Transformaciones lineales

Tranformaciones Lineales
Metodo de Gauus Jordan
Nucleo, Nulidad, Imagen y Rango
Matrices y Trasnformaciones Lineales
Ejercicios Resueltos

1. Transformaciones Lineales Integrante: Madelein Guillen C.I.: 26279546 Algebra Lineal

2. Las transformaciones lineales son funciones entre K - espacios vectoriales que son compatibles con la operación y acción de estos espacios. Su objetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Sean (V,+V,·V) y (W,+W,·W) dos K -espacios vectoriales. Una función f: V → W se llama una transformación lineal de V en W si cumple: Si f : V → W es una transformación lineal, entonces f (0v) = 0w. Puesto que: f(0v) = f(0v + 0v)= f(0v) + f(0v), entonces 0W = f(0v) + ( −f(0v) ) = ( f(0v) + f(0v) ) + ( - f(0v) ) = = f(0v) + ( f(0v) + ( - f(0v) ) ) = f(0v) + 0w = = f(0v).

3. Método de Gauss Jordan Es un algoritmo para sistemas de ecuaciones lineales, se puede utilizar para encontrar el rango de una matriz, calcular su determinante, y para calcular la inversa de una matriz cuadrada invertible . Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal .

4. Para resolver sistemas de ecuaciones utilizando este método se debe primero anotar las coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales usando su notación matricial: Entonces anotando como matriz aumentada : Luego se convierte dicha matriz en una matriz identidad, es decir matriz equivalente a la original: Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas operaciones de suma, resta, multiplicación y división, teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de las filas o las columna depende de como sea el caso.

5. Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma : d1 = x d2 = y d3 = z Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones: 2. Lo anotamos en su forma matricial: 3. Empezamos a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarlo en su matriz identidad:

6. 4. Debemos transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½: 5. Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5 . Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. E n el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

7. 6. Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13 Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador ). 7. Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 3ª fila.

8. 8. O btener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del numero que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96 . 9. Obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente . Se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila .

9. 10. Obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del numero que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el numero que le corresponde en columna de la 1ª fila . 11. Hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo : x= 1 y= -1 z= 2 12. Luego , el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos . 2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 4 2*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =4 2 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4 1 = 1 -3 = -3 4= 4

10. Definiciones: Núcleo: Sean V,W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T∈ L(V , W). El núcleo( kernel , espacio nulo) de T se define como la pre imagen completa del vector nulo: Ker (T): ={ x Є V: T(x) = 0w} Nulidad: Sean V,W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T Є L(V,W), la nulidad de T se define como la dimensión del núcleo T: nul (T) = dim ( ker (T)) Rango: Sean V,W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V,W). El rango de T se define como la dimensión de la imagen de T: r(T) = dim ( im (T)) Imagen: Sean V,W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T Є L(V,W). La imagen T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: Im (T) := { w Є W: ∃v Є V tal que w=T(v)}

11. Matrices y Transformaciones Lineales Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio , un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases. Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T( x ) = A x . La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V, en la base de W. Supongamos que el espacio V tiene una base { v 1 , ..., v n } y el espacio W tiene una base { w 1 , ..., w m }. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n . Si T ( v i ) = a i1 w 1 + .... + a im w m , entonces la columna i de A es (a i1 .... a im ) T En el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}. Transformado de (1, 0) = (1, 0) Transformado de (0, 1) = (0, -1) Entonces la matriz la matriz de la transformación es :

12. Ejercicios Sistema compatible indeterminado 1) Sistema compatible determinado 2)

13. 3) Sistema compatible indeterminado 4) Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: R 2 ® R 2 / " x Î  R 2 : T ((x 1 , x 2 )) = (x 2 , x 1 + 2) Se deben verificar las dos condiciones de la definición: a) ¿ " x , y Î  R 2 : T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) ? x = (x 1 , x 2 ) y = (y 1 , y 2 ) x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) T ( x ) + T ( y )  = (x 2 , x 1 + 2) + (y 2 , y 1 + 2) = (x 2 + y 2 , x 1 + y 1 + 4) T ( x + y ) = T (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 , x 1 + y 1 + 2) ¹ T ( x ) + T ( y )                                            No se verifica esta condición, entonces la transformación no es lineal.

14. 5) A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguiente transformación: T: R 2 ® R 3 / " x Î   R 2 : T ((x 1 , x 2 )) = (x 1 + x 2 , x 1 - x 2 , x 2 ) Se deben verificar las dos condiciones de la definición: a) ¿ " x , y Î   R 2 : T ( x + y ) = T ( x ) + T ( y ) ? x = (x 1 , x 2 ) y = (y 1 , y 2 ) x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) T ( x + y ) = T (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) = (x 1 + y 1 + x 2 + y 2 , x 1 + y 1 - x 2 - y 2 , x 2 + y 2 ) =                                            = (x 1 + x 2 , x 1 - x 2 , x 2 ) + (y 1 + y 2 , y 1 - y 2 , y 2 ) = T ( x ) + T ( y ) b) ¿ " x Î   R 2 , " k Î   R : T (k x ) = k T ( x ) ? T (k x ) = T (k (x 1 , x 2 )) = T (k x 1 , k x 2 ) = (k x 1 + k x 2 , k x 1 - k x 2 , k x 2 ) =                                 = k (x 1 + x 2 , x 1 - x 2 , x 2 ) =                                 = k T ( x ) Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 6) Analicemos ahora si T es lineal, siendo T: M n x n ® R / " v Î M n x n : T ( v ) = det ( v ) Sabemos que det (A + B) ¹ det (A) + det (B), y det ( kA ) = k n det (A) ¹  k det (A ), entonces esta transformación no es lineal.

15. Conclusión Las transformaciones son las que se utiliza para que un vector se convierta en otro vector. Se saben si son transformación lineales cuando su dominio e imagen son espacios vectoriales y cumplen las condiciones necesarias. Utilizamos el método de Gauus Jordan para resolver sistemas de ecuaciones, en el cual podemos hallar la inversa de un matriz y sus distintas propiedades, este usa el método de transformación hasta tener una matriz diagonal. Cualquier transformación lineal puede representarse por medio de una matriz. Para saber si una transformación es lineal se tiene que hallar su imagen, núcleo, nulidad o rango.

16. Bibliografía http://www.monografias.com/trabajos72/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan/resolucion-sistemas-metodo-gauss-jordan2.shtml#ixzz4a5hXExeZ https:// algebralinealcarlosruz.files.wordpress.com/2009/12/problemas_resueltos.pdf www.monografías.com www.laguia2000.com