Teorema del Valor Medio

1. Universidad Técnica Particular de
Loja
Explicación y Aplicación del
Teorema del Valor Medio
CÁL CU L
O

2. Teorema del Valor Medio
Es uno de los Teoremas más importantes dentro del Calculo Diferencial.
En el lenguaje geométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y
de comprender. Dice que si la gráfica de una función continua tiene una
tangente no vertical en todo punto comprendido entre A y B, entonces hay por
lo menos un punto C en la gráfica comprendida entre A y B en el que la
tangente es paralela a la recta secante AB
A
B
C

3. Demostración del Teorema
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y
diferenciable en su interior (a, b), entonces existe al menos un
número c en cada (a, b).
Observación: El teorema de Rolle es similar, se diferencian porque
aqui no se exige f (a) = f (b). Si esto se diera se reduce al
teorema de Rolle.
ab
afbf
cf
-
-
=
)()(
)('

4. Demostración
La expresión es la pendiente de la recta
Secante que une los puntos (a, f (a)) y (b f (b)). Queremos probar
que un punto x = c en la recta tangente tiene esa misma
pendiente, o sea, es paralela a esa recta secante.
ab
afbf
-
-)()(
a c b
x
y
y=f(x)
m=f’(c)

5. En primer lugar la recta secante que une a (a, f (a)) y (b f (b))
tiene pendiente .
La ecuación de la recta es por lo tanto,
Definimos la función inclinada g como la diferencia entre los
valores de f y la secante.
Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), también g lo es.
Además
)()( axmafy -=-
ab
afbf
m
-
-
=
)()(
)]()([)()( afaxmxfxg +--=
0)](0[)()( =+-= afafag

6. Y porque
Al ser g (a) = g (b), el teorema de Rolle existe un c en (a, b) tal
que g’(c) = 0. Derivamos
Luego despejamos f’(c) y llegamos al resultado antes mencionado:
0)]()()([)(
)]()([)()(
=+--=
+--=
afafbfbf
afabmbfbg
ab
afbf
m
-
-
=
)()(
mcfcg
afaxmxfxg
-=
+--=
)(')('
)]()([)()(
ab
afbf
mcf
-
-
==
)()(
)('

7. Mediante el siguiente ejemplo, vamos a demostrar más
detalladamente, en que consiste este teorema:
Hallar el valor c que satisfaga la conclusión del teorema del valor
medio para
En el intervalo [0, 2]
1)(
23
+--= xxxxf
1
02
13
)(' =
-
-
=cf

8. Para hallar el número c haremos:
Despejando
Aplicando la formula general resolvemos:

1123)('
2
=--= cccf
0223
2
=--cc
)3(2
)6(442
2
4
2
--±
=
-±-
a
acbb
3
71
6
722
6
2442 ±
=
±
=
+±
Myriam Sarango
Karla Espinosa