teorema de pitágoras demostraciones

1. Teorema de Pitágoras Integrantes: - Mireya Soto - María José Sobarzo Prof : Cecilia Planas Asig : Geometría I Diciembre 2014 Universidad de Los Lagos Pedagogía en Matemática y Computación

2. Pitágoras Filósofo y matemático griego. Nació el 570 a.C. en la isla de   Samos . Presentó aportes en la teoría de números, en astronomía y el mas conocido en geometría: el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras. Murió en el año 475 a. C.

3. Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Cateto = a Cateto = b Hipotenusa = c a² + b² = c²

4. En un triángulo rectángulo, el cuadrado construido sobre la hipotenusa, tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Es decir: c b a c 2 =a 2 +b 2 c² b² a²

5. Primera demostración Vamos a hacerlo de una manera gráfica: dibujando respectivos cuadrados del tamaño de cada cateto y de la hipotenusa de un triangulo rectángulo. c² = 25 a² = 16 b² = 9 b = 3 a = 4 c = 5

6. Otro tipo de demostración Dibujamos dos cuadrados iguales, uno azul y otro rojo que tengan de lado la suma de los dos catetos del triángulo rectángulo. b + a b + a

7. A continuación ponemos 4 triángulos rectángulos iguales y un cuadrado que tenga de lado la longitud de la hipotenusa, en el cuadrado azul. Ponemos también 4 triángulos rectángulos iguales que los azules, un cuadrado que tenga de lado la longitud del cateto menor y otro cuadrado con la del cateto mayor, en el cuadrado grande rojo.

8. Si quitamos los triángulos de los cuadrados grandes, nos queda la misma superficie en el cuadrado azul que en el cuadrado rojo. Así queda demostrado el teorema. c 2 = b 2 + a 2

9. Otra forma de demostración muy sencilla

10. Demostración con semicírculos En un triángulo rectángulo, el área de un semicírculo construida sobre la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los semicírculos construidas sobre las longitudes de los catetos.

11. Demostración de James Garfield A partir de un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c, construyó un trapecio de bases a y b y con una altura de a+b. Un trapecio, formado por dos triángulos rectángulos iguales y uno isósceles. c a b c a b N M

12. Demostración atribuida a Lagrange Consideramos el triángulo ABC rectángulo en C y trazamos la perpendicular CD a AB, resultando así 3 triángulos semejantes: ACB, ADC y CDB. A C B D x y c - y b a

13. Recíproco del Teorema de Pitágoras

14. La demostración de Euclides (Elementos. Libro I, Proposición 48) “Si en un triángulo el área del cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los dos lados restantes, el ángulo comprendido por esos dos lados restantes del triángulo es recto”.

15. Hipótesis: (BC)² = (BA)² + (AC)² Tesis: Demostrar que: BAC es recto A B C

16. Los tríos Pitagóricos Un trío pitagórico se define como un conjunto de tres números,  a ,  b  y  c  que cumplen con la relación: a² + b² = c² Por ejemplo: (3, 4, 5) (4, 3, 5) (5, 12, 13) (6, 8, 10)  (8, 6, 10)  (8, 15, 17)  (9, 12, 15)  (12, 5, 13) (12, 9, 15)  (15, 8, 17)

17. Bibliografía http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700626/spip/IMG/pdf/Pitagoras.pdf http://www.ehowenespanol.com/definicion-del-teorema-pitagoras-info_269273/ http://teoremadepitagoras.org/ http://www.ck12.org/book/CK-12-Algebra-I-Edicin-Espaola/section/11.4/ http://platea.pntic.mec.es/~jalonso/mates/pitagoras.swf http://132.248.17.238/geometria/t_1_048/t_1_048_m.html