le commende; ma a tutti apparirà chiaro che il sistema dei papi era
più spicciativo e accontentava più gente.
Come ognuno sa, il 10 dicembre 1294 la Madonna ci arrivò, dentro
la sua casetta, dalla Dalmazia, dove avea dimorato tre anni venendo
a punto di Terrasanta; e furono gli angioli che la portarono
attraverso il mare, anzi — cosa che pochi sanno — la prima sosta la
fece a' piedi del monte in un terreno che era di casa Leopardi: ma
essendo nate delle contestazioni e dei litigi per il diritto di possesso
della casetta, un bel giorno la Madonnina lascia la pianura e con
gran meraviglia vedono che era andata a stare sul monte.
Fu allora, o giù di lì, che rivestirono di fuori la casetta cogli adorni
marmi di Carrara, e poi ci elevarono sopra la cupola e attorno il
tempio: un tempio grande e munito come una fortezza. Senza
dubbio ciò venne fatto nell'intenzione lodevole di impedire ai
barbareschi di portar via la Madonna o predarne i tesori; ma io non
posso nascondere il dubbio che i Papi come i Loretani imponessero
tanto materiale sopra la casetta per impedire che se ne volasse via
un'altra volta; la quale supposizione non era infondata considerando
le abitudini più tosto randagie di Nostra Signora. Ora è certo che se
chiamasse ancora i suoi angeli, questi dovrebbero fare troppa fatica
a trarla di lì, oppure un miracolo troppo grande e generoso in questi
eretici tempi.
Queste considerazioni io non le ho cercate, ma mi sono venute in
mente da per sé, vedendo quella Madonnina in quella casetta buia,
con quella luce delle lampade lassù, su l'altare, che par le manchi
l'aria e stiasi melanconica fra tante gemme e tanti incensi: Ella che
era abituata a vedere così bell'azzurro ne' suoi viaggi oltremarini!
E poi perchè ci fu una donna, la quale mi si accostò e mi disse con
grande segretezza: “Vi sono più di quarantamila eretici a Loreto, non
degnano niente la Madonna; non badano che a scannare li poveri
forestieri. Ma, per amor di Dio, non dite niente a nessuno se no mi
scannano a me!„

Io la assicurai del più completo silenzio, e tranne che trovare un po'
troppo figurate le voci di scannare, di eretici e di quarantamila, per
mie esperienze ho notato che presso i Santuari la gente non è molto
edificante per pietà; e la Madonnina più tosto che corone, gemme e
tridui, vorrebbe, io credo, un po' di bontà da' suoi devoti e non
essere tenuta come un valore di borsa.
Piovigginava tuttavia e l'amico Pasini mi assicurava che per la pioggia
e la via erta meglio era pernottare a Loreto: buono era il vino e non
cotto come costuma nelle Marche: una squisita cena apprestava
l'oste, il quale con la mano sul petto mi assicurava che facevamo un
pessimo affare a pernottare a Recanati, dove da un mese aspettano
gente per queste feste, aspettano e non ci va nessuno.
Tuttavia io voleva giungere col vespero a Recanati e benchè
piovesse, partimmo.
Ma il cielo fu benigno verso di noi perchè dopo essere alquanto
andati, cessò la pioggia e l'azzurro dilagò sopra i campi e le valli.
*
Da Loreto a Recanati sono circa sette chilometri, e varcata la valle
del Potenza, la via monta tanto che in alcuni punti le carrozze
bisogna avvettarle, come dicono in Toscana; e così piano andando,
sospingendo le macchine, ci imbattemmo in due villani i quali
menavano i loro buoi: grevi i buoi, grevi i villani, e ci
accompagnammo con loro, i soli che per la via incontrammo. Non
erano di Recanati, ma di oltre: di Montefano, se non erro.
Domandarono chi eravamo noi e dove andavamo, e noi dicemmo
che viaggiavamo il mondo per divertimento. Ci guardarono con occhi
che significavano: “Dovete essere ben matti, se dite il vero, a
faticare tanto per divertimento!„ Con le parole dissero poi questo
pensiero: — Noi invece viaggiamo perchè bisogna far così per
empirci lo stomaco; per divertimento staremmo fermi.
Domandai poi se si erano divertiti alle feste di Recanati. — Alle feste
si diverte chi ha soldi, — rispose uno di coloro, e, la risposta mi

parve vera. Allora gli domandai chi era questo Leopardi a cui si
facevano tante onoranze.
Mi fissò di traverso con sospetto, ma io rimasi calmo e gli feci capire
che nella mia qualità di ciclista che gira il mondo, mi era permessa
una certa ignoranza delle cose che avvengono in un paese perduto
com'è Recanati. Allora i suoi occhi si rivolsero in dentro quasi
cercando un'idea, e l'idea venne e mi parve felice più di molti savi
discorsi di eruditi e di critici.
La mente del villano prese l'idea e le labbra infine l'espressero.
Disse:
— Leopardi era uno della società (intendi, o almeno io così intesi,
società liberale, carbonara o massonica) che una volta, quando c'era
il papa qui, a Napoli un altro re, i Tedeschi in un altro sito, ha
indovinato il Comando (Governo) di adesso. Andò in Parlamento,
parlò e fece l'Italia. Siccome poi è avvenuto quello che pensava lui,
così adesso gli fanno le feste, avete capito? Ma era, che
m'intendiate, un uomo di studi, uno studiante, mica un c....
Altre cose aggiunse il villano: cioè che nella stanza del palazzo dove
è nato v'è prima un pavimento d'oro, poi d'argento e poi di ferro: —
a noi — disse — non ci fanno veder niente perchè siamo villani, ma
se andate voi, chissà che non vi facciano vedere.
Aggiunse ancora che è morto a Napoli avvelenato dai preti: che i
preti gli fecero un gran pranzo e gli dissero di pentirsi e rimangiarsi
tutto quello che avea detto e che avea scritto. Ed egli rispose: quello
che ho detto ho detto, quello che ho scritto ho scritto! Allora gli
domandarono di che morte voleva morire. Egli disse: mettete il
veleno nella minestra. Essi fecero come lui avea detto, e a pena
ebbe messo in bocca il cucchiaio, si indirizzò su la sedia e cadde giù!
Allora io gli domandai se avea fatto bene lui o aveano fatto bene i
preti. Egli allargò le braccia pietosamente come uomo di cui si sforza
il pensiero oltre al costume, e infine disse:
— E che volete che ve dica, figliuolo? ognuno può pensare come
crede, ma se tutti potessimo fare una legge secondo il nostro modo

di sentire, io sapete che farei? io prenderei questi buoi e invece di
portarli al padrone ce scannerei lo core tanto ho fame!
*
Entrammo — che il sole precipitava — per l'antica porta di Recanati:
su le mura festoni di piante selvatiche; sull'arco della porta una tiara,
un nome di un pontefice, un'iscrizione latina.
Per questa porta entrò un tempo Pietro Giordani, apostolo e
peregrino di una fede che oggi pur muore, ad incontrare e conoscere
il genio dell'Italia nascente: di qui partì in cerca di sua morte eroica
per la libertà della Grecia, il conte Broglio d'Ajano abbandonando
genitori, famiglia, tutto! Di qui tre volte ripartì Giacomo Leopardi per
ricercare, nel suo sublime errore, uomini veri nel vasto mondo: e a
Roma, come a Napoli, come a Milano, come dovunque, era il natio
borgo selvaggio e la gente vile!
Dentro la stretta via, che seguita a salire, era già buio: era già buio
anche perchè di qua e di là del selciato a conca, le case sono assai
da presso, case grige, con certe finestrine piccole piccole. Vedemmo
però ancora della gente su gli sporti col deschetto da calzolaio
giacchè, come mi dissero poi, il lavoro delle scarpe è una delle
industrie di Recanati. Quella tranquilla gente ci seguiva con lo
sguardo con molta curiosità: poi parlavano fra di loro.
Ma da una di quelle finestrelle, fra i garofani, ecco sporse una
testolina di giovanetta, nera e curiosa come capo di rondinella dal
suo nido sospeso. Non so come un nome mi si presentò: Nerina! e le
palpebre degli occhi miei, che sono in verità assai stanchi ma non
piangono più, cominciarono a battere per il fantasma di un nome
d'amore!
Ma non molto si sale, che la via spiana, gli edifici si allargano, si
innalzano alti, signorili, per una via che è la principale e segue con
sinuoso e lungo arco la cresta del colle su cui sorge la città.
L'austerità e l'abbandono della città antica si congiungono a non so
quale lindura e decoro moderno, e tutto sembra dire: “Signore, se
voi veniste quassù con l'intendimento di trovare il borgo selvaggio,

disingannatevi. L'ossequio al grande nostro Poeta non ci impedisce di
notare un errore di passione, che d'altronde voi stesso potete
riconoscere con gli occhi vostri.„
Segno notevole: non fummo perseguitati da mendicanti, non
inseguiti da monelli. Questi caratteri di civile progresso più
nettamente appaiono quando si giunge alla maggior piazza che porta
il nome del Poeta.
Quivi sorge la magnifica torre medioevale, da cui viene il suon
dell'ora, quivi il palazzo Municipale, opera grandiosa e moderna,
sorta da poco su le demolizioni dell'antico, per collocare in degno
luogo il monumento al Poeta.
Il quale monumento, eretto anni addietro, è opera giovanile dello
scultore Ugolino Panichi. Di prima vista la statua del poeta in abito di
società, ma con sopra una doppia cappa filosofica che arriva sino ai
piedi e disegna la gobba, con una enorme testa ignuda, china a
terra, è realisticamente suggestionante. Troppo realisticamente! Ma
questa osservazione mi venne fatta il dì seguente dall'illustrissimo
signor conte G. Leopardi, il quale mi raccontò come uno, appunto
della famiglia Leopardi, essendosi abbattuto nel troppo realista
scultore, gli chiese: “È lei quello che fa i pupi? Ma lì i ragazzi ci
vedranno il bau-bau!„
A Recanati, come poi mi dissero, non poche sono le famiglie ricche,
molte le famiglie agiate e di media cittadinanza, laborioso il popolo,
fertili e ben coltivate le terre circostanti, così che quel riposato
benessere che si vede, esiste anche nella sostanza. A tale proposito
degno di ricordo è il fatto che, nel maggio del '98, un capitano,
mandato colassù per i tumulti, si occupò specialmente di studi
Leopardiani, ed i soldati della sua compagnia fecero, io credo, lo
stesso, considerando le somiglianze e le differenze tra le molte
vezzose Silvie e Nerine del luogo.
Quest'egregia popolazione ha però avuto il torto di credere che una
festa di tal genere, come il centenario leopardiano, potesse attirare

delle moltitudini, e maggior torto ebbero di prolungarla per più di un
mese.
Hanno imbiancato, ripulito, messo le lampadine elettriche, rifatto
alberghi e stanno lì ad aspettare che venga gente, e pare ne
chiedano al tragico simulacro del Poeta: “oh, com'è, gloria nostra,
che non viene nessuno?„ Ma egli è assorto nel contemplare la
profonda terra.
— Veda, — mi diceva un signore, — per domenica ventura era
assicurato un convegno di seicento ciclisti, ebbene ieri ci hanno
telegrafato che non saranno che trecento e quando saranno quassù
vuol scomettere che non arriveranno a cento?
Me ne dolsi, ma ci spiegammo anche la cagione per cui il nostro
arrivo destò così grave commozione: evidentemente ci presero per
l'avanguardia dei trecento.
— Non siete voi dei trecento? — ci chiese anzi uno. Io lo assicurai
che non appartenevamo a questo numero sacro nei drappelli eroici.
La risposta parve renderlo melanconico e disse: Rimanete allora sino
a domenica che verranno degli altri compagni! ma ci fu forza
rifiutare l'invito. La bicicletta è utilissima anche per isfuggire i
convegni ciclistici.
Sostammo all'albergo Bulli. Esso è davvero splendido, amplissimo e
pieno di ogni conforto moderno e vuol essere ricordato. È posto su le
mura settentrionali della città e guarda da grande altezza su torrioni
e su orti a gradinate da cui prende la curva la vallata del Musone, la
quale si dilaga in vista immensa sino al monte d'Ancona e sino al
mare.
Ma allora vi cadeva con la notte e con le ombre una quiete che parea
quasi sensibile ed animata: e affacciatomi alla finestra con quel
senso di ben essere e di stanchezza che invade il corpo dopo copiose
abluzioni, distinsi giù nel nero della valle una striscia bianca che
disse: “Io sono il fiume!„ E nella mente o laggiù si delineò questo
verso: E chiaro nella valle il fiume appare. E volgendo gli sguardi in
su, proprio oblique e accampantisi nel cielo, mi ferirono le sette

stelle che dissero alla loro volta: “Noi siamo le vaghe stelle dell'Orsa!
„
Io non so qual immobile frigidezza mi invase l'anima, e sarei rimasto
lì assai tempo se l'ottimo Pasini non fosse venuto premurosamente
ad avvertirmi egli stesso che gli spaghetti col pomidoro erano in
tavola.
*
La mattina alle sei il cameriere aprendomi la finestra e recandomi il
vassoio del caffè, mi assicurò che per recarmi al palazzo Leopardi
che è posto all'altra punta del paese e però assai distante, avrei fatto
bene a seguire la via di circonvallazione sotto le mura e così avrei
visitato anche i luoghi più cari al poeta e dove si inspirò pe' suoi idilli.
Io mi congratulai con lui di tanta erudizione e seguii il suo consiglio.
I miei spiriti erano diventati allegri e vigili come la fresca e pura
mattinata.
Mi veniva per la via una gran tentazione di domandare alle ragazze:
“Per piacere, lei conosce la Silvia?„ e a qualche artigiano sull'uscio
che levava su di me gli occhi tranquilli: “Scusi, lei è quello che
s'affretta a fornir l'opra?„; e quando uscii dalla città e scesi giù nella
viottola, imbattendomi in un grosso, canuto, arcigno prete: “Vero
che lei è del natio borgo selvaggio?„ Ma nulla dissi di simile, ma
guardavo in faccia la gente serena e mi veniva da ridere. Per la
lunga viottola suburbana nessuno incontrai, altro che un giovine
imberbe vestito con pulita semplicità che mi veniva dietro. Io ogni
tanto gettavo l'occhio su la gran valle vestita dal sole il quale avea
sorpassato il monte che m'era a ridosso, e dall'altro lato guardavo le
mura sovrastanti, grige, tetre, ma con giardini pensili di molta
verdura, e ombrelli fioriti di oleandri, gaudenti all'ombria. Io
guardavo attorno e lui guardava me.
— Scusi, — diss'io, — il palazzo Leopardi?
Parea come aspettarsi questa mia domanda, perchè mi si accostò e
disse cortesemente:

— Vedete là in fondo? S'entra per una stradicciuola che è presso
quella che faceva il poeta quando veniva da casa sua al monte Tabor,
che adesso lo chiamano il colle dell'Infinito, perchè dovete sapere
che le sue poesie le faceva qui. E quello lassù lo vedete?
— Cosa?
— Quella punta, — e indicava una cima sopra gli edifici della città,
che si inebriava davvero nel sole. — Quello è il campanile di
Sant'Agostino, là ci stava il passero solitario.... e ce ne sono tanti
ancora. Poi vedrà la casa di Nerina....
Anche questa volta rimasi compreso da tanta erudizione e gli chiesi:
— Ma ella è per lo meno studente?
— No, — mi rispose: — imparo a fare il fattore; — e di fatti quel
valente giovane mi disse tante belle cose sul commercio delle
scarpe, su le principali famiglie di Recanati, sul raccolto dell'annata:
— Voi con cinque lire vi portate via un paio di scarpe buone.
Così conversando venimmo al Monte Tabor: esso non altro è che un
piccolo sperone del monte con su un melanconico edificio che è il
convento delle monacelle di San Stefano.
Dalla parte della città v'è l'ospedale e l'ospizio dei vecchi: alcuni
vecchi lenti e curvi in un bel recinto a giardino coltivavano in quel
mattino i loro floridi oleandri.
— Vedete come si divertono? — disse la mia guida. — Qui c'è aria
buona e quei vecchierelli tornano ancora a campare tanto!
Sotto il monte Tabor sono disposti, come a publico ritrovo, sedili e
ombrose piante di acacia. V'erano lì soli a mattinare tre abatini con le
loro sottane orlate di rosso e la fascia intorno la vita. Di che
parlassero io non so, ma certo non di cose melanconiche, perchè
quando sentirono i nostri passi, volsero verso di noi tre bei visi
contenti.
La mia guida mi disse: — Guardate lì, — e mi indicò una targa di
legno di fresco inverniciata, dove era scritto:

Io solitario in questa
Rimota parte alla campagna uscendo,
Ogni diletto e gioco
Indugio in altro tempo: e intanto il guardo
Steso nell'aria aprica
Mi fere il Sol che tra lontani monti,
Dopo il giorno sereno,
Cadendo si dilegua, e par che dica
Che la beata gioventù vien meno.
— E il sole tramonta proprio là, dietro quei monti, — aggiunse
quando capì che io avea già finito di leggere, e accennava la cerchia
opposta della valle.
— E la torre di Sant'Agostino, — disse una voce insinuante dietro di
noi, — gliel'avete mostrata a questo signore?
Era un dei tre abatini che timidamente si era levato e veniva verso
noi. La guida alla quale era rivolta la domanda, fece cenno di sì.
— Lassù — volle pur dire ad ogni modo il loquace chierico,
sollevandosi e stendendo il braccio — ci stava il passero solitario,
guardi la iscrizione! — e mi indicò un'altra targa dove erano i versi
che egli lesse con quel melanconico accento recanatese:
D'in su la vetta della torre antica,
Passero solitario, alla campagna
Cantando vai finchè non muore il giorno;
Ed erra l'armonia per questa valle.
— Lui, veda, — proseguì ancora, poi che s'accorse che la sua parola
non riusciva sgradita, — veniva qui per una viottola che adesso non
c'è più e si sedeva qui e qui faceva le sue poesie: questo era il suo
luogo preferito, tant'è vero, guardi! — e mi indicò una lapide, ma
questa non era dell'occasione, ma grande e di marmo che spiccava
sul muro del Monastero, e in lettere grandi portava il verso:

Sempre caro mi fu quest'ermo colle.
— Adesso poi vedrà la casetta dove abitava Maria Belardinelli, che
morì di mal sottile nel '27, salvo errore, e che lui nelle Ricordanze
chiama Nerina. Dall'appartamento delle brecce dove stavano i fratelli
Carlo, Giacomo e Luigi, si vede la finestrella della casa della povera
Maria: veniva qualche volta in casa Leopardi con la sua sorella
Nazarena ad aiutare per il bucato o per altre faccende. Se visitate la
chiesa di Santa Maria di Varano, dove sono sepolti i genitori e i
fratelli di lui, troverete anche la sepoltura di quella povera figliuola. E
lui è così lontano, anche morto!
— Deve essere una gran cosa l'amore! — chies'io allora simulando di
udire queste notizie per la prima volta.
— Eh!... — fece l'abatino sorridendo, come a dire che egli non se ne
intendeva. Ma uno dei due abati che erano rimasti seduti e
ascoltavano le nostre parole, disse con voce quasi severa:
— Non era, signore, che vi pensiate, un amore come tutti gli altri!
Io non risposi, e in verità di celiare e di parlare anche, non mi
sentivo più la voglia. Avea un commovimento di dentro come se
intorno a quel colle ci fosse stata sospesa qualche cosa dell'anima e
della infinita passione del Poeta e io l'avessi respirata con l'aria.
Mi sedetti: l'abatino piano ritornò fra i suoi e il giovane fattore si
sdraiò per terra rispettando il mio silenzio come avea rispettato
l'abito talare e la dottrina dell'abatino.
Di sotto si stendevano gli spazi interminati, e quel verso:
Ed erra l'armonia per questa valle
riempiva tutto quell'infinito e vibrava per la profonda quiete la quale
parea sentire la magìa di quel verbo presente come un suono che
non tanto è nelle parole, quanto nelle cose.

Ma a quella passione che già mi aveva preso e mi trascinava come
dicesse: “Vieni, e anche tu odi la voce dei sovrumani silenzi e piangi!
„ riluttava con paura l'anima mia; però mi staccai da quell'abbraccio
di fantasmi e volli filosofare e filosofai alcune cose.
Primieramente pensai: pigliate uno studioso, bendatelo e
conducetelo qui, e poi scopritegli questa valle e domandategli: che
paesaggio è questo? Egli risponderà: questo è il paesaggio del
Leopardi.
Secondariamente: Ecco trovato il segreto della poesia del Leopardi: è
una poesia autoctona: senza tradizioni, senza scuole: sorta qui:
formata di una natura antica e di un'anima nuova.
Quel senso della misura nell'arte, che non si acquista se non troppo
tardi, cioè quando la giovanezza va morendo, il Leopardi invece
l'ebbe a sua insaputa per mezzo di que' suoi meravigliosi studi, e
questi furono i fili conduttori diretti fra questa natura e quell'anima.
E ancora: chi più del Leopardi sentì il fascino e l'armonia della vita?
Eppure è così: chi rende quest'armonia con quei sensibili mezzi che
si dicono arte, non gode la vita; e chi la gode non la può rendere.
Poi rammentai le parole del villano della vigilia, pensai a questa
nostra cara e antica patria e venni infine considerando queste ultime
cose:
Le altre nazioni hanno i secoli per loro vita, noi abbiamo l'eternità.
Esse possiedono in estensione fino le steppe, gli oceani e i deserti:
ma noi possediamo in profondità, giù dove Iddio ha posto i suoi semi
più preziosi e segreti, e ogni tanto gemono dalla terra e sorgono su
fra questa plebe morta questi fatali giganti a stupefazione del
mondo.
Questo bisogna dire, questo bisogna predicare. Quando questa terra
d'Italia pare morta, essa invece medita la nuova progenie sua
immortale. Quanta magnificenza dell'uomo o di Dio, che è tutt'uno!
Come le altre passioni davanti a questa eternità di benèfica forza
cedono, nel modo che i monti minori si appianano quando si sale sul
monte più alto!

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Synchronization A Universal Concept In Nonlinear Sciences 1st Edition Arkady Pikovsky

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