Tópico 07 - Limite de uma função

Aulas da disciplina Matemática I do Curso de Ciências Econômicas da Universidade Federal do Pará.

1. Matemática I Tópico 07– Limites de uma Função Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA FACULDADE DE ECONOMIA

2. Limite

3. 7 – Limite de uma função Conceito: O conceito de limite de uma função é básico para o estudo de cálculo. Seu papel é muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos , Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ...

4. 7 – Limite de uma função Antes, porém, é conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x tende a “a”, não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto “a” , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto desejamos do ponto “a” , porém não coincidente com “a”, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto “a”. Vamos considerar a função definida por: O que acontece com a função quando x tende a 2? Quando colocamos essa forma estamos estabelecendo um limite, onde:  

5. 7 – Limite de uma função Podemos observar que se o valor 2 for inserido na função acima, o denominador será zero, o que impossibilita o cálculo da função, porém, o que acontece se utilizarmos o artifício de fatorar a função? Observe que equivale a , substituindo esse resultado na função original teremos: Com isso, podemos concluir que: e portanto: Então o que devemos observar é o que acontece com a imagem da nossa função quando o domínio se aproxima de um valor específico, assim, teríamos:  

6. 7 – Limite de uma função Fazendo no Octave, teríamos: Calculando as curvas separadamente: Ou seja, podemos tornar f ( x ) tão próximos de 8 quanto desejarmos, basta para isso, tornar x suficientemente próximo de 2. Podemos fazer essa representação por:  

7. 7 – Limite de uma função Podemos retratar a definição de limite em três formas: 1 ) Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a . Seja f uma função definida para x  I com x  a . Dizemos que o limite de f ( x ) quando x se aproxima de “ a ” é o número “L”, notado por Se puder se tornar tão pequeno quanto desejarmos, tornando | x – a | tão pequeno quanto necessário, sendo que | x – a | 0. 2) Considerando uma função f(x), definida num intervalo I, temos que o limite de f(x), quando x tende a a , é o número L, se, para todo  >0, existir, em correspondência, um número , de modo que e  

8. 7 – Limite de uma função 3) Na forma matemática temos:  

9. 7 – Limite de uma função Propriedades Suponha que e Então temos: , com r sendo um número real , desde que M 0  

10. Use o teorema do limite para calcular o seguinte limite: ( prop . 2) ( prop . 4) ( prop . 1)   7 – Limite de uma função Propriedades

11. 7 – Limite de uma função As formas indeterminadas Vamos supor que tenhamos o seguinte limite de uma função Se aplicarmos o teorema 5 verificamos uma inconsistência, pois note que teremos o seguinte resultado: Que é o que chamamos de forma indeterminada A mesma também pode se apresentar no formato de limite como . Uma solução para encontrarmos a forma determinada é fazendo a fatoração da função f ( x ) ou aplicando a regra de L’HOPITAL.  

12. 7 – Limite de uma função A solução para o limite anterior portanto seria: Onde Portanto, No livro to Tan pode ser observada a seguinte forma gráfica:  

13. 7 – Limite de uma função

14. 7 – Limite de uma função

15. 7 – Limite de uma função Verifique o limite para  

16. 7 – Limite de uma função Limite no Infinito. Em algumas situações em que queremos saber se f( x ) se aproxima de um único número quando x cresce além de qualquer limite. Suponha que tenhamos a seguinte função: Se desejarmos determinar o que acontece com f( x ) quando x cresce sem limites. Tomando a sequência de números 1, 2, 5, 100 e 1000 teremos: x 1 2 5 100 1000 f(x) 1 1,6 1,92 1,98 1,9999998 Graficamente teríamos:  

17. 7 – Limite de uma função Ou seja, o limite seria =2  

18. 7 – Limite de uma função A função f em limite L quando x cresce além de qualquer limite (ou quando x tende a infinito), o que se denota por: Se podemos fazer com que f ( x ) se aproxime arbitrariamente de L tomando x suficientemente grande. Analogamente, a função f tem limite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando x tende a menos infinito) o que se denota por: Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de M tomando x negativo e suficientemente grande em valor absoluto.  

19. 7 – Limite de uma função Imagine que tenhamos a seguinte função: e e e Vejamos o comportamento do limite das duas funções acima pelo Geogebra .  

20. 7 – Limite de uma função Quando inserimos os valores negativos e positivos de , trabalhamos o conceito de limites laterais. Formalmente teríamos: Imagine que tenhamos a seguinte função  

21. 7 – Limite de uma função Graficamente teríamos: Quando x se aproxima de 3 pela esquerda ( x 3-), f ( x ) se aproxima de 8. Assim:  

22. 7 – Limite de uma função E, quando x se aproxima de 3 pela direita ( x  3+), f ( x ) se aproxima de 2. Assim: Nesse caso, dizemos que o limite de f ( x ) tende a 3 não existe, pois os limites à direita e à esquerda são diferentes. A justificativa da não existência de um limite, devido ao fato de o limite à direita ser diferente do limite à esquerda , é dada pelo teorema :  

23. Funções Contínuas

24. 7 – Limite de uma função – Funções contínuas O papel das funções contínuas são importantes, principalmente para o cálculo diferencial. Uma função será contínua num ponto se seu gráfico naquele ponto não apresenta buracos (interrupções), saltos ou quebras. Considere, por exemplo, o gráfico a seguir:

25. Em todos os pontos ( a, b, c e d ) a função é descontínua, o que temos que visualizar é como se dão essas quebras. Portanto, uma função será contínua se tiver as seguintes condições satisfeitas: 1. f ( a ) está definido . 2. existe 3.   7 – Limite de uma função – Funções contínuas

26. Uma função pode ser contínua se considerarmos apenas um determinado intervalo, portanto o gráfico abaixo mostra um intervalo em que a função é contínua: 7 – Limite de uma função – Funções contínuas

27. Vejamos outros exemplos gráficos e tiremos algumas conclusões: 7 – Limite de uma função – Funções contínuas

28. 7 – Limite de uma função

29. Abaixo temos as propriedades das funções contínuas: A função constante é contínua em todos os seus pontos; A função identidade é contínua em todos os seus pontos; Se f e g são contínuas em x = a então c) , onde n é um número real, é contínua em x = a sempre que estiver definida naquele ponto. d) é contínua em x = a . e) fg é contínua em x = a . f) é contínua em x = a desde que .   7 – Limite de uma função – Funções contínuas

30. Já as funções polinomiais e racionais temos: Toda função polinomial é contínua em todos os pontos x . Toda função racional é contínua em todos os pontos de x para os quais   7 – Limite de uma função – Funções contínuas

31. FIM DO TÓPICO