Trapézio e seus elementos otimo

3. O trapézio é um quadrilátero com 1 par de lados
paralelos (as bases do trapézio). Ele pode ser classificado
como:
• Trapézio retângulo: possui 1 e, conseqüentemente, 2
ângulos retos e não possui eixos de simetria.
• Trapézio isósceles: possui os dois lados, que não são
bases, os ângulos de uma mesma base e as diagonais
congruentes, possui 1 eixo de simetria., a mediana é
paralela às bases e é igual à semi-soma das bases
• Trapézio escaleno: possui os dois lados, que não são
bases, não congruentes e não possui eixos de simetria.

4. Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos.
Diagonal de um trapézio é o segmento de reta cujos
extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.
Altura de um trapézio é o segmento de reta
perpendicular às bases e compreendido entre elas.
Mediana de um trapézio é o segmento de reta cujos
extremos são os pontos médios dos lados opostos não
paralelos.
 
 

5. Os pontos médios das diagonais
dos trapézios ficam numa mesma reta
que está na metade da altura do
trapézio e paralela à base.

6. Há algumas maneiras de calcular a área (S) desse polígono,
mas eu vou explicar apenas duas. Vamos à primeira:
S = h(a+c)
1
2 h
a
c

7. Vamos entender esta fórmula
geometricamente e algebricamente:
h
1
2
1
2
h
h
c
a

8. ac
1
2
h
Transformando em um retângulo...
S = h (a+c)
1
2
S = l
1
l
2
a+c

9. Juntando as fórmulas das áreas dos dois
triângulos e do retângulo:
Bt
1 Bt
2
c
a
a
h

10. c-a = Bt
1 + Bt
2
Bt
1 + Bt
2 = Bt
1 +2
c-a = Bt
1+2
h(c-a)
2
hc-ha+2ha
2
hc+ha
2
Vejamos a transformação da fórmula:
A = + ha
A =
A =
Fatorando...
A =
h(a+c)
2
h(a+c)A =
1
2
Fazendo o M.M.C....

11. Vamos para a segunda fórmula:

12. Vamos entendê-la:
Para começar tenho que explicar o que é sen (seno):
Num triângulo retângulo existe o “sen” de um ângulo que é
dado pela fórmula:
Ǿ
Sen Ǿ =
C
o
H
H
C
o
Obs.: o C
o
(cateto oposto) é o
cateto oposto ao ângulo. Se for o
outro ângulo, o C
o é outro.

13. Para saber o seno, só consultando uma tabela ou uma
calculadora que tenha seno. Veja uma tabela com os
senos dos 5 principais ângulos:
1
3
2
2
2
1
2
0sen
90
o
60
o
45
o
30
o
0
o

14. Agora tá fácil, né?
Existe uma fórmula para calcular a área
de qualquer quadrilátero que é baseada
na área de dois triângulos:
S = d
h
1
+ h
2
2
d
h
2
h
1
Ângulo reto

15. Quando você calcula o sen Ǿ · d, você está
calculando: sen Ǿ · Sd
1 + sen Ǿ · Sd
2.
E, como eu já disse, sen x = .
Sd
1
Sd
2
Ǿ
C
o
H
Isolando C
o fica assim: C
o = sen x · H
Não sei se vocês já perceberam, mas os C
o
são o h
1
e h
2
da
fórmula da área de qualquer quadrilátero.
Provando que as fórmulas e
são iguais.
Obs: Sd
1
e Sd
2
são 2 hipotenusas.
S = d
h
1
+ h
2
2
h
2
h
1

16. Para fazer alguns exercícios podemos
precisar do Teorema de Pitágoras. Com ele
podemos calcular um cateto ou uma
hipotenusa, sabendo as outras duas medidas.
Veja a fórmula:
H
2
= C
1
2
+ C
2
2

17. http://www.webcalc.com.br/matematica/
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/ativ25/CabriJava/tra.htm
http://www.eduardochaves.uaivip.com.br/figuras%20planas.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm109/propriedadesdostrapezios.htm

18. Em algumas comunidades agrícolas do Brasil é usada uma
fórmula de calcular a área (S) de terrenos na forma de
um quadrilátero. Veja:
S =
a + b c + d
2 2
a
b
d
c
Porém, essa fórmula não dá muito certo, mas existe
outras que dão. Como aquela que eu já expliquei. Qual!?!

19. Lembra daquela que é baseada na área de dois
triângulos e daquela que utiliza o seno? Aquelas mesmo!
S = d
h
1
+ h
2
2

20. Classifique como trapézio escaleno, isósceles ou retângulo
Isósceles
Escaleno
Retângulo

21. H
2
- C
2
= h
2
Calcule as áreas
(medidas em cm)
5
11
55
(11-5)
2
2
h
5
2
- = h
2
25 - 9 = h
2
h = 4
S = h(a+c)
1
2
S = 4(5+11)
1
2
S = 32 cm
2

22. 5
8
5h
H
2
- C
2
= h
2
25 - 9 = h
2
h = 4
S = h(a+c)
1
2
S = 4(5+8)
1
2
S = 26 cm
2

23. 4 22
3
4
1
S = h
tra(a+c) -
1 bh
tri
2 2
S = 5(3+(2+4+2)) -
1 4 · 4
2 2
S = 19,5 cm
2

24. 6
x
x-2h
H
2
- C
2
= h
2
(x-2)
2
- (x-6)
2
= h
2
x
2
- 4x + 4 - (x
2
-12x+ 36) = h
2
x
2
- 4x + 4 - x
2
+ 12x - 36 = h
2
h = 8x - 32
S = 8x - 32(a+c)
1
2
S = (5+8)
8x - 32
4
S = 2x - 8 (13)
S = 169(2x - 8)
S = 338x - 1352 cm
2

25. h/4
h
5
9
H
2
- C
2
= h
2
7
7
2
- = h
2
9-5
2
2
49 - 4

= h
2
h = 45
m
t
= = 7
5 + 9
2
m
t2 = = 8
7 + 9
2
7
h = 5
1
4
3
4
S = h (m
t2
+ c)
1
2
1
4
S = 5 17
1
2
3
4
S = 17 5
3
8
S= 5 cm
2
51
8
8

26. 1
2
A figura representa um porta-retrato. Sabe-se que a
largura da moldura é de 2,6 cm, o lado externo da
moldura mede 7,7 cm e o lado interno 2,3. Qual é a
área total da moldura?
S = h(a+c)6
S = 2,6(2,3+7,7)6
1
2
S = 2,6(10)3
S = 2,6(30)
S = 78 cm
2

27. Calcule a área de um trapézio cuja base maior é o
dobro da menor (x) e cuja altura é metade da base
menor.
S = h(a+c)
1
2
S = x (x + 2x)
1
2

1
2
S = x (3x)
1
4
S =
3x
2
4

28. Calcule a superfície (S) dessa caixa de cartucho de impressora
3
4 4
11
10
8
S = 2 3(8+11) + 2(4 ·10) + 11 · 10 + 8 ·10
1
2
S = 57 + 80 + 110 + 80 = 327 cm
2

29. Determine a área do hexágono (cm)
12
4
10
3
S = h
t
(a+c) + b
r
h
r
1
2
S = 6(3 + 12) + 12 · 4
1
2
S = 3 · 15 + 12 · 4
S = 45 + 48
S = 93 cm
2

30. Resolva os problemas
Num trapézio de altura 4 cm, a base maior tem o triplo
da base menor. Determine as medidas dessas bases,
sabendo que a área do trapézio é 12 cm
2
.
S = h(a+c)
1
2
12 = 4(x + 3x)
1
2
12 = 2 · 4x
8x = 12
x =
3
2
A base maior tem 9/2 cm e a base menor tem 3/2 cm

31. Num trapézio, a medida da base maior excede a medida
da base menor em 3 cm. Sabendo que a altura relativa às
bases mede 6 cm e que a área do trapézio é 45 cm
2
.
Determine as medidas de suas bases.
45 = 6(x + (x + 3))
1
2
As bases medem 6 cm e 9 cm
S = h(a+c)
1
2
45 = 3(2x + 3)
45 = 6x + 9
6x = 36
x = 6