Teoria de conjuntos y Algebra Booleana

Breve Trabajo relacionado con la Teoría de Conjuntos y Álgebra Booleana

1. BRIGITH PIÑA ARELYS VALECILLOS TEORIA DE CONJUNTO Y ALGEBRA BOOLEANA ALDEA UNIVERSITARIA “DEPARTAMENTO LIBERTADOR” PNF INFORMATICA

2. BREVE RESEÑA HISTÓRICA DE LA TEORIA DE CONJUNTOS. George Ferdinand Ludwing Philipp Cantor, dio inicio a lo que en la actualidad se conoce como la teoría de conjuntos. Nació en San Petersburgo, Rusia, estudio matemáticas en las Universidades Zurich y Berlin. En 1869 fue nombrado profesor en la Universidad de Halle y fue entre 1874 y 1897 que crea la disciplina matemática: Teoría de conjuntos. Su obra fue admirada demostrando creatividad, originalidad y condenada simultáneamente por sus contemporáneos. Según la definición de conjunto de Cantor, éste es “una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Posteriormente, en 1903 Bertrand Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto en la teoría de Cantor. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. George Ferdinand Ludwing Philipp Cantor

3. A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en sus libros: " The Mathematical Analysis of Logic " (1847) y " An Investigation of te Laws of Thought « ( 1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, estas proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables) y sus salidas (respuestas) es la Lógica Simbólica desarrollada por él. Dicha lógica simbólica cuenta con operaciones lógicas que siguen el comportamiento de reglas algebraicas. Por ello, al conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina ÁLGEBRA DE BOOLE. George Boole ( 1815-1864 ) BREVE RESEÑA HISTÓRICA DEL ALGEBRA BOOLEANA.

4. TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor matemático . Algunos ejemplos conocidos son: • La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel • La teoría de conjuntos de Neumann- Bernays - Gödel • La teoría de conjuntos de Morse- Kelley En la teoría axiomática de conjuntos se respeta la idea fundamental de aceptar que una colección de objetos pueda ser un conjunto, pero se impone la condición de que todos los objetos de una colección deben haberse formado antes de definir dicha colección, y de esta manera se evitarán los problemas que conducen a las paradojas

5. DEFINICION DE CONJUNTO. A es el conjunto de los números naturales menores que 5. B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo. C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u. D es el conjunto de los palos de la baraja francesa. Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen,  A , tiene 8  miembros . Este conjunto puede representarse mediante  llaves  o mediante un  diagrama de Venn . El orden de las personas en  A  es irrelevante. Es una colección bien definida y desordenada de objetos, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc., a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto ". Algunos ejemplos son :

6. DETERMINACION DE UN CONJUNTO a.- Extensión : Se enumera entre llaves, los elementos del conjunto, el orden no importa. A := {1,2,3, 8,.. ,n} B={ a,e,i,o,u } b.- Comprensión : Se expresa el conjunto como el dominio de verdad de una función proposicional que tiene como dominio el conjunto Universal. Así: si (U, P(x)) es una función proporcional entonces: A={x∈ U/ P(X)}. define el conjunto formado por todos los elementos de U que hacen a P(x) verdadera. Esta manera de definir el conjunto se conoce, en la teoría formal de conjunto como el axioma de especificación. c.- Diagramas de Venn : Regiones cerradas que nos permiten visualizar las relaciones entre los conjuntos d.- Descripción verbal : Se trata de un enunciado que describe una característica común a todos los elementos del conjunto.

7. DESIGNACION DE UN CONJUNTO Los conjuntos suelen designarse mediante letras mayúsculas, A, B, C.... Los elementos del conjunto se escriben entre llaves; así: A = {a, b, c...}. El conjunto vacío no tiene ningún elemento. Se representa por la letra ∅ . Este conjunto se define como una necesidad teórica; se necesita para aceptar algunas propiedades. RELACIÓN DE PERTENENCIA Un elemento pertenece a un conjunto cuando es de él. Si el elemento a pertenece al conjunto A se escribe: a ∈ A. Si el elemento p no pertenece al conjunto A se escribe p ∉ A.

8. DEFINICION DE SUB-CONJUNTO. S e dice que el elemento de A es sub conjunto de B si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B. A  ⊆ B significa : cada elemento de A es también elemento de B Subconjunto.   B  es un subconjunto de  A   ( en particular un subconjunto propio ).

9. Un subconjunto de A es cualquier conjunto formado por cualquier número de elementos de A. Entre los subconjuntos de A se incluyen el conjunto ∅ y el mismo A. SUB-CONJUNTO. Para indicar que B es un subconjunto de A se escribe B ⊂ A; y también se lee: “B está contenido en A”. Por los dicho antes, ∅ ⊂ A y A ⊂ A. El símbolo ⊂ puede leerse al revés: ⊃. Esto es, B ⊂ A es lo mismo que A ⊃ B. (La parte abierta señala al conjunto mayor.) No debe escribirse B ∈ A para indicar la relación B ⊂ A. En cambio, si a ∈ A puede escribirse {a} ⊂ A. Al meter el elemento a entre llaves se considera el conjunto unitario {a}. Si un conjunto C no es subconjunto de A se escribe C ⊄ A.

10. Unión de conjuntos. La unión de dos conjuntos A y B, que se denota por: A ∪ B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. ( Elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos). Simbólicamente: A ∪ B = {x, tales que x ∈ A o x ∈ B } Son evidentes las siguientes propiedades de la unión: A ∪ B = B ∪ A, A ∪ ∅ = A, A ∪ Ac = E Si B ⊂ A, entonces A ∪ B = A. Intersección de conjuntos. La intersección de dos conjuntos A y B, que se denota por: A ∩ B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. ( Elementos comunes a ambos conjuntos). Simbólicamente: A ∩ B = {x, tales que x ∈ A y x ∈ B} Son evidentes las siguientes propiedades de la unión: A ∩ B = B ∩ A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩ Ac = ∅ Si B ⊂ A, entonces A ∩ B = B. Si A ∩ B = ∅ se dice que los conjuntos A y B son disjuntos. OPERACIONES CON CONJUNTOS

11. Una forma frecuente de representar un conjunto es mediante un óvalo , una porción del plano con forma más o menos redondeada . Al meter al conjunto B dentro de A se quiere indicar que B ⊂ A. El complementario de B respecto de A es la parte de A que no es B. DIAGRAMAS DE VENN

12. REPRESENTACION GRÁFICA DE LAS OPERACIONES DE UN CONJUNTO

13. DIFERENCIAS ENTRE TEORIA DE CONJUNTO Y ALGEBRA BOOLEANA OPERACIONES TEORIA DE CONJUNTO ALGEBRA BOOLEANA PERTENECE ∈ 1 NO PERTENECE ∉ INTERSECCION ∩ X UNION ∪ +

14. COMPLEMENTO. El complemento de un conjunto A es el conjunto Ac que contiene todos los elementos ( respecto de algún conjunto referencial ) que no pertenecen a A . COMPLEMENTO Y DIFERENCIA SIMETRICA. Si el conjunto universal es U = { a, b, c, d, e } y  A = { b, c, d }, entonces el complementario de A respecto de U está formado por los elementos del universal que no estén en A, esto es: A l = { a, e } Los conjuntos { a, e } y { b, c, d } son complementarios. En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto A l .

15. DIFERENCIA SIMETRICA. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A , o bien a B , pero no a ambos a la vez. COMPLEMENTO Y DIFERENCIA SIMETRICA. Dos conjuntos A y B, se lee A a diferencia de (+)B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B; pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos . A+B={x/x∈ A+x ∈ B} A={ a,b,c,d,e }A-B={ a,b,c } B={d, e, f, g}

16. REPRESENTACION COMPUTACIONAL DE UN CONJUNTO Si tiene un conjunto U , donde A ⊂ U y A={ a1,a2,....... an }el conjunto se representa a través de una cadena de bits de longitud n en donde el bit- i- esimo es 1, si a ∈ A , y el bit- I- esimo ES 0 SI a ∉ A. Los bits (sistemas binarios) tienen dos posibles estados 0 y 1 las cadenas se agrupan en grupos de 4 bots , para mayor facilidad en el manejo de la información . Ejemplo sea U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} represente en cadena de bits los siguientes conjuntos : A=subconjunto de los impares U B=subconjunto de los pares U C=subconjunto de los enteros menores a 5 COMPLEMENTO DE A= 01 0101 0101 A= 10 1010 1010 B= 01 0101 0101 C = 11 1110 0000

17. REPRESENTACION COMPUTACIONAL DE UN CONJUNTO Las Operaciones de Unión e Intersección de Conjuntos: se hacen a través de operaciones tipo bit, es decir las cadenas se operan bit a bit para obtener el resultado de la unión o intersección de conjuntos. 0 U 0= 0 0 U 1= 1 1 U 1= 1 0 ∩ 0= 0 0 ∩ 1= 0 1 ∩ 1= 1 Unión. Dados dos conjuntos A y B, se define la unión de A y B,y se denota por A ∪ B, al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B. I ntersección. Dados dos conjuntos A y B, se define la intersección de A y B, y se denota por A ∩ B, al conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B