Teorema chino del residuo

1. TEOREMA CHINO DEL RESIDUO

2. HISTORIA Llamado así porque ya se empleaba en la civilización china en el siglo !I a.C. en casos muy concretos, como era para calcular fechas de suceción ligadas a periodos de efemérides astronómicas.

3. TEOREMA

4. COROLARIO

5. EJEMPLO Encuentra el menor entero positivo que al dividirlo por 5 dé resto 4, al dividirlo por 7 dé resto 3 y al dividirlo por 11 se obtenga resto 1.

6. SOLUCIÓN!!! :D Puesto que 5, 7 y 11 son primos, son primos de dos a dos. Con ello, en virtud del corolario podemos aplicar el TEOREMA CHINO. Las expresiones se traducen en hallar soluciones particulares de las ecuaciones diofánticas por separado:

7. PROBLEMA Siete ladrones tratan de repartir, entre ellos y a partes iguales, un botín de lingotes de oro. Desafortunadamente, sobran seis lingotes y en la pelea que se desata muere uno de ellos. Como al hacer de nuevo el reparto sobran dos lingotes, vuelven a pelear y muere otro. En el siguiente reparto vuelve a sobrar una barra y sólo después de que muera otro es posible repartirlas por igual. ¿Cuál es el mínimo número de barras para que esto ocurra?

8. PROBLEMA 3. Una banda de 13 piratas encontró cierto número de monedas de oro. Al distribuirlas equitativamente les sobraron 8 monedas. Debido a una fiebre murieron 2 de los piratas y al hacer un nuevo reparto des monedas, les sobraron 3. Por peleas entre ellos murieron 3 más y en último reparto le sobraron 5 monedas. Hallar el menor número de monedas que encontraron.

9. SOLUCIÓN Representemos por x el número de monedas encontradas. Tenemos el sistema:

10. PROBLEMA 4.