Teorema Bayes Ejemplo

Teorema de bayes ejemplo Variables aleatorias básico

1. PROBABILIDAD
TEOREMA DE BAYES -VARIABLESALEATORIAS

2. 2
TEOREMA DE BAYES
Probabilidad total
Entonces la probabilidad total
P(B) = P(A
1)*P(B/A
1) + P(A
2)*P(B/A
2) + …….. + P(A
n)*P(B/A
n)
ElteoremadeBayesdesarrolladoporSirThomasBayesenelsigloXVII.Seutilizapararevisar
probabilidadespreviamentecalculadascuandoseposeenuevainformación..Seiniciaunanálisisde
probabilidadesconunaasignacióninicial,probabilidadapriori.Cuandosetienealgunainformación
adicionalseprocedeacalcularlasprobabilidadesrevisadasoaposteriori.
Tomado y adaptado de: http://www.monografias.com

3. 3
LasaplicacionesdelteoremadeTeoremadeBayessoninfinitas,yno
exentasdegrandespolémicas.
Elproblemaradicaesquealdecir“Bhaocurrido”sepuedepensarque
esunhechodeterminístico,yporlotantonotieneobjetocalcularla
probabilidadP(B),esdecirsiBhaocurridoentoncesP(B)=1.
Noobstante,elproblemacambiaradicalmentesiunoexpresa“siB
ocurre”,yestaeslainterpretacióncorrecta.
Porotrolado,lasprobabilidadesasociadasaloseventosA
isondetipoa
priori,yqueavecesdemaneraarbitrariadebenasignarsepuestoqueno
setieneinformaciónsobreel“pasado”,yqueseesperaquevanaser
“mejoradas”conlainformaciónquepuedeentregarelsucesoB,de
hecholasprobabilidadesP(A
i/B)sonllamadasaposteriori.

4. 4
ElteoremadeBayespermitecalcularlasprobabilidadesa
posterioriysedefine:

5. 5
ElSITPtienetreslíneasenunalocalidaddeBogotá,donde
queel45%delosbusescubreelserviciodelalínea1,el25%
cubrelalínea2yel30%cubreelserviciodelalínea3.Se
sabequelaprobabilidaddeque,diariamente,unbussufraun
accidenteesdel2%,3%y1%respectivamente,paracada
línea.
a.Calcularlaprobabilidaddeque,enundía,unbussufraun
accidente
b.Calcularlaprobabilidaddeque,enundía,unbusnosufra
unaccidente.
c.¿Dequélíneadetransporteesmásprobablequeunbus
sufraunaccidente?

6. 6

7. 7
1. VARIABLESALEATORIAS
Engrancantidaddeexperimentosaleatoriosesnecesariocuantificar
losresultados,esdecir,asignaracadaresultadodelexperimentoun
número,conelfindepoderrealizarunestudiomatemático.
Porejemplo,cuandoseestrellandosvehículos,sepuedeestar
interesadoenconocerelnúmerodeheridosynoenparticularel
trancónquepuedengenerar.
Igualmente,uninversionistanoestaráinteresadoenconocertodas
lasvariacionesquesehanproducidoalolargodeldíaenelprecio
deldólar,sinoque,porelcontrario,sóloleinteresasaberelprecioal
finaldeldía.
Lasanterioresmagnitudesdeinterésquevienendeterminadasporel
resultadodelexperimentoseconocencomovariablesaleatorias

8. 8
VARIABLESALEATORIAS
UnavariablealeatoriaXesunafunciónqueasociaunnúmeroreala
cadapuntodelespaciomuestral
Unavariablealeatoriaesunadescripciónnuméricadelresultadodeun
experimento
Variablealeatoriadiscreta:unavariablealeatoriaesdiscretasisu
conjuntodevaloresposiblesesunconjuntodiscreto,tomaunnúmero
finitodevaloresnumerables.
Variablealeatoriacontinua.Variablequetomaunvalorinfinitode
valoresnonumerables.Unavariablealeatoriaescontinuasisu
conjuntodeposiblesvaloresestodounintervalodenúmeros;estoes,
siparaalgúna<b,cualquiernúmeroxentreaybesposible.
[ a ≤ X ≤ b]
Definiciones:

9. 9
Repaso:
Especificar
Experimento
Definir
Espacio
Muestral
Ω = S
Evento o
Suceso
Variable
Aleatoria
Distribución de
probabilidad
X
P(x)
MODELO PROBABILÍSTICO
Reconocer
todos los
resultados
Asignar un
resultado
Discretas P(x)
Continuas f(x)

10. 10
NOTACIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS CONTINUAS0)(xP
X  
x
X
xP 1)( )()( xXPxP
X  ,,0)(  xxf 


,1)(dxxf dxxfbxaP
b
a

 )()(

11. 11
Ejemplos: Variable Aleatoria (V.A) discreta
Experimento Variable aleatoriaValores posibles V.A
Número de vehículos que
llegan a un peaje
Cantidad de vehículos 0, 1, 2, 3, 4, 5
Inspeccionar un lote de
producción de 100
microchips
Cantidad de chips
defectuosos
0, 1, 2,……, 100
Comprar baloto Ganar o perder {$12.500.000.000 ; -$5.500}
Preguntarle a una persona
si le ha sido infiel a su
pareja
No o Si 0 si es no y 1 si es si

12. 12
Ejemplos: Variable Aleatoria (V.A) continua
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A
Tomar el tiempo que debe
esperar un vehículo para
cruzar un semáforo
Tiempo en minutos, que
debe esperar un vehículo
hasta que cambie el
semáforo
X ≥ 0
Llenar una botella de un litro
con guarapo
Cantidad de mililitros de
guarapo envasado
0 ≤ X ≤ 1000
Proyecto: construcción de
viviendas de interés social
Porcentaje de avance del
proyecto
0 ≤ X ≤ 100.000
Dejar el auto estacionado
por una hora en un
parqueadero
Precio de la hora de
parqueo
$ 0 ≤ X ≤ $10.000

13. 13
VALOR ESPERADO
x
xx
xxPXE )()( 22222
)()()()()(    XExPxXEXV
x
xxXx
VARIANZA


 dxxxfXE
XX
)()( 


 dxxfxXV
XXX )()()(
22

v.a. Discreta
v.a. Discreta
v.a. Continua
v.a. Continua

14. Experimentoaleatorio:Registrartresvehículosquelleganauncruceprohibidoy
observarsihacenelgiro.
EspaciomuestralΩ={nnn,nns,nsn,snn,nss,sns,ssn,sss}
Evento:Haceelcruceprohìbido
Variablealeatoria:Asignarunnúmeroreal,elcorrespondientealnúmerodecruces
prohibidos
X:{0,1,2,3}
Ω
sss
ssn
sns
nss
snn
nsn
nns
nnn
0
1
2
3
X: v.a
Ω X(Ω)
X
Ω= espacio muestral de E
Rx = valores posibles de X
Ejercicio:Construirlagráficadeladistribuciónde
probabilidad(D.deP.)yD.deP.acumulada
EJEMPLO 1

15. Deungrupode10personas,delascuales4sonmujeres.Seextraenalazar3
personassinreposición.Construirlafuncióndedistribuciónprobabilidad
Solución:
SedefinelavariablealeatoriaX:Númerodemujeresseleccionadas.
EnestecasoelrangodevaloresdeXesRx={0,1,2,3}
Porejemplo,
P(X=2)=Probabilidad(seleccionar2mujeres)=
engeneralP(x)parax=0,1,2,3.
Tabladedistribucióndeprobabilidad:























3
10
1
6
2
4 
























3
10
3
64
xx
EJEMPLO2:
Ejercicio:Construirlagráfica
deladistribucióndeprobabilidad
ylaacumulada

16. Función de distribución acumulativa
SeaXunavariablealeatoriadiscretaconfuncióndeprobabilidadP(x)yrangode
valoresR
x,entoncessufuncióndedistribucióndeprobabilidadacumulativasedefine
por:
tescualquiernúmeroreal.Enparticular,sitesunvalorqueestáenRx,elcual
consistedeenterosnonegativos,entonces:
F(t)=p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+…+p(t)
Ejemplo.HallarlafuncióndedistribuciónacumulativaparaelEjemplo2
tx
xptXPtF )()()(
x F(x)
0 1/6
1 4/6
2 29/30
3 1
Ejercicio:Construirlagráfica
deladistribucióndeprobabilidad
acumulada(funciónescalonada)

17. Lagráficadeunafuncióndedistribucióndeprobabilidadacumulativaes
crecienteydeltipoescalonado,consaltosenlospuntosqueestánenel
rangodevaloresycuyamagnitudesigualalvalordelafunciónde
probabilidadendichopunto.
Másformalmentetienelasiguientepropiedad:
Propiedad:
La relación entre la función de distribución de probabilidad y la función de
distribución acumulativa está dada por:
P(x) = F(x) -F(x-1)
Para todo valor de x en el rango de valores de la variable aleatoria.

18. Calcularlafuncióndedistribuciónde
probabilidaddelaspuntuaciones
obtenidasallanzarundado.
Larepresentacióndelafunciónde
distribucióndeprobabilidad,delas
puntuacionesobtenidasallanzarun
dado,esunagráficaescalonada
18
EJEMPLO 3X P(X)
X< 1 0
1 ≤ X < 2 1/6
2 ≤ X < 3 2/6
3 ≤ X < 4 3/6
4 ≤ X < 5 4/6
5 ≤ X < 6 5/6
6 ≤ X 1

Función de distribución de probabilidad acumulada
Ejercicio:CalcularE(X),V(X)yσ

19. Paraelejemplo2(Deungrupode10personas,delascuales4sonmujeres.
Seextraenalazar3personassinreposición).Hallarlamedia,varianzay
desviaciónestándardelnúmerodemujeresseleccionadas.
Solución:
Desviaciónestándar√
2
=√0.573=0.7569
Otraformasdelcalcularlavarianzaes
2
=x
2
p(x)-
2
.
x p(x) Xp(x) X- (x-u)
2
p(x)
0 1/6 0 -1.2 .24
1 1/2 1/2 -0.2 .02
2 3/10 6/10 0.8 .192
3 1/30 1/10 1.8 .121
= 1.2 
2
= 0.573

20. Ejemplo 4
ElconstructorAquiles
PintoParedes,estudiósus
registrosdelasúltimas20
semanasyobtuvolos
siguientesnúmerosde
casas pintadaspor
semana:# de casas
pintadas
Semanas
10 5
11 6
12 7
13 2

Distribución de probabilidad:Número de casas
pintadas, X
Probabilidad, P(X)
10 0.25
11 0.30
12 0.35
13 0.10
Total 1

Número medio de casas pintadas por semana:  
   

Ex xPx()[()]
()(.)()(.)()(.)()(.)
.



1025113012351310
113  
2 2
4225027017152890
91
 
   

[()()]
. . . .
.
x Px


Varianza del número casas pintadas por semana
Desviación estándar del número casas pintadas por semana σ= 0.9539 ≈ 1

21. EJEMPLO 5
El número de autos que se pasan en rojo un semáforo son
x = 1, 2, 3, 4 , de acuerdo con la siguiente función:
P(x) =
X Para x = 1, 2 , 3, 4
1
10
0 En otro caso
a)Tracelagráficadeestafunciónydemuestrequecumpleconlas
propiedadesparaqueP(x)seaunafuncióndeprobabilidad.
b)Halleelvaloresperado
c)Determineladesviaciónestándar

22. 22
Undadotieneunacararoja,doscarasverdesylastres
restantesnegras.Selanzaeldadounavez.Sisalerojogana
$3000ysisaleverde,gana$8000.¿Cuántodebepagar,si
salenegro,paraqueeljuegoseaequitativo?
Eldueñodeunatractomulaquierecomprardiezllantaspara
remplazarlasensuvehículo.Anteriormente,habíacomprado
llantasdeestetipoadosdiferentesfabricantes.Conbaseen
estasexperiencias,lasvidasútilesdelasdosmarcasde
llantassepuedenestimardelasiguientemanera:
Ejercicios

23. 23___________________________ ________________________
VIDA ÚTIL ESTIMADA PROBABILIDAD VIDA ÚTIL ESTIMADA PROBABILIDAD
HORAS HORAS
___________________________ _________________________
2000 0,60 2000 0,50
3000 0,30 3000 0,45
4000 0,10 4000 0.05
__________________________ ________________________
Llanta tipo A Llanta tipo B
¿Quemarcadebecomprareltransportadorsielcostode
ambasllantaseselmismo?
Ejercicios

24. 24
Unainmobiliariaposeeunterrenoenunsectordelos
alrededoresdeunaciudad,clasificadocomosector
“agrícola”.Existeunproyectodecambiodeesesectorde
“agrícola”a“habitacional”.Sielproyectoseaprueba,el
terrenotendríaunvalorde$10’000.000,000encambiosiel
terrenoesrechazado,elvaloresdesólo$2’000.000.000.
AntesqueelConsejoMunicipaldelaciudaddecidasobreel
proyecto,uncompradorhaofrecido$5’000.000.000al
contadoporelterreno.
a)Debelacompañíadeinversionesvendersuterrenoporese
preciosilaprobabilidaddeaprobacióndelproyectoesde
0.5?
b)Queprobabilidaddebeasignarsealaaprobacióndel
proyectoparaquelacompañíanotuvierapreferenciapor
ningunadelasdosalternativas(venderelterrenooesperar
ladecisiónmunicipal)?
Ejercicios

25. Uncomercianteestimalas
ventasdiariasderosasdela
siguienteforma:
Venta diaria
estimada
Probabilidad de
venta
4000 0.45
5000 0.30
6000 0.25
Elcostopordocenaesde$3.500
yelpreciodeventaesde$8.000.
Lasrosasdebenserordenadas
conundíadeanticipación.Cada
docenanovendidaeneldíase
entregaaunainstituciónde
beneficenciaalpreciode$100por
unidad.Cuántasunidadesdebe
ordenarelcomerciantepara
maximizarsuutilidaddiaria
esperada?
Ejercicios

26. !Gracias por su atención!