Transformada_de_Laplace Isaac fernando.pptx

Una pequeña presentación de la transformada de laplace

1. Transformada de Laplace Presentación universitaria Enfoque general

2. Introducción Herramienta matemática usada para resolver ecuaciones diferenciales. Convierte funciones del tiempo (dominio temporal) a funciones del complejo s (dominio de frecuencia). Facilita el análisis de sistemas dinámicos en ingeniería, física y matemáticas aplicadas.

3. Definición de la Transformada de Laplace Se define como: 𝓛{f(t)} = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt Donde: • f(t): función original en el tiempo • s: variable compleja (s = σ + jω) • 𝓛{f(t)}: función transformada en el dominio de Laplace

4. Propiedades básicas 1. Linealidad: 𝓛{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s) 2. Desplazamiento en el tiempo: 𝓛{f(t - a)u(t - a)} = e^(-as)F(s) 3. Derivación: 𝓛{f'(t)} = sF(s) - f(0) 4. Integración: 𝓛{∫₀^t f(τ)dτ} = (1/s)F(s)

5. Condiciones de existencia • f(t) debe ser continua por tramos en todo t ≥ 0. • Debe ser de crecimiento exponencial limitado: |f(t)| ≤ Me^{at}. • Bajo estas condiciones, la integral converge para Re(s) > a.

6. Transformadas comunes • 𝓛{1} = 1/s • 𝓛{t} = 1/s² • 𝓛{e^(at)} = 1/(s - a) • 𝓛{sin(bt)} = b/(s² + b²) • 𝓛{cos(bt)} = s/(s² + b²)

7. Teoremas del valor inicial y final • Valor inicial: limₜ→0⁺ f(t) = limₛ→∞ sF(s) • Valor final: limₜ→∞ f(t) = limₛ→0 sF(s) Permiten obtener valores límites sin necesidad de invertir la transformada.

8. Transformada inversa de Laplace • Permite regresar del dominio de s al dominio del tiempo. • Se denota como: 𝓛⁻¹{F(s)} = f(t) • Generalmente se realiza mediante tablas o descomposición en fracciones parciales.

9. Aplicaciones principales • Solución de ecuaciones diferenciales lineales. • Análisis de circuitos eléctricos y sistemas mecánicos. • Control automático y estabilidad de sistemas. • Procesamiento de señales e ingeniería de control.

10. Ejemplo simple Resolver: f'(t) + 2f(t) = 3e^(-t), f(0)=0 Transformada: sF(s) - f(0) + 2F(s) = 3/(s + 1) ⇒ F(s) = 3 / ((s + 1)(s + 2)) Aplicando inversa: f(t) = 3(e^(-t) - e^(-2t))

11. Ventajas del método de Laplace • Simplifica la resolución de ecuaciones diferenciales. • Permite trabajar con condiciones iniciales directamente. • Facilita el análisis de sistemas lineales.

12. Conclusión • La transformada de Laplace conecta el dominio del tiempo con el de frecuencia. • Es esencial en el análisis y diseño de sistemas dinámicos. • Constituye una herramienta poderosa en ingeniería y matemáticas aplicadas.