Transformada zeta
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Mar 14, 2019
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About This Presentation
•Transformada Zeta de una secuencia. Mapeo entre plano S y plano Z.
•Transformada Zeta del Impulso, escalón, rampa y parábola unitaria.
•Propiedad de linealidad, desplazamiento, similitud, diferenciación, integración y convolución.
•Transformada Zeta inversa.
Slide Content
República Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
TRANSFORMADA Z
Realizado por:
Anais Diaz C.I: 25.978.311
MATURIN, FEBRERO DE 2019
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
TRANSFORMADA Z
Realizado por:
Anais Diaz C.I: 25.978.311
MATURIN, FEBRERO DE 2019
INDICE
Transformada zeta de una secuencia ..................................................................... 4
Mapeo entre el plano S y el plano Z ........................................................................ 4
Transformada zeta del impulso unitario .................................................................. 5
Transformada zeta del escalón unitario .................................................................. 5
Transformada zeta rampa unitaria .......................................................................... 6
Transformada z de la parábola unitaria ................................................................... 7
Propiedades de transformada zeta ......................................................................... 7
Linealidad ............................................................................................................ 7
Desplazamiento temporal .................................................................................... 7
Diferenciación con respecto a Z .......................................................................... 7
Convolución ......................................................................................................... 8
Transformada Z inversa .......................................................................................... 8
Ecuaciones en diferencias ...................................................................................... 9
Transformada zeta de una secuencia ..................................................................... 4
Mapeo entre el plano S y el plano Z ........................................................................ 4
Transformada zeta del impulso unitario .................................................................. 5
Transformada zeta del escalón unitario .................................................................. 5
Transformada zeta rampa unitaria .......................................................................... 6
Transformada z de la parábola unitaria ................................................................... 7
Propiedades de transformada zeta ......................................................................... 7
Linealidad ............................................................................................................ 7
Desplazamiento temporal .................................................................................... 7
Diferenciación con respecto a Z .......................................................................... 7
Convolución ......................................................................................................... 8
Transformada Z inversa .......................................................................................... 8
Ecuaciones en diferencias ...................................................................................... 9
Introducción
En el área de control se aplican sensores que trabajan con señales eléctricas,
estas señales se estudian por medio de ecuaciones que combinan dichas señales
con las matemáticas, esto facilita establecer comportamientos regulados y permite
mediante procedimientos matemáticos resolver los problemas presentes dentro de
los sistemas. Entre los para entender y resolver procesos de señales, se
encuentran las transformada de laplace y la transformada z, en la presente
revisión bibliográfica se presentan algunas propiedades y métodos mediante los
cuales se aplican en algunas ecuaciones la transformada z.
En el área de control se aplican sensores que trabajan con señales eléctricas,
estas señales se estudian por medio de ecuaciones que combinan dichas señales
con las matemáticas, esto facilita establecer comportamientos regulados y permite
mediante procedimientos matemáticos resolver los problemas presentes dentro de
los sistemas. Entre los para entender y resolver procesos de señales, se
encuentran las transformada de laplace y la transformada z, en la presente
revisión bibliográfica se presentan algunas propiedades y métodos mediante los
cuales se aplican en algunas ecuaciones la transformada z.
Transformada zeta de una secuencia
Dada una secuencia discreta x(n) se define su transformada Z como una variable
compleja.
?????? � = �(�)�
−�
∞
�=−∞
La transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del
tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
Juega el mismo papel en procesado digital de señales que la Transformada de
Laplace en el análisis de sistemas continuos. Al igual que se podría llamar
"Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para
la transformada Z podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está
basada en la serie de Laurent. Es utilizado para laobtención de expresiones
entrada-salida, simplificación de estructuras, implementación de estructuras y
resolución de ecuaciones en diferencias Puente entre el diseño analógico y digital
(transformación bilineal e impulso-invariante).
Mapeo entre el plano S y el plano Z
Al observar que las variables complejas S y Z se encuentran relacionadas por
medio de �=�
��
, la localización de los polos y los ceros en el plano Z se
encuentran relacionadas con la localización de los polos y ceros del plano S.
Debido a que la estabilidad del sistema en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e
no varía con el tiempo puede determinarse con base en las posiciones de los
polos de la función de transferencia pulso en lazo cerrado. Debe observarse que el
comportamiento dinámico del sistema de control en tiempo discreto depende del
período de muestreo T.
En el momento en que el proceso se le incorpora un muestreo por impulsos, las
variables complejas Z y S quedan relacionadas mediante la ecuación:
Z=e
Ts
Dada una secuencia discreta x(n) se define su transformada Z como una variable
compleja.
?????? � = �(�)�
−�
∞
�=−∞
La transformada Z convierte una señal real o compleja definida en el dominio del
tiempo discreto en una representación en el dominio de la frecuencia compleja.
Juega el mismo papel en procesado digital de señales que la Transformada de
Laplace en el análisis de sistemas continuos. Al igual que se podría llamar
"Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para
la transformada Z podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está
basada en la serie de Laurent. Es utilizado para laobtención de expresiones
entrada-salida, simplificación de estructuras, implementación de estructuras y
resolución de ecuaciones en diferencias Puente entre el diseño analógico y digital
(transformación bilineal e impulso-invariante).
Mapeo entre el plano S y el plano Z
Al observar que las variables complejas S y Z se encuentran relacionadas por
medio de �=�
��
, la localización de los polos y los ceros en el plano Z se
encuentran relacionadas con la localización de los polos y ceros del plano S.
Debido a que la estabilidad del sistema en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e
no varía con el tiempo puede determinarse con base en las posiciones de los
polos de la función de transferencia pulso en lazo cerrado. Debe observarse que el
comportamiento dinámico del sistema de control en tiempo discreto depende del
período de muestreo T.
En el momento en que el proceso se le incorpora un muestreo por impulsos, las
variables complejas Z y S quedan relacionadas mediante la ecuación:
Z=e
Ts
Mostrando que un polo en el plano s puede quedar localizado en el plano z
mediante la transformación Z=e
Ts
. Ya que la variable compleja s está formada de
una parte real σ y una parte imaginara ω, tenemos: �=??????+�?????? y �=�
��
=
�
�(??????+�??????)
=�
�??????
�
�(�??????)
=�
�??????
�
�(�??????+2??????�)
Se puede observar en esta ecuación que los polos y los ceros en el plano S,
donde las frecuencias difieren en múltiplos enteros de la frecuencia de
muestreo ??????
�=
2??????
�
, corresponden a las mismas localizaciones en el plano Z.
Mostrando que por cada valor de Z existirá un número infinito de valores S.
Dado que σ es negativo en el semiplano izquierdo del plano S, eso corresponde a:
� =�
�??????
<1 El eje �?????? en el plano s corresponde a � =1.
Transformada zeta del impulso unitario
Dicha transformada converge a un punto si no ocurre que k<0 tienda a radios
infinitos y k>0 tienda a 0+0j.
Entonces ?????? � =1 ;�=0
∆(�)=� ??????(�) = ?????? � �
−�
=?????? 0 +?????? 1 �
−1
+?????? 2 �
−2
+⋯
∞
�=0
∴∆ � =1
Transformada zeta del escalón unitario
Se encuentra definido por � � = ?????? � �
−�∞
�=0 =?????? 0 +?????? 1 �
−1
+?????? 2 �
−2
+⋯+
??????(�)�
−�
Dicha transformada es:
� � =lim
??????→∞
�
−�
??????−1
�=0
=lim
??????→∞
�
−1
�
??????−1
�=0
=lim
??????→∞
1−�
−??????
1−�
−1
mediante la transformación Z=e
Ts
. Ya que la variable compleja s está formada de
una parte real σ y una parte imaginara ω, tenemos: �=??????+�?????? y �=�
��
=
�
�(??????+�??????)
=�
�??????
�
�(�??????)
=�
�??????
�
�(�??????+2??????�)
Se puede observar en esta ecuación que los polos y los ceros en el plano S,
donde las frecuencias difieren en múltiplos enteros de la frecuencia de
muestreo ??????
�=
2??????
�
, corresponden a las mismas localizaciones en el plano Z.
Mostrando que por cada valor de Z existirá un número infinito de valores S.
Dado que σ es negativo en el semiplano izquierdo del plano S, eso corresponde a:
� =�
�??????
<1 El eje �?????? en el plano s corresponde a � =1.
Transformada zeta del impulso unitario
Dicha transformada converge a un punto si no ocurre que k<0 tienda a radios
infinitos y k>0 tienda a 0+0j.
Entonces ?????? � =1 ;�=0
∆(�)=� ??????(�) = ?????? � �
−�
=?????? 0 +?????? 1 �
−1
+?????? 2 �
−2
+⋯
∞
�=0
∴∆ � =1
Transformada zeta del escalón unitario
Se encuentra definido por � � = ?????? � �
−�∞
�=0 =?????? 0 +?????? 1 �
−1
+?????? 2 �
−2
+⋯+
??????(�)�
−�
Dicha transformada es:
� � =lim
??????→∞
�
−�
??????−1
�=0
=lim
??????→∞
�
−1
�
??????−1
�=0
=lim
??????→∞
1−�
−??????
1−�
−1
∴� � =
1
1−�
−1
??????��� � >1
Transformada zeta rampa unitaria
Teniendo una ecuación � � =� y multiplicando dicha ecuación por –z y
considerando a -1
��
−�
∞
�=0
=
�
�−1
2
� >1
?????? � = ��
−�
∞
�=0
Para una secuencia geométrica se tiene:
�
�
�
−�
∞
�=0
=
�
�−�
Derivada con respecto a Z:
�
��
�
�
�
−�
∞
�=0
=
�
��
�
�−�
=
�−� −�
�−�
2
=
−�
�−�
2
− ��
�
�
−�−1
∞
�=0
=−
�
(�−�)
2
1
1−�
−1
??????��� � >1
Transformada zeta rampa unitaria
Teniendo una ecuación � � =� y multiplicando dicha ecuación por –z y
considerando a -1
��
−�
∞
�=0
=
�
�−1
2
� >1
?????? � = ��
−�
∞
�=0
Para una secuencia geométrica se tiene:
�
�
�
−�
∞
�=0
=
�
�−�
Derivada con respecto a Z:
�
��
�
�
�
−�
∞
�=0
=
�
��
�
�−�
=
�−� −�
�−�
2
=
−�
�−�
2
− ��
�
�
−�−1
∞
�=0
=−
�
(�−�)
2
Transformada z de la parábola unitaria
�
� =((��)
2
;�=0…∞) =
�
2
� �+1
�−1
3
� � =
1
�
3
; � �� =
1
2!
(��)
2
∴?????? � =
�
2
2
�(�+1)
(�−1)
3
Propiedades de transformada zeta
Linealidad
Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z],
entonces: Z(a1X1[n]+a2X2[n]) = a1X1[Z]+a2X2[Z] siendo a1 y a2 constantes
arbitrarias.
Desplazamiento temporal
Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier
entero n0>0, se tiene:
� ?????? �+�
0 =�
�0 ?????? � − ?????? � �
−�
�0−1
�=0
Simultáneamente, se puede demostrar que:
� ?????? �−�
0 =�
−�0 ?????? � + ?????? � �
−�
−1
�=−�0
Diferenciación con respecto a Z
Si se deriva la expresión
?????? � = ?????? � �
−�
∞
�=0
�
� =((��)
2
;�=0…∞) =
�
2
� �+1
�−1
3
� � =
1
�
3
; � �� =
1
2!
(��)
2
∴?????? � =
�
2
2
�(�+1)
(�−1)
3
Propiedades de transformada zeta
Linealidad
Si X1[n] y X2[n] son dos secuencias discretas con transformadas X[Z] y X2[Z],
entonces: Z(a1X1[n]+a2X2[n]) = a1X1[Z]+a2X2[Z] siendo a1 y a2 constantes
arbitrarias.
Desplazamiento temporal
Sea X[n] una secuencia causal con transformada X[Z]. Entonces, dado cualquier
entero n0>0, se tiene:
� ?????? �+�
0 =�
�0 ?????? � − ?????? � �
−�
�0−1
�=0
Simultáneamente, se puede demostrar que:
� ?????? �−�
0 =�
−�0 ?????? � + ?????? � �
−�
−1
�=−�0
Diferenciación con respecto a Z
Si se deriva la expresión
?????? � = ?????? � �
−�
∞
�=0
Que es la transformada Z de una secuencia casual X[n], respecto a Z se tiene:
�?????? �
��
= −� ?????? � �
−�−1
=−�
−1
�?????? � �
−�
∞
�=0
∞
�=0
De dicha expresión se deduce que:
� �?????? � =−�
�
��
?????? �
Se puede demostrar derivando sucesivamente que:
� �
�
?????? � = −�
�
��
�
?????? �
Convolución
La Convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es más que el
producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir,
??????[�]∗�[�]=??????[�]�[�]
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y
h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
�[??????[�]∗ℎ[�]]=�[�]=??????[�]??????[�]
donde H[Z] es la transformada de h[n].Para obtener la salida y[n] bastará hallar
la transformada inversa de y[Z].
Transformada Z inversa
Es un sistema de control de tiempo discreto que actúa con el mismo papel que la
transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que
dicho sistema sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la
transformada Z inversa.
�?????? �
��
= −� ?????? � �
−�−1
=−�
−1
�?????? � �
−�
∞
�=0
∞
�=0
De dicha expresión se deduce que:
� �?????? � =−�
�
��
?????? �
Se puede demostrar derivando sucesivamente que:
� �
�
?????? � = −�
�
��
�
?????? �
Convolución
La Convolución de dos secuencias causales X[n] y y[n] no es más que el
producto normal de las transformadas Z de ambas secuencias, es decir,
??????[�]∗�[�]=??????[�]�[�]
En particular, si X[n] es la entrada de un sistema lineal invariante con el tiempo y
h[n] es la respuesta al impulso, entonces se tendrá que:
�[??????[�]∗ℎ[�]]=�[�]=??????[�]??????[�]
donde H[Z] es la transformada de h[n].Para obtener la salida y[n] bastará hallar
la transformada inversa de y[Z].
Transformada Z inversa
Es un sistema de control de tiempo discreto que actúa con el mismo papel que la
transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que
dicho sistema sea útil, se debe estar familiarizado con los métodos para hallar la
transformada Z inversa.
La denotación para la transformada Z inversa será Z
-1
. La transformada Z inversa
de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n].
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán:
Método de la División Directa.
Método Computacional.
Método de expansión en fracciones parciales.
Método de la Integral de inversión.
Ecuaciones en diferencias
Cuando se presentas ecuaciones con diferencias de orden n, se
aplican las propiedades de la transformada Z, con mayor
regularidad se utilizan las propiedades de linealidad y
desplazamiento, para transformarla en una ecuación algebraica.
La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas
secuencias, usando la propiedad de desplazamiento.
Función Discreta Transformada Z
X[n+4] Z
4
X[Z]-Z
4
X[0]-Z
3
[1]-Z
2
X[2]-ZX[3]
X[n+3] Z
3
X[Z]-Z
3
X[0]-Z
2
X[1]-ZX[2]
X[n+2] Z
2
X[Z]-Z
2
X[0]-ZX[1]
X[n+1] ZX[Z]-ZX[0]
X[n] X[Z]
X[n-1] Z
-1
X[Z]
X[n-2] Z
-2
X[Z]
X[n-3] Z
-3
X[Z]
X[n-4] Z
-4
X[Z]
-1
. La transformada Z inversa
de X[Z] da como resultado la correspondiente secuencia X[n].
Existen cuatro métodos para obtener la transformada Z inversa y serán:
Método de la División Directa.
Método Computacional.
Método de expansión en fracciones parciales.
Método de la Integral de inversión.
Ecuaciones en diferencias
Cuando se presentas ecuaciones con diferencias de orden n, se
aplican las propiedades de la transformada Z, con mayor
regularidad se utilizan las propiedades de linealidad y
desplazamiento, para transformarla en una ecuación algebraica.
La siguiente tabla muestra la transformada Z de algunas
secuencias, usando la propiedad de desplazamiento.
Función Discreta Transformada Z
X[n+4] Z
4
X[Z]-Z
4
X[0]-Z
3
[1]-Z
2
X[2]-ZX[3]
X[n+3] Z
3
X[Z]-Z
3
X[0]-Z
2
X[1]-ZX[2]
X[n+2] Z
2
X[Z]-Z
2
X[0]-ZX[1]
X[n+1] ZX[Z]-ZX[0]
X[n] X[Z]
X[n-1] Z
-1
X[Z]
X[n-2] Z
-2
X[Z]
X[n-3] Z
-3
X[Z]
X[n-4] Z
-4
X[Z]
Conclusión
La transformada z tiene propiedades que facilitan la solución de las ecuaciones
que no son comunes de encontrar dentro de las tablas, la lineal idad y
desplazamiento son algunas de ellas y son las más utilizadas en los casos de
ecuaciones que presentan diferencias en su estructura; por otra parte, la
convolución en empleada para ecuaciones donde se presentan multiplicaciones o
divisiones, una muestra del empleo de esta propiedad se encuentra en la ecuación
de parábola unitaria, en la cual se combinan la transformada z de 1 y la
transformada de una parábola común proveniente de una transformada de laplace,
por lo tanto, es conveniente en algunos casos emplear transformada de laplace o
derivación como expresa la propiedad de diferenciación con respecto a z.
La transformada z tiene propiedades que facilitan la solución de las ecuaciones
que no son comunes de encontrar dentro de las tablas, la lineal idad y
desplazamiento son algunas de ellas y son las más utilizadas en los casos de
ecuaciones que presentan diferencias en su estructura; por otra parte, la
convolución en empleada para ecuaciones donde se presentan multiplicaciones o
divisiones, una muestra del empleo de esta propiedad se encuentra en la ecuación
de parábola unitaria, en la cual se combinan la transformada z de 1 y la
transformada de una parábola común proveniente de una transformada de laplace,
por lo tanto, es conveniente en algunos casos emplear transformada de laplace o
derivación como expresa la propiedad de diferenciación con respecto a z.
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