TRIANGULO DE SIERPINSKI QUE AYUDA AL DOCENTE

TRIANGULO DE SIERPINSKI

1. Triángulo de Sierpiński Alumno : Isac Orlando Mayta Calderón Profesora : Ramirez Mundaca Flor Eunice

2. 2 Introducción En la actualidad no se tiene una definición clara que responda el que es un fractal; sin embargo, esto no es impedimento para poder estudiar algunos fractales mediante sus propiedades como: Autosimilitud. Independencia de escala. Dimensión fraccionaria . haciendo uso de espacios métricos y sistema iterados de funciones, entre ellos está el famoso triángulo de S ierpiński .

3. 3 Empezamos la construcción definiendo nuestro espacio métrico que será . Construimos nuestro espacio métrico , donde: es el conjunto de todo los conjuntos compactos de (plano cartesiano). es la métrica de Hausdorff de compacto a compacto en . en ese espacio métrico construido localizamos el conjunto compacto llamado (semilla) que será el triángulo con los vértices ; y . Podemos notar que ese triángulo (conjunto) es compacto por qué es cerrado y totalmente acotado.    

4. 4 Ahora, tomando las funciones Construimos nuestro y . Veamos el resultado de aplicar una vez sobre el triángulo definido anteriormente.          

5. 5 Como vemos el triángulo se reduce en escala en diferentes lugares del plano. Veamos el resultado de aplicar una vez más (dos veces) sobre el triángulo definido anteriormente.             Si realizamos está función varias veces ¿Obtendremos el fractal? la respuesta es que sí, pero antes debemos tener en cuenta unas observaciones.  

6. 6 ¿Cuántas veces debemos usar la función para obtener el fractal? Si usamos la función una cantidad finita de veces, ya no tendrá esa propiedad de autosimilitud todo el tiempo; por lo tanto, es necesario recurrir a la construcción de una sucesión donde cada término sea el resultado obtenido cada vez que aplicamos la función.   La meta es averiguar el punto límite de está sucesión y ver que propiedades más se cumple. Notamos que el resultado de aplicar la función infinitas veces (atractor) es lo que buscamos.  

7. 7 También notamos que se cumple las siguientes propiedades Es notorio que el resultado obtenido al aplicar una vez la función en el conjunto, el resultado está contenido en su predecesor. Por ese motivo concluimos que el atractor coincide con   Otra propiedad que se cumple es que

8. 8 Usando la distancia de Hausdorff vemos que se cumple que la distancia cada vez es menor   Y mejor aún, que en el infinito, está distancia tiende a cero; o sea, en el infinito, hay unicidad en lo que buscamos, el triángulo de .  

9. 9 Comentario final: La construcción anterior de es importante porque el que definimos sobre también estaría bien definido sobre porque, como demostramos en clase, cualquier función continua aplicada sobre un compacto conduce a otro compacto. Y como el triángulo definido al inicio es compacto, está en , luego al aplicarle el SIF varias veces llegaríamos que en el punto límite, este fractal estaría en (Espacio donde vive el fractal) y por el teorema de intersección de Cantor (compactos encajados), sabemos que la intersección final que coincide con el atractor, existe y es no vacío; y, a parte, como vimos, también es único que es lo que buscabamos.