Tópico 05 - Funções Exponenciais e Logarítmicas

Aulas da disciplina Matemática I do Curso de Ciências Econômicas da Universidade Federal do Pará.

1. Matemática I Tópico 05– Funções Exponenciais e Logarítmicas Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA FACULDADE DE ECONOMIA

2. A Função Exponencial

3. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem 5.1.1) Definição : Chama-se função exponencial toda função f : R  , tal que , em que a é uma constante real positiva e diferente de 1. 5.1.2) Domínio: Com relação ao domínio da função exponencial, pode-se afirmar que todos os valores reais. 5.1.3) Imagem : São todos os reais positivos não nulos. 5.1.4) Gráfico: Podemos demonstrar a função exponencial com os seguintes gráficos:  

4. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem Imagine as seguintes funções: e Graficamente temos:  

5. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem Uma máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após sua compra, é dado por , em que é uma constante real. Se após 10 anos , a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada. v(10) = v0 * 2 –0,2*10 12 000 = v0 * 2 –2 12 000 = v0 * 1/4 12 000 : 1/ 4 = v0 v0 = 48.000  

6. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem Crescimento e decrescimento da função exponencial para qualquer função exponencial e qualquer número real x , Se a > 0 e b >1, então a função f é crescente e é uma função de crescimento exponencial . A base b é o seu fator de crescimento . Se a > 0 e b < l, então a função f é decrescente e é uma função de decaimento exponencial. A base b é o seu fator de decaimento .  

7. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem Transformação das funções exponenciais Partindo de uma dada função exponencial , a mesma pode ser modificada e apresentar o seguinte comportamento: , , h a mudança está abaixo: Visualizando no Geogebra temos:  

8. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem A base da função dada pelo número e . A função é uma função de crescimento exponencial. Sua configuração é semelhante as demais funções exponenciais observadas, a diferença é que sua base é dada pelo componente de Euler. Taxa percentual constante de crescimento : Aqui temos um exemplo do que será aplicado na matemática financeira, trata-se de um exemplo dos juros compostos. O exemplo dado é de uma população que está se modificando a uma taxa percentual constante r , onde r é a taxa percentual da mudança em forma decimal. A população então segue o padrão mostrado:  

9. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem Nesse caso temos uma população expressa em uma função exponencial em função do tempo.

10. 5 – A Função exponencial 5.1 – Definição, domínio, gráfico e imagem Exemplos: Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares ? P(x) = P0 * (1 + i) t P(x) = 500 * (1 + 0,03) 20 P(x) = 500 * 1,03^20 P(x) = 500 * 1,80 P(x) = 900 Podemos também simular tal situação no Octave

11. 5 – A Função exponencial 5.2 – Equações e Inequações exponenciais As equações exponenciais envolvem termos em que a incógnita aparece no expoente. A melhor forma de solucionar uma equação exponencial é colocar as equações com a mesma base, portanto Exemplo  

12. 5 – A Função exponencial 5.2 – Equações e Inequações exponenciais Encontre algumas soluções:

13. 5 – A Função exponencial 5.2 – Equações e Inequações exponenciais Inequação exponencial: é toda inequação cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1. Exemplo: Resolução de uma inequação exponencial Imagine que tenhamos a seguinte desigualdade: Logo  

14. 5 – A Função exponencial 5.2 – Equações e Inequações exponenciais Agora imagine a seguinte inequação: Solução: +1 Considerando que podemos formar a seguinte equação quadrática:  

15. 5 – A Função exponencial 5.2 – Equações e Inequações exponenciais O gráfico da função será:

16. 5 – A Função exponencial 5.2 – Equações e Inequações exponenciais Assim teremos logo ( I ) logo ( II ) Com isso o conjunto solução será: Com isso,  

17. INÍCIO DO TÓPICO 6 A Função Logarítmica

18. A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem 6.1.1) Definição: Chama-se de função logarítmica toda função f : tal que , com e b 1 . Também as funções logarítmicas são conhecidas como as funções inversas das exponenciais. Podemos também verificar 5 importantes propriedades das funções logarítmicas : e A função logarítmica é crescente em todo seu domínio se, e somente se, b>1.  

19. A Função Logarítmica Definição, domínio, gráfico e imagem

20. iii) A função logarítmica é decrescente em todo o seu domínio se, e somente se, 0 < b < 1. iv ) Toda função logarítmica, isto é, , com e b1, é bijetora. v) A função logarítmica é inversa da função exponencial , e b1.   A Função Logarítmica Definição, domínio, gráfico e imagem

21. Observe os gráficos de e   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

22. vi) Para números reais positivos a , b e x com , temos Bem como:   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

23. Algumas mudanças gráficas: As características básicas das funções logarítmicas são: Domínio: ]0, +  [ Imagem: R É contínua em ]0, +  [ É crescente em ]0, +  [ Não é não é limitada nem inferior nem superiormente Não tem extremos locais Não tem assíntotas horizontais Assíntota vertical é em x = Comportamento no extremo do domínio Os gráficos no ln são as mais comumente utilizadas em economia.   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

24. Partindo sempre de uma função y = ln x ou y = log x , vejamos os seguintes comportamentos: a)   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

25. Partindo sempre de uma função y = ln x ou y = log x , vejamos os seguintes comportamentos: b) h   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

26. Partindo sempre de uma função y = ln x ou y = log x , vejamos os seguintes comportamentos: c ) z   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

27. Partindo sempre de uma função y = ln x ou y = log x , vejamos os seguintes comportamentos: d) k   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

28. Vejamos o comportamento da função logarítmica no Geogebra : Agora vamos verificar no Matlab e no Calc (Libre Office) o comportamento da função   A Função Logarítmica Definição , domínio, gráfico e imagem

29. Equação: Chama-se “equação logarítmica” aquela que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logarítmo . Por exemplo, vamos resolver a equação: Primeiramente temos que verificar a condição de existência, portanto: O segundo passo é transformar todos os membros em logaritmos de mesma base, assim: Com isso teremos:   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

30. Como x =2 está dentro do intervalo x > -6, então satisfaz a condição de existência, portanto, S={2} Agora vejamos o exemplo: Primeira coisa a se fazer é verificar a condição de existência: Então nosso conjunto de condição de existência será   6 – A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

31. 6 – A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

32. Logo; CE -3 < x < 0 Assim, usando a propriedade logarítmica da subtração teremos: Portanto, as duas raízes serão: x= -1 ou x = 18/5 Porém, apenas -1 encontra-se dentro do intervalo de CE, logo S={-1}   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

33. Como ficaria a equação: A CE será: x > 0 e x 1 Podemos afirmar que: Resolvendo a equação teremos: Porém, pela condição de existência, apenas o 3 faz parte da solução, portanto: S={3}   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

34. Inequação Logarítmica : toda equação que apresenta a incógnita no logaritmado ou na base de um logaritmo. Exemplos: Vamos verificar então como fica a resolução para cada uma das equações acima:   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

35. Da primeira equação verificamos que: CE será x > 0 e x 1 E que: Porém devemos admitir algumas hipóteses: 1ª - Se 0 < x < 1, então o “sentido” (>) da desigualdade deve ser invertido (<) para os logaritmandos . Isto é: Portanto, x < -3 e x > 3   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

36. A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

37. Portanto, teremos a seguinte configuração: Como observa-se acima, dada a CE e os possíveis intervalos do conjunto solução, temos para a 1ª hipótese um conjunto vazio S1=  2ª - Para a segundo hipótese, temos o valor de x > 1 Se a base do log é maior que 1 então a restrição não é invertida, portanto: O que graficamente teremos   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

38. Portanto, -3 < x < 3 Assim o conjunto solução para a segunda hipótese será: A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

39. Logo S2 = { x R | 1 < x < 3} Portanto. S = S1  S2 A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

40. Considerando agora Como o log é na base ½, ou seja 0 < x < 1, então temos que inverter a restrição. logo teremos: Portanto, x  -7 ou x  3   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

41. A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

42. Logo, S={ x  R | x  3} A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

43. Para a inequação   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

44. Preparando a equação teremos: Verificando o sinal teremos:   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

45. A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

46. Pelo estudo do sinal verificamos que -8 < x  1, porém temos a CE para x > -1/2, ou seja: Assim, S =   A Função Logarítmica Equação e Inequação Logarítmica

47. FIM DO TÓPICO