Tensão média e tensão eficaz

Dedução das equações de tensão média e tensão eficaz para os principais tipos de formas de onda utilizadas em circuitos elétricos.

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1. 1

TENSÃO MÉDIA E TENSÃO EFICAZ

O valor médio de uma tensão elétrica é definido como






∫ ( )




O valor eficaz de uma tensão elétrica corresponde ao valor que deveria ter uma
tensão contínua pra produzir numa determinada resistência a mesma taxa de dissipação
de energia (potência) que produz a tensão alternada. Matematicamente, corresponde a
média quadrática da tensão, dada por






∫[ ( )]






1) Valor médio de uma tensão cossenoidal
Seja ( )
( ).






∫ ( )





∫ ( )







∫
( )






∫ ( )







[ ( )]







[ ( ) ( )]



[ ( ) ( )]




[ ( ) ( ) ( )]




[ ( )]

2) Valor eficaz de uma tensão contínua
Seja ( )
.

√




∫[ ( )]






√




∫





√







(

)



3) Valor eficaz de uma tensão cossenoidal
Seja a a tensão elétrica em função do tempo ( )
( ).

√


∫[
( )]




√





∫

( )



Calculando ∫

( ) .

2. 2

Definimos, , então devemos calcular


∫

.
Da identidade







( ) obtemos que


∫




∫(





( ))


∫


∫ ( )






( )
( ) ( ( ))


Calculando a integral definida entre os extremos e :
∫

( )


[
( ) ( ( ))

]




( ) ( ( )) ( ) ( ( ))



( ) ( )





(


) ( )





( ) ( )



( ) ( ) ( ) ( ) ( )



( ) ( )





Então,

√











√


4) Valor eficaz de uma tensão cossenoidal com componente contínua
Seja a função ( )

( ).


√


∫[

( )]





√


∫[




( )




( )]



√


∫








∫

( )





∫




( )



Como demonstrado em 2) e 3),


∫












(tensão eficaz da componente DC)
e

3. 3



∫




( )











(tensão eficaz da componente AC)
Calculamos, então, a integral do meio


∫

( )







∫ ( )








[ ( ) ]





[ ( ) ( ) ]





[ ( ) ( ) ]





[ ]
Então,

√







√







5) Tensão média obtida de retificador meia onda com entrada senoidal e diodo
ideal

Seja o sinal retificado
( )

( ) [


]
(


]






(∫
( )



∫



)




∫
( )







[ ( )]







( (


) )




( ( ) )



( )

4. 4

6) Tensão média obtida de retificador de onda completa com entrada senoidal e
diodo ideal

Seja o sinal retificado ( )
( ). A integração será entre
e



, pois
o período dessa forma de onda é metade do período da senóide.






(∫
( )



) (


∫
( )



)

(



)

(integral calculada em (5))


Observações

1) Os intervalos de tempo
e
podem, conveniente, na maioria dos casos, ser
escolhidos como, respectivamente, 0 e T. Este é o período da (cos)senóide, o inverso da
frequência.

2)


é a frequência angular. Daí, tiramos que . Esta igualdade foi
bastante utilizada para simplificar as equações algébricas.

3) Foram utilizadas as seguintes identidades trigonométricas
( )
( )








( )
Esta última identidade é obtida por meio da substituição da relação fundamental da
trigonometria (



) na igualdade ( )



.

4) Para cálculos de sinais elétricos em regime permanente é indiferente a escolha da
função seno e cosseno. Ambas as funções estão relacionadas por uma defasagem de



rad, que pode estar inclusa na defasagem genérica nas funções utilizadas. Em outras
palavras, o formato da onda é mesmo, muda apenas o “ponto de inicio” da mesma.