Teorema do valor intermediário - Análise Real

Teorema do Valor Intermediário,Teorema de Bolzano,Teorema Weiestrass.

1. UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS PROGRAMA DARCY RIBEIRO Prof (a).:Francisco Rabelo Acadêmico.: Zaqueu oliveira silva  T. V. I CIDELÂNDIA-MA 2014

2. Zaqueu Oliveira T.V.I – TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO Cidelândia-2014

3. Um pouco da História O Teorema do Valor Intermediário é também conhecido como Teorema de Bolzano, em homenagem ao matemático tcheco Bernhard Bolzano ( 1781 - 1848), que o demonstrou analiticamente. Embora já ha muito conhecido e utilizado, só no início do século XIX, o TVI foi demonstrado, antes disso todos se apoiavam numa justificativa geométrica. Bolzano nasceu e morreu na cidade de Praga, e embora fosse padre tinha ideias contrarias às da igreja. Lastimavelmente, suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos.

4. Definições de função contínua e descontínua Seja uma função f:| a,b| → R e a< c <b . A função f é contínua no ponto C , se Lim f(x ) existe, quando x → c e é igual a f(c) , ou de uma forma mais concisa: Se não existe Lim f(x ) ou se existe Lim f(x ) quando x → c , mas Lim f(x ) ≠ f(c) , dizemos que a função f é descontínua em x = c . Que são as famosas funções de Dirichlet .

5. Representação gráfica das funções Na sequência, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas. Contínua Descontínua

6. Teorema do Valor Intermediário (TVI) Se f é contínua sobre o intervalo fechado[a,b] e L é um número real tal que f(a)< L <f(b) ou f(b)< L <f(a) , então existe pelo menos um ponto c em [a,b] tal que f(c)= L .

7. Aplicações Prove que: f(x)= x ⁴ - 2x³ - x + 1 tem raiz real no intervalo [ 0 , 1]. Resolução 1) É contínuo 2) função Polinomial Logo ∃ c ∣ f(c)=0, então c ∈ [ 0, 1]

8. Aplicações Seja g:[-1,3] → R g(x) = x³- x² - 1 ; então g assume o valor ¼. 1)É continua 2) Função Polinomial Logo existe pelo menos uma raiz real para a equação g(-1)= -3 < 0 e g(3)= 17 > 0

9. Aplicação de Bolzano Uma das aplicações mais pitoresca do TVI é no problema de existência de raízes reais para uma equação. Por exemplo, podemos mostrar que o polinômio tem pelo menos uma raiz real no intervalo [0; 2], usando simplesmente o fato de que q(0) = -5 < 0 e q(2) = 3 > 0.

10. Esse mesmo raciocínio pode ser usado para provar, analiticamente, que todo polinômio p(x) a coeficientes reais de grau impar tem ao menos uma raiz real. De fato, podemos supor: e, neste caso, e Como toda função polinomial é contínua, naturalmente existem números reais a e b tais que p(a)<0 e p(b)>0. Daí,pelo TVI ,existe tal que

11. Aplicações Mostre que x³ - 4x + 8 = 0 tem pelo menos uma solução real. Solução: Seja f (x ) = x³ - 4x + 8: Temos que f e uma função contínua e como f ( 2) = 8 > 0 e f ( 3) = -7<0 pelo Teorema do anulamento existe c ∈ ( 3; 2) tal que f (c ) = 0; ou seja, c é uma solução da equação (de fato c ∈ ( 2:649436; 2:649435)). (Interação verificada pelo método de Newton)

12. Método de Newton

13. Método de Newton

14. Teorema do Valor Máximo (Karl Weierstrass ) Se f é uma função contínua sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e também o seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isto é o mesmo que garantir a existência de valores x 1  e x 2  em [a,b] tal que para todo x em [a,b]: f(x 1 ) = m  <  f(x)  <  M = f(x 2 )

15. Observação e Exemplo f(x)= sen (x) definida sobre [- π , π ], possui máximo em x=- π  e x = π /2 e mínimo em x = - π /2 e x= π .

16. Referências BRITO,Frederico Reis Marques de. Consequências Interessantes da Continuidade. Universidade Federal do Goias-UFG . Disponível em http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/frederico.reis.pdf CARVALHO, Alexandre Nolasco de. Os Teoremas de Weierstrass e Bolzano. ICMC- USP disponível em http://www.icmc.usp.br/pessoas/andcarva/sma301/Aulas/Aula15.pdf SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial . Londrina-PR . disponivel em http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/continua/continua.htm DOERING, Claus I. Introdução a Analise Matemática na Reta .Universidade do Rio Grande do Sul – URGS. Disponível em http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/NE-1.02. pdf