Theory of Algebraic Integers Richard Dedekind

Theory of Algebraic Integers Richard Dedekind
Theory of Algebraic Integers Richard Dedekind
Theory of Algebraic Integers Richard Dedekind

1. Theory of Algebraic Integers Richard Dedekind
pdf download
https://ebookfinal.com/download/theory-of-algebraic-integers-
richard-dedekind/
Explore and download more ebooks or textbooks
at ebookfinal.com

2. Here are some recommended products for you. Click the link to
download, or explore more at ebookfinal
Algebraic theory of affine monoids Lukas Katthän
https://ebookfinal.com/download/algebraic-theory-of-affine-monoids-
lukas-katthan/
Algebraic K theory of Number Fields Alexey Beshenov
https://ebookfinal.com/download/algebraic-k-theory-of-number-fields-
alexey-beshenov/
Algebraic Coding Theory And Information Theory Dimacs
Workshop Algebraic Coding Theory And Information Theory
December 15 18 2003 2005th Edition Alexei Ashikhmin
https://ebookfinal.com/download/algebraic-coding-theory-and-
information-theory-dimacs-workshop-algebraic-coding-theory-and-
information-theory-december-15-18-2003-2005th-edition-alexei-
ashikhmin/
Algebraic codes for data transmission 1st Edition Richard
E. Blahut
https://ebookfinal.com/download/algebraic-codes-for-data-
transmission-1st-edition-richard-e-blahut/

3. Topics in Algebraic Graph Theory 1st Edition Lowell W.
Beineke
https://ebookfinal.com/download/topics-in-algebraic-graph-theory-1st-
edition-lowell-w-beineke/
Ring Theory and Algebraic Geometry 1st Edition Ánjel
Granja
https://ebookfinal.com/download/ring-theory-and-algebraic-
geometry-1st-edition-anjel-granja/
Algebraic methods in unstable homotopy theory 1st Edition
Joseph Neisendorfer
https://ebookfinal.com/download/algebraic-methods-in-unstable-
homotopy-theory-1st-edition-joseph-neisendorfer/
Algebraic Number Theory A Brief Introduction 1st Edition
J.S. Chahal
https://ebookfinal.com/download/algebraic-number-theory-a-brief-
introduction-1st-edition-j-s-chahal/
Algebraic number theory and Fermat s last theorem 3. ed.
Edition Tall
https://ebookfinal.com/download/algebraic-number-theory-and-fermat-s-
last-theorem-3-ed-edition-tall/

5. Theory of Algebraic Integers Richard Dedekind Digital
Instant Download
Author(s): Richard Dedekind; (Trans. and intro.) John Stillwell
ISBN(s): 9780521565189, 0521565189
Edition: transferred to digital printing.
File Details: PDF, 1.27 MB
Year: 2004
Language: english

6. THEORY OF ALGEBRAIC INTEGERS

7. Other books available. in the Cambridge Mathematical Library:
A. Baker
H.F. Baker
N. Biggs
S. Chapman & T.G. Cowling
G.H. Hardy
G.H. Hardy, J.E. Littlewood
& G. Po1ya
D. Hilbert
W.V.D. Hodge & D. Pedoe
R.W.H.T. Hudson
A.E. Ingham
H. Lamb
F.S. Macaulay
G.N. Watson
E.T. Whittaker
A. Zygmund
Transcendental number theory
Abelian functions
Algebraic graph theory, 2nd edition
The mathematical theory
of non-uniform gases
A course of pure mathematics, 10th edition
Inequalities, 2nd edition
Theory of algebraic invariants
Methods of algebraic geometry,
volumes I, II & III
Kummer's quartic surface.
The distribution of prime numbers
Hydrodynamics
The algebraic theory of modular systems
A treatise on the theory
of Bessel functions, 2nd edition
A treatise on the analytical dynamics
of particles and rigid bodies
Trigonometric series

8. Theory of Algebraic Integers
Richard Dedekind
Translated and introduced by John Stillwell
CAMBRIDGE
UNIVERSITY PRESS

9. Published by the Press Syndicate of the University of Cambridge
The Pitt Building, Trumpington Street, Cambridge CB2 1RP
40 West 20th Street, New York, NY 10011-4211, USA
10 Stamford Road, Oakleigh, Melbourne 3166, Australia
First published in French 1877
English translation and introduction
© Cambridge University Press 1996
First published in English 1996
Library of Congress cataloging in publication data
Dedekind, Richard, 1831-1916.
Theory of algebraic integers / Richard Dedekind;
translated and with an introduction by John Stillwell
p.cm.
Includes bibliographical references and index.
ISBN 0-521-56518-9 (pbk.)
1. Algebraic number theory. 2. Integral representations.
1. Title
QA247.D431996
512'.74-dc2O96-1601 CIP
British Library cataloguing in publication data available
ISBN 0 521 56518 9paperback
Transferred to digital printing 2004

10. Contents
Part one: Translator's introductionpage 1
T'ranslator's introduction3
0.1General remarks3
0.2Squares6
0.2.1 Pythagorean triples6
0.2.2 Divisors and prime factorisation7
0.2.3 Irrational numbers8
0.2.4 Diophantus8
0.3Quadratic forms10
0.3.1 Fermat10
0.3.2 The grit in the oyster12
0.3.3 Reduction of forms13
0.3.4 Lagrange's proof of the two squares theorem15
0.3.5 Primitive roots and quadratic residues16
0.3.6 Composition of forms17
0.3.7 The class group19
0.4Quadratic integers21
0.4.1 The need for generalised "integers"21
0.4.2 Gaussian integers22
0.4.3 Gaussian primes24
0.4.4 Imaginary quadratic integers25
0.4.5 The failure of unique prime factorisation27
0.5Roots of unity29
0.5.1 Fermat's last theorem29
0.5.2 The cyclotomic integers30
0.5.3 Cyclotomic integers and quadratic integers32
0.5.4 Quadratic reciprocity36
0.5.5 Other reciprocity laws38
v

11. viContents
0.6Algebraic integers39
0.6.1 Definition39
0.6.2 Basic properties40
0.6.3 Class numbers41
0.6.4 Ideal numbers and ideals42
0.7The reception of ideal theory44
0.7.1 How the memoir came to be written44
0.7.2 Later development of ideal theory45
Acknowledgements47
Bibliography48
Part two: Theory of algebraic integers51
Introduction53
1Auxiliary theorems from the theory of modules62
§1. Modules and their divisibility62
§2. Congruences and classes of numbers64
§3. Finitely generated modules67
§4. Irreducible systems71
2Germ of the theory of ideals83
§5. The rational integers83
§6. The complex integers of Gauss84
§7. The domain o of numbers x + y/86
§8. Role of the number 2 in the domain o89
§9. Role of the numbers 3 and 7 in the domain o91
§10. Laws of divisibility in the domain o93
§11. Ideals in the domain o95
§12. Divisibility and multiplication of ideals in o98
3General properties of algebraic integers103
§13. The domain of all algebraic integers103
§14. Divisibility of integers105
§15. Fields of finite degree106
§16. Conjugate fields108
§17. Norms and discriminants111
§18. The integers in a field Il of finite degree113
4Elements of the theory of ideals119
§19. Ideals and their divisibility119
§20. Norms121
§21. Prime ideals123
§22. Multiplication of ideals125
§23. The difficulty in the theory126
§24. Auxiliary propositions128

12. Contentsvii
§25. Laws of divisibility129
§26. Congruences134
§27. Examples borrowed from circle division138
§28. Classes of ideals146
§29. The number of classes of ideals147
§30. Conclusion149
Index153

14. Part one
Translator's introduction

16. Translator's introduction
0.1 General remarks
Dedekind's invention of ideals in the 1870s was a major turning point in
the development of algebra. His aim was to apply ideals to number the-
ory, but to do this he had to build the whole framework of commutative
algebra: fields, rings, modules and vector spaces. These concepts, to-
gether with groups, were to form the core of the future abstract algebra.
At the same time, he created algebraic number theory, which became
the temporary home of algebra while its core concepts were growing
up. Algebra finally became independent in the 1920s, when fields, rings
and modules were generalised beyond the realm of numbers by Emmy
Noether and Emil Artin. But even then, Emmy Noether used to say
"Es steht schon bei Dedekind" ("It's already in Dedekind"), and urged
her students to read all of Dedekind's works in ideal theory.
Today this is still worthwhile, but not so easy. Dedekind wrote for
an audience that knew number theory - especially quadratic forms -
but not the concepts of ring, field or module. Today's readers probably
have the opposite qualifications, and of course most are not fluent in
German and French. In an attempt to overcome these problems, I have
translated the most accessible of Dedekind's works on ideal theory, Sur
la Theorie des Nombres Entiers Algebriques, Dedekind (1877), which he
wrote to explain his ideas to a general mathematical audience. This
memoir shows the need for ideals in a very concrete case, the numbers
m + n/ where m, n E Z, before going on to develop a general theory
and to prove the theorem on unique factorisation into prime ideals.
The algebraic integers in Dedekind's title are a generalisation of the
ordinary integers - created in response to certain limitations of classical
number theory. The ordinary integers have been studied since ancient
3

17. 4Translator's introduction
times, and their basic theory was laid down in Euclid's Elements (see
Heath (1925)) around 300 BC. Yet even ancient number theory contains
problems not solvable by Euclid's methods. Sometimes it is necessary
to use irrational numbers, such as v,"2-, to answer questions about the
ordinary integers. A famous example is the so-called Pell equation
x2-cy2=1
where c is a nonsquare integer and the solutions x, y are required to be
integers. Solutions for certain values of c were known to the ancients, but
the complete solution was not obtained until Lagrange (1768) related the
equation to the continued fraction expansion ofHe also showed that
each solution is obtained from a certain "minimum" solution (xo, yo) by
the formula
xk+ykf -±(xo+yo.)k.
The irrational numbers xk +in this formula are examples of alge-
braic integers, which are defined in general to be roots of equations of
the form
an_1, ... , ao are ordinary integers, that is, an_ 1 i ... , ao E Z.
Algebraic integers are so called because they share some properties
with the ordinary integers. In particular, they are closed under sum,
difference and product, and the rational algebraic integers are just the
ordinary integers (for more details, see 0.6.2 and §13 of Dedekind's mem-
oir). Because of the second fact, the ordinary integers are also known
as rational integers. The first fact implies that the algebraic integers
form a ring. However, we are not interested in the ring of all algebraic
integers so much as rings like
Z[v]={x+yV':x,yEZ}
and
Z[i]={x+yi:x,yeZ}.
In general we use the notation Z[a] to denote the closure of the set
Z U {a} under +, - and x. The reason for working in rings Z[a] is
that they more closely resemble Z, and hence are more likely to yield
information about Z.
Any ring R of algebraic integers includes Z, so theorems about Z
may be obtainable as special cases of theorems about R (we shall see

18. 0.1 General remarks5
several examples later). However, useful theorems about R are provable
only when R has all the basic properties of Z, in particular, unique
prime factorisation. This is not always the case. Z[-5] is the simplest
example where unique prime factorisation fails, and this is why Dedekind
studies it in detail. His aim is to recapture unique prime factorisation by
extending the concept of integer still further, to certain sets of algebraic
integers he calls ideals. This works only if the size of R is limited in some
way. The ring A of all algebraic integers is "too big" because it includes
f along with each algebraic integer a. This gives the factorisation
a = \I-a-vra- and hence "primes" do not exist in A, let alone unique
prime factorisation.
Dedekind found the appropriate "small" rings R in algebraic number
fields of finite degree, each of which has the form Q(a), where a is an
algebraic integer. Q(a) denotes the closure of Q U {a} under +,-,x
and = (by a nonzero number), and each Q(a) has its own integers,
which factorise into primes. In particular, Z[\] is the ring of integers
of Q(/ ), and 6 = 2 x 3 is a prime factorisation of 6. Not the prime
factorisation, alas, because 6 = (1+/)(1-) is also a factorisation
into primes (see 0.4.5). However, unique prime factorisation is regained
when one passes to the ideals of Z[v/-5], and Dedekind generalises this
to any Q(a). The result is at last a theory of algebraic integers capable
of yielding information about ordinary integers.
A lot of machinery is needed to build this theory, but Dedekind ex-
plains it well.Suffice to say that fields, rings and modules arise very
naturally as sets of numbers closed under the basic operations of arith-
metic. Fields are closed under +, -, x and =, rings are closed under +,
- and x, while modules are closed under + and -. The term "ring" was
actually introduced by Hilbert (1897); Dedekind calls them "domains"
here, and I have thought it appropriate to retain this terminology, since
these particular rings are prototypes of what are now called Dedekind
domains. Dedekind presumably chose the name "module" because a
module M is something for which "congruence modulo M" is meaning-
ful. His name for field, Korper (which also means "body" in German),
was chosen to describe "a system with a certain completeness, fullness
and self-containedness; a naturally unified, organic whole", as he ex-
plained in his final exposition of ideal theory, Dedekind (1894), §160.
What Dedekind does not explain is where Z[/] comes from, and
why it is important in number theory. This is understandable, because
his first version of ideal theory was a supplement to Dirichlet's number
theory lectures, Vorlesungen caber Zahlentheorie (Dirichlet (1871)). In

19. 60.2 Squares
the present memoir he also refers to the Vorlesungen frequently, so his
original audience was assumed to have a good background in number
theory, and particularly the theory of quadratic forms. Such a back-
ground is less common today, but is easy and fun to acquire. Even
experts may be surprised to learn how far back the story goes. The
specific role of can be traced back to the anomalous behaviour of
the quadratic form x2+5y2, first noticed by Fermat, and later explained
in different ways by Lagrange, Gauss and Kummer. But the reason for
Fermat's interest in x2 +5 y2 goes back much further, perhaps to the
prehistory of mathematics in ancient Babylon. Let us begin there.
0.2 Squares
0.2.1 Pythagorean triples
Integers a, b, c such that
a2 + b2 = C2
are one of the oldest treasures of mathematics. Such numbers occur as
the sides of right-angled triangles, and they may even have been used to
construct right angles in ancient times. They are called Pythagorean
triples after Pythagoras, but they were actually discovered indepen-
dently in several different cultures. The Babylonians were fascinated
by them as early as 1800 BC, when they recorded fifteen of them on a
tablet now known as Plimpton 322 (see Neugebauer and Sachs (1945)).
Pythagorean triples other than the simplest ones (3,4,5), (5,12,13) or
(8,15,17) are not easily found by trial and error, so the Babylonians
probably knew a general formula such as
a=2uv, b=u2-v2, c=u2+v2
which yields an unlimited supply of Pythagorean triples by substituting
different integers for u, v.
The general solution of a2 + b2 = c2 is in fact
a = 2uvw,b = (u2 - v2)w,c = (u2 + v2)w,
as may be found in Euclid's Elements Book X (lemma after Proposition
29). A key statement in Euclid's proof is:if the product of relatively
prime integers is a square, then the integers themselves are squares.
Euclid first used the general formula for Pythagorean triples in his the-
ory of irrational numbers, and it is in a different book from his theory
of integers. The assumption that relatively prime integers are squares

20. 0.2.2 Divisors and prime factorisation7
when their product is a square is justified by a long chain of proposi-
tions, stretching over several books of the Elements. However, a direct
justification is possible from his theory of integer divisibility, which is in
Book VII. This theory is fundamental to the theory of ordinary integers,
and also the inspiration for Dedekind's theory of ideals, so we should re-
call its main features before going any further. Among other things, it
identifies the important but elusive role of primes.
0.2.2 Divisors and prime factorisation
An integer m divides an integer n if n = ml for some integer 1. We also
say that m is a divisor of n, or that n is a multiple of m. An integer
p whose only divisors are ±1 and ±p is called a prime, and any integer
can be factorised into a finite number of primes by successively finding
divisors unequal to ±1 but of minimal absolute value. However, it is not
obvious that each factorisation of an integer n involves the same set of
primes. There is conceivably a factorisation of some integer
n =
p1p2...pi =
g1g2...qj
into primes p1, P2,, pzand q1, q 2,... , qjrespectively, where one of the
primes p is different from all the primes q.
Nonunique prime factorisation is ruled out by the following proposi-
tion of Euclid (Elements, Book VII, Proposition 30).
Prime divisor property. If p is prime and p divides the product ab of
integers a, b, then p divides a or p divides b.
An interesting aspect of the proof is its reliance on the concept of
greatest common divisor (gcd), particularly the fact that
gcd(a, b) = ua + vbfor some integers u, v.
The set {ua + vb : u, v E 7L} is in fact an ideal, and unique prime factori-
sation is equivalent to the fact that this ideal consists of the multiples
of one of its members, namely gcd(a, b).
It should be mentioned that Euclid proves only the prime divisor prop-
erty, not unique prime factorisation. In fact its first explicit statement
and proof are in Gauss (1801), the Disquisitiones Arithmeticae, article
16. As we shall see, this is possibly because Gauss was first to recognise
generalisations of the integers for which unique prime factorisation is
not valid.

21. 80.2 Squares
0.2.3 Irrational numbers
As everybody knows, Pythagorean triples also have significance as the
sides of right-angled triangles.In any right-angled triangle, the side
lengths a, b, c satisfy
a2 + b2 = c2
whether or not a, b and c are integers (Pythagoras' theorem). Hence it
is tempting to try to interpret a right-angled triangle as a Pythagorean
triple by choosing the unit of length so that a, b and c all become integer
lengths. Pythagoras or one of his followers made the historic discovery
that this is not always possible. The simplest counterexample is the
triangle with sides 1, 1, v'2-. It is impossible to interpret this triangle as
a Pythagorean triple becauseis not a rational number.
A proof of this fact, which also proves the irrationality of i, f ,
f and so on, uses unique prime factorisation to see that each prime
appears to an even power in a square. Then the equation
2n2 = m2
is impossible because the prime 2 occurs an odd number of times in the
prime factorisation of 2n2, and an even number of times in the prime
factorisation of m2.
The irrationality ofled the Greeks to study the so-called Pell
equation
x2-2y2=1.
They found it could used to approach f rationally, via increasingly
large integer solutions, xn, yn. Since xn - 2yn = 1, the quotient xn/yn
necessarily tends to v f2-. The general Pell equation
x2-cy2 = 1,where c is a nonsquare integer,
can similarly be used to approach the irrational number V /c-. This equa-
tion later proved fruitful in many other ways; Dedekind even used it to
prove the irrationality of VFc (Dedekind (1872), Section IV).
0.2..4 Diophantus
The equations a2+b2 = c2 and x2-2y2 = 1 are examples of what we now
call Diophantine equations, after Diophantus of Alexandria. Diophantus
lived sometime between 150 AD and 350 AD and wrote a collection of
books on number theory known as the Arithmetica (Heath (1910)). They

22. 0. 2.4 Diophantus9
consist entirely of equations and ingenious particular solutions.The
term "Diophantine" refers to the type of solution sought: either rational
or integer. For Diophantus it is usually a rational solution, but for some
equations, such as the Pell equation, the integer solutions are of more
interest. The Pell equation was actually not studied by Diophantus, but
he mentioned an integer solution to another remarkable equation: the
solution x = 5, y = 3 of y3 = x2 + 2.(See 0.4.1 for the astonishing
sequel to this solution.)
Although all Diophantus' solutions are special cases, they usually seem
chosen to illustrate general methods. Euler (1756) went so far as to say
Nevertheless, the actual methods that he uses for solving any of his problems
are as general as those in use today ... there is hardly any method yet invented
in this kind of analysis not already traceable to Diophantus. (Euler Opera
Omnia 1,2, p. 429-430.)
And if anyone would know, Euler would. The first mathematician to
understand Diophantus properly was Fermat (1601-1665), but his com-
ments were as cryptic as the Arithmetica itself. Euler spent about 40
years, off and on, reading between the lines of Fermat and Diophantus,
until he could reconstruct most their methods and prove their theorems.
We shall study the connection between Diophantus, Fermat and Euler
more thoroughly later, but one example is worth mentioning here.It
shows how much theory can be latent in a single numerical fact.
In the Arithmetica, Book III, Problem 19, Diophantus remarks
65 is naturally divided into two squares in two ways, namely into 72 +4 2 and
82 + 12, which is due to the fact that 65 is the product of 13 and 5, each of
which is the sum of two squares.
It appears from this that Diophantus is aware of the identity
(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac ± bd)2 + (adbc) 2
though he makes no such general statement. However, Fermat saw much
deeper than this. Noticing, with Diophantus, that the identity reduces
the representations of a number as a sum of two squares to the repre-
sentations of its prime factors, his comment on the problem is:
A prime number of the form 4n + 1 is the hypotenuse of a right-angled triangle
[that is, a sum of squares] in one way only... If a prime number which is the
sum of two squares be multiplied by another prime number which is also the
sum of two squares, the product will be the sum of two squares in two ways.
(Heath (1910), p. 268.)

23. 100.3 Quadratic forms
The restriction to primes of the form 4n + 1 is understandable because
a prime p 54 2 cannot be the sum of two squares unless it is of the form
4n+ 1 (by a congruence mod 4 argument). But Fermat's claim that any
prime p = 4n + 1 is a sum of two squares comes right out of the blue.
No one knows how he proved it and the first known proof is due to Euler
(1756). As we shall see later, Lagrange, Gauss and Dedekind all used
this theorem of Fermat to test the strength of new methods in number
theory.
0.3 Quadratic forms
0.3.1 Fermat
Unlike Euclid or Diophantus, Fermat never wrote a book. His reputa-
tion rests on a short manuscript containing his discovery of coordinate
geometry (independent of Descartes), his letters, and his marginal notes
on Diophantus. He took up number theory only in his late 30s, and
left only one reasonably complete proof, in the posthumously published
Fermat (1670). However, it is a beautiful piece of work, and fully estab-
lishes his credentials as both an innovator and a student of the ancients.
It also has a place in our story, as an application of Pythagorean triples,
and as the first proven instance of Fermat's last theorem. Fermat's proof
shows that there are no positive integers x, y, z such that x4 + y4 = z4,
by showing that there are not even positive integers x, y, z such that
x4 + y4 = z2. It turns out to be the only instance of Fermat's last the-
orem with a really elementary proof, involving just Euclid's theory of
divisibility.
The argument is by contradiction, and the gist of it is as follows (omit-
ting mainly routine checks that certain integers are relatively prime).
Suppose that there are positive integers x, y, z such that x4+y4 = z2,
or in other words, (x2)2 +
(y2)2 = z2
.This says that x2, y2, z is a
Pythagorean triple, which we can take to be primitive, hence there are
integers u, v such that
x2 = 2uv,y2 = u2 - v2,z = u2 + v2,
by Euclid's formulas (0.2.1).The middle equation says that v, y, u
is also a Pythagorean triple, and it is also primitive, hence there are
integers s, t such that
v = 2st,y = s2 - t2,u = s2 + t2.

24. 0.3.1 Fermat11
This gives
x2 = 2uv = 4st(s2 + t2),
so the relatively prime integers s, t and s2 + t2 have product equal to
the square (x/2)2. It follows that each is itself a square, say
22
,t=yi,s2+t2=zi,s=xi
and hence
44= 2
x1 +y 1 - zl.
Thus we have found another sum of two fourth powers equal to a square,
and by retracing the argument we find that the new square z2 is smaller
than the old, z2, but still nonzero. By repeating the process we can
therefore obtain an infinite descending sequence of positive integers,
which is a contradiction.
Fermat called the method used in this proof infinite descent, and used
it for many of his other theorems. He claimed, for example, to have
proved that any prime of the form 4n + 1 is a sum of two squares by
supposing p = 4n + 1 to be a prime not the sum of two squares, and
finding a smaller prime with the same property. However, it is very hard
to see how to make the descent in this case. Euler (1749) found a proof
only after several years of effort. In 0.3.4 we shall see an easier proof
of the two squares theorem due to Lagrange.Lagrange's proof does
use another famous theorem of Fermat, but it is the easy one known
as Fermat's "little" theorem: for any prime number p, and any integer
a 0- 0 (mod p), we have aTi-1 - 1 (mod p) (Fermat (1640b)).
The proof of Fermat's little theorem most likely used by Fermat uses
induction on a and the fact that a prime p divides each of the binomial
coefficients
p
-
p(p - 1)(p - 2)(p - i + 1)
for1 < i < p - 1
ii!
,
- -
as is clear from the fact that p is a factor of the numerator but not of
the denominator. This proof implicitly contains the "mod p binomial
theorem",
(a + b) P - a1' + b''(modp),
which has its uses elsewhere (see for example Gauss's proof of quadratic
reciprocity in 0.5.4).
The proof more often seen today is based on that of Euler (1761),

25. 120.3 Quadratic forms
which implicitly uses the group properties of multiplication mod p, par-
ticularly the idea of multiplicative inverses. An integer a is nonzero
mod p if gcd(a, p) = 1, in which case 1 = ar + ps for some integers
r, s by the Euclidean algorithm.The number r is called a multi-
plicative inverse of a (mod p) since ar - 1 (mod p).It follows that
mod p multiplication by a nonzero a is invertible, and in particular the
set {a x 1, a x 2, ... , a x (p - 1)} is the same set (mod p) as the set
{ 1, 2,... , p -11. Hence each set has the same product mod p,
ax2ax...x(p-1)a-lx2x...x(p-1) (modp),
and cancellation of 1, 2, ... , p - 1 from both sides (which is permissible,
since 1, 2, ... , p - 1 have inverses) gives Fermat's little theorem:
aP-1 - 1 (mod p).
0.3.2 The grit in the oyster
The mathematical pearl that is Dedekind's theory of ideals grew in re-
sponse to a tiny irritant, the anomalous behaviour of the quadratic form
x2 +5 y2.Between 1640 and 1654 Fermat discovered three beautiful the-
orems about the representation of odd primes p by the forms x2 + y2,
x2 +2 y2 and x2 +3 y2 for integer values of x and y (the first prompted
by Diophantus' remark on sums of squares, as mentioned in 0.2.4):
Theorem 1. p = x2 + y2p = 1 (mod 4)(Fermat (1640c))
Theorem 2. p = x2 + 2y2p1 or 3 (mod 8)(Fermat (1654))
Theorem 3. p = x2 +3 y2p1 (mod 3)(Fermat (1654))
Fermat thought he could prove these theorems, and he was probably
right, as proofs eventually published by Euler were based on Fermat's
method of infinite descent. Since x2 +4 y2 = x2 + (2y)2, which is "of
the form" x2 + y2, the next theorem should be about x2 +5 y2 .This
is the grit in the oyster. Fermat was unable to prove a theorem about
primes of the form x2 +5 y2 , and could only conjecture the following less
satisfying fact.
If two primes which end in 3 or 7 and surpass by 3 a multiple of 4 are multiplied,
then their product will be composed of a square and the quintuple of another
square. (Fermat (1654).)
Since numbers that end in 3 or 7 are of the form 10n + 3 or lOn + 7, and

26. Discovering Diverse Content Through
Random Scribd Documents

27. "Kun nyt pari vuotta sitten (vuonna kuusikymmentä kuusi)
kiellettiin viinan kotipoltto ja viinapannut hävitettiin, lankesivat
muutamat heikkoluontoiset miehet tässäkin saariseurakunnassa
entistä runsaammassa ja yhä lisääntyvässä mitassa harjoittamaan
tuota maallisen ja jumalallisen lain kieltämää häpeällistä
salakuljetusta."
Lisäksi hän selvitti, että kun Korkea Esivalta kielsi viinan kotipolton,
tarkoitti se synninpesien hävittämistä, tapojen parantamista ja
yhteisen kansan onnea. — "Tämä on Jumalan tahto, ja tämä on
Esivallan tahto. Mutta Perkeleen tahto on toinen; sen tahto on, että
kansa elää synnissä ja hekumassa ja menee helvettiin. Niin tapahtui
vanhan testamentin aikana Sodomassa ja Gomorassa. Siellä vallitsi
Perkeleen tahto: Ihmiset siellä söivät, joivat ja naivat — mutta missä
he nyt ovat? Heidän sijansa ei tunne heitä. Minä kysyn: kussa he nyt
ovat? — ja vastaan: heitä ei enää ole maan päällä, eikä heitä ole
saapunut taivaaseenkaan, vaan ovat he kaikki helvetissä. — Niin on
käyvä tämänkin saaren, jonka kansan keskuudesta Perkele on
löytänyt muutamia heikkoluontoisia himonorjia sijaisikseen, jotka nyt
hänen kutsumustaan täyttäen eivät muuta tee kuin kokoavat
itsellensä väärää rikkautta synnintiellä — salakuljetuksella, ja niin on
synti soaissut näiden miesten ja koko heidän perhekuntansa mielet,
ettei sellaista toimintaa enää häpeänäkään pidetä, vaan mies se,
joka enimmän lakia rikkoo ja enimmän salakuljetuksella hyötyy!"
Kirkossa oli syntyä täydellinen hämminki ja häiriö, sillä papin
huutaessa korkealla äänellä: "vaan mies se, joka enimmän lakia
rikkoo ja enimmän salakuljetuksella hyötyy!", kiljaisi Sepän Jere, joka
istui Juuson vieressä parvella: "Niin onkin! Sen sinä kerrankin oikein
sanoit!", josta oli seurauksena seuraava sananvaihto:

28. Pappi: Kuka siellä parvella huutaa ja häiritsee jumalanpalvelusta?
Jere: Minä se olen!
Pappi: Kuka minä?
Jere: Sepän Jereksi minua sanotaan.
Pappi: No mitä sinä, Sepän Jere, sitten tahdot?
Jere: Sitä vaan, mitä tässä kaikki miehet tahtovat, että saarnaa
sinä Jumalan sanasta, äläkä salakuljetuksesta, sillä hyvää se tekee
sinullekin ja koko yhteiselle kansalle — se salakuljetus, ja miesten
miehet siihen vain pystyvätkin.
Pappi: Rohkenetko sinä, koira, huutaa tässä kirkossa, että
salakuljetus tekee minulle hyvää, ja sinultako minun on kysyttävä,
mistä minä saan saarnata ja mistä en.
Jere: Ei sinun tarvitse minulta lupaa kysyä, mutta kiellon saat kun
sattuu, ja nyt se sattui, ja tekee se salakuljetus hyvää sinulle,
niinkuin muillekin juopoille!
Miesten puolelta kirkosta kuului useampia huudahduksia: "Oikein!
Se on oikein, Jere!" — sillä seurakunta ei ollut tyytyväinen pappiinsa,
koska hän sen mielestä liian usein kajosi ihmisten yksityiselämään:
milloin kortinpeluuseen, milloin tanssiin, milloin yökulkuun, milloin
juoppouteen, panetteluun, kateuteen ja milloin mihinkin, ja kun
pappi lisäksi itsekin oli juoppo, oli jokaisesta selvää, ettei hänellä
ollut oikeutta saarnata ainakaan juoppoutta ja siihen kuuluvia asioita
vastaan.

29. Papin huutaessa: "Tästä tulee käräjäjuttu! Tästä tulee käräjäjuttu!
Oikeuden edessä saatte vastata kirkkorauhan rikkomisesta!", alkoi
kirkosta virrata ulos naisia ja arempia miehiäkin, päästäkseen
joutumasta oikeuteen todistamaan.
Saarnan jatkumisesta ei enää tullut mitään ja siksi pappi heti
käräjäjulistuksensa perästä lausui: "Amen!", siirtyen senjälkeen
lukemaan rukouksia, kuulijakuntanaan vain muutamia miehiä sekä
suntio ja lukkari.
Kirkonmenojen loputtua oli rantaan luotsisillan juureen
kokoontunut noin nelisenkymmentä miestä rantakäräjiä pitämään.
Siinä oli nyt molempien kylien miehiä yhdessä ryhmässä.
Tämä seikka oli harvinaista, sillä kylät olivat alinomaisessa riidassa
keskenään.
Vielä harvinaisempaa oli se, että keskustelu oli aivan yksimielistä,
ja tämä yksimielisyys johtui siitä, että kylien välinen viha ei ollut niin
suuri kuin viha niitä ajatuksia kohtaan, jotka tämänpäiväinen saarna
oli synnyttänyt.
Keskustelu oli järjestymätöntä jupinaa siihen asti kun saapuville
tuli saaren puujalkainen lukkari keppi kädessä ja ontuen. Hän oli
menettänyt jalkansa jo nuoruudessaan eräässä laivarikossa, ja kun
hän ei sittemmin enää kelvannut enemmän laivankannelle kuin
kalahaapioonkaan, lähetettiin hänet kunnan kustannuksella
opiskelemaan lukkariksi. — Köyhä kun hän oli, oltiin varmat siitä,
että hän joka tapauksessa joutuisi kunnan elätiksi, jolloin, jos hän
kauan eläisi, se koituisi kalliimmaksi kuin talven kestävä opiskelu
hiippakunnan pääkaupungissa. Erikoisia laulajan lahjoja hänellä ei

30. ollut, ja kun hänet ensikertaa vietiin kouluuttajansa eteen ja kun
tämä ensi töikseen oli koettanut hänen laulutaitoaan ja julistanut
saattomiehille että: "Eihän tämä osaa laulaa lainkaan!", olivat
saattomiehet vastanneet: "Eihän sitä olisi tänne tuotukaan, jos se
nyt jo osaisi! Siitä syystähän se juuri tänne tuotiinkin, kun ei se
laulaa osaa ja kun me tarvitsemme lukkarin. Ja koska tältä on toinen
jalka pois, eikä kykene merelle, jäisi se kunnan elätettäväksi — nuori
mies — eksä ymmärrä?" — "Kyllä ymmärrän, kyllä ymmärrän, kyllä
ymmärrän", oli vastannut se päälukkari, lukkarien kouluuttaja,
"mutta minä luulen ettei tästä miehestä laulajaa tulekaan, vielä
vähemmin soittajaa." — "No koettaa nyt vaan!" olivat saattomiehet
sanoneet, ja niin hän jäi kuin jäikin "peluukouluun", kuten hän itse
myöhemmin, etenkin humalapäissään, nimitti sitä laitosta
hiippakunnan pääkaupungissa, missä hän oli yhden talvensa
viettänyt.
Lukkaria nimittivät omaiset ja ystävät puusedäksi ja vihamiehet
kämpäksi — johtuen molemmat nimet hänen puujalastaan — tai
oikeastaan kahdesta puujalasta, sillä hänellä oli aina keppi
välttämättömänä toverinaan — kun taas Kämpän nimi erikoisesti
muistutti hänen omituista, "kämppäävää", joka toisella askelella
nytkähtävää kävelyään.
Lukkari oli ollut pahoissa vihoissa papin kanssa jo toistakymmentä
vuotta. Mistä lieneekään riita alkanut, mutta ainakin pappi
puolestaan koetti pitää sitä yhä eteenkin päin vireillä, panemalla
lukkarin laulettavaksi sellaisia virsiä, joita tämä ei osannut edes
laulaa, saati sitten soittaa.
Tähän aikaan lukkari oli vanha mies, kuudenkymmenen korvilla.
Hänellä oli iso perhe ja jonkin verran varallisuuttakin. Viimemainittu

31. seikka on erittäin merkittävä, sillä useammin kuin yhden kerran on
sanottu, ettei mennyt hukkaan se raha, mikä pantiin lukkarin
koulutukseen: kunta säästyi yhdestä vaivaisesta ja sai
mukiinmenevän — saarelaiskannalta katsoen mainionkin — lukkarin,
ja lisäksi vaatesepänkin, sillä lukkariksi opiskellessaan oli hän koko
talven käynyt väliaikoinaan erään kaupunkilaisen ompelijamestarin
luona opiskelemassa ompelua ja saavuttanutkin siinä ammatissa
sellaisen kätevyyden, että kykeni pitämään saaren sulhaset ja muun
mieskansan vaatteissa. Lisäksi hän oli teräväpäinen ja luki ahkerasti
lainopillisia kirjoja ja oli senvuoksi saarensa ainoa lakimies ja
asiakirjojen kirjoittaja, sekä vielä kaiken kukkuraksi ainoa apu
tapaturmissa, milloin sattui luun murtumisia, tai joltain meni jäsen
sijoiltaan, saatiin haavoja, tapahtui käärmeenpuremia, pyörtymistä,
tarvittiin virvoittaa hukkuneita tai mitä muuta hyvänsä. Toimipa hän
myöskin jok'ainoan kuolinpesän selvitysmiehenä ja
perunkirjoittajana. Vieläpä hän sai kokoonpanna yksityiskirjeitä,
tyttöjen kirjeitä merimiehille, ja monenmoisia muita, ja koska hän
jokaisesta pienimmästäkin työstään otti palkan, kerääntyi hänelle, ei
ainoastaan iloisia ja terveitä lapsia ja lasten lapsia, vaan myöskin
maallista mammonaa: tavaraa ja rahaa.
Hän oli keskikokoinen mies. Hänen kasvonsa olivat punakat
vanhuksen kasvot. Parta oli valkea ja poskilta ajettu. Hiukset olivat
myös valkeat — nimittäin siellä missä niitä vielä oli: pieni seppele
korvasta korvaan takaraivon yli.
Laulumiehenä hänen oli oltava läsnä kaikissa häissä, hautajaisissa,
ristiäisissä ja muissa juhlissa.
Ensimmäisen totilasin juotuaan hän sekoitti puheeseensa
vironkieltä.

32. Toisen lasin juotuaan hän puhui pelkkää viroa ja kolmannen lasin
lopulla sekä sitä seuraavan lasin aikana ranskaa, joksi nimitettiin
hänen omituisia nenä-ääniään, joita ei kukaan ymmärtänyt.
Viidennen lasin aikana hän itki sitä mikä hänestäkin olisi tullut, ellei
olisi joutunut peluukouluun: "Kunnanvaivainen — uu uu —
kunnanvaivainen!"
Yöllä, häistä kotiinpalatessaan, hän hukkasi keppinsä häätalon
ulkoportaissa, ja kompastui suin päin lähimpään puroon, joka, alkaen
ylhäältä vuoristosta, virtasi läpi kylän ja jonka yli aivan lukkarin talon
lähellä johti kaiteeton kivisilta. Kompastuessaan hän pudotti
puujalkansa puroon joko kivisillan ylä- tai alapuolelle, saaden sitten
kulkea ryömimällä loppumatkan kotiinsa, jonka oven takana hän
alkoi huutaa apua. Itkukohtauksensa jälkeen hän nimittäin
varustautui lähtemään salaa yksin kotiinsa, sanomatta siitä mitään
vaimolleen, tyttärelleen, pojalleen tai muille läsnäolijoille. Näin kävi
aina. Se oli hänen tapansa. Lukkari siis tulla kamppaili pitkin
rantakujaa kotoaan päin ja lähestyi miesjoukkoa.
— No. Mitäs tuumasitte papin saarnasta tänään? kysyi lukkari.
— Mitäs sinä itse siitä tuumasit?, kysyi joku joukosta.
— Mitäs minä tuumasin muuta kuin että taisi se ukkopaha sanoa
vähän liikaa.
— No olikos mielestäs se sitten liikaa, mikä parvelta kuultiin? kysyi
Sepän Jere nauraa höröttäen, ja toiset miehet, varsinkin nuoremmat,
nauroivat samalla tavalla ja kovasti kiljahdellen kuten Jerekin.
Kohteliaisuudesta Jereä kohtaan, joka oli päivänsankari, he sen
tekivät.

33. Lukkari: No no! No no! Liika on aina liikaa!
Jere: Olinkos mielestäs väärässä?
Lukkari: Enhän minä sitä ole sanonut kumpiko oli väärässä sinä vai
pappiko. Minä vain sanoin että liika on aina liikaa ja sanon sen
vieläkin. Olkoon asian laita niin tai näin — enkä minä sitä väitäkään,
että sinä väärässä olisit ja pappi oikeassa — mutta se on liikaa, että
kuka hyvänsä avaa suunsa jumalanpalveluksen aikana. Minä ja pappi
- se on toinen asia, mutta sinun pitäisi tietää pitää suusi kiinni
kirkossa, paitsi virren aikana.
Ääniä joukosta: Jere oli oikeassa!
Lukkari: Oikeassa! Enhän minäkään sitä ole sanonut, ettei hän olisi
oikeassa.
Matsedän Jyri: Kuulkasta pojat! Minä olen sitä mieltä, että meidän
olisi kiellettävä pappi saarnaamasta salakuljetuksesta. Eihän ne
sellaiset asiat kuulu papille eikä kirkkoon.
Lukkari: Ei kuulukaan. Siinä sinä olet oikeassa, mutta minkäs sille
teet. Saarnaa mistä haluaa.
Matsedän Jyri: Onhan täällä kirkkoneuvosto ja onhan sitäpaitsi
tuomiokapituli, johon voi valittaa.
Sepän Jere: Vallasväen metkuja kaikki! Saarnuuttavat papilla
omaksi hyväkseen ja meillä maksattavat palkan! Kyllä tämä virsi jo
osataan. Ja mitäs luulet lukkari sen lain olevan, jolla viinankeitto
kiellettiin? Ei mitään muuta kuin herrojen metkuja. Koiranhäntää ne
sillä kansaa tahtovat parantaa! Omaksi hyväkseen tekivät lain, jonka

34. turvissa saavat laittaa olut- ja viinatehtaitaan joka kaupunkiin.
Pelkkää vääryyttä! Vai mitä arvelet, lukkari?
Lukkari: Mitäs minä arvelen. Enhän minä mitään muuta arvele,
kuin että eivät ne viina- ja oluttehtaat menestyisi, jos kansa saisi
polttaa viinaa itse.
"Eivät menestyisi, eivät menestyisi"! huusi koko joukko.
Lukkari: Ja siitä syystä se on väärin, että pappi, jolle me
maksamme palkan, saarnaa ja saarnaa salakuljetusta vastaan, siis
vallasväen hyväksi. Eiköhän asia ole niin, että kun vallat yrittävät,
niin talonpojan on myöskin yritettävä! Laki hävitti talonpojilta
kotipolton, jotta sensijaan viinatehtaat eläisivät. Kun kotipoltto oli
lainmukaista ja kun se meiltä vietiin vääryydellä pois, niin ei minun
ymmärtääkseni salakuljetus ole kuin hyvä ja laillinen asia. Sillä
tavalla minä sen lain ymmärrän.
"No, sinähän sen paremmin ymmärrät. Kukas tässä sitä paremmin
ymmärtäisi", kuului taas joukosta.
Sepän Jere: No ja mitäs tämä pappi sitten menee saarnaamaan
sillä tavalla, että se laki tahtoo parantaa kansaa!
Eräs ääni: Omia kukkaroitaan ne tahtovat parantaa — on ne niin
viisaita.
Sepän Jere: Ja siitä syystä tämä salakuljetus on kansan asia.
Tullisyökärit ja muut sellaiset ovat vain vallasväen juonia meitä
vastaan!
"Se on oikein! Se on oikein", huusi koko miesjoukko kuin kuorossa.

35. Lukkari: Ja onkos tämäkin oikein, että pappi rettelöi ja sekaantuu
asioihin, jotka eivät hänelle kuulu! Saarnatkoon mitä papin pitää
saarnata, älköönkä sekaantuko tähän meidän asiaan. Kyllä minä
vielä sanon sille kovat sanat. Maltahan, kun ensi kerran hänet
tapaan, niin kyllä minä hänelle sanelen, että muistaa. Minullekin hän
on tehnyt vääryyttä. Mitäs kun tänäänkin pani sellaiset virret, joita ei
lauleta missään kirkossa! Ja monta muuta konnankoukkua —
pelkkää kiusantekoa! Olen jo monta kertaa aikonut sille antaa
sellaisen läksytyksen, että muistaisi ja tietäisi kenen kanssa on
tekemisissä, mutta tähän asti olen sitä vielä armahtanut. Mutta on
minunkin sydämeni jo niin täynnä kiukkua, etten enää voi sitä sietää.
Minä en jätä sitä haukkumatta, ensi kerran tavatessamme — vaikka
sitten sakastissa tai vaikka kaiken kansan kuullen avonaisen haudan
partaalla tai häissä tai missä hyvänsä. Minä en sitä pappia enää
armahda — en totta vie armahdakaan! Mutta mitäs tuumaat,
Hinterikin Juuso, sinä itse pääluntreijari?! Sinähän olet ollut ääneti
koko ajan?
Juuso: Minä olen tässä vain tyytyväisenä kuunnellut, että jopa
alkavat muidenkin silmät aueta näkemään, että salakuljetus on
kunniavirka. Minä olen sen tiennyt jo aikoja sitten! Jos tässä olisi
puhuttu salakuljetusta vastaan, niin kyllä sitten minäkin olisin suuni
aukaissut ja olisittepahan silloin kuulleet! Mutta mitäs minulla nyt on
sanomista? Ei mitään. Minä olen tyytyväinen, ja tyytyväinen on vaiti.
Mutta sinua, lukkari, minä vähän ihmettelen, kuinka sinä jaksat
sietää tuota pappia vuodesta vuoteen ja annat hänen menetellä
kanssasi miten hän vain ikinä haluaa. Sinä olet raukka! Kun pappi on
kaukana niin silloin sinä kyllä olet mies uhkailemaan, mutta kun hän
on edessäsi, olet sinä valmis vaikka suutelemaan hänen
kengänkärkiään. Jos pappi sakastissa sanoisi: 'Lukkari! Ryömi
nelinkontin täältä urkuparvelle!' niin sinä ryömisit. Niin, jumalaut'

36. ryömisitkin! Sinä olet melko arka mies. On noita sinun uhkauksiasi
ennenkin kuultu!
Lukkari: Arka mies. Arka mies! Ei se arkuutta ole, vaan
kärsivällisyyttä. Minä olen hyväluontoinen mies, enkä hanki riitaa,
mutta nyt on sydämeni niin täysi, etten enää voi vaieta. Minä
menenkin nyt suoraa päätä pappilaan, ja jos haluatte lähteä
kuuntelemaan mitä minä hänelle sanon, niin saatte kyllä tulla
mukaan.
Lukkari oli niin kiukkua täynnä, että häneltä lopulta sanat tahtoivat
salpaantua kurkkuun. Hän änkytti ja tavoitteli ja kertaili sanojaan
sekä huitoi ilmaa käsillään ja kepillään.
Hänen viimeisten sanojensa aikana nähtiin papin tulevan pitkin
rantakujaa samalta suunnalta mistä lukkarikin oli saapunut äsken.
Hän oli tavallisella kirkkokahvin jälkeisellä virkistyskävelyllään ja
lähestyi nyt miehiä. Usein hän teki niin. Hän olisi halunnut kuulla,
mistä miehet rantakäräjillä juttelivat, mutta siinä yrityksessään hän
ei koskaan onnistunut. Kun papin tulo huomattiin, sanoi joku
lukkarille:
— No — muista nyt uhkauksesi ja pane se kerrankin täytäntöön!
— Kyllä mi…
Pappi pysähtyi miesten eteen.
Naapurikylän miehet olivat aikoja sitten hiipineet haapioihinsa ja
soutivat jo poispäin satamasta. Osa kirkonkylän miehiä oli myöskin
poistunut paikalta. He kävelivät kuka millekin suunnalle kotejaan
kohti, kädet housuntaskuissa ja piippu hampaissa. Paikalle jäi vain

37. lukkari ja neljä, viisi muuta vanhempaa miestä, kirkkoneuvoston
jäseniä, joten eivät siis iljenneet paeta pappiaan.
Tämä aloitti puheen:
— Jaaha. Hyvää päivää, hyvää päivää! Mitäs ne miehet tässä
tuumivat?
— Jumal'antakoon!
Seurasi pitkä vaitiolo. Sitten lukkari sanoi:
— Tässä vain katsellaan säätä, että tuleeko verkkoilma ensi yöksi.
Mitä pastori luulee, tuleekohan siitä yöksi tormi?
— Tjaa! Minä en osaa siihen asiaan sanoa mitään. Niin tyhmä olen
vielä näissä meriasioissa. Minun täytyy todellakin tunnustaa, etten
osaa sanoa kerrassaan mitään.
— No — eihän se kuulu pastorin ammattiinkaan. Me tässä kyllä
olemme katselleet ja tuumineet, että kun veti tuon taivaan noin
hikiseksi ja umeaksi ja päiväkin paistaa kuin avannosta, ja kun
merikin on noussut koko aamupäivän, niin ei siitä muu voi tulla kuin
tormi. Tormia ja sadetta se nyt hakee, ei taida olla ihmisillä ensi yönä
asiaa verkoille.
— Jaaha, jaaha. Voihan se niinkin olla. — Parhaitenhan sen
ymmärrätte te, jotka olette koko elämänne olleet meren kanssa
tekemisissä. — Minun tässä pitää vähän vielä terveydeksi kävellä
ennen päivällistä, että ruoka maittaisi paremmin. — No niin. Hyvästi
vaan ja Herran haltuun, Herran haltuun!

38. Hän kätteli kutakin erikseen ja alkoi sitten hitaasti kävellä
eteenpäin pitkin rantatietä.
Miehet jäivät ääneti tupakoimaan ja katselemaan merelle päin.
* * * * *
Juuso tovereineen souti hyvää vauhtia kotiinpäin.
Heillä oli edessään runsas tunnin soutu.
Oli miltei tyyni ja täytyi siis soutaa koko matka.
He soutivat ääneti.
Heillä ei ollut mitään keskusteltavaa. Kukin hautoi omia
ajatuksiaan. Alussa he nauroivat lukkarin kiihkoilulle ja uhkauksille.
Se oli niin hänen tapaistaan ja täysin vaaratonta.
Sen jälkeen he luultavasti kaikki miettivät aivan samoja asioita,
nimittäin kokemuksiaan ja kuulemiaan kirkossa sekä äskeistä
keskustelua rannalla. Ne ainakin pyörivät Juuson aivoissa.
Hän ajatteli veljeään Anterusta ja sitä mitä pappi kirkossa oli
puhunut salakuljetuksesta. Sattuivat niin hyvin yhteen se mitä pappi
oli sanonut ja mitä veli oli kirjoittanut. Olihan velikin kirjeessään
nimittänyt salakuljetusta 'meriemme häpeäksi' sekä lausunut: 'Ensi
keväänä luulen tuon inhoittavan salakuljetuksen loppuvan'.
Helkkarin hyvin se todellakin kävi yhteen papin tämänpäiväisen
saarnan kanssa, ajatteli Juuso. — Velimiehellä mahtaa jo olla
osuuksia viinatehtaissakin, sillä mitäpä muutakaan varten hän niin
kiivailisi salakuljetusta vastaan ja ennustelisi sen pikaista häviämistä.

39. Hän on herra ja hänellä on herran ajatukset. Hänen etunsa eivät ole
minun etujani, vaan ne ovat aivan samat kuin muidenkin herrojen!
Juusosta tuntui, että hän etääntyy veljestään yhä kauemmaksi ja
että he jo nyt kuuluvat eri joukkoihin, jotka taistelevat keskenään.
"Ja nytpä sitä vasta yritetäänkin!" hän vihdoin sähähti miltei ääneen.
Sitten sekaantui hänen ajatuksiinsa toisia kokemuksia ja
mielikuvia, jotka saattoivat hänet alakuloiseksi.
Hän oli istunut koko kirkkoajan miesten parvella.
Santra oli istunut alhaalla kirkossa Juusoa vastapäätä.
He olivat katselleet toisiaan koko ajan.
Juusosta oli tuntunut, että Santra katseli häntä lempeänä ja
surullisena ja näytti ikäänkuin hän olisi tahtonut sanoa: "Minä ikävöin
sinua ja minulla olisi sinulle paljon sanottavaa, ja sinullakin
luultavasti on sanottavaa minulle."
Juuso tuli yhä enemmän vakuutetuksi siitä että Santra tulisi hyvin
iloiseksi, jos saisi tilaisuuden puhella hänen kanssaan kahdenkesken.
Senvuoksi Juuso piti tarkoin silmällä milloin Santra lähti kirkosta, ja
hän riensi heti perässä, koettaen kohdata hänet kirkkotarhassa.
Siellä Santra seisoikin ulkona, naisten puoleisen oven luona eräiden
kirkonkylän tyttöjen seurassa. Juuso läheni tyttöjä ja yritti puhutella
Santraa, mutta tämä kääntyi selin Juusoon ja alkoi nauraa tyttöjen
kanssa. Sen vain ennätti Juuso kuulla, että muuan tytöistä kysyi:
"Mutta tunsitteko, tytöt, sitä naapurikylän poikaa, joka yritti ruveta
saarnaamaan kilpaa papin kanssa? Hahaha!" Ja sitten alkoivat tytöt
kävellä poispäin nauraen minkä jaksoivat. Silloin oli Juuso päättänyt,

40. ettei hän sinä ilmoisna ikinä enää tästä lähtien ole niin tuhma että
pyrkisi Santran puheille. Tämän päätöksensä hän nyt vielä
soutaessaan kertasi mielessään vannomalla vannoen, että niin se
asia olkoon — ja souti jotta airot norjuivat.

41. VIII.
EUPPE.
Neljä vuotta on kulunut.
Tällä aikaa on Juuso menestynyt hyvin. Hän on ansainnut paljon
rahaa, mutta on myöskin sitä runsaammin menettänyt, sillä hän on
yltynyt entistä enemmän juomaan, jonka vuoksi hän on viime
aikoina tuonut kotiin paljon vähemmän kuin ennen. Hän on liikkeellä
varhaisesta keväästä myöhään syksyyn. Heinäkuun puolivälissä hän
kuitenkin aina säännöllisesti on pari viikkoa kotona. Silloin vedetään
jaala maalle, se raapataan sisältä ja ulkoa sekä tervataan ja
maalataan uudestaan. Mastot ja muut purjepuut raapataan myös
huolellisesti ja sivellään hylkeenrasvaöljyllä.
Keväällä Juuso lähtee jaaloineen jo jäiden sekaan. Ensimmäiset
retket keväällä ovatkin tuottavampia kuin matkat keskikesän aikaan,
jolloin valoisat yöt ja kauniit ilmat ovat haittana. Kaikkein
tuottavimpia ovat kuitenkin loka- marras- ja joulukuu. Kerran,
saavuttuaan jouluksi kotiin, Juuso puheli siitä seikasta miehille
rannassa ja sanoi: "Muita kuukausia ei almanakassa tarvitsisi
ollakaan!"

42. Syksyisin ei Juuso koskaan tullut kotiin ennenkuin juuri päivää tai
useinkin vasta vain muutamia tunteja ennen meren jäätymistä.
Monasti oli jo merenpinta täynnä lumisohjua, joka teki aallon
raskaaksi ja voimakkaaksi. Viimeisen paluunsa kotiin hän tavallisesti
teki koillistuulella, läpi hyytävän meripöllyn. Tavallisesti meni sitten
meri jäähän jo seuraavana, tai ainakin sitä seuraavana päivänä.
Toiset jaalat olivat useimmiten jo silloin kaikki talviteloillaan, ja kun
miehet jonain joulukuun aamuna seisoskelivat jonkin ranta-aitan tai
saraimen varjossa, jolloin kylmä koillisviima puhalsi, meripölly liiteli
sen mukana ja aaltojen hyrskyt jäädyttelivät alempia teloja,
rantakiviä ja kallioita ja jolloin näköala merellepäin supistui enää vain
muutamiin kymmeniin syliin, voi joku heistä lopettaa äänettömän
jörötyksen lausahtamalla piippunsa ohi:
— Tämä on jo kolmas meripölly tänä syksynä. Eiköhän tuo jo ala
jäädyttää merta?, johon toinen, viitsimättä hänkään ottaa piippua
suustaan — kädet olivat niin mukavasti lyhyen turkin taskuissa —
vastaa:
— Jokos Hinterikin Juuso sitten on tullut kotiin?
— Ei kuulu vielä tulleen.
— No, älä sitten puhu mitään jäätymisestä! Eivät ne enää tähän
maailmanaikaan sellaiset vanhojen merkit kuin meripöllyt ja muut
pidä kutiaan. Hinterikin Juosepista nyt kaikki riippuu! Sitä se nyt
seuraa jääkin, eikä suinkaan meripöllyä. Luulek'sä, että meri jäätyy
ennenkuin Hinterikin Juoseppi ennättää kotiin! Nyt ovat toiset
merkit, ek'sä sitä ymmärrä! Kun jonain kauniina päivänä näet
meripöllyn katoavan ja huomaat merellä jaalan, jota et vielä äsken
meripöllyltä eroittanut, täysin purjein, keula vaahtoavana, tulevan

43. kotiinpäin, niin voit arvata, että se on Hinterikin Juoseppi. Ja silloin
vasta — ei ennen — sanotaan: "Nyt tyyntyy ja tulee talvi." — Eivätkä
ne jäät keväälläkään taas ota oikein meressä sulaakseen, ennenkuin
Hinterikin Juoseppi ennättää jaaloineen sinne sekaan. Mutta
silloinpas heti ne alkavat sulaa ja hävitä. Sillä on hyvä onni, tällä
Hinterikin Juosepilla. Harvoin se joutuu tullimiestenkään kanssa
yhteen, ja jos sattuukin, niin aina hän selviää niistä ilman käräjiä.
— Se antaa rahaa tullimiehille.
— Sitä minä en usko.
— Usko tai ole uskomatta, ei se asiaa muuta. Minä tunnen
sellaisen miehen, joka on itse nähnyt, kun Juoseppi kerran Viron
reisun aikana antoi kaksi tuhatta Kipuna-Syökärille.
— Sinun luullaksesi Juoseppi varmaan antaa rahaa merellekin,
sanoen: Älä hyvä meri jäädy vielä, ennenkuin saan tämän
jaalankantamuksen turvaan! Hö-hö-hö!
Ja koko miesjoukko rannalla yhtyy nauruun.
— Entä jos antaakin! Hänen suvussaanhan, kuulemma, on
edesmenneinä aikona ollut noitia, jotka luovuttivat merelle hopeaa
tarvitessaan tuulta tai tyyntä tai halutessaan saada meren jotenkin
muuten noudattamaan tahtoaan. En minä yhtään epäile, etteikö
Juusokin jotain konstia meren kanssa pitäisi, koska hänelle aina käy
niin hyvin sielläkin missä toisille sattuu huonosti. Jotainhan siinä
täytyi olla!
* * * * *

44. Mikko purjehtii yhä edelleen Juuson kanssa yhdessä, pysyen
Juuson uskollisena seuralaisena loppuun asti — nimittäin tämän
kuolemaan saakka.
Sepän Jere sen sijaan on jättänyt "Vesan" — eikä ainoastaan
"Vesaa", vaan koko saaren ja Suomen vedet. Hän purjehtii
ulkomerillä ja hänet on viimeksi nähty San Franciscon
merimieskapakassa. Siellä oli hänet tavannut puolen tusinaa
suomalaista, kaikki tuttuja hänen edelliseltä merimiesajaltaan.
— Hoo! Täällähän on vanhoja tuttuja koko pöytäkunta! oli Jere
huudahtanut ja sitten toisten pyynnöstä kertonut:
— Purjehdinhan minä jo siellä kotipuolessa muutamia vuosia
luntreijarina ja ansaitsin koko hyvin, mutta muuten kävi elämä
sietämättömäksi…
— No?!
— Täytyi asua kapteenin kanssa kajuutassa, kun siinä laivassa ei
ollut skanssia, ja niinkuin tiedätte, en minä voi sietää sellaista
seuraa.
— Hahahaha!
— Ja pahinta oli se, että siinä virassa joutui joskus seilaamaan
jäälautalla monia vuorokausia — ja se oli vähän ikävänpuoleista
hommaa, koska jäälauttaa ei voi ohjata. Kerrankin tehtiin
luntreijausretki Suomenlahdelta Danzigiin jäälautalla myrskyssä,
pakkasessa ja lumipyryssä. — Minä jätin sen homman tuhmemmille
miehille. — Sitten olin puoli vuotta eräässä yksimastoisessa, mutta
kun se kulki niin helkkarin huonosti ja kun minä en ole tottunut

45. seilaamaan yksimastoisessa, ja kun — ajatelkaa! — kuuden
kuukauden perästä oltiin siinä samassa paikassa kuin minun siihen
lotjaan tullessani, niin minä kyllästyin olooni siinä, laskin veneen
vesille ja karkasin. Nyt sitten olen tässä. — No, kippis pojat!
Yksimastoisella Jere tarkoitti Ruuskeria, kahdeksantoista kilometrin
päässä hänen kotisaarestaan, sen länsipuolella olevaa pientä,
soikeata karia, jossa on korkeatorninen loisto. Jere oli ollut siellä
loistonvartijana kolmen muun miehen ja päällikön kanssa, mutta
palveltuaan näin syksystä kevääseen, kuusi kuukautta, hän aikaiseen
keväällä ensi avovedellä, eräänä sumuisena yönä karkasi.
Myöhemmin elämässään ei Jere Ruuskeria koskaan maininnut muulla
nimellä kuin "Yksmastoinen".
Eskon Mikko sen sijaan pysyi uskollisena Juusolle kesät talvet:
kesät purjehtimassa ja talvet apulaisena metsässä hakkaamassa
kotitarvehalkoja. Myöskin oli Mikko aina hänen yhtenä toverinaan
hylkeen pyyntiretkillä, joihin Juuso otti osaa joka talvi samoin kuin
Mikko auttoi häntä myöskin viinan ja silkin kuljetuksessa Heikkilän
toisella hevosella jäisin yli meren.
* * * * *
On myöhä syksy, joulunalusviikko, vuonna kahdeksantoistasataa ja
kaksi kahdeksatta.
Puhaltaa kylmä koillistuuli ja keskellä merta on jouduttu niin
sakeaan meripöllyyn, että on pimeämpää kuin synkimmässä
sumussa. On mahdotonta nähdä mitään. Jaalan keularyöhä, joka
nopeasti kulkevan jaalan keulassa syntyy ja jakautuu vinosti ulospäin
sen molemmille puolille, häipyy näkymättömiin meripöllyn taakse.

46. Juuso ja Mikko istuvat alhaalla kajuutassa. Juuso käy toisinaan
pilkistämässä kajuutan luukusta tuulta, purjeita ja aluksen kulkua,
jota ohjaa aluksen nuorin mies, Sepän Jeren seuraaja, Mikon
veljenpoika, Eskon Api, yhdeksäntoistavuotias nuorukainen, jolle
Juuso ennustaa loistavaa tulevaisuutta salakuljettajana, mutta joka
itse uneksii mennä ulkomerille, päästä merikouluun ja saada laivan
päämiehen lakki.
Alhaalla kajuutassa keskustelivat Juuso ja Mikko vakavista asioista.
Juuso valitteli yksinäisyyttään ja odotettavissa olevaa ikävää talvea
sekä että "ei tämä elämä ala olla minkään arvoista".
— Mitä tämä oikeastaan hyödyttää? Kuljetaan tällä tavalla kylmissä
säissä, myrskyissä, sateissa ja sumuissa ihan kuin tyhjää takaa-
ajamassa! Ihmisen elämä on sentään kummallista! Joudutaan tänne
maan päälle eleskelemään mikä maamiehenä peltoa kyntämään,
mikä kalastajana verkkoja vetämään, tai mikä minäkin tulemaan ja
menemään. Sitten kuluu muutama vuosikymmen, ja maan päällä on
taas kokonaan uudet kyntäjät ja uudet verkonvetäjät. On somaa
pyörimistä tämä elämä! — Alamme jo tässä mekin vanheta, Mikko, ja
se on pahinta!
— Mitäs pahaa siinä on! Eilen vanheni isäni, tänään vanhenen
minä. Sinä ajattelet ja tuumit turhan paljo! Kuulehan! Minun
mielestäni sinulle olisi hankittava eukko, ja nyt jo tänä talvena.
— Sehän ei ole niin yksinkertaista.
— Ovathan tuon osanneet muut tuhmemmatkin!
Tästä asiasta riitti sitten keskustelua koko loppumatkaksi.

47. Vähän väliä tokaisi Mikko, päätään ravistellen:
— Ei, mutta muija sinulle on etsittävä jo ensi talvena mistä
hyvänsä! Katsohan, sinä, niinkuin sanottu, et enää ole varsin nuori,
vaan alat jo vanheta. Sinä perit isäsi rikkaudet — mutta kuka ne
sinulta perii, sitä et tiedä, ellei sinulla ole lapsia.
— Mitä sinä puhut isän perimisestä? Muistahan, että minulla on
velikin, Anterus nimittäin.
— No, vaikka onkin, niin eihän Anterus kaikkea saa — osa se on
sinullakin. Sitäpaitsi, jos isäsi on oikeudenmukainen, niin hän antaa
kaiken omaisuutensa sinulle, sillä sinähän sen olet hankkinutkin.
Anterus — mikä hän on? Hunsvotti ja lesken kapteeni! No no, älä
pane pahaksesi, vaikka sanonkin veljestäsi sen, mikä hän
todellisuudessa on! Pitäisi vaan sanoa enemmänkin. — Jos minä
olisin isäsi, niin kirjoittaisin testamentin näin kuuluvaksi: "Koska
poikani Anterus ei ole ollut kotona sitten kuin varhaisessa
lapsuudessaan, eikä ole tuonut taloon muuta kuin harmia…"
— Soo! Mitä harmia?
— … "muuta kuin harmia, määrään minä poikani Juosepin, joka on
kaiken ikänsä luonani asunut, nuhteettomasti minua palvellut ja
kaiken rahan ja omaisuuden talooni hankkinut, yksinperijäkseni". —
No niin. — Niin minä kirjoittaisin. — Jaa, että mitäkö harmia? Sitä en
minäkään tiedä, mutta ne sanat pitäisi välttämättä testamentissa
olla. Ja eiköhän hän vaan harmiakin liene tuottanut! Sinun äitisi ei
koskaan valita. Ääneti hän kulkee askareillaan, keittiössä ja
navetassa. Aamulla on ensimmäisenä ylhäällä ja illalla menee
viimeisenä vuoteeseen. — Harmia! No niin. Kirjoitetaan sitten vaikka
"surua", sillä kyllä kai äidilläsi on Anteruksesta surua ollut!

48. — Kyllähän sinä testamentteja kirjoittaisit — jos osaisit ja ne sinun
tehtäviksesi jätettäisiin.
— Piru vie! Minä sinun sijassasi vaatisin juuri sellaisen
testamentin.
— Älkäämme nyt puhuko siitä! Sen sijaan voisit jo vihdoin
ilmoittaa, kun kerran olet minulle viimeaikoina niin kiivaasti eukkoa
tyrkyttänyt, ketä sinä oikeastaan aiot minulle eukoksi tarjota. — No,
annas kuulua!
— Olisihan tuo teidän entinen palveluspiikanne Santra komea
ihminen ja hyvä työntekijä, ja iloiset sillä on silmätkin sekä
ruumiiltaan terve ja norja…
— Ei kelpaa! Muita!
— Kerrotaan muuten, että sinä jo olet kosaissutkin sitä, mutta sait
rukkaset, ja siitä syystä Santra teiltä läksi.
— Hahahahah! Johan sinä lörpötät kuin akat!
— Akat!?
— Niin niin.
— No — minä nyt annan sen sanan sinulle anteeksi. — Vai akat!
— Niin niin. Anna tulla muita vaalipappeja, niin äänestetään!
— No — onhan siinä sitten tuo naapurin Euppe.
— Naapurin Euppe! Olek'sä ihan hullu!

49. — Jaa — jos et sinä häntä nai, niin nain minä!
— Ha ha ha ha — älähän uhkaile! Ei se tässä auta mitään!
Tämän keskustelun aikana oli Juuso loikoillut koijassaan ja Mikko
istunut lähellä kamiinaa keittämässä iltapäiväteetä. Juuso lopetti
keskustelun sanomalla Mikolle:
— Lopeta jo nuo naimapuheesi, ja katso, eikö se tee jo ala
valmistua!
— Valmista on. Nouse vain juomaan! — Kyllä minä puhemieheksi
rupean. Sano vain, milloin on tarvis, niin kyllä tämä poika on valmis
sinulle kosimaan vaikka omaa morsiantaan.
Mikko otti pöytäkaapista kolme mukia ja sokeriastian ja asetti ne
pöydälle, kaataen höyryävää teetä kuhunkin mukiin.
Vaikka kello olikin vasta kolme, alkoi meripöllyn vuoksi jo niin
hämärtää, että täytyi sytyttää rasvalamppu palamaan. Samoin
sytytettiin kompassilamppu peränpitäjää varten.
Tuntia myöhemmin selveni meripölly niin paljon, että voitiin nähdä
oman saaren loistot ja ohjata alus niiden johdolla satamaan.
Kosimisesta ei kuitenkaan tullut sinä talvena mitään.
Tansseissa Juuso kuitenkin kävi tavallista useammin ja tapasi
niissä
Eupen joka kerta.
Eräänä iltana maaliskuun lopulla läksi Juuso tanssien päätyttyä
saattamaan Euppea kotiin.

50. Euppe sattui kävelemään yksin, joka oli harvinaista. Tavallisesti
häntä seurasi joukko poikia ja tyttöjä.
Kuu paistoi korkealla taivaalla.
Juuso joudutti askeleitaan, mutta Euppe joudutti myös — hän jo
miltei juoksi.
— Minne sinulla on kiire!, huusi Juuso.
— Sinua pakoon — hihihi, nauroi Euppe ja alkoikin tosissaan
juosta.
Kilpajuoksu jatkui typö tyhjiä kujia pitkin Eupen kotiportille asti.
Siinä sai Juuso siepatuksi hänet kiinni ja he jäivät portille seisomaan
sylitysten.
Kovan juoksun vuoksi oli molempien hengitys nopeaa. Kului pitkä
aika ennenkuin kumpikaan alkoi puhua. Lopulta sanoi Euppe:
— No?
— Mitä no? kysyi Juuso.
— Miltäs tuntuu?
— Mikä?
— No, tämä seisominen?
— Sei-so-minen?
— Niin niin. Tuntuuko mieleltäsi hyvältäkin?

51. — Mitäs tuntumista tässä olisi?
— Ihan turhan vuoksiko sinä sitten juoksitkin? Minä ajattelin, että
sinä et tee mitään, josta et hyödy.
— Tuntumisen vuoksiko sinä itse sitten asetuit tähän seisomaan?
— En.
— No mitäs varten?
— Saadakseni sanoa sinulle erään asian kahden kesken. Kuulehan!
Minä olen tänä talvena usein tavannut kirkonkylässä Santran.
— Santran!
— Niin. Taisit vähän hätkähtää! No, ei se ole mitään vaarallista.
Olen käynyt usein tänä talvena kirkossa, saadakseni jutella Santran
kanssa. Kun viimeksi, viikko tapakerin, puhelin hänen kanssaan —
Santra saattoi minua lähes puoli matkaa — kerroin hänelle kuinka
sinä viikko viikolta ikävöidessäsi häntä laihdut ja kuihdut niin, ettei
sinua enää kohta tunne entisekseen. Silloin Santra, tuo pienokainen,
rupesi sen johdosta niin kovasti itkemään, että minä pelkäsin hänen
vallan taittavan niskansa. Sitten ei Santra enää jaksanut edes
kävellä, vaan jäi istumaan kivelle tien viereen. Ei kättänsäkään
antanut minulle jäähyväisiksi. Niin suuri on rakkaus — Juuso!
— Mutta eihän tuo voi olla totta! Minulla ja Santralla ei ole
toistemme kanssa mitään tekemistä. — Ja minäkö ikävöisin! Oletko
sinä ihan suunniltasi? Minullehan on ollut tämä talvi iloisin kaikista
edellisistä.
— Puhutko totta?

52. — Puhun, puhun!
— Miehiin ei ole luottamista. Minustakin näyttää kuin sinä olisit
tänä talvena muuttunut iloisemmaksi kuin ennen — minun
ansiotaniko lie vai muiden! Kyllä minä sen näen, mutta minun täytyi
narrata Santraa, saadakseni selville hänen suhteensa sinuun.
— Millä oikeudella?
— Elämisen ja olemisen oikeudella! — Hän tunnusti minulle kaikki.
— Kaikki?
— Niin — kaikki. No, taaskin sinä hätkähdit, ja kuitenkin sanoit
äsken, ettei sinulla ole mitään tekemistä Santran kanssa.
— Mitä hän tunnusti? Sano!
— Hän itki.
— Eihän se ole mikään tunnustus.
— Vai ei ole! Hänellä siis sinun luullaksesi olisi kyllä ollut
puhuttavaakin — soo'o! No, koska en saanut kuulla sitä Santralta,
haluaisin nyt kaiken — kai-ken — kuuletko! — kai-ken!! — kuulla
sinulta itseltäsi, muuten saa meidän väliltämme kaikki loppua tähän.
— No?
Juuso tunsi Eupen lämpöisen vartalon nojaavan itseään vasten ja
kuuli korvassaan Eupen kuiskauksen:
— Suutelitko sinä häntä?
— En.

53. Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookfinal.com