Título: Compreendendo e Resolvendo Equações do 2º Grau: Teoria e Prática

Esta apresentação oferece um guia completo e estruturado para o estudo das equações do 2º grau. Ela começa pela definição formal desse tipo de equação, identificando sua forma geral ax² + bx + c = 0 e explicando o papel de cada coeficiente (a, b, c). Através de exemplos variados, a apresentação ilustra como identificar os coeficientes em diferentes contextos. Um tópico crucial abordado é a classificação das equações em completas (todos os coeficientes diferentes de zero) e incompletas (quando b ou c são iguais a zero), com exemplos claros para cada caso.

O núcleo do material é dedicado ao método de resolução por meio do Discriminante (Δ), apresentando a fórmula Δ = b² - 4ac e, o mais importante, a interpretação do seu resultado. A apresentação explica de forma clara e direta as três possibilidades:

Δ > 0: A equação possui duas raízes reais e distintas.

Δ = 0: A equação possui duas raízes reais e iguais (uma raiz dupla).

Δ < 0: A equação não possui raízes no conjunto dos números reais.

Um exercício resolvido passo a passo (3x² - 7x + 2 = 0) demonstra a aplicação prática da fórmula e da análise do discriminante, servindo como modelo para a resolução de problemas similares. Este conteúdo é fundamental para alunos que estão iniciando o estudo de álgebra e funções quadráticas, fornecendo a base teórica e prática necessária para compreender esse conceito essencial da matemática.

1. EQUAÇÃO DO 2º GRAU

2. DEFINIÇÃO   Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:   ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)   sendo:   x a incógnita , a, b e c números reais, chamados coeficientes.   Exemplos:   1) x 2 – 7x + 10 = 0, onde a = 1, b = – 7 e c = 10. 2) 5x 2 – x – 3 = 0, onde a = 5, b = – 1 e c = – 3. 3) 8x 2 – 4x = 0, onde a = 8, b = – 4 e c = 0 4) – 3x 2 + 2 = 0, onde a = – 3, b = 0 e c = 2. 5) 9x 2 = 0, onde a = 9, b = 0 e c = 0   Observe que:   a representa o coeficiente x 2 . b representa o coeficiente de x. c representa o termo independente.

3. EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS   A equação ax 2 + bx + c, (a ≠ 0), é chamada:   Equação completa: quando b ≠ 0 e c ≠ 0. Exemplos: a) 3x 2 + 8x – 1 = 0 b) x 2 – 6x + 5 = 0   Equação incompleta: quando b = 0 ou c = 0, ou ambos são nulos. Exemplos: a) 5x 2 – 8x = 0 (c = 0) b) x 2 – 15 = 0 (b = 0) c) 4x 2 = 0 (b = 0 e c = 0)

4. 1º CASO: Equações da forma ax 2 + c = 0 , (b = 0).   Exemplos:   Resolver as seguintes equações, sendo U = R:   1) x 2 – 25 = 0 x 2 = 25 transpondo – 25 para o 2º membro. x =  x =  5 Logo : V = {+ 5, - 5}   2) 2x 2 – 18 = 0 2x 2 = 18 transpondo – 18 para o 2º membro. x 2 = x 2 = 9 x =  x =  3 Logo : V = {+ 3, - 3}    

5. 3) 7x 2 – 14 = 0 7x 2 = 14 transpondo – 14 para o 2º membro. x 2 = x 2 = 2 x =  Logo : V = { + , – }   4) x 2 + 25 = 0 x 2 = – 25 x =  = nenhum real , pois (nenhum real) 2 = – 25 Logo: V = ᴓ  

6.   2º CASO: Equações da forma ax 2 + bx = 0 , (c = 0).   Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero.   Exemplos:   1) Resolver: x 2 – 5x = 0 x = 0 Fatorando: x(x – 5) = 0 ou Logo: V = {0, 5} x = - 5 = 0  x = 5   2) Resolver: 3x 2 – 10x = 0 x = 0 Fatorando: x(3x – 10) = 0 ou 3x – 10 = 0 3x = 10 x = Logo: V =   Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.  

7. FÓRMULA GERAL DE RESOLUÇÃO   Seja a equação: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)   Vamos transformá-la em equações equivalentes, de modo que o primeiro membro seja um quadrado perfeito.   1) Transpomos c para o 2º membro: ax 2 + bx = – c   2) Multiplicamos ambos os membros por 4a (a ≠ 0) 4a 2 x 2 + 4abx = – 4ac   3) Adicionamos b 2 a ambos os membros: 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 – 4ac   4) Fatoramos o primeiro membro: (2ax + b) 2 = b 2 – 4ac   5) Extraímos a raiz quadrada de ambos os membros: 2ax + b =   

8. 6) Isolando x: (Fórmula de Báscara )     Notas: Esta fórmula permite achar as raízes de qualquer equação do 2º grau, completa ou incompleta.   A expressão b 2 – 4ac chama-se discriminante e é indicada pela letra grega  (lê-se: delta).    = b 2 – 4ac   Então, se   0, podemos escrever:      

9. Se  < 0, a equação não tem raízes reais.       Exemplos:   Resolver as seguintes equações do 2º grau, sendo U = R.   Exemplo 1   3x 2 – 7x + 2 = 0   Solução:   Temos:  = b 2 – 4ac a = 3  = (– 7) 2 – 4. 3 . 2 b = – 7  = 49 – 24 c = 2  = 25

10. Substituindo na fórmula:     x’ = = = 2 = x" = = =   Logo: V =   Exemplo 2   x 2 – 6x + 9 = 0   Solução:   Temos:  = b 2 – 4ac a = 1  = (– 6) 2 – 4. 1 . 9 b = – 6  = 36 – 36 c = 9  = 0  

11. Como  < 0, a equação não tem raízes reais.     NÚMERO DE RAÍZES   Através dos três exemplos estudados, podemos observar que:   Se  > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes. Se  = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais. Se  < 0, a equação não tem raízes reais.

12. EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS REDUTÍVEIS A EQUAÇÕES DO 2º GRAU   Nessas equações (há incógnita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule.   Exemplos:   a) x + = 7 (x ≠ 0)   b) + = (x ≠ 0 e x ≠ 1)   c) – = 2 (x ≠ 1 e x ≠ – )     Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações fracionárias.  

13. Exemplo 1   Resolver em R a equação x + = 5 sendo x ≠ 3   Solução:   O m.m.c. é x – 3 + =   Eliminando os denominadores x(x – 3) + 1 = 5(x – 3)   x 2 – 3x + 1 = 5x – 15 Transpondo e reduzindo x 2 – 3x – 5x + 1 + 15 = 0 x 2 – 8x + 16 = 0   Temos:  = b 2 – 4ac a = 1  = (– 8) 2 – 4. 1 . 16 b = – 8  = 64 – 64 c = 16  = 0  

14. Substituindo na fórmula:     x' = = = 4 = x" = = = 4 Logo: V = { 4, 4 }  

15. Exemplo 2   Resolver em R a equação + = 4 sendo x ≠ 0 e x ≠ 1.   Solução:   O m.m.c. é x(x – 1) + =   Eliminando os denominadores 4x 2 + (x – 1) (x – 10) = 4x 2 – 4x   4x 2 + x 2 – 11x + 10 – 4x 2 + 4x = 0 Transpondo e reduzindo x 2 – 11x + 4x + 10 = 0 x 2 – 7x + 10 = 0   Temos:  = b 2 – 4ac a = 1  = (– 7) 2 – 4. 1 . 10 b = – 7  = 49 – 40 c = 10  = 9  

16. Substituindo na fórmula:     x' = = = 5 = x" = = = 2 Logo: V = { 5, 2 }