teoria de la relatividad especial - ejemplos y aplicaciones

Ahora se verán algunos de los
ejemplos prácticos donde
podemos aplicar lo aprendido.
Para resolver problemas de
colisiones se usa conservación de
energía y momento pero a nivel
algebraico puede ser interesante.
Es importante aquí analizar los
sistemas laboratorio y centro de
momento (CM)

1. TEORIA DE RELATIVIDAD I
COLISIONES

2. COLISIONES
La razón para introducir energía y momento es, por supuesto, que estas cantidades
se conservan en cualquier proceso físico.
??????
??????
??????????????????????????????
??????
??????
??????????????????????????????é??????
Figura: Una colisión en la que
?????? + ??????→ ?????? + ??????
En relatividad, como en la mecánica clásica, la aplicación más limpia de estas
leyes de conservación es a las colisiones.
Imagine primero una colisión clásica, en la que el objeto A golpea al objeto B
(quizás ambos son carros en una mesa de aire), produciendo los objetos C y D. (Vea
la figura ).

3. Colisiones clásicas
Colisiones clásicas
1. La masa se conserva, ??????
?
+ ??????
?
= ??????
?
+ ??????
?
.
2. Se conserva el momento, ??????
?
+ ??????
?
= ??????
?
+ ??????
?
3. La energía cinética puede conservarse o no.
Clásicamente, la masa y el momento siempre se conservan en tal proceso; La
energía cinética puede conservarse o no.
De hecho, podemos distinguir tres tipos de colisiones:
las inelasticas en las que la energía cinética disminuye (típicamente, se convierte
en calor);
las explosivas en los que la energía cinética aumenta y
las elásticas, en los que se conserva la energía cinética.

4. Observación
Los bloques se mueven juntos
??????
??????
??????
???????????????????????? ????????????????????????
??????
??????
????????????
??????
??????
??????
5
??????
5
??????????????????
5
??????
5
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
??????
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
????????????
????????????
??????
??????
??????????????????
5
??????
?
??????
?
????????????
????????????
??????
??????????????????
5
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
Los bloques se mueven uno contra el otro
??????
?
??????
?

5. Observación
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
Los bloques se mueven uno contra el otro
??????
?
??????
?
???????⃗
???
=0=
????????????⃗
???
????????????
⇒??????⃗
???
=??????????????????
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
??????
?5
??????????????????????????????
??????????????????????????????????????????
??????
?5
En el sistema laboratorio
????????????⃗
?
+????????????⃗
?
=????????????⃗
?5
+????????????⃗
?5
??????
?????
=
1
2
????????????
?
6
+
1
2
????????????
?
6
??????
???????
=
1
2
????????????
?5
6
+
1
2
????????????
?5
6
??????
??????
??????
??????
??????
??????
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
??????′
?
??????′
?
????????????
???????????????????????? ????????????????????????
??????′
?5
??????????????????????????????
??????????????????????????????????????????
??????′
?5
??????′
??????′
??????′
??????′
??????′
??????′
En el sistema CM
????????????⃗′
?
+????????????⃗′
?
=????????????⃗′
?5
+????????????⃗′
?5
=0
Movimiento relativo clasico
??????⃗
?
=??????⃗′
?
+??????⃗
??
??????⃗
??
=
????????????⃗
?
+????????????⃗
?
??????+??????
??????⃗
??
??????⃗
??

6. Tipos de colisiones (clásicas)
(a) Inelastico: Disminuye la energía cinética, ??????
?
+ ??????
?
> ??????
?
+ ??????
?
.
(b) Explosivo: Aumenta la energía cinética, ??????
?
+ ??????
?
<??????
?
+ ??????
?
.
(c) Elástico:Se conserva la energia cinetica, ??????
?
+ ??????
?
=??????
?
+ ??????
?
.
En el caso extremo de tipo (a), las dos partículas se pegan juntas, y en realidad solo
hay un objeto final: ??????+??????=??????. Tambien se le llama colisión completamente
inelastica o plastica.
En el caso extremo del tipo (b), un solo objeto se rompe en dos: ??????=??????+?????? (en el
lenguaje de la física de partículas, ??????se descompone en ??????+??????).

7. Ejemplo
Una partícula de 5 ???????????? de masa moviéndose a 2 ??????/?????? choca contra otra partícula de
8 ???????????? de masa inicialmente en reposo. Si la primera partícula se desvió 50°de la
dirección original del movimiento. Sí el choque es elástico.
a)Hallar la velocidad de cada partícula con respecto al laboratorio después del
choque.
b)Hallar la velocidad de cada partícula con respecto al centro de masa
después del choque.

8. Colisiones relativistas
En una colisión relativista, la energía y el momento lineal siempre se conservan.
En otras palabras, se conservan los cuatro componentes del cuadrivector energía-
momento. Como en el caso clásico, la energía cinética puede conservarse o no.
??????
?
+ ??????
?
= ??????
?
+ ??????
?
.
??????
?
+ ??????
?
= ??????
?
+ ??????
?
`⇒??????
?

+??????
?

=??????
?

+??????
?

Colisiones relativistas
1. La energía se conserva,
2. El momento se conserva,
3. La energía cinética puede conservarse o no.
Nuevamente, podemos clasificar las colisiones como inelasticas, explosivas o
elásticas, dependiendo de si la energía cinética disminuye, aumenta o
permanece igual.

9. Tipos de colisiones (relativistas)
Dado que la energía total (en reposo más cinética) siempre se conserva, se deduce
que la energía en reposo (y por tanto también la masa) aumenta en una colisión
inelastica, disminuye en una colisión explosiva y no cambia en una colisión elástica.
(a) Inelastico: la energía cinética disminuye, la energía en reposo y la masa aumenta.
(b) Explosivo: la energía cinética aumenta, la energía en reposo y la masa disminuyen.
(c) Elástico: se conservan la energía cinética, la energía en reposo y la masa se
conservan.

10. Observación:
Excepto en colisiones elásticas, la masa no se conserva; por el contrario, si se
conserva la masa, la colisión es elástica.
En una colisión explosiva (o la descomposición de una partícula), la energía en
reposo se convierte en energía cinética.
A pesar de un cierto paralelismo estructural entre los análisis clásico y relativista,
hay una diferencia notable en la interpretación de las colisiones inelásticas.
En el caso clásico decimos que la energía se convierte de forma cinética a alguna
forma "interna" (energía térmica, energía de resorte, etc.), o viceversa.
En el análisis relativista decimos que se pasa de la energía cinética a la energía en
reposo, o viceversa. ¿Cómo pueden estos posiblemente ser consistentes?
Después de todo, se supone que la mecánica relativista se reduce a la mecánica
clásica en el límite ??????≪??????.

11. La respuesta es que todas las formas "internas" de energía se reflejan en la
energía en reposo de un objeto.
Una papa caliente tiene más masa que una fría; un resorte comprimido tiene
más masa más que un resorte relajado.
En la escala macroscópica, las energías en reposo son enormemente
mayores que las energías internas, por lo que estas diferencias de masa son
absolutamente insignificantes en la vida cotidiana, y muy pequeñas incluso a
nivel atómico.
Sólo en física nuclear y de partículas, las energías internas típicas son
comparables a las energías en reposo típicas.
Sin embargo, en principio, siempre que mide la masa de un objeto, está
midiendo no solo las masas de sus partes constituyentes, sino también todas
sus energías de interacción.

12. Ejemplo
¿Cuánto más masa tiene una papa caliente que una fría (en kg)?
Suponga que la papa tiene una masa de ??????=
5
8
????????????, la temperatura ambiente es 20℃,
la temperatura de la papa caliente 100℃y la papa tiene un calor especifico de
4500??????/??????????????????
SOLUCIÓN
??????=????????????
?
∆??????=
1
4
450080=9×10
8
??????
∆??????=
??????
??????
6
=
9×10
8
3×10
<6
=10
?56
kg

13. Problema propuesto
1) Una partícula inestable en reposo se descompone en dos fragmentos de masa
desigual. La masa del primer fragmento es ??????, y la del otro es ??????. Si el fragmento
más ligero tiene una rapidez de ??????
?
después de la separación, ¿cuál es la rapidez del
fragmento más pesado?
2) Un pión en reposo (??????

) se desintegra en un muón
(??????

) y un antineutrino (??????
%
=0). La reacción se
Escribe ??????
?
→??????
?
+??????̅. Encuentre
a) La energía cinética del muón.
b) La energía del antineutrino.

14. Tarea E
Considere una colisión en la que la partícula A (con masa ??????
?
y velocidad propia
??????
?
) golpea la partícula B (con masa ??????
?
y velocidad propia ??????
?
), produciendo la
partícula C (??????
?
y ??????
?
) y la partícula D (??????
?
y ??????
?
).
Suponga que la energía (relativista) y la cantidad de movimiento se conservan en el
sistema ??????(Es decir , ??????
?

+??????
?

=??????
?

+??????
?

).
Utilizando las transformaciones de Lorentz vistas, demuestre que la energía
(relativista) y el momento también se conservan en ??????’.
(No asuma que la masa se conserva; en general, no lo es: ??????
?
+??????
?
≠??????
?
+??????
?
).