Teorema do Pick e Area de Polígono Simples

A utilização do Teorema do Pick amplia as possibilidades de exploração do conceito de Área, especialmente no Ensino Médio (2º ano do Ensino Médio), trazendo para a sala de aula conhecimentos como a Fórmula de Pick e a utilização do software GeoGebra.

1. Teorema do Pick e a Área de Polígonos Simples
A utilização do Teorema do Pick amplia as possibilidades de exploração do conceito de
Área, especialmente no Ensino Médio (2º ano do Ensino Médio), trazendo para a sala de aula
conhecimentos como a Fórmula de Pick e a utilização do software GeoGebra.
O GeoGebra é um software de acesso livre, (é permitido utilizar, copiar e distribuir o
aplicativo para fins não comerciais) e por isso mesmo poder vir a ser um importante aliado
dos professores como recurso metodológico. Permite a abordagem de diversos conteúdos
trabalhados na Educação Básica (Ensino Fundamental e Médio), especialmente Geometria e
Funções.
Por meio da construção interativa de figuras e objetos, podemos melhorar a compreensão
dos alunos através da visualização, percepção dinâmica de propriedade, estímulo heurístico à
descoberta e obtenção de conclusões "validadas" na experimentação.
Os recursos que deverão estar disponíveis para a realização desse projeto são: Laboratório
de Informática com internet, Datashow, note book e o software GeoGebra.
O Aluno poderá ser avaliado da seguinte forma:
* Observação e do registro do acompanhamento das atividades (0,5).
* Interesse, participação e a integração das equipes (0,5).
* Execução e apresentação do projeto (1,0).

Vamos às atividades do Projeto: Teorema do Pick e a Área de Polígonos Simples

2. Atividade 1
Na atividade 1, construiremos no software GeoGebra os polígonos que serão utilizados nas
demais atividades. Utilizaremos um tempo de 100 minutos na realização das atividade 1 e 2.
Abaixo estão os passos a serem seguidos:
1º - Inicie o programa GeoGebra;
2º - Feche a Janela de Álgebra e clique na ferramenta Exibir ou esconder os eixos para esconder
os eixos;
3º - Clique na ferramenta Exibir ou esconder a malha para exibir a malha;
4º - Clique na ferramenta Polígono e construa os polígonos: retângulo, trapézio, triângulo, quadrado
e losango;
5º - Depois que construir os polígonos iremos determinar o comprimento de alguns elementos nos
polígonos. Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e, passe no comprimento e
largura do retângulo; na base do triângulo e na altura; na base maior, base menor, base maior e altura
do trapézio; em dois lados do quadrado e na diagonal maior e na diagonal menor do losango (Figura 1
do anexo).
7º - Clique em Arquivo e em Grava como... e digite figura 1 e clique em Gravar.
6º - Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e na superfície interior de cada
polígono, logo após aparecerá a área do respectivo polígono (Figura 2 do anexo).
7º - Clique em Arquivo e em Grava como... e digite figura 2 e clique em Gravar.
8º - Pedir ao aluno que calcule a área desses polígonos no caderno utilizando as fórmulas adequadas
e comparar com o resultado encontrado no GeoGebra.

3. Atividade 2
Na atividade 2, os alunos conhecerão o Teorema de Pick . Quem criou? Para que serve? Onde
pode ser aplicado?
O teorema de Pick foi publicado em 1899 pelo matemático Georg Alexander Pick, que nasceu
em 1859 em Viena de Áustria e morreu em 1943, durante a segunda guerra mundial, no campo de
concentração de Theresienstadt.
Para compreender o teorema é preciso estabelecer alguns conceitos:
* cada ponto de interseção de retas da malha quadriculada será chamado de nó;
* cada pequeno quadrado será chamado de célula e possui uma unidade de área;
* um polígono é chamado simples quando seu contorno for uma curva fechada simples, ou
seja, ele não possui “buracos” no seu interior nem intersecções de suas arestas.





A figura 1 representa um polígono simples. Na figura 2 o polígono não é simples, pois
tem um vértice que pertence a mais de dois lados e o polígono da figura 3 não é simples
porque tem um buraco.

4. O Teorema de Pick trata-se de um recurso interessante para o cálculo de área de
polígonos com vértices sobre pontos de intersecção das retas de uma malha quadriculada,
conforme figura 1.

O teorema de Pick permite calcular a área de um polígono simples contando o número
de pontos de fronteira denominados B e o número dos seus pontos interiores
denominados I.
Esse teorema estabelece que: seja P um polígono cujos vértices pertencem a uma rede,
indica-se com B e I, respectivamente, o número de pontos da rede situados sobre a
fronteira (borda) e no interior de P. Então, a área A, desse polígono, é dada pela expressão
seguinte:
A = I + B / 2 - 1

5. Atividade 3
Na atividade 3 , os alunos deverão calcular a área dos polígonos propostos na atividade 1
utilizando
o Teorema de Pick e comparando o resultado com os encontrado na atividade 1.
Utilizaremos um tempo de 100 minutos na realização das atividade 3 e 4.
Deverão seguir os passos a seguir:

1º - Inicie o programa GeoGebra;
2º - Clique em Arquivo e Abrir e, selecione figura 1, depois clique em Abrir;
3º - Clique na ferramenta Novo Ponto e, a seguir clique no contorno de interior de cada polígono
(figura 3 do anexo);
4º - Pedir aos alunos que calculem a área desses polígonos utilizando a Fórmula de Pick e, peça que
compare com os resultados encontrados na atividade 1.

6. Atividade 4
Na atividade 4, os alunos deverão criar 2 polígonos simples utilizando o GeoGebra e, calcular a área
utilizando a Fórmula de Pick.
Deverão seguir os passos a seguir:
1º - Inicie o programa GeoGebra;
2º - Feche a Janela de Álgebra e clique na ferramenta Exibir ou esconder os eixos para esconder os
eixos;
3º - Clique na ferramenta Exibir ou esconder a malha para exibir a malha;
4º - Clique na ferramenta Novo Ponto e marque na malha os pontos que definirão o polígono desejado;
5º - Clique na ferramenta Segmento definido por Dois Pontos e una os pontos até fechar o polígono;
6º - Clique na ferramenta Polígono e percorra o polígono inteiro clicando em cima dos pontos até
completar uma volta inteira;
7º - Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e na superfície interior do polígono criado,
logo após aparecerá a área do respectivo polígono .
7º - Repita os passos acima e crie mais um polígono;
8º - Calcule a área dos dois polígonos utilizando a Fórmula de Pick compare com o resultado encontrado
no GeoGebra.

7. Atividade 5
Na atividade 5 os alunos lidarão com um problema real e solucionarão utilizando a Fórmula de Pick.
A situação problema é a seguinte: Durante um temporal um bairro da cidade de São Paulo inundou como
mostra a foto que está no anexo 4. O aluno deverá determinar a área alagada do bairro utilizando a Fórmula
de Pick.
Deverão seguir os passos a seguir:
1º - Inicie o programa GeoGebra;
2º - Feche a Janela de Álgebra e clique na ferramenta Exibir ou esconder os eixos para esconder os eixos;
3º - Clique na ferramenta Exibir ou esconder a malha para exibir a malha;
4º - Clique no menu Editar , depois Inserir Imagem de, depois Arquivo;
5º - Escolha o local onde você salvou a foto que está no anexo 4 , clique na imagem e depois em Abrir;
6º - Clique com o botão direito do mouse em cima da figura e clique em configurações e marque a opção
Imagem de Fundo Imagem(figura 4 no anexo 5);
7º - Clique na ferramenta Novo Ponto e marque na foto o contorno da área alagada;
8º - Clique na ferramenta Segmento definido por Dois Pontos e una os pontos até fechar o polígono;
9º - Clique na ferramenta Polígono e percorra o polígono inteiro clicando em cima dos pontos até completar
uma volta inteira;
10º - Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e na superfície interior do polígono criado, logo
após aparecerá a área do respectivo polígono . (figura 5 no anexo 6);
11º - Calcule a área do polígono utilizando a Fórmula de Pick e compare com o resultado encontrado no
GeoGebra. (figura 6 no anexo 7);

8. Anexo 1
Figura 1

9. Anexo 2
Figura 2

10. Anexo 3
Figura 3

11. Anexo 4

12. Anexo 5
Figura 4

13. Anexo 6
Figura 5

14. Anexo 7
Figura 6